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Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder 27 de mayo Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Contenidos 1 Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo 2 Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Omisión de Variables Relevantes Considere el siguiente modelo poblacional (expresado en desv́ıos con respecto a la media): Y = X1β1 + X2β2 + u Suponga ahora que el investigador se equivoca y estima el siguiente modelo: Y = X1β1 + u ¿Qué ocurre con la propiedad de insesgamiento/consistencia de MCO? Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Omisión de Variables Relevantes Estimando el modelo “incorrecto” obtenemos: β̂1 = (X ′ 1X1) −1 X ′ 1Y y reemplazando la ecuación poblacional “correcta”, tenemos β̂1 = β1 + (X ′ 1X1) −1 X ′ 1X2β2 + (X ′ 1X1) −1 X ′ 1u por lo cual: E (β̂1) = β1 + (X ′ 1X1) −1 X ′ 1X2β2 = β1 + Zβ2 donde, por simplicidad suponemos que las variables son determińısticas, aśı Z = (X ′1X1) −1(X ′1X2) y E (X ′ 1u) = 0. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Omisión de Variables Relevantes Luego, la omisión de variables relevantes (que pertenecen al modelo poblacional), causará que los parámetros estimados sean sesgados . A menos que tengamos cualquiera de los dos casos siguientes β2 = 0, la variable omitida es irrelevante o X ′ 1X2 = 0, ortogonalidad entre X1 y X2 En estos casos, no habrá problemas de sesgo ni consistencia. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Omisión de Variables Relevantes Para la consistencia hacemos un desarrollo parecido pero con plim en lugar de esperanza. β̂1 = β1 + (X ′ 1X1) −1 X ′ 1X2β2 + (X ′ 1X1) −1 X ′ 1u por lo cual: plimβ̂1 = β1 + (plim 1 n X ′ 1X1) −1(plim 1 n X ′ 1X2)β2 + + (plim 1 n X ′ 1X1) −1plim( 1 n X ′ 1u) = β1 + Zβ2 donde Z = plim( 1 n X ′ 1X1) −1plim( 1 n X ′ 1X2) y plim 1 n X ′ 1u = 0. Ello implica que por lo general, la omisión de variables relevantes, causará que los parámetros estimados sean inconsistentes. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Omisión de Variables Relevantes La dirección del sesgo es dif́ıcil de obtener, sin embargo, el análisis se simplifica si pensamos en β1 y β2 como escalares. En dicho caso: plimβ̂1 = β1 + Cov(X1,X2) V (X1) β2 De lo anterior, se desprende que la dirección del sesgo depende de como covarien las variables incluidas con respecto a las excluidas y del signo del parámetro omitido. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Omisión de Variables Relevantes Estimando el modelo ”incorrecto”, el estimador de la varianza será: V (β̂1|X1) = σ 2(X ′1X1) −1 mientras que si hubiéramos estimado el modelo correcto, se puede demostrar que la varianza del estimador insesgado de β1 (β̂∗1) correspondeŕıa a: V (β̂∗1 |X1,X2) = σ 2(X ′1M2X1) −1 donde M2 = I − X2(X ′ 2X2) −1 X ′ 2. Luego, comparamos las inversas de ambas matrices: Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Omisión de Variables Relevantes (V (β̂1|X1)) −1 − (V (β̂∗1/X1,X2)) −1 = σ−2(X ′1X2(X ′ 2X2) −1 X ′ 2X1) tal que se puede demostrar que dicha matriz es (semi)definida positiva. Luego, V (β̂1|X1) ≤ V (β̂ ∗ 1/X1,X2) Por lo tanto, el omitir variables relevantes implica que los parámetros estimados serán sesgados y que sus varianzas serán menores. Más aún, también es posible demostrar que el estimador de la varianza de los errores (σ̃2) es sesgado hacia arriba. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Omisión de Variables Relevantes Suponga que un investigador quiere estimar el retorno a la educación y que el modelo verdadero(obviamente es un caso ilustrativo) está dado por: Wi = β1Ei + β2EXPi + ui (1) Donde Wi corresponde al logaritmo del salario del individuo i, Ei corresponde a los años de educación del individuo i, EXPi corresponde a los años de experiencia laboral del individuo i1 y ui corresponde a un término de error bien comportado. 1 La cual esta definida como EXPi = Edadi − Ei − 6. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Ejemplo Sin embargo este investigador utiliza el siguiente modelo para su estimación. Wi = β1Ei + ui (1) Los resultados del modelo verdadero son Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Ejemplo Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Ejemplo Los resultados el modelo estimado son Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Ejemplo Podemos ver el parámetro que acompaña a la variable años de educación es menor en el modelo estimado que en el modelo verdadero. Esta dirección del sesgo se puede explicar por el signo del parámetro que acompaña a la variable experiencia en el modelo verdadero y a la relación existente entre educación y experiencia en el mercado laboral. Note que el error estándar del modelo incompleto es menor. