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Dudas contactar a Carmen Velásquez (cvelasquezv@uc.cl) PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE INSTITUTO DE ECONOMÍA AYUDANTIA N°1 - ECONOMETRÍA Profesor: Juan Urquiza Ayudantes: Fernanda Hernández, Carmen Velásquez, Josefina Waugh TEMA I Sea 𝑋𝑛𝑥𝑘 una matriz de rango completo, y sean 𝑃 y 𝑀 matrices tales que: 𝑃 = 𝑋(𝑋′𝑋)−1𝑋′ , 𝑀 = 𝐼 − 𝑃. Se pide que: a. Calcule 𝑃2 y 𝑀2. b. Calcule 𝑃 × 𝑀, 𝑀 × 𝑃, 𝑃 × 𝑋 y 𝑀 × 𝑋. c. Demuestre que la traza de 𝑀 es igual a (𝑛 − 𝑘). d. Sean 𝐵 y 𝐶 matrices tales que 𝐵 = [1 0 21 1 −1] y 𝐶 = [ −1 −1 0 −1 −2 1 ], y sea 𝑧 un vector tal que 𝑧 = ( 𝑧1 𝑧2). Calcule 𝜕𝑧′𝐵𝐶𝑧 𝜕𝑧 . TEMA II En 2015, el Ministerio de Salud publicaba un informe sobre las principales tendencias en salud de los chilenos. Entre otras cosas, el informe destacaba que en 2014 el gasto de bolsillo en salud promedio por persona era igual a $21.100 mensuales. Un investigador sospecha que dicho monto podría haberse reducido a partir de la aparición de los medicamentos bioequivalentes, dado que el gasto en medicamentos representaba aproximadamente un 36% del gasto total en salud. Para evaluar esta hipótesis, accede a datos provenientes de una muestra aleatoria de 100 chilenos, y observa que en 2018 el gasto de bolsillo en salud promedio por persona fue de $20.100 mensuales, con una desviación estándar de $5.600. a. Suponiendo que los gastos de bolsillo en salud siguen una distribución normal, ¿hay evidencia de una reducción de dichos gastos en 2018? Evalúe formalmente, especificando claramente las hipótesis nula y alternativa. Considere un nivel de significancia del 5%, y reporte el valor p (aproximado) de dicho contraste. Dudas contactar a Carmen Velásquez (cvelasquezv@uc.cl) b. El mismo informe indicaba que el nivel de colesterol total promedio en la población adulta era igual a 201. El investigador sospecha que en 2020, en el contexto de la pandemia, este indicador pudo haber cambiado y por ende recurre a datos provenientes de otra muestra aleatoria, esta vez de 550 adultos chilenos. Allí observa un nivel de colesterol total promedio igual a 204, con una desviación estándar de 38. Se pide entonces que evalúe la hipótesis nula de que no hubo cambios en el nivel de colesterol total promedio a partir de un intervalo de confianza bilateral al 95%. TEMA III (PROPUESTO) Considere la siguiente distribución bidimensional: Valores de X -2 0 2 3 Valores de Y 3 7/25 2/25 4/25 0 6 0 1/25 2/25 9/25 a. Calcule E(X), V(X), E(Y) y V(Y). b. ¿Son X e Y independientes? Justifique su respuesta. c. Ahora calcule E(Y|X=x) para x = {-2, 0, 2, 3}, y luego verifique el cumplimiento de la ley de esperanzas iteradas. ¿Qué ocurre con E(Y|X=x) a medida que aumenta el valor de X? d. Calcule V(Y|X=-2) y V(Y|X=2), respectivamente. e. Finalmente, calcule el coeficiente de correlación entre X e Y. Desarrollo Ay 1 para control de Repaso a) poop = ✗ ( ✗ ' ☒1- " ☒ ' • ☒ ( ✗ ' ✗ ) - ' ✗ * - - L A A- ^ A- ' • A = AA -1 = I pz I ✗ •¢ I ✗ ' ✗ ) - l ° ✗ - ^ • ° . . fa Matriz es IDEMPOTENT't a ✗ ( ✗ ' ✗ ) - ^ . ✗ - ^ , - vemoy q ' p = P2 Fuego : MZ µ = I - P MZ = ( I - P ) ( I - P ) MZ = I. I - I. P - P . I + p. p M2 = I - 2p + PZ Como P es idempotent → M2= I - 2P+p - µ, ? •: ' Mtb'es IDEMPOTENTE M2 = z - P *KA ---- • Px M : pT%p ) • M ✗ P : (Ép€p PI - P2 IP - P2 p - p T÷ T • Px ✗ : ✗T×iÉ×°. I • M ✗ ✗ : ( ✗ Ei - Px ÷ ( Suma de Los elements de la diagonal de una Matriz traga dem = In- K) - M = I - P → Troy) = Tr (I) - Trl P) d para saber de q ' Orden es le Matriz ideutidad I , honey qi tener en * " " ¥ " ' " " • ""order g- ' p Lse puedea reston) . I - • % , É De q ' orden er P ? Trcp) : Tr (✗ ( ✗ i. ✗ ) - ^ ×' ) usauuos propiedad TRCAB) = Tr (BA) ✗nxk ( ✗ ' kxw • ✗vi. 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If -→ En este caso , " X " is el vector 2- = (IL ) necerithunor Z ? → Z ' = ( 2- 1 , 2-← ) . field multiplicand } 2£ ' Bc → [22^22-2] . / Is , ;)1×2 2×2 - [ - 1oz, + 22-2 22-1-62-2] ^ = 's Alternativa// : 2EBC-Z.ec -2 , Zz ) (IL ) (¥)" { "+"" 2C-21 Zz ) &( -52-1+2-2 2- r - 32-2) (Zz:) ~ [ -102-1 22-2 22-1-662-2] ( -10-212 + Zzze + Zr Zz - 32=2 ) 1) µ = 21.100 Hipotesis } sorpeclua q ' el Nala gastro pudo hater b-Sx = 5.600 I = 20.100 the : tix 221.100 → Nala N = 100 Ht : thx < 21.100 → alternativa 2) Para evaluar formal11. . . estadistico de contrast ↳ Mede la disuepaucia entre informed minstrel z la lipéteris , bajo distribute eonocide . . . t = µ- - 1-= 2°-t°°s → T=-lit9D sx/Mn ↳ s÷- # Como T < £99s999comparamor } f- ✗ ear , =t%%=-1i66) se rechaga Ho .respect a Ts dear , al 95% de confianza , el cieutifico esta en lo correct . 3) Valor - P ↳ prosabilided decimeter error Tipo I - Recharger Ho, Cuando en la ocealidad se cumple Valor - P : p ( Tat / Ho) → pct > 1,791 Ho ) ~ 1 - pets 1,791 Ho) ~ 1- 0,9633 → P-value aprotimado 010367 2018 2020 4- = 204 th : by = 201 My = 201 Sy = 38 N = 550 Creamer IC para el 2020 . . . Ñ ± f- 1- "2 . s÷mn - 1 f- 1- ✗ Iz n , , : 1- " "" " noo = 1,984 o ' ~ thats 549 ~ f- 997s ggo , , = 1-99+5 nooo = 11962 fuego : 204 ± 11962 • 3÷z → [ 200,8 i 207,2]* Como 201 c- Ic , $ evideucia para redragon le Ho al 95% de confiauza . Es deir, el colestenol I .
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