Ayudantía 2 (enunciado)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemática
Departamento de Matemática
Segundo Semestre de 2018
Profesor: Jaime Casassus – Ayudante: Felipe Del Canto
Economía Matemática - EAE319B
Ayudantía 2
24 de Agosto de 2018
1. Sea C un conjunto. Pruebe que las siguientes definiciones son equivalentes:
a) C es cerrado si su complemento es abierto.
b) C es cerrado si toda sucesión convergente de elementos de C converge a un elemento en C.
2. Determine si los siguientes conjuntos de R2 son cerrados o abiertos:
a) tpx, yq : ´1 ă x ă 1, y “ 0u.
b) tpx, yq : x, y P Zu.
c) tpx, yq : x “ 0 ó y “ 0u.
d) tpx, yq : x` y ă 1u.
3. Sea C un conjunto.
a) Demuestre que si C es cerrado, entonces contiene a su frontera BC.
b) Demuestre que C “ C Y BC, donde C es la clausura de C.
4. Discuta la veracidad de las siguientes afirmaciones:
a) Una función f : D Ñ Rm, con D Ă Rn es continua en D si y solo si la preimagen de cada conjunto
cerrado en Rm es un conjunto cerrado.
b) Una función f : D Ñ Rm, con D Ă Rn es continua en D si y solo si fpSq es abierto para cada
conjunto abierto S Ă D.
c) Si f : ra, bs Ñ R es continua y fpaqfpbq ă 0, entonces existe c P pa, bq tal que fpcq “ 0.
d) Sea f : D Ñ R una función continua en x P D. Si fpxq ą 0 entonces existe ε ą 0 tal que fpyq ą 0
para todo y P Bεpxq.
5. (A pedido del público) Sea txnu una sucesión de números reales que converge a x0. Suponga además
que x0 y que todos los xn no son cero.
a) Demuestre que existe un número positivo B tal que |xn| ě B para todo n.
b) Demuestre que la sucesión
"
1
xn
*
converge a
1
x0
.