Prueba 1 2019 - 01

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Instituto de Economía - Pontificia Universidad Católica de Chile Competencia y Mercado
Prueba 1 (Pauta)
Competencia y Mercado
Profesor: Fernando Coloma
Ayudantes: Vicente Breguel Gallaher, Mauricio Lanfranco y Rosario Montiel
Primer Semestre 2019
12 de abril
Puntaje: 92 puntos.
Tiempo: 120 minutos.
1. [14 puntos] Suponga un mundo de dos períodos y una situación en que hay dos consumidores que tienen
distinta valoración por un bien durable (uno lo valora en 20 y el otro en ↵ < 20), y un monopolista que tiene
dos unidades de este bien durable. Si el monopolista y los consumidores tienen el mismo factor de descuento
� y los consumidores son estratégicos, conteste las preguntas que siguen:
a) [4 puntos] ¿Para qué valores de ↵ al monopolista le convendrá vender las dos unidades en el primer
período?. ¿Depende su respuesta del factor de descuento �?.
b) ((((
(([5 puntos] ¿Para qué valores de ↵ le convendrá al monopolista destruir una de las unidades que
dispone y vender una sola unidad en el primer período?. ¿Depende su respuesta del factor de descuento
�?.
c) ⇠⇠⇠
⇠⇠[5 puntos] Y si el valor de ↵ fuera tal que conviniese destruir una unidad, pero no fuera factible hacerlo.
¿Qué alternativa tendría el monopolista?. ¿Depende su respuesta del factor de descuento �?.
En cada uno de estos casos fundamenta adecuadamente su respuesta.
2. [12 puntos] Suponga que hay m � 1 empresas idénticas en un mercado. Todas las empresas producen el
mismo bien, con la misma función de costos C(qi) = cqi, donde qi es la producción de la empresa i. Llame
Q =
Pm
i=1 qi a la producción total del mercado. Suponga además que:
La demanda del mercado es de elasticidad constante, igual a Q = p", donde " < 0 es la elasticidad de
la demanda.
Las empresas compiten a la Cournot.
a) [6 puntos] Demuestre que el precio de mercado viene dado por:
p = µc
donde µ = m
m� 1|"|
.
b) [6 puntos] Determine el índice de Lerner para este caso y refiérase a la intuición de lo que pasa cuando
" aumenta en valor absoluto.
3. [18 puntos] Considere el siguiente modelo de un monopolio de dos períodos que produce un bien no du-
rable. El monopolista enfrenta una función de demanda inversa (en cada período) dada por p(q) = a� bq.
El costo por unidad produce en el período 1 es c1. Sin embargo, en el período 2, el monopolista habrá
aprendido como se hace el producto debido a que ya lo tuve que hacer en el período 1. Por este motivo, el
costo unitario del período 2 está dado por c2 = c1 �mq1, donde q1 es el nivel de producto del monopolista
en el período 1. Suponga que a > c1 y b > m, y además que el factor de descuento de las ganancias futuras
es � = 1.
1
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a) [8 puntos] Encuentre la producción óptima para el monopolista en cada uno de los períodos. Refiérase
a la intuición de lo que está pasando.
b) [6 puntos] Encuentre el nivel de producción de cada período que maximiza el bienestar social.
c) [4 puntos] Compare ambos resultados y explique las razones por las cuales ambos resultados puedan
coincidir o diferir.
4. [20 puntos] Considere una aerolínea monopólica que vende pasajes en 2 temporadas (de igual duración)
durante el año: temporada de invierno (I) y temporada de verano (V ). Sea el precio de invierno pi y pv
el precio de verano. Los consumidores se distribuyen de manera uniforme en el intervalo [2, 12] y están
indexados por el parámetro �. La utilidad neta de un consumidor � están dadas por:
u� =
8
><
>:
10� � pv si compra en verano
10� pi si compra en invierno
0 si no compra
La producción de este servicio requiere contar con una capacidad K (número de asientos), que se arrienda
por el año a un costo anual de r = $5 por unidad de capacidad y un costo variable de operación de $1 por
pasajero embarcado en verano (cv) y $1 por pasajero embarcado en invierno (ci). Suponiendo que sirve a
todo el mercado:
a) [8 puntos] Obtenga los precios y números de consumidores que serían servidos en verano e invierno.
