Tarea

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
Primer semestre de 2008
Tarea, MAT1503-11 ? Cálculo
1. Determine si existen y, en caso de que existan, calcule los siguientes ĺımites
a)
ĺım
x→0
ln(e−x + xe−x)
x2
.
b)
ĺım
x→0
ln2(x)
x
c)
ĺım
x→0
(
sen(x)
x
) 1
x
2. Conside la función definida por f(x) = e
√
2 sen(x).
a) Encuentre el polinomio de Taylor de orden 2 para f(x) en torno a x = 0
b) Estudie completamente la función f(x) (es decir, estudie dominio, ceros, signos de f , con-
tinuidad, periodicidad, intervalos de crecimiento, concavidad, máximos, mı́nimos y puntos
de inflexión) y grafiquela.
c) Discuta la existencia de asintotas en infinito.
3. Usando polinomios de Taylor demuestre que
a) ex ≥ 1 + x.
b) 1− x ≤ e−x ≤ 1
1+x
Ayuda: Use la parte anterior
4. a) Calcule ln 2 con un polinomio de Taylor de grado 3 en torno a x = 1 y estime el error.
b) Para ln 2 encuentre un n para el que el polinomio de Taylor de orden n de una estimación
tal que el error sea menos a 0, 001.
5. Considere la función f : (−1, 1) \ {0} → R definida por f(x) = ln(1−x)
ln(1+x)
a) Defina la función en x = 0 de manera tal que sea continua.
b) Calcule el minimo de f(x).
6. Se quiere calcular el costo míınimo de un estanque para agua potable de 45π m3 de capacidad
que se construirá en forma de un cilindro de base plana y coronado por una semiesfera, sabiendo
qe los costos unitarios de obra construida son: base p $
m2
, manto 3p $
m2
, cúpula 4p $
m2
(p > 0). Siga
las indicaciones a conitnuación:
a) Si h es la altura del cilindro y r su radio, deduzca que
h(r) =
45
r2
− 3
2
r,
y muestre que el costo en función de r está dado por
c(r) = πp(9r2 + 6rh(r)).
b) Bosqueje la función de costo c(r) en su dominio, Determine las dimensiones del cilindro
(radio y altura) de mantener que el costo del estanque sea mı́ nimo y explicite el valor del
costo mı́nimo.
7. Se define la función f(x) =
{
g(x)
senh x
si x 6= 0
a si x = 0
, donde senh(x) = e
x−e−x
2
. Sabiendo que f es
derivable en 0 y g es dos veces derivable en 0 determine los valores de g(0), a y f ′(0) en función
de g′(0) y g′′(0). Justifique sus respuestas.