Problemas-Calculo-diferencial-1variable-2014-2015 (1)

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Escuela Superior de Ingenieŕıa y Tecnoloǵıa (Grado en Ingenieŕıa Electrónica Industrial y Automática) 1
Fundamentos Matemáticos
Tema 7: Cálculo diferencial de funciones de una variable
1. Determinar el dominio de las siguientes funciones:
(a) f(x) =
(2x+ 3)(x− 1)
(x2 − 3x+ 2)(x2 + 1)
(b) f(x) = log(x+ 1)− log (3− x) (c) f(x) =
√
1 + sen x (d) f(x) = 3
√
x+ 1
2. Calcular f(0), f(−x), f(x+ 1), f(x) + 1, f(1/x), 1/f(x), donde f(x) = 1−x1+x .
3. Sean f, g, h : R→ R, f(x) = x2, g(x) = 2x, h(x) = sinx. Calcular: (a) g ◦ f , (b) f ◦ g y (c) (f ◦ g ◦ h) + (h ◦ g)
4. Determinar la función inversa de cada una de las siguientes:
a) f(x) = x3−1, b) f(x) = 4− 4x
5x+ 4
, c) f(x) = 1+ln (x+ 2) , d) f(x) = 3 arc cosx, e) f(x) = 4 sin(5x).
5. Calcular los siguientes ĺımites en el caso de que existan
(a) ĺım
x→+∞
(x+ 1)2
x2 + x+ 1
(b) ĺım
x→0
(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)− 1
x
(c) ĺım
x→π/4
cosx− sinx
cos 2x
.
(d) ĺım
s→−∞
2s2 − 3s− 4√
s4 + 1
(e) ĺım
x→0
2x− arcsinx
2x+ arctanx
(f) ĺım
x→1
[
1
1− x
− 3
1− x3
]
(g) ĺım
x→∞
(√
x2 − 5x+ 6− x
)
; (h) ĺım
x→∞
(√
x+ 16−
√
x
)
; (i) ĺım
x→∞
x
(√
x2 + 1− x
)
(j) ĺım
x→7
2−
√
x− 3
x2 − 49
; (k) ĺım
x→4
3−
√
5 + x
1−
√
5− x
; (l) ĺım
x→1
√
x− 1
x− 1
6. Demostrar razonadamente que la ecuación x3 + x2 − 7x+ 1 = 0 tiene una solución en el intervalo [0, 1].
7. Verificar que la ecuación x = cosx tiene una solución en el intervalo (0, 1).
8. ¿ Se puede garantizar que la ecuación senx+2x−1 = 0 tiene al menos una ráız real? Si es aśı, hallar un intervalo
en el cual se encuentre dicha ráız.
9. Hallar las derivadas de las siguientes funciones
(a) x(t) = (t3 + 1)43 (b) y(t) = cos4(t2 + 2) (c) z(x) = ln(x2 + 5x+ 3)
(d) y = senx.cosx (e) y = lnt.tgt (f) y = (t2 + 1)e3t
(g) y = et.sent.cost (h) y = e
4t
t3+t+1 (i) y =
1+et
1+e2t
(j) y = sentcost (k) y =
3x3+2x−4
x3+1 (l) y =
x2+x+1
ex+1
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10. Demostrar que
(a)
(
ln
√
tgx+1
tgx−1
)′
= 1cos2x (b)
(
arctg
√
1−x
1+x
)′
= −1
2
√
1−x2
(c)
(
1√
2
arctg
√
2x
1−x2 +
1
2
√
2
ln x
2−
√
2x+1
x2+
√
2x+1
)′
= 2x
2
1+x4 (d)
(
ln
√
x2 + x+ 1− 1√
3
arctg 2x+1√
3
)′
= xx2+x+1
11. Está entrando ĺıquido en un depósito ciĺındrico vertical de 6 cm de radio a razón de 8 cm3/min. ¿A qué ritmo
está subiendo el nivel?
12. La arena que cae de una tubeŕıa forma un montón cónico cuya altura es siempre 43 del radio de la base. ¿A
qué ritmo está creciendo el volumen cuando el radio de la base es 30 cm y crece a razón de 3 cm/min?
13. ¿Con qué velocidad aumenta el área de un ćırculo en el momento en que su radio se hace igual a r = 10 cm, si
el radio depende del tiempo t y crece uniformemente con la velocidad de 2 cm/s?
14. El lado de un cuadrado aumenta con la velocidad de 3 cm/s. ¿Cuál es la velocidad de variación del peŕımetro y
del área del mismo en el momento en que el lado vale 32 cm?