¿Cuál es el período de punta y cuál es el período de valle?. Calcule las utilidades que obtendría el
monopolista.
b) [6 puntos] Si la autoridad aeronáutica determinara que no se puede cobrar precios distintos entre
temporadas, esto es, que los precios de los pasajes de invierno y verano deben ser iguales, calcula cuál
sería el nuevo equilibrio. Determine cuál sería el período de punta y de valle y cuáles serían las utilidades
de la aerolínea.
c) [6 puntos] ¿Cómo se comparan las soluciones de (a) y (b) desde el punto de vista del bienestar social?
5. [28 puntos] Suponga que Ud. está en el negocio de arriendo de bicicletas de montaña en la localidad de San
Pedro de Atacama, en el norte del país. A comienzos de cada año Ud. debe decidir su inversión en bicicletas
nuevas y los precios a cobrar por el arriendo (diario) para las distintas épocas del año. Para simplificar su
análisis suponga que durante el año hay 150 días de verano y 100 días de invierno en que se pueden arrendar
bicicletas. Se sabe además que el valor residual de las bicicletas al final de cada año es cero. El costo de
una bicicleta nueva es de $30,000 y el costo marginal asociado a su uso es de cv = $40 diarios en verano
y de ci = $60 diarios en invierno (esto incluye mantención, repuestos, atención en terreno, etc.). Datos
históricos lo llevan a proyectar que la demanda por arriendo que Ud. enfrentaría en un día típico de verano
sería xv = 2000 � pv, donde pv es el precio del arriendo diario en verano. En un día típico de invierno, en
cambio, esta demanda sería xi = 1500� 13pi, donde pi es el precio de arriendo diario en invierno.
a) [8 puntos] Partiendo de una situación en que usted ya se había comprometido a comprar 1000 bicicletas
con anterioridad a la estimación de las demandas y que no tiene posibilidad alguna de adquirir más
bicicletas para el año ni tampoco (por contrato) de transferir a terceros las bicicletas que pudiere no
utilizar, determine los precios de arriendo diario que cobraría en verano y en invierno si su interés es
maximizar las utilidades netas. ¿Cuáles serían las utilidades netas que tendría durante el año?.
b) [10 puntos] Cómo cambiaría su respuesta a (a) si usted no estuviera sujeto a ningún compromiso y
pudiera elegir libremente el número de bicicletas a comprar. ¿Cuál es el período de punta y cuál es el
vale?. ¿Cuál es la intuición de su resultado?
c) [10 puntos] Calcule el bienestar social asociado a su respuesta en (b). Junto a su respuesta haga
gráficos que muestren las respectivas áreas de excedentes de productores y de consumidores para un
día típico de verano y para un día típico de invierno. Sea cuidadoso en la definición de los puntos
críticos de su gráfico.
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Pauta
Ejercicio Nº1
1. Lo primero que sabemos debe ocurrir es que 20�p1 = ↵·�, en términos de valoraciones. Luego, p1 = 20�↵·�.
Así, para que al monopolista le convenga vender las 2 unidades en el segundo período debe ocurrir que
2↵ > p1 + ↵ · � ! ↵ > 10.
Ejercicio Nº2
1. Lo primero que debemos notar es que la demanda del mercado se puede reescribir como Q =
Pm
i=1 qi =
p" ! p = Q 1" . Luego, la maximización que hace cada firma j es la siguiente (considerando que compiten
en cantidades entre las m existentes):
máx
qj
Y
= qj ·
0
@qj +
mX
i 6=j
qi
1
A
1
"
� c (qj)
y la CPO es:
[qj ] = 0 !
0
@qj +
mX
i 6=j
qi
1
A
1
"
+
1
"
·
0
@qj +
mX
i 6=j
qi
1
A
1
"�1
qj � c = 0
= 0 ! Q 1" + 1
"
·Q 1"�1qj = c
= 0 ! p+ 1
"
· Q
1
"
Q
qj = c
= 0 ! p+ p
"
· qj
Q
= c
= 0 ! p ·
✓
1 +
1
"
· qj
Q
◆
= c
= 0 ! p ·
✓
1 +
1
"
· ��qj
m��qj
◆
= c
= 0 ! p ·
✓
"m+ 1
"m
◆
= c
= 0 ! p = c ·
✓
"m
"m+ 1
◆
= 0 ! p = c ·
 
m
m� 1|"|
!
y agregamos el signo «�» ya que sabemos que la " < 0 en todo caso. Luego, así se muestra la expresión
solicitada.
