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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Primer Semestre 2005 MAT1503 ∗ GUIA N◦2 1. Si a, b, c son positivos, demuestre las siguientes desigualdades i) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc. ii) (a2b + b2c + c2a)(ab2 + bc2 + ca2) ≥ 9a2b2c2. iii) a3b + ab3 ≤ a4 + b4. 2. Demuestre que si a2 + b2 = 1 y u2 + v2 = 1, entonces au + bv < 1. 3. Demuestre las siguientes desigualdades i) ( 1 + 1 n )n < ( 1 + 1 n+1 )n+1 , ∀n ∈ N. i) n! < ( n+1 2 )n , ∀n > 1. iii) n2 < 2n, ∀n > 4. iv) nn > 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1), ∀n > 1. 4. Resolver las siguientes ecuaciones en R. (a) |x2 − 5x + 1| = 2 (b) |x2 + 1| = |2x| (c) |x + 2|+ |5− x| = 0 (d) |x− 2| = −(x2 + 1) 5. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto en R. (a) x− |x| < 2 (b) |x + 3| ≥ 2 1 (c) |x− 4| > x− 2 (d) |x + 2| > |3− x| (e) |x− 7| < 5 < |5x− 25| 6. Resolver las siguientes inecuaciones en R. (a) x2 − 3x + 2 x2 + 2x + 6 < 3 (b) x2 − 5x + 4 x− 3 < 0 (c) x2 − 6x + 7 x− 2 > 0 (d) x2 + 1 x2 − 3x + 2 > x x2 − 3x + 2 (e) x(x4 − 7x2 + 12) > 0 (f) 1 + 6 x2 + 3x + 2 > 6 x + 2 (g) 2x− 25 x2 + 2x− 3 + 2x + 11 x2 − 1 > 2 x + 3 (h) |x2 − x|+ x > 1 (i) ∣∣∣∣ x + 2 3− x ∣∣∣∣ < 1 (j) ∣∣∣∣ x2 − x x2 − 4 ∣∣∣∣ < 1 2 (k) ∣∣∣∣ x2 − 2x + 3 x2 − 5x + 6 ∣∣∣∣ > 1 5 (l) √ x + 6−√x + 1 > √2x− 5 (m) |3x + 2| ≤ |x + 1|+ |2x + 1| (n) 2x− 1 > √x2 − 3x + 2 (o) 8x− 3 < √ (x− 6)(x− 9) (p) √ x− 1 +√x− 4 < 3 (q) √ x2 + 51− √ (x− 5)(x− 7) > 4 (r) √ (x− 2)− √ (x− 6) < 8 7. Encontrar los valores de a ∈ R tales que: ∀ x ∈ R (ax2 − a(a− 1)x + 2a < 0) 8. ¿Para qué valores de a ∈ R, la ecuación (1− a)x2 + x + (1− a) = 0 tiene sus soluciones reales e iguales? 9. Para qué valores de a ∈ R se tiene que: ∀x ∈ R (a− 1)x2 + 2(a− 3)x + a > 3) 10. Determinar los valores de a ∈ R de modo que el número 3 esté, entre las ráıces de la ecuación 4x2 − (a + 1)x + 2− a = 0 11. ¿Para qué valores de a ∈ R la ecuación (1− a)x2 + x + (1− a) = 0 tiene una única solución real? 3 12. Demostrar las siguientes propiedades del valor absoluto de números reales. (a) |x| ≥ x (b) |x + y| ≤ |x|+ |y| (c) xy > 0 → |x + y| = |x|+ |y| (d) |x| − |y| ≥ |x− y| (e) |x| = |y| ↔ (x = y ∨ x = −y) (f) |x2| = |x|2 = x2 13. Dada la función f : R −→ R, definida por: f(x) = 2x + 5 si x > 9 x2 − |x| si −9 ≤ x ≤ 9 x− 4 si < −9 determine: (a) f(3), f(12), f(9), f(f(5)) (b) Dominio de f (c) Recorrido de f (d) Gráfico de f 14. Encuentre los dominios en R de las siguientes funciones: (a) f(x) = √ 1− x2 (b) f(x) = √ 1−√1− x2 (c) f(x) = 1√ x2 − 4 (d) f(x) = √ 1− x +√x− 2 (e) f(x) = √ 4− x2 +√x2 − 1 (f) f(x) = 1 x− 1 + 1 x− 2 4 15. Si f(x) = x3, grafique f(x) y f−1(x). ¿Es f−1 función? ¿Es inyec- tiva? ? 16. Encuentre el dominio y el recorrido de la función f(x) = x2 − 1 x + 1 ¿Es uno a uno? 17. Dada la función f : R− {−1 2 } −→ R− { 1 2 } tal que: f(x) = x− 3 2x + 1 (a) Demuestre que f es inyectiva (b) Determine f−1 18. Si la función f está definida por f(x) = { x + 2 si x ≤ 2 2x si x > 2 Demuestre que f es inyectiva y encuentre f−1 19. Se define la función f : R −→ R: f(x) = { x2 − 3x si x ≥ 2 x− 4 si x < 2 (a) Demuestre que f es inyectiva (b) Encuentre f−1 y graf́ıquela 20. Dada la función f : R −→ R definida por: f(x) = { −√x si x ≥ 4 2− x si x < 4 Demuestre que f−1 es función y encuéntrela. Grafique f y f−1 5 21. Dadas las funciones f : R −→ R, f(x) = x2 + 3x + 1 y g : R −→ R, g(x) = 2x− 3 (a) Encuentre f o g(4), g o f(4) y f o f(4) (b) ¿Se cumple que f o g(x) = g o f(x)? (c) ¿Existe algún x ∈ R tal que f o g(x) = g o f(x)? 