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impactosobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo El Teorema de Frisch-Waugh-Lovell Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Teorema FWL Veremos el teorema de Frisch-Waugh-Lovell de regresión particionada Sirve, entre otras cosas, para analizar los sesgos de incluir u omitir variables del modele Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Teorema FWL Considere el siguiente modelo poblacional (expresado en desv́ıos con respecto a la media): Y = X1β1 + X2β2 + u El Teorema dice que el estimador de β1 del modelo completo (largo) se puede expresar aśı: β̂1 = (X ′ 1M2X1) −1 X ′ 1M2Y donde M2 = I − X2(X ′ 2X2) −1 X ′ 2. Veamos la demostración. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Considere ahora el siguiente modelo poblacional: Y = X1β1 + u Suponga ahora que el investigador se equivoca y estima el siguiente modelo: Y = X1β1 + X2β2 + u Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Estimando el modelo “incorrecto” obtenemos: β̂1 = (X ′ 1M2X1) −1 X ′ 1M2Y = β1 + (X ′ 1M2X1) −1 X ′ 1M2u donde M2 se define igual que el la sección anterior. Entonces: E (β̂1) = β1 y con el mismo razonamiento, se puede demostrar que: E (σ̃2) = E ( û ′ û T − k1 − k2 ) = σ2 Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes La inclusión de variable irrelevantes no causa sesgo en los parámetros estimados, ni en la varianza de los errores estimados. Bajo dichos resultados, pareciera que es mejor poner muchos regresores en nuestro modelo. Sin embargo, nos falta estudiar que sucede con la varianza de los parámetros estimados. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Recordemos que: β̂1 = β1 + (X ′ 1M2X1) −1 X ′ 1M2u con lo cual, la varianza estimada: V (β̂1|X1,X2) = σ 2(X ′1M2X1) −1 mientras que la varianza verdadera: V (β̂1 ∗ |X1) = σ 2(X ′1X1) −1 Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes entonces, como probamos con anterioridad, la varianza verdadera es menor que la varianza estimada. Ello implica que el incluir regresores adicionales, aumenta la varianza de nuestros parámetros estimados, lo cual se traduce en parámetros menos eficientes. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Ejemplo Suponga que un investigador quiere estimar el retorno a la educación y que el modelo verdadero(obviamente es un caso ilustrativo) está dado por: Wi = β1 + β2Ei + ui (1) Donde Wi corresponde al logaritmo del salario del individuo i, Ei corresponde a los años de educación del individuo i y ui corresponde a u término de error bien comportado. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Ejemplo Sin embargo este investigador utiliza el siguiente modelo para su estimación. Wi = β1 + β2Ei + β3Di + ui (1) Donde Di corresponde a una variable dicotómica que toma el valor 1 si el individuo fuma y 0 si no fuma. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Ejemplo Los resultados del modelo verdadero son Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Ejemplo Los resultados el modelo estimado son: Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Ejemplo Podemos ver no existe una variación importante en los parámetros del modelo estimado y el modelo verdadero. Sin embargo, tal como hab́ıamos demostrado, la varianza de los parámetros aumenta disminuyendo entonces la eficiencia. Clase 18 Econometŕıa Tomás Rau Binder Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo Summing up En resumen La omisión de variables relevantes sesga los parámetros. La dirección del sesgo dependerá del signo del parámetro de la variable omitida y de la covarianza de la variable omitida con las otras variables del modelo. Además, los errores estándar serán menores lo cual es perjudicial para la inferencia puesto que se sobre-rechazan las hipótesis nulas llevándonos a cometer error tipo I con mayor probabilidad. La inclusión de variable irrelevante no produce sesgo pero si aumenta los errores estándar de los parámetros. Esto también es perjudicial puesto que tenderemos a cometer error tipo II con mayor probabilidad (no rechazar la nula cuando esta es falsa) Omisión de Variables Relevantes Impacto sobre el Insesgamiento Impacto sobre la Varianza Ejemplo Inclusión de Variable Irrelevantes Impacto sobre Insesgamiento Impacto sobre Varianza Ejemplo
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