Apuntes Micro

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Microeconomı́a*
1. Bienes públicos
Consider an economy with I consumers and 2 goods, one private and one public. The public good is
produced using the private good according to a decreasing return technology characterized by y = g(z); with
g′(z) > 0 and g′′(z) < 0. Where the input of the private good, z, is taken to be positive. For a private good,
the possibility of exclusion is simply the possibility of preventing theft. Therefore the distinction is purely
institutional. Required use of a private good is of a similar institutional nature. Consumer i’s utility function
ui(xi, y) depends on the quantity consumed of the private good and consumption of the public good y. It
is strictly concave, differentiable, and strictly increasing. Let w be the aggregate endowment of the private
good. First, we characterize the pareto optimal allocation of resources. Pareto optima are solutions to
the problem,
máx
I∑
i=1
αiui(xi, y) αi ≥ 0 i = 1, ..., I
subject to
w −
I∑
i=1
xi − z ≥ 0
g(z)− y ≥ 0
y ≥ 0 z ≥ 0 xi ≥ 0 i = 1, ..., I
From the first order conditions we obtain,
I∑
i=1
∂ui/∂y
∂ui/∂xi
=
1
g′
which is called the Bowen-Lindahl-Samuelson condition. We know from here that the sum over all
consumers of the marginal rates of substitution between the public and the private good must be equal to
the marginal rate of transformation in production between these two goods.
*Compilación preparada por Guillermo Marshall y Felipe González a partir de los cursos de Teoŕıa Microeconómica I
y Microeconomı́a I con la profesora Bernardita Vial, Microeconomı́a II con los profesores Gert Wagner y Sebástian Claro,
Competencia y Mercados con los profesores Claudio Sapelli y Rodrigo Harrison, y los libros Organización Industrial de Jean
Tirole, Microeconomı́a Intermedia de Bernardita Vial y Felipe Zurita y la Gúıa de Ejercicios de Competencia y Mercado de
Claudio Sapelli y Salvador Valdés.
1
2. Externalidades
Una externalidad es cualquier efecto indirecto que tiene la producción o el consumo sobre una función
de utilidad, posibilidades de consumo o posibilidades de producción. Algunos tipos de externalidades son:
la producción j afecta el consumo i, el consumo de j afecta la utilidad de i, la producción de j afecta la
producción de i.
2.1. Ubicación óptima de recursos
Considere una economı́a con dos bienes (y1, y2), dos firmas (j = 1, 2), y un consumidor. En cuanto a
notación, yji es la cantidad producida (o contratada como factor de producción) del bien i por la firma j.
Hay dos externalidades afectando a la firma 2, una generada por el consumo del bien 1, x1, y la otra por la
producción del bien 1, y11 . El consumidor tiene una función de utilidad U(x1, x2) y tiene una dotación inicial
de (w1, w2). Las tecnoloǵıas están caracterizadas por:
y11 = f
1(y12)
y22 = f
2(y21 , y
1
1 , x1)
Es decir, la producción del bien 1 por la firma 1 ocupa como insumo de producción el bien 2; y la producción
del bien 2 por la firma 2 ocupa como insumo de producción el bien 1, y además afectan la producción
(externalidades) la cantidad producida del bien 1 por la firma 1 y11 y la cantidad consumida del bien 1 x1.
El óptimo paretiano para esta economı́a se obtiene del siguiente problema de maximización:
máxU(x1, x2)
sujeto a
y11 + y
2
1 + w1 − x1 > 0 λ1
y12 + y
2
2 + w2 − x2 > 0 λ2
f1(y12) > y
1
1 µ1
f2(y21 , y
1
1 , x1) > y
2
2 µ2
De donde se obtiene:
∂U
∂x1
+ ∂U∂x2
∂f2
∂x1
∂U
∂x2
= −∂f
2
∂y21
= −
1 + ∂f
2
∂y11
∂f1
∂y12
∂f1
∂y12
2.2. Equilibrio competitivo privado
La definición del equilibrio competitivo privado con externalidad es similar a la usual definición de
equilibrio competitivo, la única diferencia es que el agente considera como parámetros no solo los precios, sino
también otras variables. Como la firma 1 no está afectada por la externalidad su problema de maximización
es:
máx p1y11 + p2y
1
2
2
sujeto a
y11 = f
1(y12)
De donde obtenemos la condición marginal − 1
∂f1/∂y12
= p1p2 . Mientras tanto, el problema de maximización
del individuo, donde R es el valor de la dotación inicial más las utilidades provenientes de la firma, es:
máx U(x1, x2)
sujeto a
p1x1 + p2x2 = R
De donde obtenemos la condición marginal ∂U/∂x1(x1,x2)∂U/∂x2(x1,x2) =
p1
p2
. Por otro lado la firma 2 es afectada por las
variables x1 e y11 escogidas por otros agentes. Tomando estas variables como dadas, la firma 2 resuelve el
problema:
máx p2y22 + p1y
2
1
sujeto a
y22 = f
2(y21 , ȳ
1
1 , x̄1)
De donde obtenemos la condición −∂f
2
∂y21
(y21 , ȳ
1
1 , x̄1) =
p1
p2
. De esta manera, un equilibrio competitivo con
externalidades es un vector de precios (p̄1, p̄2) y una ubicación (x̄1, x̄2, ȳ11 , ȳ
1
2 , ȳ
2
1 , ȳ
2
2) tal que:
(a) (ȳ11 , ȳ
1
2) maximice p̄1y
1
1 + p̄2y
1
2 sujeto a la restricción y
1
1 = f
1(y12);
(b) (ȳ21 , ȳ
2
2) maximice p̄1y
2
1 + p̄2y
2
2 sujeto a la restricción y
2
2 = f
2(y21 , ȳ
1
1 , x̄1);
(c) (x̄1, x̄2) maximice U(x1, x2) sujeto a la restricción p̄1x1 + p̄2x2 = p̄1w1 + p̄2w2 + π(p̄) = R̄, donde
π(p̄) = (p̄1ȳ11 + p̄2ȳ
1
2) + (p̄1ȳ
2
1 + p̄2ȳ
2
2).