15. Un punto se mueve por la hipérbola y = 10x , de tal modo que su abscisa x aumenta uniformemente con la
velocidad de una unidad por segundo. ¿ Con qué velocidad variará su ordenada cuando el punto pase por la
posición (5, 2)?
16. ¿ En qué punto de la parábola y2 = 18x la ordenada crece dos veces más deprisa que la abscisa?
17. Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 10cm, mientras que el otro, b, es variable
y aumenta a la velocidad constante de 4cm/seg. ¿ A qué velocidad crecerán la diagonal del rectángulo y su área
en el instante en que b = 30cm ?
18. El radio de una esfera crece uniformemente con una velocidad de 5cm/seg. ¿ A qué velocidad crecerán la superficie
de dicha esfera y el volumen de la misma cuando el radio sea igual a 50cm ?
19. De un globo esférico está escapando gas a razón de 2 cm3/min. ¿A qué ritmo está decreciendo el área del globo
cuando el radio es 12 cm?
20. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = x3 + 2x2 − 4x− 3 en el punto (−2, 5).
21. Deteminar el coeficiente angular o pendiente de la tangente a la curva x2 + y2 − xy − 7 = 0 en el punto (1, 2).
22. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = 3
√
x− 1 en el punto (1, 0).
23. Hallar los extremos de las siguientes funciones
(a) y = 2x3 + 3x2 − 12x+ 5 (b) y = 2 + x− x2 (c) y = x
3
x2+3
(d) y = x lnx (e) y = chx (f) y = 2sen2x+ sen4x
24. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones
(a) y = 1− 4x− x2; (b) y = x lnx; (c) y = x+ senx
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25. Dividir el número 100 en dos sumandos, de tal manera que su producto sea el mayor posible.
26. Torcer un trozo de alambre de longitud 300 metros, de manera que forme un rectángulo cuya área sea la mayor
posible.
27. ¿Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total?
28. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo.
29. Se debe hacer un embudo cónico que tenga la generatriz igual a 20 cm. ¿Cuál será la altura del embudo para
que su volumen sea el mayor posible?
30. Los barriles que se utilizan para almacenar el petróleo tienen forma ciĺındrica y una capacidad de 160 litros.
Hallar las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea mı́nima.
31. De todas las latas ciĺındricas y sin tapa y con una capacidad de 300 cm3, ¿cuál requiere menos material?
32. Un triángulo rectángulo ABC tiene el vértice A en el origen, el vértice B sobre la circunferencia (x−1)2 +y2 = 1
y el cateto AC sobre el eje horizontal. Determinar C para que el área del triángulo sea máxima.
33. Se pretende construir una caja abierta rectangular con base cuadrada que tenga una capacidad de 6.400 cm3 a
un coste de 0′75 euros por cm2 para la base y 0′25 euros por cm2 para los laterales. Hallar las dimensiones más
económicas.
34. Hallar las derivadas de las siguientes funciones
(a) y = 2x+3x2−5x+5 (b) y =
1+
√
x
1−
√
x
(c) y = 3(1+x2)100
(d) y = tgx− ctgx (e) y = senx+cosxsenx−cosx (f) y = (1 + x
2)arctgx− x
(g) y = et.arcsent (h) y = 1x + 2lnx−
lnx
x (i) y = (x
2 − 2x+ 2)ex
(j) y = tgx− 1/3tg3x+ 1/5tg5x (k) y = (a2/3 − x2/3)3/2 (l) y = − 16(1−3cosx)2
(m) y = 13cos2x −
1
cosx (n) y =
√
3senx−2cosx
5 (ñ) y =
3
√
sen2x+ 1cos3x
(o) y = 3
√
2ex − 2x + 1 + ln5x (p) y = arccos
√
x (q) y = ln2x− ln(lnx)
35. Derivar las funciones (a) y =
(
1 + 1x
)x
; (b) y = xx
2
; (c) y = (arctgx)senx
36. Hallar la derivada y′ de las siguientes funciones (definen y impĺıcitamente como función de x)
(a) 2x− 5y + 13 = 0; (b) x3 + y3 = 27; (c) x3 + x2y + y2 = 0; (d) lnx+ e−
y
x = 16
37. Calcular la derivada y′ en los puntos que se indican
(a) (x+ y)3 = 27(x− y), cuando x = 2 e y = 1 (b) yey = ex+1, si x = 0 e y = 1
38. El movimiento de una part́ıcula en el plano viene descrito por las ecuaciones paramétricas x = 2t2−1, y = t3. Se
pide (a) hallar la posición de la part́ıcula, su velocidad y su aceleración en el instante t = 3. ¿Cuál es el módulo
de la velocidad en dicho instante?