2. Ahora, para responder la pregunta que se nos presenta, sabemos que el índice de Lerner se puede escribircomo:
IL =
p� c
p
!
c ·
✓
m
m� 1|"|
◆
� c
c ·
✓
m
m� 1|"|
◆ =
m�
⇣
m� 1|"|
⌘
m
=
1
|"| ·m
Luego, cuando |"| aumenta, el índice de Lerner cae, lo que significa que el markup sobre el costo marginal
va a caer. El monopolista tendrá mayor poder de mercado cuando menor es |"| y todo ello siempre y cuando
|"| > 1, dado que el costo marginal c es positivo.
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Ejercicio Nº3
1. La maximización que llevará a cabo el monopolista será del siguiente tipo:
máx
{q1,q2}
Y
= (a� bq1) q1 � c1q1 + (a� bq2) q2 � (c1 �mq1) q2
Así, las CPO’s son como se muestra a continuación:
[q1] = 0 ! a� 2bq1 � c1 +mq2 = 0 ! q1 =
a� c1 +mq2
2b
[q2] = 0 ! a� 2bq2 � c1 +mq1 = 0 ! q1 =
2bq2 + c1 � a
m
Luego, como de ambas expresiones se obtuvo una función de mejor respuesta para q1, necesariamente deben
ser iguales. Así,
a� c1 +mq2
2b
=
2bq2 + c1 � a
m
am� c1m+m2q2 = 4b2q2 + 2bc1 � 2ab
(a� c1) ·m+ 2b (a� c1) =
�
4b2 �m2
�
q2
(a� c1) ·⇠⇠⇠
⇠⇠(m+ 2b) =⇠⇠⇠
⇠⇠(2b+m) (2b�m) q2
Despejando tenemos que:
q⇤2 =
a� c1
2b�m
Luego,
q1 =
2b ·
⇣
a�c1
2b�m
⌘
+ c1 � a
m
.
.
. =
2b · (a� c1)� (a� c1) · (2b�m)
m · (2b�m)
.
.
. =
(a� c1) · (⇢⇢2b���2b+⇢⇢m)
⇢⇢m · (2b�m)
q⇤1 =
a� c1
2b�m
Como vemos, en el período 1 y en el período 2 ambas producciones son iguales. Lo anterior ocurre dado que
en el período 1 va a producir más allá que img1 = cmg1 y en el período 2 va a producir lo mismo pues como
el cmg2 cayó relativo al del primer período, sin embargo, en este período si se cumple que img2 = cmg2.
2. La maximización del bienestar social incluye tanto los profits del productor como de los consumidores que
compran su producción. Así, debemos primero obtener los excedentes para cada mercado, tanto del producto
como del consumidor.
EXCi = (a� bqi) qi| {z }
productor
+
[a� (a� bqi)] qi
2| {z }
consumidor
= (a� bqi) qi +
bq2i
2
Luego,
máx
{q1,q2}
W = (a� bq1) q1 +
bq21
2
+ (a� bq2) q2 +
bq22
2
� c1q1 � (c1 �mq1) q2
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y las CPO’s serán:
[q1] = 0 ! a� 2bq1 + bq1 � c1 +mq2 = 0 ! q1 =
a� c1 +mq2
b
[q2] = 0 ! a� 2bq2 + bq2 � c1 +mq1 = 0 ! q2 =
a� c1 +mq1
b
$ q1 =
bq2 + c1 � a
m
Luego, igualando ambas funciones de mejor respuesta del mismo modo que en (1) tenemos:
bq2 + c1 � a
m
=
a� c1 +mq2
b
b2q2 � (a� c1) · b = (a� c1) ·m+m2q2
q2 ·
�
b2 �m2
�
= (a� c1) · (m+ b)
q2 ·⇠⇠⇠⇠(b+m) (b�m) = (a� c1) ·⇠⇠⇠⇠(m+ b)
q⇤2 =
a� c1
b�m
Luego, reemplazando en q1 tenemos:
q1 =
b ·
⇣
a�c1
b�m
⌘
+ c1 � a
m
! [. . .] ! q⇤1 =
a� c1
b�m
3. Comparando ambos resultados vemos que la producción es mayor en el escenario en donde se maximiza
el bienestar social que en el escenario en donde produce el monopolista según su proceso de maximización
natural. Lo anterior ocurre ya que al incluir el bienestar de los consumidores en el proceso de toma de
decisiones (en comparación a la situación monopolica natural en donde img = cmg representa el resultado
de maximización individual) se provee una cantidad mayor y eso conlleva necesariamente a un menor precio,
lo que aumenta el nivel de beneficios que extraen los consumidores de este proceso de «compra y venta».