(d) x̄1 = w1 + ȳ11 + ȳ
2
1 , x̄2 = w2 + ȳ
1
2 + ȳ
2
2 .
Estos resultados provienen de la maximización de los agentes de esta economı́a y sus tasas privadas, mientras
que los óptimos de Pareto provienen de tasas sociales. Es por esto que en general un equilibrio competitivo
con externalidades no es Pareto óptimo.
3. Moral Hazard
Hay un principal (firma) que normalmente quiere que el agente (trabajador) realice un esfuerzo alto (y
no uno bajo), pero el agente prefiere hacer un esfuerzo bajo (porque le da ms utilidad), a menos que los
compensen lo suficiente. El principal entonces puede obligar al agente a realizar un esfuerzo alto si el esfuerzo
es observable y aśı dejarlo con su utilidad de reserva:
máx π(e, w) = x(e)− w
sujeto a
U(w, e) = Ureserva
3
Cuando el esfuerzo no es observable normalmente hay otra variable que se puede observar, como la produc-
ción. En este caso el principal le da un salario distinto para cada nivel de producción, de tal manera que el
agente prefiera esforzarse alto (ó el que le convenga a la empresa) y quiera participar:
máx p1π1(x1, w1) + (1− p1)π2(x2, w2)
sujeto a
p1U(e2, w1) + (1− p1)U(e2, w2) = Ureserva
p1U(e2, w1) + (1− p1)U(e2, w2) = q1U(e1, w1) + (1− q1)U(e1, w2)
Donde:
e1 : esfuerzo bajo
e2 : esfuerzo alto
p1 : probabilidad de producción x1 dado esfuerzo alto
1− p1 : probabilidad de producción x2 dado esfuerzo alto
π1(x1, w1) : utilidad de la empresa con producción x1 y pagando un salario w1
π2(x2, w2) : utilidad de la empresa con producción x2 y pagando un salario w2
donde obtenemos la solución (x1, w1); (x2, w2).
4. Selección Adversa
Hay un principal (firma) que quiere contratar un agente (trabajador), pero el problema es que hay más
de un tipo, hay uno malo (j) y uno bueno (i) (lo que se puede reflejar en lo que producen, o en lo que les
cuesta producir una determinada cantidad), y el principal no puede distinguir entre ellos, por lo que tiene
que diseñar un contrato que solo quiera aceptar el agente bueno (que es el que quiere contratar el principal)
y otro contrato que quiera aceptar solo el malo
max π(xi(ei)− wi) + (1− π)(xj(ej)− wj)
sujeto a
Ui(w) > U ireserva
Uj = U jreserva
Ui(ei, w1) = Ui(ej , wj)
4
Donde:
ei : esfuerzo del trabajador bueno
ej : esfuerzo del trabajador malo
π : probabilidad que trabajador potencial sea bueno
1− π : probabilidad que trabajador potencial sea malo
xi(ei) : producción de la firma con el trabajador bueno
xj(ej) : producción de la firma con el trabajador malo
Donde obtenemos la solución (ei, wi); (ej , wj). Vale la pena notar que si bien el contrato para el agente j
es eficiente, para el agente i no lo es, lo que se explica por la renta informacional que éste extrae, producto
de la mayor información relevante para el contrato que posee en relación con el agente (él sabesi es bueno
o malo, pero la firma no).
