Clase 16 - Variables omitidas - Zaida Moreno Páez

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Econometrı́a I
EAE2510
Clase 16
Variables omitidas
Miriam Artiles
Instituto de Economı́a
Pontificia Universidad Católica de Chile
Segundo Semestre 2021
Introducción Omisión de variables relevantes Inclusión de variables irrelevantes
Hoy1
• Omisión de variables relevantes
◦ ¿Qué pasa si en el modelo de regresión omitimos una variable relevante?
• Inclusión de variables irrelevantes
◦ ¿Deberı́amos incluir todas las variables disponibles en la regresión?
◦ De manera general, ¿cuándo debemos incluir variables de control en nuestras
regresiones?
¿Qué propiedades tiene el estimador MCO en estos casos?
——–
1 Wooldridge, capı́tulo 3
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Introducción Omisión de variables relevantes Inclusión de variables irrelevantes
Omisión de variables relevantes
• Considere el modelo de regresión lineal múltiple,
y = β0 + β1x1 + β2x2 + u
• Donde se cumple: E(u|x1, x2) = 0 (exogeneidad)
• Por alguna razón (ignorancia, inobservabilidad de la variable, etc.), planteamos
un modelo de regresión que no incluye x2,
y = γ0 + γ1x1 + ε
• Decimos que se ha “omitido una variable relevante” si β2 6= 0
◦ ¿Qué supuesto no se cumple al omitir una variable relevante?
◦ ¿Qué propiedades tiene el estimador MCO en este caso?
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Introducción Omisión de variables relevantes Inclusión de variables irrelevantes
Omisión de variables relevantes
¿Qué supuesto no se cumple?
• Al omitir x2, su efecto formará parte del término de error,
ε = u+ β2x2
• Por lo tanto
E(ε|x1) =E(u+ β2x2|x1)
=E(u|x1) + E(β2x2|x1)
=E(E(u|x1, x2)|x1) + β2E(x2|x1) (ley de esperanzas iteradas)
=β2E(x2|x1) (aplicando E(u|x1, x2) = 0)
• Entonces, E(ε|x1) = β2E(x2|x1) 6= 0 (no se cumple el supuesto de
exogeneidad en el modelo que omite x2) si β2 6= 0 y Cov(x1, x2) 6= 0
• ¿Qué propiedades tiene el estimador MCO en este caso?
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Introducción Omisión de variables relevantes Inclusión de variables irrelevantes
Omisión de variables relevantes
Esperanza del estimador
• La esperanza del estimador MCO está dada por
E(γ̂1) =
Cov(x1, y)
V ar(x1)
=
Cov(x1, β0 + β1x1 + β2x2 + u)
V ar(x1)
=
Cov(x1, β0) + Cov(x1, β1x1) + Cov(x1, β2x2) + Cov(x1, u)
V ar(x1)
=β1 + β2
Cov(x1, x2)
V ar(x1)︸ ︷︷ ︸
Sesgo
• Si β2 6= 0 (la variable x2 es relevante) y Cov(x1, x2) 6= 0 (las variables x1 y
x2 están correlacionadas), entonces γ̂1 será un estimador sesgado de β1
• No habrá sesgo cuando β2 = 0 ó Cov(x1, x2) = 0
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Introducción Omisión de variables relevantes Inclusión de variables irrelevantes
Omisión de variables relevantes
Signo del sesgo
• Acabamos de ver que,
E(γ̂1) = β1 + β2
Cov(x1, x2)
V ar(x1)︸ ︷︷ ︸
Sesgo
• Podemos resumir el signo del sesgo en la estimacion de β1 cuando se omite
x2 como sigue:
Cov(x1, x2) > 0 Cov(x1, x2) < 0
β2 > 0 + −
β2 < 0 − +
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Omisión de variables relevantes
Discusión sobre causalidad
• Cuando β2 6= 0 y Cov(x1, x2) 6= 0, no se cumple el supuesto de exogeneidad,
y por lo tanto:
◦ γ1 no recoge el efecto ceteris paribus sobre y de un cambio en x1
◦ ¿Por qué?
◦ Cuando varı́a x1, también lo hace x2 (al estar x1 y x2 correlacionadas)
◦ γ1 contiene el efecto sobre y de un cambio en x1 más el efecto indirecto de x1
sobre x2 (que, al existir correlación, acaba afectando a y)
◦ Por lo tanto, γ1 no tiene una interpretación causal (no lo podemos interpretar como
el efecto causal de x1 sobre y)
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Introducción Omisión de variables relevantes Inclusión de variables irrelevantes
Omisión de variables relevantes
Varianza del estimador
• Ejercicio: demuestre que V ar(γ̂1|X) ≤ V ar(β̂1|X)
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Omisión de variables relevantes
Ejemplo
• Appleton, French and Vanderpump (1996): relación entre consumo de
cigarillos y muerte
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Introducción Omisión de variables relevantes Inclusión de variables irrelevantes
Omisión de variables relevantes
Ejemplo
• Y si agregamos edad?
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Introducción Omisión de variables relevantes Inclusión de variables irrelevantes
Inclusión de variables irrelevantes
¿Más es mejor?
• Se dice que un modelo está sobreespecificado cuando se incluyen en la
regresión variables no relevantes (es decir, que no forman parte del modelo
poblacional)
• Considere el modelo:
y = β0 + β1x1 + β2x2 + . . .+ βk+1xk+1 + u
donde se satisfacen los supuestos clásicos, pero βk+1 = 0 (la variable xk+1
no es relevante para explicar y)
• Sabemos que E[β̂k+1|X] = βk+1 = 0
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Inclusión de variables irrelevantes
¿Más es mejor?
• Incluir una o más variables irrelevantes en el modelo no influye en el inses-
gamiento de los estimadores MCO de las variables relevantes, pero afecta posi-
tivamente a la varianza de éstos a causa de multicolinealidad (correlación entre
variables relevantes e irrelevantes):
◦ Sobre insesgamiento: en la población, el β de una variable irrelevante será igual
a 0, de manera que al estimar el modelo que incorrectamente incluye dicha variable
los estimadores β̂ de las variables relevantes del modelo no se verán afectados en
promedio
◦ Sobre mayor varianza: se genera una pérdida de eficiencia en la estimación, mayor
cuanto mayor sea el número de variables irrelevantes que se incluyan. Además,
cuanto más correlacionada esté una variable irrelevante con las variables relevantes,
más aumentarán las varianzas de los estimadores β̂ de las variables relevantes
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Introducción Omisión de variables relevantes Inclusión de variables irrelevantes
Inclusión de variables irrelevantes
¿Más es mejor?
• En la práctica, ¿es posible saber a priori qué variables son relevantes (y cuáles
son irrelevantes)?
• En sentido estricto: No
• Lo que sı́ podemos hacer es:
◦ Utilizar la teorı́a económica como guı́a
◦ Acumular evidencia a favor o en contra de la “relevancia” o “irrelevancia” de
variables mediante contrastes de hipótesis
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	Omisión de variables relevantes
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