Examen 2014 - 2

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Econoḿıa
Segundo Semestre de 2014
Examen Final
Microeconomı́a II
Profesora: Alejandra Traferri
Preguntas: 6
Puntaje total: 76 puntos
Tiempo total: 120 minutos
• NO olvide firmar y entregar el Código de Honor de la Facultad.
• Respete el protocolo para las evaluaciones de la Facultad.
• NO coloque su nombre en el cuadernillo.
• Responda en el cuadernillo ocupando el espacio asignado para cada pregunta (utilice
solamente el anverso de cada hoja), de lo contrario, su respuesta RECIBIRÁ una
PENALIZACIÓN del 20% del puntaje obtenido.
• Trabaje con lápiz de tinta y no use corrector, de lo contrario no podrá pedir re-
corrección.
• Lea cuidadosamente cada enunciado; sea lo más riguroso/a, cuidadoso/a y formal
posible al responder.
• Tenga en cuenta que los resultados numéricos o gráficos sin la debida explicación no
serán puntuados.
• NO se perdonarán errores de arrastre.
1
Pregunta 1. [12 puntos] Economı́a de intercambio.
Considere una economı́a con dos individuos, A y B, y con dos bienes. La dotación
agregada es x = (x1, x2) = (70, 100). Las preferencias de cada individuo se representan por
las siguientes funciones de utilidad:
uA(x1, x2) = x1A +
√
x2A
uB(x1, x2) = x1B +
√
x2B
Determine si cada una de las asignaciones propuestas podŕıa potencialmente represen-
tar la asignación de equilibrio de esta economı́a. Explique y justifique rigurosamente
su respuesta. Dibuje en un único gráfico todos los casos propuestos.
i. xA = (x1A, x2A) = (23, 50) y xB = (x1B, x2B) = (47, 50)
ii. xA = (x1A, x2A) = (0, 81) y xB = (x1B, x2B) = (70, 19)
iii. xA = (x1A, x2A) = (70, 64) y xB = (x1B, x2B) = (0, 36)
iv. xA = (x1A, x2A) = (39, 50) y xB = (x1B, x2B) = (33, 50)
Respuesta:
El primer teorema de la economı́a del bienestar establece que, bajo determinadas condi-
ciones que se cumplen en este caso, cualquier asignación de equilibrio es Pareto eficiente,
es decir, eficiencia paretiana es condición necesaria para el equilibrio. Por otro lado, una
condición necesaria para que una asignación sea Pareto eficiente es que los recursos estén
plenamente distribuidos (factibilidad en sentido estricto).
Por lo tanto, para determinar si cada una de las asignaciones propuestas podŕıa poten-
cialmente representar una asignación de equilibrio, tenemos que verificar que dicha asig-
nación sea Pareto eficiente, es decir, que satisfaga las siguientes propiedades:
(i) no admite mejoras paretianas, es decir, no es posible mejorar la utilidad de un agente
sin perjudicar al otro,
(ii) agota los recursos disponibles de cada bien, es decir, x1A + x1B = x̄1 = 70 y x2A +
x2B = x̄2 = 100.
Anaĺıticamente, el conjunto de asignaciones eficientes en el sentido de Pareto tiene 3
tramos.
En uno, las TMgSix2/x1 = 2
√
x2i se igualan, por lo que 2
√
x2A = 2
√
x2B más x2A+x2B =
100⇒ x2A = x2B = 50; en otro, A tiene una TMgS menor que la de B, por lo que B consume
todo lo que hay del bien 1 y los traspasos de utilidad se hacen exclusivamente trasladando
consumo del bien 2 entre ambos individuos y en el tercer tramo, B tiene una TMgS mayor
que A, por lo que A consume todo lo que hay del bien 1 y y los traspasos de utilidad se
hacen exclusivamente trasladando consumo del bien 2 entre ambos individuos. Notar que
TMgSAx2/x1 < TMgS
B
x2/x1
⇔ x2A < x2B.
