guia_polinomios

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Segundo Semestre 2001
MLM 110E ∗ GUIA N◦3
1. Encontrar los valores de a ∈ R tales que:
∀x ∈ R(ax2 − a (a− 1)x + 2a < 0)
2. ? Para qué valores de a ∈ R, la ecuación (1 − a)x2 + x + (1 − a) = 0 tiene sus
soluciones reales e iguales ?
3. Para qué valores de a ∈ R se tiene que:
∀x ∈ R(a− 1)x2 + 2 (a− 3)x + a > 3)
4. Determinar los valores de a ∈ R de modo que el número 3 est’e, entre las ráıces
de la ecuación
4x2 − (a + 1)x + 2− a = 0
5. ¿Para qué valores de a ∈ R la ecuación (1 − a)x2 + x + (1 − a) = 0 tiene una
única solución real?
6. Determinar las constantes reales A, B y C para que se cumpla
Ax2 + Bx + C
(x− 1)(x− 2)(x− 3)
=
2
x− 1
− 9
x− 2
+
8
x− 3
7. Encontrar el cociente y el resto cuando el polinomio 3x3 − 4x + 2 es dividido por
x + 3
8. ¿Para qué valores de a y b el polinomio 3x2 + bx− b2− a es divisible por x+2, pero
al dividirlo por x− 1 da resto 1?
9. Sea p(x) = x4 + bx3 − 13x2 − 14x + 24
a) Determinar b ∈ R, de modo que -2 sea ráız de p
1
b) Determinar las ráıces restantes.
10. Resolver la ecuación 3x3 − 2x2 − 6x + 4 = 0
11. De la ecuación x4 − x3 − 15x2 + 19x − 4 = 0 se conoce la ráız x1 = 2 −
√
3.
Determinar las otras ráıces reales.
12. Sean
p(x) = ax3 + bx2 + 3cx + d,
q(x) = ax2 + 3bx + c, a > 0
tales que p(x) es divisible por q(x). Demostrar que p(x) es el cubo de un binomio
y q(x) es el cuadrado de un binomio.
13. En cada uno de los siguientes problemas trate de encontrar todas las ráıces reales
conociendo una de ellas.
a) 4x3 + 3x2 − 5x− 2 = 0 , x1 = 1
b) x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 , x1 = −2
c) 2x3 − 11x2 + 17x− 6 = 0 , x1 = 2
d) x3 − 7x2 + 13x− 3 = 0 , x1 = 3
14. Sea p(x) = 12x4 + 4x3 − 23x2 + x + 6. Determine las ráıces de p(x) en :
a) Z b) Q c) R
15. Se desea fabricar un envase de forma de paraleleṕıpedo recto tal que el ancho mida
2cm más que el alto y el largo mida 3cm más que el ancho y que tenga 1.040 litros
de capacidad. Determine las dimensiones del envase.
16. Sabiendo que x1 =
1
2
y x2 = −
1
2
son ráıces de la ecuación 4x4 + ax3 + bx2 + 5x− 4 = 0,
determine sus otras ráıces.
17. a) Demuestre que si n ∈ N y a ∈ R entonces ni (x − a) ni (x + a) son
ráıces de p1(x) = x
2n + a2n
b) (x− a) divide siempre a p2(x) = x2n+1 − a2n+1
c) (x + a) divide siempre a p3(x) = x
2n+1 + a2n+1
18. ¿Para qué valores de a y n el polinomio xn − axn−1 + ax− 1 es divisible por
(x− 1)2?
19. Determine las ráıces racionales de las siguientes ecuaciones:
a) 5x3 − 3x2 − 55x + 33 = 0
b) 3x2 + 7x2 − 10x + 4 = 0
2
c) x4 + 2x3 + 11x2 − 2x− 3 = 0
20. Resuelva las siguientes inecuaciones:
a) 8x3 − 12x2 − 2x + 3 ≤ 0
b) 3x3 − 2x2 − 6x + 4 ≥ 0
c)
2x− 3
x3 − 2x2 − x + 2
< 0
21. Determine los valores λ para los cuales las ecuaciones
λx3 − x2 − x− (λ + 1) = 0
λx2 − x− (λ + 1) = 0
posee una ráız común y encuentre esta ráız.
22. Al dividir cierto polinomio p(x) por (x − 1) el resto es a y al dividirlo por
(x− 2) es b . Encuentre el resto al dividir p(x) por (x− 1)(x− 2)
23. Determine los valores de k ∈ R para los cuales el polinomio p(x) = 2k2x3 + 3kx2 − 2
es divisible por (x− 1) y posee sólo ráıces reales.
24. Dada las ráıces r1, r2, r3 del polinomio x
3− px+ q = 0, construya una ecuación
cúbica cuyas ráıces son r21, r
2
2, r
2
3
25. Determine los valores de k ∈ R de modo que al dividir x4 − k3x + 3− k por(x− 3)
resulte 44 como resto.
26. Determine los valores de a, b ∈ R de modo que a ax4 + bx3 − 12x2 + 21x − 5 sea
divisible por2x2 + 3x− 1.
27. Demuestre que si el polinomio ax3+bx2+cx+d admite (x−1) como factor, entonces
b = d− 2a y c = a− 2d.
28. Resolver 20x3 − 30x2 + 12x− 1 = 0.
29. Determine k de modo que lars raices del polinomio 2x3 + 6x2 + 5x + k sean reales
que esten en progresión aritmética.
30. Determine k de modo que lars raices del polinomio 8x3 + 18x2 − kx− k sean reales
que esten en progresión geométrica.
31. Sabiendo que x1 =
1
2
y x2 = −12 son raices de 4x
4 + ax3 + bx2 + 5x− 4. Encontrar
las otras raices.
32. Determine las raices racionales de
3
a) 5x3 − 3z2 − 55x + 33
b) x4 + 2x3 + 11x2 − 2x− 3
33. Al dividir el polinomio p(x) por (x− 1) el resto es a y al dividirlo por (x− 2) es b.
Encuentre el resto que resulta al dividirlo por (x− 1)(x− 2).
34. Determine los valores de k ∈ R para que el polinomio 2k2x3 + 3kx2− 2 sea divisible
por (x− 1) y tenga sólo raices reales.
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