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39. Hallar la derivada y′ de las funciones definidas paramétricamente por las ecuaciones
(a)x =
√
t, y = 3
√
t , (b)x = acos2t, y = bsen2t (a,b constantes) (c) x = e−t, y = e2t,
40. Determinar los intervalos de convexidad hacia arriba y hacia abajo de las siguintes funciones, aśı como los posibles
puntos de inflexión: (a) y = x3 − 6x2 + 12x+ 4, (b) y = x
3
x2+12 , (c) y= x
2lnx, (d) y = (1 + x2)ex
41. Utilizando los tres primeros términos del desarrollo de Taylor de la función ex, evaluar en x = 0.1 y determinar
una cota superior del error cometido.
42. Calcular sen31o a partir de un polinomio de grado 3 del desarrollo de Taylor. Acotar el error cometido.
43. ¿ Cuál es el polinomio de Taylor que aproxima a la función ex en el intervalo [-1,1] con error menor que 10−5?
44. Valorar el error que se comete cuando se aproxima el número e por la cantidad 2 + 12! +
1
3! +
1
4! .
45. Hallar la aproximación cuadrática de la función f(x) = sen2x en x = 0 y determinar el correspondiente resto o
término complementario. Acotar superiormente este resto para |x| < 0.5.
46. Hallar la aproximación cúbica de la función f(x) = x cosx en x = 0 y determinar el correspondiente resto.
Acotar superiormente este resto para |x| < 0.25.
47. Hallar el polinomio de Taylor de grado n de la función ex en los puntos (i) x = 0, (ii) x = 1, (iii) x = 5.
48. Hallar el polinomio de Taylor de orden n de la función senx en los puntos (i) x = 0, (ii) x = π/2,
(iii) x = π/6.
49. Hallar los tres o cuatro primeros términos del desarrollo en serie de Taylor en el origen (desarrollo de Maclaurin)
de las siguientes funciones (a) cos2 x; (b) tgx; (c) e−3x
2
; (c) ln(2 + x)
50. Hallar el polinomio de Taylor de orden n de la función
√
x en el punto x = 1.
51. Determinar los polinomios de Taylor de orden n de las siguientes funciones en el punto x = 0
(a) 1(1−x)2 (b)
1
1−x4 (c)
x
1−x2 (d)
2
x2−4x+3
52. Hallar los siguientes ĺımites
(a) ĺım
x→0
1− cosx
x2
(b) ĺım
x→0
tgx− senx
x3
(c) ĺım
x→π
1− senx/2
π − x
(d) ĺım
x→π3
1− 2cosx
π − 3x
(e) ĺım
x→0
arctg2x
arcsen3x
(f) ĺım
x→1
(1− x)tg πx
2
(g) ĺım
x→0
(2 + x
3− x
)x
(h) ĺım
x→0
(x− 1
x+ 1
)x
(i) ĺım
x→∞
(
1 +
2
x
)x
53. Hallar la diferencial de las funciones (a) cos2 x; (b) arctgx; (c) e−x
2
; (d) ln 2+x2−x
54. Hallar el incremento M y y la diferencial dy de la función y = 5x+ x2 para x = 2 y M x = 0.001.
55. Hallar la diferencial de la función 2√
x
para x = 9 y M x = −0.01.
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56. Hallar la diferencial de la función y = tgx para x = π3 y M x =
π
180 .
57. Hallar el valor aproximado de sen31o.
58. Hallar el valor aproximado de ex cuando x = 0.2.
59. ¿ En cuánto aumenta aproximadamente el volumen de una esfera si su radio R = 15cm se alarga en 2mm.?
60. Una placa circular se dilata bajo el efecto del calor de manera que su radio pasa de 5 cm a 5.06 cm. Hallar,
utilizando la diferencial, el crecimiento aproximado del área.
61. Representar gráficamente las siguientes funciones
(a) y = x3 − 3x2 (b) y = x
3+2
x (c) y = xe
−x (d) y = ln xx (e) y =
x
3√x2−1
62. Representar gráficamente las siguientes funciones
(a) f(x) =
x2 − 2x+ 4
x− 2
(b) g(x) =
cos(x)
sen(x) + 1
(c) h(x) =
x√
x2 + 2
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