Aśı, la ecuación de la curva de contrato es:
x1A ∈

0 si x2A < 50
[0, 70] si x2A = 50
70 si 50 < x2A ≤ 100
2
Además, xjB = xj − xjA ∀j
Veamos caso por caso si la asignación propuesta pertenece al conjunto de asignaciones
eficientes o no:
[i.] xA = (x1A, x2A) = (23, 50) y xB = (x1B, x2B) = (47, 50)
x1A+x1B = 70 = x̄1 ; x2A+x2B = 100 = x̄2 y x1A = 23 ∈ [0, 70];x2A = 50 pertenece al tramo 2
⇒ Es una asignación Pareto eficiente, por lo tanto cumple la condición necesaria para ser
una asignación de equilibrio.
[ii.] xA = (x1A, x2A) = (0, 81) y xB = (x1B, x2B) = (70, 19)
x1A + x1B = 70 = x̄1 ; x2A + x2B = 100 = x̄2 y x1A = 0 ; x2B = 81 > 50 ⇒ No es una
asignación eficiente en el sentido de Pareto, por lo tanto no cumple la condición necesaria
para ser una asignación de equilibrio.
[iii.] xA = (x1A, x2A) = (70, 64) y xB = (x1B, x2B) = (0, 36)
x1A+x1B = 70 = x̄1 ; x2A+x2B = 100 = x̄2 y x1A = 70 ; x2A = 64 > 50 pertenece al tramo 1
⇒ Es una asignación Pareto eficiente, por lo tanto cumple la condición necesaria para ser
una asignación de equilibrio.
[iv.] xA = (x1A, x2A) = (39, 50) y xB = (x1B, x2B) = (33, 50)
x1A + x1B = 72 > 70 = x̄1 ⇒ No es una asignación factible, por lo tanto no cumple
la condición necesaria para ser una asignación Pareto eficiente y por ende no cumple la
condición necesaria para ser una asignación de equilibrio.
Alternativa: sin obtener anáıticamente la curva de contrato se puede llegar a la misma
conclusión mostranto si cada una de las asignaciones factibles en sentido estricto da lugar
o no a mejoras paretianas.
3
Pregunta 2. [12 puntos] Economı́a de intercambio con Incertidumbre.
Considere una economı́a con incertidumbre con dos estados de la naturaleza (s = 1, 2).
Cualquiera sea el estado que ocurra, la cantidad total de recursos de la economı́a será la
misma. En esta economı́a hay dos consumidores (i = A,B) aversos al riesgo, con prefer-
encias representadas por funciones von Neuman-Morgenstern. Suponga, en particular, que
ambos tienen igual ı́ndice de Bernoulli u(cis) y que el Sr. A es relativamente más optimista
que el Sr. B con respecto a la ocurrencia del estado 1 (es decir, π1A > π1B).
En este contexto, ¿cuáles son los planes de consumo contingente que asignan eficien-
temente el riesgo entre ambos? Demuestre formalmente su respuesta y explique la
intuición.
Respuesta:
Proposición. En una economı́a con incertidumbre, sin riesgo agregado, agentes aversos
al riesgo y creencias heterogéneas, los planes de consumo contingente eficientes serán tales
que el individuo relativamente más optimista con respecto a la ocurrencia del estado 1
consumirá siempre más en dicho estado que en el otro estado y viceversa. Es decir, en este
caso,
c1A > c2A y c1B < c2B.
Demostración. Las funciones de utilidad esperada de los agentes i = A,B están dadas
por
EUi = π1iui(c1i) + (1− π1i)ui(c2i), con u′′ < 0
Los planes de consumo contingente que asignan el riesgo eficientemente satisfacen las sigu-
ientes propiedades:
(i) No admiten mejoras paretianas. Es decir, no es posible reasignar y mejorar la utilidad
esperada de un agente sin empeorar la del otro. Dado que las funciones de utilidad esperada
son estrictamente cóncavas (curvas de indiferencia estrictamente convexas), esta propiedad
equivale a la condición de igualación de tasas marginales de sustitución
TMSSA = TMSSB
(ii) Agotan los recursos disponibles en cada estado de la naturaleza posible. Es decir,
c1A + c1B = c̄1
c2A + c2B = c̄2
donde no hay riesgo agregado, c̄1 = c̄2 = c̄.