5. Discriminación de precios
5.1. Discriminación de primer grado
Si se cobra un precio éste seŕıa pi = vi donde vi es la disposición a pagar de cada individuo (los cuales
son heterogéneos), la cual es conocida por la firma. Y en el caso de cobrar una tarifa en dos partes única
esta seŕıa (aqúı se está discriminando perfectamente):
T (q) = pcq +
Sc
n
con Sc =
∫ qc
0
(p(q)− pc)dq
5.2. Discriminación de segundo grado
En este caso hay autoselección de manera tal que aquel que tenga disposición a pagar más efectivamente
pague más (o al revés). El monopolista identifica grupos, pero no puede identificar quién está en qué grupo:
máx nLT1 + nHT2
sujeto a
T1 = SL(Q1)
T2 = SH(Q2)− (SH(Q1)− T1)
5.3. Discriminación de tercer grado
Es lo mismo que el problema del monopolio multiproducto con demandas independientes. El monopolista
puede identificar claramente N grupos con distintas demandas:
max
∑
piqi − c(
∑
qi)
5
6. Tarifa en dos partes
máx n1(T1 + (p1 − cmg)q1) + n2(T2 + (p2 − cmg)q2)
sujeto a ∫ q1
0
q1(p)dp− p1q1 = T1∫ q2
0
p(x)dx− q2p2 − T2 =
∫ q1
0
p(x)dx− q1p1 − T1
7. Peak Load pricing
Hay un monopolio con una capacidad fija K̄ imposible de alterar durante la producción. El bien que se
produce es no-almacenable. Se asumen dos peŕıodos con demandas distintas.
7.1. Demandas independientes
La demanda alta es pH = aH − qH , mientras que la demanda baja es pL = aL − qL, donde aH > aL.
Los costos totales de la empresa son CT (qH , qL, K̄) = c(qH + qL) + rK̄ con r > 0, c > 0. Por lo tanto el
problema a resolver por el monopolista es:
máx π(qH , qL, K̄) = IT (qH) + IT (qL)− c(qH + qL)− rK̄
L = π(qH , qL, K̄) + λ1(K̄ − qH) + λ2(K̄ − qL)
De donde se pueden dar tres casos interesantes.
1. Caso en que las restricciones no son activas λ1 = 0, λ2 = 0. Claramente no huele a una buena opción
ya que no se está usando toda la capacidad, y por tanto no está maximizando beneficios.
2. Caso en que hay solo una restricción activa λ1 > 0, λ2 = 0. De las CPO del lagrangeano obtenemos:
ImgL = c = aL − 2qL −→ qL = a
L−c
2 , p
L = a
L+c
2
ImgH = c+ λ1 donde la decisión óptima seŕıa obviamente λ1 = r
3. Caso en que ambas restricciones son activas λ1 > 0, λ2 > 0. De las CPO del lagrangeano obtenemos:
ImgH = c+ λ1, ImgL = c+ λ2
ImgH + ImgL = 2c+ r, qH = qL = q
q = a
H+aL−(2c+r)
4
6
7.2. Demandas interdependientes
En este caso la maximización de las utilidades por parte del monopolista es:
máx π(qH , qL, K̄) = ITH(qH , qL) + ITL(qL, qH)− c(qL, qH)− rK̄
Al plantear el lagrangeano y las CPO hay dos casos interesantes:
1. La demanda alta lleva la punta: ImgH(qH , qL) = c+ r, ImgL(qL, qH) = c. Y junto con las ecuaciones:
pH = aH − qH − αqL, pL = aL − qL − βqH encontramos qH , qL, pH , pL.
2. Caso en que hay shifting peaks: ImgH(qH , qL) = c+λ1, ImgL(qL, qH) = c+λ2, y con ImgH +ImgL =
2c+ r (se debe cumplir necesariamente para que sea óptimo) y qH = qL = q obtenemos los resultados.
8. Diferenciación
En este caso removemos el supuesto de homogeneidad de bienes y la firmas pueden producir bienes
diferenciados. Existen dos tipos de diferenciación: diferenciación horizontal (consumidores con distintos
gustos) y diferenciación vertical (productos con distinta calidad).
De acuerdo al principio de diferenciación las empresas no desean localizarse en el mismo espacio
de productos. La razón es simplemente la paradoja de Bertrand: dos empresas que producen bienes
perfectamente sustitutos se enfrentan a una competencia ilimitada en precios (obteniendo ambas utilidad
igual a cero). La diferenciación permite a las empresas disfrutar de algún poder de mercado sobre sus clientes
(obteniendo una utilidad positiva). De esta forma, las empresas normalmente desearán diferenciarse unas de
otras, ya que un precio por encima del costo marginal puede ser (y por tanto será) sostenido con diferenciación
de productos. Sin embargo, las condiciones de mercado imponen ciertas restricciones a esta diferenciación.
No serán producidos todos los bienes técnicamente posibles. Esto está relacionado con la existencia de costos
fijos (capital, personal, investigación, etc.). Producir todos los bienes imaginables implicaŕıa un gasto en
costos fijos inmenso, y la demanda de esos productos nunca bastaŕıa para hacerlos rentables.