Lógicamente, al incluir a un actor al cual se le extrae la mayor cantidad de su excedente cuando la maximi-
zación es como en (1), el resultado varía en función de ese bienestar (pues es lo único que se le agrega a la
maximización matemática).
Ejercicio Nº4
1. Sabemos que el consumidor indiferente lo obtenemos igualando las preferencias (utilidades) de un consu-
midor de verano con uno de invierno:
10� � pv = 10� pi
10� = 10� pi + pv
e� = 10� pi + pv
10
Además, Sabemos que la capacidad máxima que escogerá el monopolista en este tipo de modelos estará en
función del máximo entre consumidores que compran en verano y los que compran en invierno (de modo de
satisfacer la mayor cantidad de consumidores). Luego,
k = argmáx
8
<
:
0
@e� � 2| {z }
nI
1
A ,
0
@12� e�| {z }
nV
1
A
9
=
;
y la estructura de costos totales del monopolista será la siguiente:
CT = r · argmáx
8
<
:
0
@e� � 2| {z }
nI
1
A ,
0
@12� e�| {z }
nV
1
A
9
=
;
| {z }
k
+ nV · cV + nI · cI
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Ahora, para evaluar la estructura de los costos marginales, debemos considerar la media en donde se ubicarán
los consumidores. Sabemos que si distribuyen uniforme la media es
a+b
2 , luego:
� =
2 + 12
2
= 7
lo que nos entrega un punto de inflexión en torno a la mitad de la distribución. Luego, el costo marginal
en estos modelos tendrá la siguiente estructura, evaluada para los distintos casos:
a) � aumenta con respecto al centro de la distribución (� > 7). Tenemos que la capacidad es elegida
como:
k = argmáx
8
<
:
0
@e� � 2| {z }
nI
1
A ,
0
@12� e�| {z }
nV
1
A
9
=
;
De modo que estamos en el intervalo izquierdo, es decir,
⇣
e� � 2
⌘
. Además, es importante notar que
nI = e��2 y nV = 12� e� por lo que al derivar con respecto a e� debemos considerarlos en la expresión.
Luego, los costos totales en este caso son:
CT = r ·
⇣
e� � 2
⌘
+ cv ·
⇣
12� e�
⌘
+ cI ·
⇣
e� � 2
⌘
luego, la derivada en torno a e� es:
Cmgcaso �>7 = r � cV + cI
b) En el siguiente caso (� < 7) debemos notar que ahora estamos en el intervalo derecho en cuanto a
la capacidad k, de modo que es
⇣
12� e�
⌘
. De ese modo, ahora se adjuntan los costos totales y su
posterior derivada:
CT = r ·
⇣
12� e�
⌘
+ cv ·
⇣
12� e�
⌘
+ cI ·
⇣
e� � 2
⌘
luego,
Cmgcaso �<7 = �r � cv + ci
De ese modo, los costos marginales se definen como sigue a continuación:
Cmg
⇣
e�
⌘
=
(
�r � cV + cI si � < 7
r � cV + cI si � > 7
Para continuar, debemos obtener los precios. Para esto, el monopolista extrae todo el beneficio a los
consumidores, cobrando su máxima disposición a pagar:
10� pi = 0 ! pi = 10
10� � pv = 0 ! pv = 10�
luego, los ingresos totales son:
IT
⇣
e�
⌘
= pvnv + pini
= 10e� ·
⇣
12� e�
⌘
+ 10 ·
⇣
e� � 2
⌘
= 130e� � 10e�2 � 20
de ese modo, los ingresos marginales son:
Img =
@IT
@e�
= 130� 20e�
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Luego, como los bienes son verticalmente diferenciados, la solución nunca estará a la derecha del consumidor
ubicado en la mitad
�
a+b
2
�
. Luego, la solución será del tipo:
e� = mín {solución interior, punto medio}
Así, igualando img = cmg obtenemos:
130� 20e� = �5
135 = 20e�
135
20
= 6, 75 = e�
que es una solución factible. Luego,
pi = 10
pv = 67, 5
nv = 12� 6, 75 = 5, 25
ni = 6, 75� 2 = 4, 75
siendo verano peak e invierno valle. Finalmente, las utilidades del monopolista son:
⇧ = pvnv + pini � cvnv � cini � r ⇤ k
= 67, 5 · 5, 25 + 10 · 4, 75� 1 · 5, 25� 1 · 4, 75� 5 · 5, 25
= 365, 625
2. Si se fija el precio igual para verano e invierno, se deben evaluar 2 escenarios:
a) Si se siguen atendiendo a ambas temporadas:
pi = 10 ! pv = 10 = 10� ! � = 1.