En primer lugar, notamos que dado que no hay riesgo agregado, si
c1A R c2A ⇐⇒ c1B S c2B.
Es decir, no es posible que ambos individuos simultáneamente consuman más si ocurre un
estado que si ocurre el otro y que esto sea factible estricto.
En segundo lugar, operamos con las funciones de utilidad esperada
TMSSA = TMSSB
π1Au
′
A(c1A)
(1− π1A)u′A(c2A)
=
π1Bu
′
B(c1B)
(1− π1B)u′B(c2B)
4
reacomodando,
π1A
π1B
u′A(c1A)
u′A(c2A)
=
(1− π1A)
(1− π1B)
u′B(c1B)
u′B(c2B)
(I)
donde sabemos que π1Aπ1B > 1 y por lo tanto
(1−π1A)
(1−π1B) < 1.
[1] Demostración por contradicción.
Supongamos que la asignación es factible estricta pero que no es cierto que c1A > c2A y
c1B < c2B.
En primer lugar, descartamos la posibilidad de que la asignación eficiente pase por un
perfil de consumo libre de riesgo. Si c1A = c2A, entonces c1B = c2B porque no hay riesgo
agregado. Pero entonces
u′A(c1A)
u′A(c2A)
= 1 y
u′B(c1B)
u′B(c2B)
= 1, con lo cual no se cumpliŕıa la igualdad
TMSSA = TMSSB.
π1A
π1B︸︷︷︸
>1
u′A(c1A)
u′A(c2A)︸ ︷︷ ︸
=1
6= (1− π1A)
(1− π1B)︸ ︷︷ ︸
<1
u′B(c1B)
u′B(c2B)︸ ︷︷ ︸
=1
En segundolugar, descartamos la posibilidad de que la asignación eficiente sea tal que
c1A < c2A. En este caso, por ausencia de riesgo agregado, c1B > c2B. Si ambos agentes
son aversos al riesgo, sabemos que las funciones de felicidad o de Bernoulli ui(c
i
s) son
estrictamente cóncavas y
u′i(c1i) R u
′
i(c2i) ⇐⇒ c1i Q c2i
Aśı, si c1A < c2A y c1B > c2B tendŕıamos para el Sr A, si
u′A(c1A)
u′A(c2A)
> 1 y
u′B(c1B)
u′B(c2B)
< 1, con lo
cual la igualdad de TMSS tampoco se cumpliŕıa.
π1A
π1B︸︷︷︸
>1
u′A(c1A)
u′A(c2A)︸ ︷︷ ︸
>1
6= (1− π1A)
(1− π1B)︸ ︷︷ ︸
<1
u′B(c1B)
u′B(c2B)︸ ︷︷ ︸
<1
Luego, concluimos que necesariamente c1A > c2A y c1B < c2B. Lo cual demuestra lo
propuesto.
[2] Demostración directa.
Para que la igualdad (I) se mantenga, entonces necesariamente
u′A (c1A)
u′A (c2A)
< 1 y
u′B (c1B)
u′B (c2B)
> 1
Si ambos agentes son aversos al riesgo, sabemos que las funciones de felicidad o de Bernoulli
ui(c
i
s) son estrictamente cóncavas y
u′i (c1i) R u
′
i (c2i) ⇐⇒ c1i Q c2i
Deducimos entonces que para el Sr A, si
u′A(c1A)
u′A(c2A)
< 1
u′A (c1A) < u
′
A (c2A) ⇐⇒ c1A > c2A
5
y para el Sr. B,
u′B (c1B) > u
′
B (c2B) ⇐⇒ c1B < c2B
o alternativamente, utilizando la condición de no desperdicio y ausencia de riesgo agregado,
c1A > c2A
c̄− c1B > c̄− c2B
c2B > c1A
Lo cual demuestra lo propuesto.
Intuición.