8.1. Modelo de Hotelling
También conocido como modelo de la ciudad lineal de diferenciación horizontal. Hay i firmas en una
ciudad lineal (ĺınea recta de largo x = 1), donde también hay n consumidores (normalmente distribuidos de
manera uniforme, esto es, con una determinada densidad). Cada firma i tiene un cmgi = ci. Los consumidores
tienen un costo de transporte tx por unidad de desplazamiento (costo de transporte cuadrático en vez de
lineal 1). Cada individuo obtiene una utilidad v de consumir el bien (el bien es el mismo en ambas firmas, y
pi ≤ vi ∀i). Un consumidor se encuentra en x y compra en una de las i firmas.
1. Competencia en precios: Se toman las ubicaciones de las empresas como dadas. La clave para
caracterizar las demandas es encontrar el consumidor que está indiferente entre comprar en la firma i
1El modelo cuadrático es más tratable que el lineal (son iguales cuando hay máxima diferenciación, es decir, cuando las
firmas están en los extremos) cuando las empresas están localizadas al interior del intervalo.
7
o la firma j. Para encontrar las demandas hacemos:
v − (p1 + tx2) = v − (p2 + t(1− x)2)
de donde obtenemos las demandas (donde L es la densidad, que en este caso es 1) x ·L = D1(p1, p2) =
p2−p1+t
2t y (1− x) ·L = D2(p2, p1) =
p1−p2+t
2t . Luego obtenemos pi (dado pj) de la maximización de la
utilidad πi = (pi − ci)Di. Para obtener los precios de equilibrio hacemos pi = pj .
2. Elección de producto: Hay dos empresas, y a cada una se le permite escoger sólo un producto (esto
es, sólo una ubicación). Es un juego en dos etapas: 1) escogen ubicaciones, 2) dadas las ubicaciones,
escogen precios. La elección de la ubicación afecta no sólo su función de demanda, sino también la
intensidad de la competencia en precios. Supongamos que la empresa 1 está localizada en el punto a,
y la empresa 2 en el punto 1− b, con 1− a− b ≥ 0. Obtenemos las demandas y la función de utilidad:
(1) D1(p1, p2) = x = a+ 1−a−b2 +
p2−p1
2t(1−a−b)
(2) D2(p1, p2) = 1− x = b+ 1−a−b2 +
p1−p2
2t(1−a−b)
(3) Π1(a, b) = [pc1(a, b)− c]D1(a, b, pc1(a, b), pc2(a, b))
Un equilibrio de ubicaciones es tal que la empresa 1 maximiza Π1(a, b) con respecto a a, tomando
como dado b, y la empresa 2 actúa de forma similar. Con costos cuadráticos el equilibrio es aquel donde
las empresas se sitúan en los dos extremos de la ciudad (diferenciación máxima).
Es interesante notar que, dada la simetŕıa del problema, el planificador social elige situar las dos
empresas equidistantes a cada lado del centro del segmento, de forma que para precios iguales, una
empresa sirve bien a la mitad derecha o bien a la mitad izquierda del mercado. Aśı, las ubicaciones
socialmente óptimas son 1/4 y 3/4. En este ejemplo, el resultado lleva, socialmente, a demasiada
diferenciación de productos.
8.2. Modelo de Salop
Los consumidores están distribuidos uniformemente sobre un ćırculo de peŕımetro 1, donde a priori,
ninguna ubicación es mejor que otra. En este ejemplo la densidad es unitaria alrededor del ćırculo (L = 1) y
hay un costo fijo igual a f . El costo de transporte es lineal e igual a tx. Las firmas tienen un cmgi = c, ∀i,
por lo tanto se ubicarán de manera equidistante: si hay N firmas, la distancia entre ellas es 1N . Es un juego
en dos etapas donde primero muchas firmas deciden si entrar o no, y luego las firmas que entran compiten
en precios. Las empresas que deciden entrar no eligen su ubicación, sino que automáticamente son situadas
equidistantes una de otra dentro del ćırculo2. Se supone libre entrada, por lo que el beneficio de equilibrio
delas empresas que entran es cero. Debemos 1) determinar el equilibrio de Nash en precios para cualquier
2El interés del modelo de Salop no consiste en estudiar la elección particular de producto, sino más bien estudiar el alcance
de la entrada de empresas en una industria.
8
número de empresas y calcular la forma reducida de las funciones de beneficios y 2) determinar el equilibrio
de Nash para el juego de entrada.
1. Equilibrio de libre entrada: Para encontrar la demanda buscamos el consumidor indiferente (en la
práctica la empresa i tiene sólo dos competidores reales) :
pi + tx = pj + t(
1
N
− x)
de donde obtenemos x = pj−pi+
t
N
2t , y por tanto, la demanda, utilidad, y precio en este caso seŕıan:
(1) Di(pi, pj) = 2 · x · L =
pj−pi+ tN
t · 1
(2) maxpiΠi[(pi − c)(
p−pi+ tN
t )− f ]
(3) p = pi = c+ tN
El margen de beneficio disminuye a medida que aumenta N . El número de empresas es endógeno: se
determina a partir de la condición de beneficios nulos para las empresas existentes (ecuación (3) en
(2)):
(pi − c)
1
N
− f = (c+ t
N
− c) 1
N
− f = t
N2
− f = 0
nc =
√
t
f
pc = c+
√
tf
Un punto importante es que las empresas fijan sus precios por encima del costo marginal, y sin embargo
no obtienen beneficios. Las ecuaciones anteriores nos muestran también que un incremento de los costos
fijos f produce una disminución en el número de empresas y un aumento en el margen de beneficio
pc− c. Un aumento de los costos de transporte eleva el margen de beneficio y, por tanto, el número de
empresas. Cuando el costo de entrada o costo fijo f tiende a cero, el número de empresas que entran
tiende a infinito, y el precio de mercado tiene al costo marginal.