22. Dadas las funciones definidas en los números reales: f(x) = 2x2 − 3x + k y g(x) = 3x + 1 ¿Para qué valor de k existe un único número real x tal que (f o g)(x) = g o f(x)? ¿Cuál es dicho número real? 23. Si f y g son funciones definidas en los números reales, tales que: (f o g)(x) = 12x2 − 28x + 16 y g(x) = 2x− 3 determine la función f(x). 24. Si f : R −→ R y g : R −→ R son funciones tales que f(x) = 2x2−3 (f o g)(x) = { 32x2 − 16x− 1 si x ≥ 1 47 si x < 1 demuestre la función g(x). 25. Dadas las funciones reales de variable real, definidas por: f(x) = x + |x| 2 y g(x) = { x si x < 0 x2 si x ≥ 0 Demuestre que f o g)(x) = (g o f)(x) 26. Si f y g son funciones reales de variable real definidas por: f(x) = { x2 + 2 si x > o x + 2 si x ≤ 0 y g(x) = { 2x + 5 si x > 3 x2 si x ≤ 3 Determine la función g(f(x)). 6 27. Determinar las constantes reales A,B y C para que se cumpla Ax2 + Bx + C (x− 1)(x− 2)(x− 3) = 2 x− 1 − 9 x− 2 + 8 x− 3 28. Encontrar el cociente y el resto cuando el polinomio 3x3 − 4x + 2 es dividido por x + 3 29. ¿Para qué valores de a y b el polinomio 3x2 + bx − b2 − a es divisible por x + 2, pero al dividirlo por x− 1 da resto 1? 30. Sea p(x) = x4 + bx3 − 13x2 − 14x + 24 (a) Determinar b ∈ R, de modo que -2 sea ráız de p (b) Determinar las ráıces restantes. 31. Resolver la ecuación 3x3 − 2x2 − 6x + 4 = 0 32. De la ecuación x4 − x3 − 15x2 + 19x − 4 = 0 se conoce la ráız x1 = 2− √ 3. Determinar las otras ráıces reales. 33. Sean p(x) = ax3 + bx2 + 3cx + d, q(x) = ax2 + 3bx + c, a > 0 tales que p(x) es divisible por q(x). Demostrar que p(x) es el cubo de un binomio y q(x) es el cuadrado de un binomio. 34. En cada uno de los siguientes problemas trate de encontrar todas las ráıces reales conociendo una de ellas. a) 4x3 + 3x2 − 5x− 2 = 0 , x1 = 1 b) x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 , x1 = −2 c) 2x3 − 11x2 + 17x− 6 = 0 , x1 = 2 d) x3 − 7x2 + 13x− 3 = 0 , x1 = 3 35. Sea p(x) = 12x4 + 4x3 − 23x2 + x + 6. Determine las ráıces de p(x) en : a) Z b) Q c) R 7 36. Se desea fabricar un envase de forma de paraleleṕıpedo recto tal que el ancho mida 2cm más que el alto y el largo mida 3cm más que el ancho y que tenga 1.040 litros de capacidad. Determine las dimensiones del envase. 37. Determine las ráıces racionales de las siguientes ecuaciones: (a) 5x3 − 3x2 − 55x + 33 = 0 (b) 3x2 + 7x2 − 10x + 4 = 0 (c) x4 + 2x3 + 11x2 − 2x− 3 = 0 38. Al dividir cierto polinomio p(x) por (x − 1) el resto es a y al dividirlo por (x − 2) es b . Encuentre el resto al dividir p(x) por (x− 1)(x− 2) 39. Determine los valores de k ∈ R de modo que al dividir x4− k3x+3−k por (x− 3) resulte 44 como el resto. 40. Determine los valores a, b ∈ R de modo que a ax4+bx3−12x2+21x−5 sea divisible por 2x2 + 3x− 1. 41. Resolver 20x3 − 30x2 + 12x− 1 = 0 42. Determine k de modo que las ráıces del polinomio 2x3 + 6x2 + 5x + k sean reales que estén en progresión aritmética. 43. Determine k de modo que las ráıces del polinomio 8x3 + 18x2 + kx− k sean reales que estén en progresión geométrica. 44. Sabiendo que x1 = 1 2 y x2 = −12 son ráıces de 4x4 + ax3 + bx2 + 5x− 4. Encontrar las otras ráıces. 45. Determine las ráıces racionales de: (a) 5x3 − 3z2 − 55x + 33 (b) x4 + 2x3 + 11x2 − 2x− 3 46. Determine los valores de k ∈ R para que el polinomio p(x) = 2k2x3 + 3kx2 − 2 sea divisible por (x− 1) y posea sólo ráıces reales. 8
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