En este caso, aunque no haya riesgo agregado y ambos agentes sean aversos al riesgo,
el hecho de que tengan creencias heterogéneas hará que sea eficiente que cada individuo
asuma algo de riesgo. Más precisamente, como hay dos estados y dos consumidores, que
el Sr A sea más optimista que el Sr. B con respecto a la ocurrencia del estado 1, se puede
interpretar desde el otro “lado”: el Sr. B es más optimista que el Sr. A con respecto a la
ocurrencia del estado 2. Luego, cada uno está dispuesto a “apostar” por estados distintos
y por eso es eficiente que cada uno consuma más en el estado que (comparado con el otro
individuo) cree más probable. Es decir, si les asignáramos un perfil de consumo libre de
riesgo, podŕıamos realizar una mejora paretiana mediante la reasignación que implique un
mayor consumo en el estado 1 que en el estado 2 para el Sr. A y al revés para el Sr. B.
6
Pregunta 3. [12 puntos] Economı́a con Producción.
Considere una economı́a pequeña y abierta, que enfrenta precios internacionales p1 y p2
por los bienes 1 y 2 respectivamente. Estos bienes se pueden producir internamente con las
siguientes tecnoloǵıas:
sector 1 : F (L1,K1) = L
1/4
1 K
3/4
1
sector 2 : G(L2,K2) = L
3/4
2 K
1/4
2
Suponga que las dotaciones de factores son K = L, y que se produce de ambos bienes.
Denote por q1 y q2 las cantidades producidas de cada bien, respectivamente.
En esta economı́a hay N consumidores con idénticas preferencias representadas por
funciones de utilidad Cobb-Douglas las que no cambian en ningún momento, cada uno
posee una porción 1N de cada firma, y algunos de ellos son dueños del capital y otros dueños
del trabajo.
Suponga que un experto en economı́a está participando de un debate sobre coyuntura y
proyecciones económicas y ante la siguiente pregunta, “se prevé que el sector productivo de
la economı́a local próximamente se verá afectada de tal manera que la producción del sector
1 caerá y la del sector 2 aumentará, ¿qué efectos tendrán estos cambios sobre el bienestar de
los consumidores de esta economı́a?”, el experto responde, “no hay una única respuesta, ya
que el efecto sobre el bienestar dependerá de las causas por las cuales el sector productivo
sufre ese cambio.”
Explique y argumente rigurosamente porqué el experto dice que la respuesta de-
penderá de las causas por las cuales cae la producción del bien 1 y aumenta la del bien
2.
Respuesta:
Dado que el sector 1 es intensivo en K y el sector 2 es intensivo en L, una ∆−q1 y un
∆+q2 podŕıa deberse a:
(1) un cambio en los precios internacionales que favorezca al sector 2, por ejemplo,
∆− p1p2 . Al ∆
− p1
p2
los productores tienen incentivos (beneficios a corto plazo) a reacomodar
los factores productivos para ∆−q1 y ∆
+q2 ya que
p1
p2
< c1c2 (todo lo demás constante).
(2) un cambio en la dotación de factores tal que ∆+L̄ o ∆−K̄ o cualquier combinación tal
que ∆− K̄
L̄
. Si aumenta la dotación de un factor productivo, por ejemplo, ∆+L̄, aumentará la
cantidad producida del bien cuya producción utiliza de manera intensiva el factor productivo
que ha aumentado, q2 en este caso, y disminuirá la cantidad producida del otro bien, q1 en
este caso. Teorema de Rybczynski.
Veamos ahora el efecto de cada cambio sobre el bienestar de los consumidores. Dado
que los consumidores tienen preferencias que cumplen con el supuesto de no saciedad local,
si aumenta (disminuye) el conjunto de posibilidades de consumo el bienestar aumentará
(disminuirá). Para ello necesitamos saber si aumenta o no el poder adquisitivo, el cual viene
dado por el salario real en términos de cada bien, ya que si bien todos son propietarios de
las firmas, éstas tienen beneficios nulos debido a que las funciones de producción tienen
RCE.
Tener en cuenta que el salario real viene dado por wspj = PMgs ∀j donde s ∈ (K,L).
7
(1) ∆− p1p2
Por el teorema de Stolper-Samuelson sabemos que al abaratarse en términos relativos
el bien 1, el factor productivo que es utilizado en forma intensiva en ese sector se abaratará,
mientras que el otro factor productivo se encarecerá, es decir, en este caso disminuirá el
precio del capital (∆−wK) y aumentará el precio del trabajo (∆
+wL).