Un planificador social escogeŕıa n = n∗ con la finalidad de minimizar la suma de costos fijos y
costos de transporte de los consumidores:
minn[nf + t(2n
∫ 1/2n
0
xdx)] = minn(nf +
t
4n
)
n∗ = 1
2
√
t
f
=
1
2
nc
Aśı, con costos lineales o cuadráticos, el resultado es un número excesivo de productos.
Proliferación de marcas: Un supuesto crucial en el análisis previo es que a cada empresa se le
permite comercializar una sola marca. Pero una empresa puede producir varias marcas e infestar
el espacio de productos, no dejando lugar para la entrada de otra empresa. Una empresa ya
establecida tiene mayores incentivos a introducir nuevos productos que una nueva empresa. Este
efecto de eficiencia tiende a sesgar la estructura de mercado hacia un monopolio.
9
2. Competencia monopoĺıstica: Cada empresa produce un producto como máximo (alejándonos del
problema de proliferación de marcas), 1) cada empresa se enfrenta a una demanda con pendiente ne-
gativa, 2) obtiene beneficios nulos, y 3) un cambio en el precio de una empresa tiene sólo un efecto
despreciable sobre la demanda de cualquier otra empresa. El equilibrio de libre entrada satisface las
propiedades 1) y 2). La propiedad 3) distingue a la competencia monopoĺıstica del equilibrio de libre
entrada (o competencia oligopólica). En la competencia monopoĺıstica ninguna empresa o producto
encuentra un vecino directo en el espacio de productos 3. Para obtener la demanda buscamos el consu-
midor que está indiferente entre comprar y no comprar (ut. comprar = ut. no comprar). La demanda
será 2xL. Luego la empresa fija el precio que maximiza su utilidad.
Incentivos a la entrada: Para analizar si hay o no incentivos a la entrada recalculamos todo para el
caso en que hay N + 1 empresas y vemos si todav́ıa existen utilidades Πi mayores a cero.
9. Teoŕıa del consumidor y demanda individual
Demanda ordinaria o marshalliana: xM` = x`(m, p1, p2)
Demanda compensada o hicksiana: xH` = x`(u, p1, p2)
Función de utilidad indirecta: v = u(xM1 , x
M
2 ) = v(p1, p2,m)
Función de mı́nimo costo: C∗ = xH1 p1 + x
H
2 p2 = C(p1, p2, u)
Lema de Shepard: xHi (p1, p2, u) =
∂C∗(p1,p2,u)
∂pi
Identidad de Roy: xM1 (p1, p2,m) = −
∂v(p1,p2,m)/∂p1
∂v(p1,p2,m)/∂m
De hicksiana a marshalliana: xM1 (p1, p2,m) = x
H
1 (p1, p2, v(p1, p2,m))
Ecuación de Slutsky: ∂x
H
i (p1,p2,u)
∂pj
= ∂x
M
i (p1,p2,m)
∂pj
+ ∂x
M
i (p1,p2,m)
∂m
∂C∗
∂pj
Descomposición de Slutsky: ηHij =
∂xHi
∂pj
pj
xi
= ηMij + αjηim
Agregación de Engel:
∑n
i=1 αiηim = 1
Agregación de Cournot: αj +
∑n
i=1 αiη
M
ij = 0
Simetŕıa de Hicks: αiηHij = αjη
H
ji
Homogeneidad grado cero de demandas:
∑n
i=1 η
M
ij + ηim = 0
3El objetivo de la competencia monopoĺıstica no consiste en estudiar aspectos estratégicos entre productos (tales como
posicionamiento de productos y competencia en precios), sino más bien estudiar otros temas, tales como el número de productos
ofrecidos por una economı́a de mercado.
10
10. Análisis de bienestar del consumidor
La variación compensatoria responde a la pregunta ¿Cuánto podŕıa disminuir el ingreso del
individuo para que, habiendo ocurrido el cambio, quede igual como si no hubiese ocurrido?
V C = C∗(p01, pOB , u0)− C∗(p11, pOB , u0) = C∗(p11, pOB , u1)− C∗(p11, pOB , u0)
La variación equivalente responde a la pregunta ¿Cuánto debeŕıa aumentar el ingreso del indi-
viduo para que, sin que haya ocurrido el cambio, quede igual como si hubiese ocurrido?
