Clase 18 - Variables Instrumentales - Zaida Moreno Páez

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Econometrı́a I
EAE2510
Clase 18
Variables Instrumentales I: Introducción
Miriam Artiles
Instituto de Economı́a
Pontificia Universidad Católica de Chile
Segundo Semestre 2021
Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Hoy1
• Objetivo: causalidad
◦ Queremos estimar el efecto causal de x sobre y
• En clases anteriores vimos que β no siempre tiene una interpretación causal
• En general, hay tres motivos clásicos que dificultan la interpretación causal:
1. Omisión de variables relevantes
2. Errores de medida en variables explicativas (X)
3. Simultaneidad
• Hoy vamos a ver un método que nos va a permitir estimar y hacer inferencia en
estos casos: variables instrumentales
• De forma más general, este método nos permite estimar consistentemente los
parámetros cuando alguno de los regresores son endógenos
——–
1 Wooldridge, capı́tulo 15: Estimación con variables instrumentales y mı́nimos cuadrados en dos etapas
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Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Endogeneidad
• Dado el Modelo de Regresión Lineal (MRL):
yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + ui ∀i = 1, ..., n
• El supuesto 4 del MRL (exogeneidad) nos dice:
E(ui|X) = E(ui|xi1, xi2) = 0 ∀i = 1, ..., n
• Cuendo este supuesto se cumple decimos que las variables x1 y x2 son
exógenas
• Cuando el supuesto no se cumple se dice que existe un problema de
endogeneidad
◦ Si por alguna razón tenemos E(u|xj) 6= 0, es decir, Cov(u, xj) 6= 0 (xj está
correlacionada con u), decimos que xj es una variable explicativa endógena
◦ Recuerda: E(u|xj) 6= 0→ Cov(u, xj) 6= 0
Cov(u, xj |xj) = E[(xj − µxj )(u− µu)|xj ]
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Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Endogeneidad
Ejemplo
• Considera el modelo
Salarioi = β0 + β1Educi + β2Mujeri + ui
• Donde Habilidad es una variable omitida:
ui = Habilidadi + �i
• Si pensamos que la habilidad está correlacionada con los años de educación,
es decir, Cov(Habilidadi, Educi) 6= 0, entonces Cov(ui, Educi) 6= 0
→ Cuando Cov(ui, xi1) 6= 0 decimos que x1 es endógena
• Sin embargo, podemos intuir que la habilidad no está correlacionada con el
género, es decir, Cov(Mujeri, Habilidadi) = 0, por lo que
Cov(ui,Mujeri) = 0
→ Cuando Cov(ui, xi2) = 0 decimos que x2 es exógena
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Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Endogeneidad
Insesgadez al estimar por MCO con variables endógenas
• La endogeneidad de una variable explicativa viola uno de los supuestos de
Gauss-Markov!
→ el estimador MCO ya no será el más eficiente de entre todos los estimadores
lineales insesgados
• De hecho, cuando un regresor es endógeno, el estimador MCO es sesgado:
Demostración con la expresión del β̂MCO en el modelo de regresión simple,
β̂1
MCO
= β1 +
1∑n
i=1(xi − x̄)2
n∑
i=1
(xi − x̄)ui
E(β̂1
MCO
|x) = E(β1|x) + E
(
1∑n
i=1(xi − x̄)2
n∑
i=1
(xi − x̄)ui
∣∣∣x)
= E(β1|x)︸ ︷︷ ︸
β1
+
1∑n
i=1(xi − x̄)2
n∑
i=1
E((xi − x̄)ui|x)︸ ︷︷ ︸
6=0 siE(ui|x)6=0
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Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Causas de la Endogeneidad:
Observamos problemas de endogeneidad (no se cumple E(ui|X) = 0) cuando
tenemos una de estas 3 situaciones:
1. Error de medida en los regresores (X)→ Clase 15
◦ Sesgo de atenuación
2. Omisión de variables relevantes→ Clase 16
◦ Cuando omitimos variables relevantes que están correlacionadas con los
regresores (X) del modelo tenemos sesgo de variable omitida/sesgo de selección
3. Simultaneidad (x→ y y y → x)
Ejemplo:
◦ Precios y cantidades en una estimación de una ecuación de demanda o de oferta.