Si analizamos lo que pasa con las productividades marginales de cada factor no es
necesario suponer que pasa espećıficamente con p1 y p2, por lo tanto veamos como cambia
la relación de uso óptima en cada sector, ya que las productividades marginales dependen
de ese ratio.
Al ∆− p1p2 para ∆
−q1 y ∆
+q2 hay que traspasar K y L del sector 1 al sector 2. Pero
cada unidad de q1 que se deja de producir libera más K (en términos relativos) de lo que
cada aumento de una unidad de q2 necesita, por lo que se produce un exceso de oferta de
K (en términos relativos) produciendo un aumento en el relativo de precio de los factores
(∆+ wLwK ) y una sustitución de L por K en ambos sectores, volviéndose más intensivos en
K, es decir, ∆+
Kj
Lj
∀j, por lo que ∆−PMgKj y ∆+PMgLj ∀j.
Luego,
- dueños del capital:
∆−wKp1 y ∆
−wK
p2
⇒ disminuye el bienestar.
- dueños del trabajo:
∆+wLp1 y ∆
+wL
p2
⇒ aumenta el bienestar.
(2) ∆+L̄ o ∆−K̄ o cualquier cambio tal que ∆− K̄
L̄
El precio relativo de los bienes está dado y no ha cambiado en este escenario, por lo
tanto para ver que pasa con el salario real tenemos que ver que pasa con el precio de los
factores. Éstos no han cambiado ya que no han cambiado ninguno de sus determinantes,
a saber, el precio relativo de bienes y los costos unitarios de producción (tecnoloǵıas de
producción).
Al no haber cambiado ni los precios de los bienes ni los precios de los factores, el poder
adquisitivo de los dueños del capital y del trabajo no cambia, y tampoco lo hará el bienestar.
Conclusión: el bienestar de los consumidores dependerá por lo tanto de la causa del cam-
bio en el sector productivo, si cambian los precios de los bienes internacionales el bienestar
se verá afectado, algunos consumidores se beneficiarán y otros se perjudicarán, dependi-
endo del factor productivo que posean, mientras que si cambian las dotaciones de factores
el bienestar no se verá afectado.
8
Pregunta 4. [12 puntos] Riesgo Moral.
Suponga un juego de producción entre un empleador (Principal) y un trabajador (Dele-
gado) en el que son posibles dos resultados (x1 = 11000 y x2 = 20000). El trabajador puede
elegir entre tres posibles niveles de esfuerzo {e1, e2, e3} con (e1 > e2 > e3). La distribución
de probabilidades sobre los resultados en función del esfuerzo y el costo del esfuerzo para el
trabajador se muestran en la siguiente tabla:
e1 e2 e3
x1 = 11000
1
10
1
4
1
2
x2 = 20000
9
103
4
1
2
c(e) 11 4 0
Las funciones de Bernoulli están dadas por uP = xs − ws y uD =
√
ws − c(e), para el
empleador y el trabajador (delegado), respectivamente. La utilidad de reserva del traba-
jador es u = 80.
Usted dispone de los siguientes datos adicionales:
Información Simétrica: Cuando el esfuerzo es observable y verificable, el Principal
ofrece el siguiente contrato óptimo
w∗ = we1 = {
8281 si e = e∗ = e1
0 en caso contrario
.
obteniendo una utilidad esperada igual a EU e1∗P = 10 819. Esta utilidad esperada es mayor
que la que obtendŕıa ofreciendo alguno de estos dos contratos,
we2 = {
7056 si e = e2
0 en caso contrario
. ó we3 = {
6400 si e = e3
0 en caso contrario
. .
Información Asimétrica: Cuando el esfuerzo no es observable,
- si el Principal quisiera inducir el esfuerzo medio, e2, ofreceŕıa el siguiente contrato
w = {
5184 si x = x1
7744 si x = x2
.
- si el Principal quisiera inducir el esfuerzo alto, e1, ofreceŕıa el siguiente contrato
w = {
2401 si x = x1
82 369
9 si x = x2
.;
9
y, en ambos casos, el Delegado aceptaŕıa y elegiŕıa el esfuerzo deseado por el Principal.