V E = C∗(p01, pOB , u1)− C∗(p11, pOB , u1) = C∗(p01, pOB , u1)− C∗(p01, pOB , u0)
V C versus V E

V E > V C, para un bien normal,
V E = V C, para un bien neutro,
V C > V E, para un bien inferior.
IPV (u0) =
C∗(p11,p
1
2,...,p
1
n,u0)
C∗(p01,p
0
2,...,p
0
n,u0)
IPL =
Pn
i=1 x
0
i p
1
iPn
i=1 x
0
i p
0
i
u IPV (u0)
IPP =
Pn
i=1 x
1
i p
1
iPn
i=1 x
1
i p
0
i
11. Teoŕıa de la producción y oferta
Elasticidad producto del recurso xi: εi = ∂q∂xi
xi
q = fi ·
1
q/xi
= MPiAPi
Función de producción homogénea: f(λx1, λx2, ..., λxn) = λR · f(x1, x2, ..., xn), donde R es el grado de
homogeneidad de la función de producción.
Teorema de Euler: ∂f∂x1x1 +
∂f
∂x2
x2 + ...+ ∂f∂xnxn = R · f(x1, x2, ..., xn)
Tasa marginal de sustitución técnica: TMST = −∂f/∂x1∂f∂x2 = −
MP1
MP2
Recursos con una oferta totalmente elástica para la unidad en análisis se denominan recursos genera-
les; el resto, con elasticidades diferentes a infinito se denominan como recursos de oferta espećıfica.
Demanda condicionada: zCi = zi(w1, w2, q)
Demanda no condicionada: zNCi = zi(w1, w2, p)
Elasticidad de sustitución: σ = ∂ ln z2/z1∂ ln f1/f2
Elasticidad producto total: εPT = εq,1 + εq,2
Leyes de Marshall:
11
1. La elasticidad-precio de la demanda por un factor será menor mientras menor sea la elasticidad-
precio por el producto
2. La demanda por el factor será más elástica mientras mayor sea la proporción de los costos que
represente el factor.
3. La demanda por el factor será más elástica mientras mayor sea la elasticidad de oferta del otro
factor.
4. La demanda por el factor será más elástica mientras mayores sea las posibilidades de sustitución
entre factores.
12. Incertidumbre
Un individuo es averso al riesgo si u(E(g)) > u(g)
Un individuo es neutral al riesgo si u(E(g)) = u(g)
Un individuo es amante del riesgo si u(E(g)) < u(g)
El equivalente cierto de una loteŕıa g es un monto CE ofrecido sin incertidumbre tal que el individuo
esté indiferente entre la loteŕıa y el monto CE, esto es u(g) = u(CE). De esta manera el premio al
riesgo es un monto P tal que u(g) = u(E(g)− P ), que es lo mismo que P = E(g)− CE.
Medida de aversión al riesgo absoluta: Ra(w) =
−u′′(w)
u′(w)
E(CS)
E(u(C
S
))
U(E(C
S
))
u(CS)
CS
=
(a) Individuo neutral al riesgo
E(CS)
E(u(C
S
))
U(E(C
S
))
u(CS)
CS
(b) Individuo averso al riesgo
Figura 1: Aversión al riesgo y concavidad función Bernoulli
12
13. Equilibrio Walrasiano
Se dice que un mercado está en equilibrio walrasiano si al precio p∗ el exceso de demanda es nulo.
Alternativamente, el equilibrio walrasiano de un mercado es un precio p∗ y una asignación de cantidades
consumidas x1, x2, ..., xn entre los n consumidores y de cantidades producidas q1, q2, ..., qm entre los
m vendedores,con las propiedades de que la cantidad que cada participante recibe es la que querŕıa
comprar o vender al precio vigente, y que la suma de las cantidades consumidas coincide con la de las
producidas.
Se dice que una economı́a de intercambio está en un equilibrio walrasiano si a los precios (p∗1, p
∗
2)
los excesos de demanda son nulos. Alternativamente, el equilibrio walrasiano de una economı́a es una
lista de precios (p∗1, p
∗
2) y una asignación de cantidades consumidas (x
∗
1i, x
∗
2i) para cada uno de los n
consumidores con la propiedad que las cantidades demandadas totales de cada bien son las que cada
consumidor querŕıa comprar a los precios vigentes, y que la suma de las cantidades consumidas coincide
con la de las dotaciones, esto es:
∑n
i=1 x
∗
1i(p1, p2) =
∑n
i=1 x̄1i y
∑n
i=1 x
∗
2i(p1, p2) =
∑n
i=1 x̄2i.
Se dice que una economı́a con producción está en un equilibrio walrasiano si a los precios (p∗1, p
∗
2, wL, wK)
los excesos de demanda son nulos. Alternativamente, el equilibrio walrasiano de una economı́a es una
lista de precios (p∗1, p
∗
2, wL, wK) y una asignación de cantidades consumidas de bienes (x
∗
1i, x
∗
2i) y ven-
didas de insumos (L̄i, K̄i) para cada uno de los n consumidores, y cantidades producidas de bienes
y contratadas de insumos por cada una de las empresas (q∗1j , q
∗
2j , L
∗
j ,K
∗
j ) con la propiedad de que
las cantidades demandadas totales de cada bien son las que cada consumidor querŕıa comprar a los
precios vigentes, que las cantidades totales de cada insumo son las que las empresas querŕıan comprar
a los precios vigentes, y que la suma de las cantidades consumidas coincide con la suma de la de las
dotaciones y de las producidas.
