Clase 11 - Zaida Moreno Páez

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
Econometría I – EAE 250A
Juan Ignacio Urquiza – Segundo Semestre 2019
Introducción
 En las clases anteriores vimos qué pasaba con
los estimadores de MCO cuando cometíamos
algún tipo de error de especificación:
Omisión de variables relevantes
Errores de medida en las variables
 A continuación veremos cómo el método de
variables instrumentales permite obtener
estimadores consistentes.
Introducción
 Considere el siguiente modelo de regresión:
 Si se cumple que:
decimos que las variables explicativas son
exógenas.
Endogeneidad
 Si por alguna razón Xj estuviera correlacionada
con el error, entonces decimos que Xj es una
variable endógena.
 La existencia de variables endógenas invalida
los estimadores MCO, que serán inconsistentes.
 ¿Podemos obtener estimadores consistentes?
Variables Instrumentales (VI)
Mínimos Cuadrados en 2 Etapas (MC2E)
Endogeneidad
 Considere el siguiente modelo simple:
 Entonces, 
Variables Instrumentales
 Necesitamos algún tipo de “información adicional”.
 Supongamos que existe una variable Z tal que:
i. No esté correlacionada con el error:
ii. Sí esté correlacionada con la v. endógena:
Exogeneidad
Relevancia
Variables Instrumentales
 Entonces, empleando a Z como “instrumento”
podremos obtener estimadores consistentes.
 Veamos:
 Entonces,
Variables Instrumentales
 Principio de Analogía:
Estimador de Variables 
Instrumentales (VI)
Consistencia
 Demostración:
Variables Instrumentales
 Toda variable instrumental debe cumplir con las dos
propiedades anteriores:
 La primera no se puede contrastar – los errores son
inobservables.
 Debemos sostener que es válida a partir de
argumentos basados en la teoría económica.
 Conclusión: hay que ser cuidadosos en la elección!
Variables Instrumentales
 La segunda condición sí se puede contrastar.
 Cómo?
 Podemos estimar por MCO y hacer el contraste
como siempre.
Ejemplo – Wooldridge
En general, se puede demostrar que la varianza del estimador de VI será 
mayor que la varianza del estimador de MCO cuando éste sea válido.
Ver Wooldridge, sección 15.1
Variables Instrumentales
 Instrumentos no adecuados:
 El estimador de VI es consistente si:
 Si estas condiciones no se cumplen, el estimador 
de VI puede tener un sesgo asintótico mayor que 
el del estimador MCO.
Variables Instrumentales
 Instrumentos no adecuados:
 Implicancias:
 Aún cuando la correlación entre Z y ε sea pequeña, la
inconsistencia del estimador de VI puede ser muy
relevante si la correlación entre X y Z es pequeña.
 La situación es particularmente adversa cuando X y Z
no correlacionan en absoluto.
Generalización#1
 Vuelva a considerar el modelo simple:
 Supongamos que ahora disponemos de dos
posibles variables instrumentales: Z1, Z2.
 Podríamos obtener dos estimadores simples de
VI, uno por cada instrumento…
Generalización#1
 Vuelva a considerar el modelo simple:
 Supongamos que ahora disponemos de dos
posibles variables instrumentales: Z1, Z2.
… o podríamos obtener un estimador que utilice
como instrumento a una combinación de ambos!
MC2E
 Etapa 1:
 Estimar la forma reducida por MCO:
 Los valores ajustados son:
 Etapa 2:
 Estimar el modelo por MCO utilizando los valores
ajustados:
MC2E
 Forma Reducida – Interpretación:
 La forma reducida descompone de forma aditiva
a la variable endógena en dos partes:
 La parte exógena, explicada por los instrumentos.
 La parte endógena, que es lo que queda sin ser
explicado por los instrumentos.
Reemplazando en el modelo original:
El estimador de VI funciona porque el regresor no
correlaciona con error compuesto (u).
MC2E
 Nota:
 Aunque en ambos casos los coeficientes son los
mismos, los errores estándar al obtener los
estimadores de MC2E secuencialmente no son
válidos.
 Intuitivamente, el término de error de la segunda
etapa (u) incluye al error de la primera etapa (v) pero
los errores estándar reportados comprenden a la
varianza de ε únicamente.
 En Stata, simplemente utilizar el comando “ivregress”.
Generalización#2
 Consideremos ahora un modelo múltiple:
donde:
 Por lo tanto,
Generalización#2
 Al igual que antes, supongamos que Z es un
instrumento tal que:
 Forma reducida:
 Relevancia?
Note que incluye al 
instrumento pero 
además incluye a 
todas la variables 
exógenas 
incluidas…
Generalización#3
 ¿Qué pasa si tenemos más de una variable endógena?
 Supongamos que tenemos el siguiente modelo:
 Solución:
 Necesitaremos al menos tantos instrumentos como
variables endógenas!
Generalización#3
 Forma reducida – una por cada v. endógena:
 Relevancia?
 Debe cumplirse, al menos, que:
Contraste de Endogeneidad
 En la práctica, existen situaciones en las que no
sabemos si una variable explicativa es endógena o
exógena.
 Test de Hausman:
Contraste de Endogeneidad
 Test de Hausman:
 Forma reducida:
Contraste de Endogeneidad
 Test de Hausman:
 Por lo tanto, H0 será cierta cuando:
 Alternativamente:
Contraste de Endogeneidad
 En la práctica “v” es inobservable, entonces:
 Por lo tanto,
 Si rechazamos H0, entonces concluiremos que X
es endógena.
¿Y cuándo hay más variables 
potencialmente endógenas?
Contraste de Endogeneidad
 Test de Hausman (caso general): 
 Considere el caso de “r” variables potencialmente
endógenas.
 Se deben estimar entonces r formas reducidas;
una para cada una de estas variables.
 Se obtienen los residuos de cada forma reducida.
 Se incluyen estos residuos en el modelo original.
 Se implementa un test de significancia conjunta:
Ejemplo#1
Ejemplo#1
Sobre-identificación
 En el caso simple, tenemos un instrumento por cada
variable potencialmente endógena.
 Decimos que el modelo está “exactamente identificado”.
 En estos casos, no podemos contrastar la condición
de no correlación de los instrumentos con el error.
 Sin embargo, si tenemos más variables instrumentales
que variables endógenas, entonces decimos que el
modelo está “sobre-identificado”.
 Aquí sí podremos contrastar si algún instrumento
correlaciona con el error.
¿Cómo?
Sobre-identificación
 Supongamos que tenemos “r” variables
explicativas potencialmente endógenas y “q”
instrumentos, donde q > r.
 Entonces, (q – r) es el número de restricciones
de sobre-identificación.
Número de instrumentos “extra”.
 Como los errores son inobservables, podremos
implementar el contraste mediante el uso de
residuos.
Sobre-identificación
 Contraste de Sargan:
 Se estima la regresión por MC2E y se obtienen
los residuos.
 Luego se estima la regresión de los residuos
sobre todas las variables exógenas y todos los
instrumentos.
 Se obtiene el R2 de dicha regresión auxiliar, R2 .
 Bajo H0 que ningún instrumento correlaciona con
el error, tenemos que:
Sobre-identificación
 Interpretación:
 Si nRu
2 excede al valor critico entonces se
rechaza H0:
 Al menos una de las variables instrumentales no es
exógena.
Ejemplo#2
Ejemplo#2
Ejemplo#2