Con los datos que dispone, calcule y explique todo lo necesario para poder comparar
ambas situaciones informacionales (información simétrica e información asimétrica) con
respecto a (i) valor esperado de la producción; y (ii) valor esperado del salario. Teniendo
en cuenta estos dos elementos, calcule el costo de la información asimétrica y explique
por qué se produce este costo.
Respuesta:
Para poder contestar, necesitamos obtener cuál será el contrato óptimo que ofrecerá el
Principal en el caso de información asimétrica. Para ello, a su vez, necesitamos obtener el
contrato que ofreceŕıa si indujera el esfuerzo bajo, e3. En este caso, si bien es un contrato
que depende de los resultados, x1 y x2, sabemos que ofrecerá un salario fijo cualquiera sea el
resultado obtenido y este salario es tal que el Delegado acepta. Es decir, solo debe satisfacer
la restricción de participación. Ofrece un contrato con salario fijo, pues es el contrato de
menor costo para el empleador (dado que el delegado es averso al riesgo) y, con un salario
fijo, el delegado siempre elige el menor esfuerzo. Sabemos, además, que este salario fijo es
el mismo que ofreceŕıa si pudiera verificar el esfuerzo bajo, es decir, el contrato seŕıa
w = 6400 cualquiera sea el resultado, x1 ó x2
Utilidad esperada empleador:
EŨ e3P =
1
2
∗ 11000 + 1
2
∗ 20000− 6400 = 9100
Luego, calculamos con los contratos que ya nos dieron, la utilidad esperada que obtendŕıa
si quisiera inducir el esfuerzo medio o el esfuerzo alto:
EŨ e2P =
1
4
∗ 11000 + 3
4
∗ 20000− (1
4
∗ 5184 + 3
4
∗ 7744) = 10646
EŨ e1P =
1
10
∗ 11000 + 9
10
∗ 20000− ( 1
10
∗ 2401 + 9
10
∗ 82 369
9
) = 10623
de donde concluimos que, bajo información asimétrica, el Principal ofrecerá óptimamente
w̃ = {
5184 si x = x1
7744 si x = x2
.
e inducirá el esfuerzo MEDIO.
En el caso de información simétrica, nos indican que exigirá el esfuerzo ALTO, y que
obtendrá una utilidad esperada igual a EU e1∗P = 10819.
Luego, estamos en condiciones de comparar ambas situaciones.
(i) Valor Esperado de la Producción:
Con información simétrica, el Principal exige el esfuerzo ALTO, luego obtiene
E(x|e1) =
1
10
∗ 11000 + 9
10
∗ 20000 = 19100
Con información asimétrica, el Principal induce el esfuerzo MEDIO, luego obtiene
E(x|e2) =
1
4
∗ 11000 + 3
4
∗ 20000 = 17750
10
(ii) Valor esperado salario:
Info. simétrica:
E(w∗) =
1
10
∗ 8281 + 9
10
∗ 8281 = 8281
Info. asimétrica:
E(w̃) =
1
4
∗ 5184 + 3
4
∗ 7744 = 7104
Costo de información asimétrica:
Por el lado de la producción esperada, hay un costo de la información asociado a la reducción
del esfuerzo inducido y, por lo tanto, del valor esperado de la producción, igual a
E(x|e1)− E(x|e2) = 19100− 17750 = 1350
El salario esperado que pagará es menor con información asimétrica,
E(w∗)− E(w̃) = 8281− 7104 = 1177
sin embargo, SI PUDIERA OBSERVAR EL ESFUERZO, EXIGIR EL ESFUERZO MEDIO
LE COSTARIA MENOS ya que we2 = 7056 < 7104, por lo tanto, el menor salario esperado
con información asimétrica NO compensa la cáıda en el valor esperado de la producción.
La razón de esto es que el delegado asumirá riesgo (pues cobrará salarios distintos), y el
Principal debe compensarlo por la desutilidad que le genera al Delegado (que es averso al
riesgo) (recuerde que estamos comparando esta desutilidad contra el caso en que el Principal
pueda asegurarlo y el agente realice el mismo esfuerzo medio!).