Si X es un conjunto de decisiones factibles, entonces la decisión colectiva x es óptima en el sentido
de Pareto o eficiente si no existe otra acción factible que le de un nivel de bienestar mayor o igual a
cada uno de los miembros, y estrictamente mayor a al menos uno.
Si X es un conjunto de acciones colectivas factibles, y mi(x, x′) es la disposición a pagar del individuo i
por adoptar la decisión x′ en lugar de la x en caso de ser positiva, o la pérdida en caso de ser negativa,
entonces x′ da un mayor nivel de bienestar de acuerdo al criterio de Kaldor si y sólo si:
n∑
i=1
mi(x, x′) > 0
Esto es, si los que ganan podŕıan compensar a los que pierden.
Primer Teorema del Bienestar : La asignación de recursos que se alcanza en un equilibrio walrasiano
es eficiente u óptima en el sentido de Pareto.
13
14. Equilibrio General Agregado: Modelo 2 × 2
14.1. Escenario Base(
K
L
)
x
>
(
K
L
)
y
El intercambio se desarrolla a precios que son iguales a los respectivos costos:
Px
Py
=
c′x
c′y
K/L PY /PX
WL /WK
YX
(K/L)0X (K/L)
0
Y
WL /WK
(PY /PX)0
Figura 2: Modelo 2 x 2
Notas:
i) Como pxpy =
c′x
c′y
, si ∆+
(
wl
wk
)
tiene que aumentar relativamente el precio del bien que lo utiliza en
forma más intensiva (es decir, Y ).
ii) Al ∆+
(
wl
wk
)
ambos procesos se vuelven más intensivos en capital.
iii) Si ∆+
(
px
py
)
, se atraen más recursos a la producción de X, a costa de su uso en el sector Y . Al
estimularse la producción de X se desincentiva la del otro bien, un corolario que se deriva de la
noción de restricción presupuestaria. Sin embargo, al examinar este cambio a nivel de factores
es fácil percibir la existencia de una inadecuación, y un pequeño ejemplo aritmético basta para
insinuar el asunto. En éste, mientras las empresas que producen X emplean, todas, 3 unidades de
K por unidad de L, las de Y operan con 3 de L por unidad de K. De modo que al disminuir la
producción de Y en una unidad, para aśı expandir la de X, la liberación de factores es incompatible
14
con la absorción de estos. Por aśı decirlo, faltaŕıa K y sobraŕıa L, todo ello al precio vigente de
factores. En terminoloǵıa económica, la expansión de la producción de X desplaza la demanda
(agregada) por ambos factores: mientras la de K crece, la de L se contrae. El cambio en la
demanda por los factores, dado al carácter inelástico total de su oferta, provoca desequilibrio en
el mercado de los factores a los precios vigentes (DEK > 0, D
E
L < 0). Para que desaparezcan estos
desequilibrios, se exige una variación de los precios de los factores: ∆−
(
wl
wk
)
La ĺınea de contrato de la caja de Edgeworth señala la asignación de recursos que permite máxima
producción de X, dado un nivel de Y ; corresponde al lugar geómetrico en que las tasas marginales de
substitución técnica en producción son iguales para todas las empresas, tanto en la industria X como
en la Y . A lo largo de la ĺınea de contrato:
MPXL
MPXK
=
MPYL
MPYK
El equilibrio general, se caracteriza por un conjunto de precios, esto es PxPy
e
y wKwL , para el cual la
cantidad ofrecida es igual a la cantidad demandada tanto en bienes como factores. Esto es,
XD = XS ; Y D = Y S ; KD = K̄; LD = L̄
c′x
c′y
=
wk/MP
x
k
wk/MP
y
k
=
wl/MP
x
l
wl/MP
y
l
=
px
py
Dado que el bien Y se caracteriza por un proceso productivo intensivo en el factor trabajo, el ingreso
de este recurso será máximo cuando la producción de Y lo sea; por otra parte, será mı́nimo cuando
sólo se produzca X.
Teorema de Rybczynski : En el contexto de este modelo, un incremento en uno de los factores sin que
se alteren los precios (bienes, factores) exige la expansión de la producción del bien intensivo en dicho
factor y la cáıda en la producción del otro bien, para aśı lograr un equilibrio en el mercado de factores. En
tanto las variaciones en el consumo deseado no coincidan con las variaciones de producción necesarias
para mantener precios de bienes y recursos, los respectivos excesos de oferta y demanda que aśı se
manifestaŕıan, induciŕıan cambios en dichos precios. Al tratarse de bienes normales, esto, aumentaŕıa
su demanda y por ende la producción, incrementándose también la demanda por trabajo y capital. De
modo que el factor L, que a diferencia del factor K ha permanecido constante, verá incrementado su
precio, encareciéndose aśı el bien que lo utilice intensivamente.