Con esa información, tenemos que:
ni = � � 2 = �1
nv = 12� � = 11
Luego, es un caso no factible.
b) Si se atiende solo a la temporada de verano:
nv = 12� �
pv = 10� ! � =
pv
10
luego,
nv = 12�
pv
10
! pv = 120� 10nv
Así, los beneficios son:
⇧v = (120� 10nv � 1) · nv � 5nv
y la CPO es:
120� 20nv � 1� 5 = 0
120� 6
20
= nv
5, 7 = n⇤v
7
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Con ello, reemplazando en el precio tenemos que:
p⇤v = 120� 10 · 5, 7 = 63
Y los beneficios de atender solo a dicha temporada son:
⇧v
⇤
= (120� 10 · 5, 7� 1) · 5, 7� 5 · 5, 7
= 324, 9
3. Para evaluar ambas alternativas según bienestar social, obtenemos los excedentes de los consumidores:
a) Para la alternativa sin precio uniforme:
EXCi = 0
EXCv =
(120� 67, 5) · 5, 25
2
= 137, 81
⇧ = 365, 625
BS(a) = 503, 435
b) Para la alternativa con precio uniforme:
EXCi = 0
EXCv =
(120� 63) · 5, 7
2
= 162, 45
⇧v = 324, 9
BS(b) = 487, 35Ejercicio Nº5
1. Dado que hay un compromiso con 1000 bicicletas, el costo de 30, 000 · 1000 = 30mm es uno hundido.
Luego, obtenemos las demandas inversas para cada grupo:
pv = 2000� xv
pi = 4500� 3xi
Luego, la maximización está dada por:
máx
qv,qi
Y
= 150 · (2000� xv � 40)xv + 100 · (4500� 3xi � 60)xi
y las CPO’s quedan como sigue a continuación:
[xv] = 0 ! 150 · (2000� 2xv � 40) = 0 ! x⇤v = 980, p⇤v = 1020
[xi] = 0 ! 100 · (4500� 6xi � 60) = 0 ! x⇤i = 740, p⇤i = 2280
Con ello, los beneficios son:
Y
= 150 · (1020� 40) · 980 + 100 · (2280� 60) · 740 = 308, 340, 000
2. Ahora, dado que no hay compromiso previo, la maximización es el L sujeto a las restricciones de capacidad:
L : 150 · (2000� xv � 50) · xv + 100 · (4500� 3xi � 60) · xi � 3000 ·K+ �1 · (K� xv) + �2 · (K� xi)
luego, las condiciones de primer orden son clásicas:
[xv] = 0 ! 150 · (2000� 2xv � 50)� �1 = 0
[xi] = 0 ! 100 · (4500� 6xi � 60)� �2 = 0
[K] = 0 ! �30000 + �1 + �2 = 0
Así, evaluamos los casos:
8
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a) Caso 1: Verano es peak (�1 > 0,�2 = 0)
4500� 6x1 � 60 = 0 ! x⇤i = 750, p⇤i = 2280
�1 = 30, 000 !2000� 2xv � 40 =
30, 000
150
! x⇤v = 880, p⇤v = 1120
Luego,
K = 880
⇧ = 306, 840, 000� 30, 000 · 880 = 280, 440, 000
b) Caso 2: Ambos presionan (�1,�2 > 0)
�1 + �2 = 30, 000 ^ xi = xv = x⇤
Sumamos [xi] + [xv]:
150 · (1960� 2x⇤) + 100 · (4440� 6x⇤) = 30, 000
900x⇤ = 708, 000
x⇤ ⇡ 787
p⇤i = 2139
p⇤v = 1213
Luego,
K = 787
⇧ = 302, 089, 950� 30, 000 · 787 = 278, 479, 950
c) Caso 3 y Caso 4, en donde invierno es peak o ninguno presiona (respectivamente) se descartan del
análisis. El primero pues se genera una contradicción y el último porque no es un caso relevante a
analizar.
De ese modo, el óptimo es el caso 1.
3. Finalmente, el cálculo de bienestar social requiere que obtengamos los excedentes de los consumidores en
primer lugar:
EXCtotal = 100 ·
✓
4500� 2280
2
◆
· 740 + 150 ·
✓
2000� 1120
2
◆
· 880 = 140, 220, 000
Y
= 280, 440, 000
BST = 420, 660, 000
9