Luego, el costo de información asimétrica se puede descomponer en los siguientes elementos
EU e1∗P − EŨ
e2
P = 10819− 10646 = 173
EU e1∗P − EŨ
e2
P = E(x|e1)− E(w
∗)− [E(x|e2)− E(w̃)]
= [E(x|e1)− E(x|e2)]− [E(w∗)− E(w̃)]
= 1350− 1177 = 173
En śıntesis, el costo de información tiene dos componentes: (i) costo por no poder inducir
el mismo esfuerzo que en caso verificable y (ii) costo por tener que hacer que el Delegado
averso al riesgo acepte un contrato con riesgo.
11
Pregunta 5. [16 puntos] Señalización
Considere el problema de la calidad, en que una empresa puede ser de calidad alta (tipo
θ1) o baja (tipo θ2). La empresa conoce su tipo, pero el consumidor no lo observa; su
creencia a priori es Pr(θ1) = 0.5. La única diferencia entre ambos tipos es que un producto
del proveedor θ1 tiene una probabilidad de falla de 5%, y uno de θ2 tiene una probabilidad
de falla de 60%. El costo de producción es de 80 para ambos tipos. El consumidor valora
en 120 un producto que funciona bien (ya sea porque no falló o porque fue reparado), y sólo
en 50 un producto fallado que no es reparado.
Suponga que la empresa puede ofrecer una garant́ıa con la que se compromete a reparar
el producto en caso de falla, lo que le costaŕıa 60. El precio de venta del producto es
P ∈ [80, 120].
Represente el juego en forma extensiva (deje los pagos en términos de P ) e indique
para qué niveles de precio P la estrategia separadora en que un tipo θ1 ofrece garant́ıa y un
tipo θ2 no lo hace puede formar parte de un Equilibrio Bayesiano Perfecto. Fundamente
rigurosamente y explique la intuición de su resultado.
Respuesta:
Conjetura: La señal GS (es decir, Garant́ıa si es θ1, Sin Garant́ıa si es θ2) es parte de
un EBP.
Dado que la señal es informativa, es posible actualizar las creencias. A posteriori, utilizando
el enfoque bayesiano, el consumidor cree (probabilidades)
Pr(θ1|G) =
Pr(G|θ1) Pr(θ1)
Pr(G|θ1) Pr(θ1) + Pr(G|θ2) Pr(θ2)
=
1× 0.5
1× 0.5 + 0× 0.5
= 1
Pr(θ1|S) =
Pr(S|θ1) Pr(θ1)
Pr(S|θ1) Pr(θ1) + Pr(S|θ2) Pr(θ2)
=
0× 0.5
0× 0.5 + 1× 0.5
= 0.
12
Dadas estas creencias, el consumidor elegirá óptimamente.
- Si observa S (conjunto informacional izquierda):
EUc(C) = p(116.5− P ) + (1− p)(78− P )
= 0× (116.5− P ) + 1× (78− P )
= 78− P
EUc(N) = 0
Elegirá Comprar (C) si el precio de venta P satisface
78 ≥ P ;
de lo contrario elegirá No Comprar (N).
- Si observa G (conjunto informacional derecha):
EUc(C) = q(120− P ) + (1− q)(120− P )
= 1× (120− P ) + 0× (120− P )
= 120− P
EUc(N) = 0
Elegirá Comprar (C) si el precio de venta P satisface
120 ≥ P ;
de lo contrario, elegirá No Comprar (N).
Por lo tanto, teniendo en cuenta que el precio de venta P tiene un rango total P ∈ [80, 120],
y que la estrategia del consumidor es un par de acciones (una para cada conjunto informa-
cional), tendŕıamos:
- En el conjunto informacional de la izquierda, cuando observa S, dado que compraŕıa si
P ≤ 78, NO compraŕıa nunca, pues dicho precio queda fuera del rango de P .
- En el conjunto informacional de la derecha, cuando observa G, dado que compraŕıa si
P ≤ 120, compraŕıa siempre, pues dicho precio abarca todo el rango de P .
