Ayudantía 1

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.
SEGUNDO SEMESTRE 2019.
AYUDANTÍA 1
CALCULO II ? MAT1620
Vicente Merino - vamerino@uc.cl
Algunas definiciones útiles:
1. Descomposición por fracciones parciales (esto es un caso, para el resto, ver Ste-
wart 7ma edición, ch 7.4)
Sean P (x) y Q(x) con gr(Q) < gr(P ). Si Q(x) es un producto de factores lineales
distintos (de la forma Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2) . . . (akx + bk)), entonces se puede
expresar
P (x)
Q(x)
=
A1
a1x + b1
+
A2
a2x + b2
+ · · ·+ Ak
akx + bk
para algún A1, A2, . . . , Ak
2. Teorema de comparación. Suponga que f y g son funciones continuas con f(x) ≥
g(x) ≥ 0 para todo x ≥ a, entonces:
a) Si
∫∞
a
f(x)dx es convergente, entonces
∫∞
a
g(x)dx también lo es.
b) Si
∫∞
a
g(x)dx es divergente, entonces
∫∞
a
f(x)dx también lo es.
3. Integración por partes (vaquita).∫ b
a
udv = uv]ba −
∫ b
a
vdu
4. Criterio de comparación en el ĺımite para integrales de tipo I. Si las funciones
f, g son positivas en integrables en [a,∞) y sea
L = ĺım
x→∞
f(x)
g(x)
a) Si L 6= 0, entonces las integrales impropias
∫∞
a
f(x)dx y
∫∞
a
g(x)dx tienen el
mismo comportamiento.
b) Si L = 0, entonces si
∫∞
a
g(x)dx converge, entonces
∫∞
a
f(x)dx también converge.
c) Si L =∞, entonces si
∫∞
a
g(x)dx diverge, entonces
∫∞
a
f(x)dx también diverge.
1
1. Analice la convergencia de la siguiente integral.∫ ∞
1
x + 1
x2 + x
dx.
2. Analice la convergencia. ∫ ∞
2
ln(x)
x
dx.
3. Analice la convergencia. ∫ 1
0
ln(x)√
x
dx
4. Analice la convergencia. ∫ 3
0
dx
x2 − 6x + 5
5. Analice la convergencia. ∫ ∞
0
dx√
x(1 + x)
.
6. Determine todos los valores de C para que converja la integral impropia∫ ∞
0
2x
x2 + 1
− C
x + 1
dx
2