14.2. Impuestos y Asignación de Recursos en Equilibrio General
c′x
c′y
=
wk(1 + τkx)/MPkx
wk(1 + τky)/MPky
c′x
c′y
=
wl(1 + τlx)/MPlx
wl(1 + τly)/MPly
15
Px
Py
=
c′x(1 + τx)
c′y(1 + τy)
14.2.1. El impuesto sobre uno de los bienes
Digamos que el bien X se grava con un impuesto τ . Este tributo da origen a una diferencia entre el precio
de oferta, o sea el precio neto de impuesto, y el respectivo precio de demanda, provocando carga excesiva
cuya magnitud dependerá de la elasticidad de la demanda.
Px
Py
>
c′x
c′y
Además, como el impuesto recae sólo sobre X, tanto el consumo como la producción de este bien se reducirán,
con lo cual se eleva la razón MPL/MPK en ambos procesos de producción, ya que ellos deberán tornarse
más intensivo en capital. (La reducción de la producción de X libera recurso K a una tasa por unidad de L
que no puede ser absorbida por la expansión de producción de Y , todo esto al precio vigente. De modo que
debe bajar el precio de factores, wk/wl, que enfrentan los productores, induciendo con ello un mayor uso del
factor K.)
Y
X
(PX /PY)A = (c'X/c'Y)A
(PX /PY)B = (1+τX) (c'X/c'Y)
A
B
CISA
CISB(c'X/c'Y)B
Se desincentiva consumo
y producción de X
∆- WK/WL
⇒ ∆- (c'X/c'Y)
Figura 3: Impuesto sobre el bien X
14.2.2. Impuesto a un sólo factor en uno de los procesos productivos
Digamos que existe un tributo al factor L empleado por la industria Y , la cual es intensiva en el uso de
este insumo. En el equilibrio competitivo las condiciones marginales en la contratación de factores serán las
siguientes:
PxMP
x
k = wk = PyMP
y
k
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PxMP
x
l = wl
PyMP
y
l = wl(1 + τly)
de modo que,
wl
wk
=
(
MPl
MPk
)
x
=
(
MPl
MPk
)
y
1
(1 + τly)
<
(
MPl
MPk
)
y
El precio de recursos que enfrentan los productores difiere entre industrias, de modo que latasa marginal de
substitución en producción será mayor en Y que en X. Por lo tanto, en presencia de este impuesto, la curva
de transformación efectiva entre X e Y caerá al interior de la frontera de producción potencial, es decir,
aquella que se alcanza sin el impuesto distorsionador. En otras palabras, para cada nivel de X, el impuesto
distorsionador impide que se produzca el máximo nivel tecnológicamente factible de Y .
La alteración del precio de bienes que provoca el impuesto, reduce la producción de Y , incrementando la
de X. Esto implica un aumento en el precio de los factores, wk/wl (análisis análogo al caso anterior).
Se produce también una diferencia entre el costo y el precio de demanda en el mercado Y . Para el
productor individual de la industria Y , el recurso L tiene un costo igual a: wYL (1 + τly); sin embargo, para
la sociedad el impuesto recaudado es sólo transferencia, por ende no es costo, de modo que en perspectiva el
costo del recurso L en la industria Y es la productividad de L en X, es decir, wXL . Por otra parte, el precio
de demanda de L en Y es wYL (1 + τly), siendo éste también el precio que los consumidores pagan por el
contenido de L en Y , de modo que hay, en este sentido, una diferencia costo-precio en el producto Y .
(PX /PY)A = (c'X/c'Y)A
A
(PX /PY)B
(c'X/c'Y)B
B
X
Y
Se desincentiva consumo
y producción de Y
∆+ WK/WL
⇒ ∆+ (c'X/c'Y)
Figura 4: Impuesto sobre el factor L en uno de los procesos productivos
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	Bienes públicos
	Externalidades
	Ubicación óptima de recursos
	Equilibrio competitivo privado
	Moral Hazard
	Selección Adversa
	Discriminación de precios
	Discriminación de primer grado
	Discriminación de segundo grado
	Discriminación de tercer grado
	Tarifa en dos partes
	Peak Load pricing
	Demandas independientes
	Demandas interdependientes
	Diferenciación
	Modelo de Hotelling
	Modelo de Salop
	Teoría del consumidor y demanda individual
	Análisis de bienestar del consumidor
	Teoría de la producción y oferta
	Incertidumbre
	Equilibrio Walrasiano
	Equilibrio General Agregado: Modelo 2 2
	Escenario Base
	Impuestos y Asignación de Recursos en Equilibrio General
	El impuesto sobre uno de los bienes
	Impuesto a un sólo factor en uno de los procesos productivos