Los precios y cantidades se determinan conjuntamente en equilibrio por la inter-
sección de la oferta y la demanda
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Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Simultaneidad
• Es bastante habitual que las realizaciones de distintas variables económicas
estén relacionadas entre sı́
• Esto supone que la ecuación de la variable dependiente en que estamos
interesados forma parte de un sistema de ecuaciones simultáneas:
◦ Algunas variables que aparecen en el lado derecho de la ecuación de interés
aparecen como variables dependientes en otras ecuaciones, y viceversa
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Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Simultaneidad
Ejemplo: oferta y demanda
• Por ejemplo, imagina que queremos estimar la demanda de chocolate:
ln(Qi) =β0 + β1︸︷︷︸
Elastcidad precio
ln(Pri) + ui (demanda)
ln(Pri) =α0 + α1ln(Qi) + εi (oferta)
• Es evidente que las variables Q y Pr no son ortogonales a ninguna de las
perturbaciones (es decir, no son exógenas):
E(Q|Pr) = β0 + β1ln(Pri) + E(u|Pr)︸ ︷︷ ︸
6=0
E(Pr|Q) = α0 + α1ln(Qi) + E(ε|Q)︸ ︷︷ ︸
6=0
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Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Variables instrumentales
Intuición
• Supongamos que queremos estimar el siguiente modelo
yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + ui ∀i = 1, ..., n
donde x1 es un regresor endógeno Cov(xi1, ui) 6= 0 y x2 es un regresor
exógeno Cov(xi2, ui) = 0
• Usando variables instrumentales (VI) es posible obtener estimadores
insesgados incluso bajo endogeneidad
• IV nos va a permitir tener una interpretación causal de los βs
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Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Variables instrumentales
Intuición
Imagina que existe una variable z tal que:
1. z es exógena
No está correlacionada con el error, Cov(zi, ui) = 0
2. z es relevante
Está correlacionada con x1 (la variable endógena), Cov(xi1, zi) 6= 0
→ A la variable z la llamamos instrumento
Intuición:
◦ Queremos separar la parte endógena de x1 de su parte exógena
◦ Para eso precisamos una nueva variable completamente exógena (z) que esté
correlacionada con x1
◦ Intuitivamente, ¿Qué querrı́amos que tuviera esta nueva variable z?
− Que sea exógena! si es endógena nos quedamos con la que tenemos...
− Que tenga alguna relación con la variable endógena (x1) ... en caso contrario
nos cambiarı́a el modelo!
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Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Variables instrumentales
Intuición
Imagina que existe una variable z tal que:
1. z es exógena
No está correlacionada con el error, Cov(zi, ui) = 0
2. z es relevante
Está correlacionada con x1 (la variable endógena), Cov(xi1, zi) 6= 0
→ A la variable z la llamamos instrumento
Intuición:
◦ Queremos separar la parte endógena de x1 de su parte exógena
◦ Para eso precisamos una nueva variable completamente exógena (z) que esté
correlacionada con x1
◦ Intuitivamente, ¿Qué querrı́amos que tuviera esta nueva variable z?
− Que sea exógena! si es endógena nos quedamos con la que tenemos...
− Que tenga alguna relación con la variable endógena (x1) ... en caso contrario
nos cambiarı́a el modelo!
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Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Variables instrumentales
Ejemplo
• Considera el modelo:
Salarioi = β0 + β1Educi + β2Mujeri + ui
¿Es razonable asumir Cov(ui, Educi) = 0?
• Podemos argumentar que Habilidad es una variable omitida que puede estar
correlacionada con Educ:
ui = Habilidadi + �i
• Un instrumento válido necesita estar correlacionado con Educ pero no con
Habilidad (ni con cualquier otra variable omitida en el término de error)
• ¿Alguna idea?
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Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Variables instrumentales
Ejemplo
• Un ejemplo de VI para Educ:
◦ Proximidad geográfica con alguna universidad
Card (1995,2001) usa distancia a la universidad como instrumento, con la idea de
que aquellos que vivan más cerca de una universidad tendrán una probabilidad
mayor de asistir. Por otro lado, esa distancia no deberı́a estar relacionada con la
habilidad de los individuos y, por lo tanto, no deberı́a estar correlacionada conel
término de error
• Otros ejemplos utilizados en la literatura:
◦ Trimestre de nacimiento (Angrist and Krueger, 1991)
◦ Gemelos (Ashenfelter and Krueger, 1994)
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http://faculty.ses.wsu.edu/cowan/teaching/593/Card_ECMA.pdf
https://www.jstor.org/stable/2937954
https://www.jstor.org/stable/2117766
Introducción Endogeneidad Causas de endogeneidad Variables instrumentales Resumen
Conclusiones
• Decimos que una variable es endógena cuando Cov(u, x) 6= 0
• En presencia de endogeneidad no se cumple uno de los supuestos de
Gauss-Markov, y entonces β̂MCO será:
◦ Sesgado
◦ Ineficiente
• Hay 3 fuentes de endogeneidad frecuentes en economı́a:
1. Omisión de variables relevantes
2. Errores de medida en variables explicativas
3. Simultaneidad
• Para poder estimar consistentemente vamos precisar un instrumento
• Un instrumento válido es una tercera variable z que cumple con:
◦ Exogeneidad: Cov(u, z) = 0
◦ Relevancia: Cov(x, z) 6= 0
• La próxima clase vamos a ver cómo estimar usando estos instrumentos!
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	Introducción
	Endogeneidad
	Causas de endogeneidad
	Variables instrumentales
	Resumen