Concluimos que para todo P ∈ [80, 120], la estrategia óptima del consumidor será NC (No
comprar si observa S, Comprar si observa G).
Nos resta finalmente, verificar si el jugador 1, la Empresa, tiene incentivos para desviarse
de su estrategia.
Dada su estrategiaactual, si la empresa es tipo θ1 (de alta calidad), obtiene
Ue(G; θ1) = P − 83
si se desviara y enviara la señal S, obtendŕıa
Ue(S; θ1) = 0
luego, NO tendŕıa incentivos para desviarse si
Ue(G; θ1) ≥ Ue(S; θ1) ⇐⇒
P − 83 ≥ 0 ⇐⇒
P ≥ 83
13
Luego, si P ∈ [83, 120], el tipo de alta calidad no se desviaŕıa.
Si fuera de tipo θ2 (baja calidad), obtiene
Ue(S; θ2) = 0
si se desviara y enviara la señal G, obtendŕıa
Ue(G; θ2) = P − 116
luego, NO tendŕıa incentivos para desviarse si
Ue(S; θ2) ≥ Ue(G; θ2) ⇐⇒
0 ≥ P − 116 ⇐⇒
P ≤ 116
Luego si P ∈ [80, 116], el tipo de baja calidad no se desviaŕıa.
Considerando ambos tipos de empresa en conjunto, ninguno se desviaŕıa si el precio de
venta fuera
P ∈ [83, 116] ⊂ [80, 120].
14
Pregunta 6. [12 puntos] Autoselección Competitiva.
Considere un mercado de seguros de salud en el que compiten muchas compañ́ıas, neu-
trales al riesgo. Las compañ́ıas ofrecen contratos que incluyen una prima p y una cobertura
z en caso de enfermedad. Entre los potenciales demandantes, hay dos tipos de individuos
idénticos en todo, excepto por su riesgo a sufrir una enfermedad. Mientras que los individuos
negligentes (N) no tienen en general hábitos saludables, los precavidos (P ) hacen deporte
y tienen una dieta balanceada. Estas diferencias en hábitos hace que las probabilidades de
sufrir una enfermedad para los individuos N y para los P sean πN = 34 y π
P = 12 , respec-
tivamente. La utilidad (función Bernoulli) de los individuos es de la forma uθj = (ws)
1/2
donde ws es la riqueza en el estado s (s = 1, sin enfermedad; s = 2, con enfermedad). La
riqueza inicial de cualquiera de estos individuos es W = 131 y una enfermedad supone una
pérdida de L = 62.
Las compañ́ıas de seguro no pueden identificar a cada tipo de individuo, aunque saben de
antemano que una proporción α = 12 de individuos de la población es precavida.
Muestre lo más formalmente posible que existe el equilibrio separador y grafique: ex-
plique claramente las caracteŕısticas de los elementos de este equilibrio, de-
muestre formalmente que lo es y explique la intuición de por qué lo es.
Respuesta:
Sabemos que en este modelo, si existe un equilibrio, este es separador. Por lo tanto, los
pasos a seguir son los siguientes.
- Obtenemos el candidato al equilibrio, que es un menú basado en el mecanismo de autose-
lección (explicando sus caracteŕısticas y graficando)
- Dado el valor de α, mostramos formalmente que no habrá incentivos para las aseguradoras
para desviarse.
Candidato:
Las aseguradoras ofreceŕıan un menú de contratos {CN , CP } = {(zN , pP ), (zP , pP )},
donde cada individuo se supone que elige como mucho un contrato y estos contratos están
diseñados de tal manera que cada individuo elige el contrato diseñado para su tipo.
Las caracteŕısticas de este par de contratos son:
(i) en cada caso, la prima es actuarialmente justa, es decir, pθ = πθzθ, θ ∈ {N,P}, debido a
que la compañ́ıa se desenvuelve en un mercado competitivo y por lo tanto tiene beneficios
0.
(ii) el contrato diseñado para los individuos de negligentes (N) es el mismo que en
el caso observable y verificable, es decir, con cobertura completa (debido a que el se-
gurado es adverso al riesgo la aseguradora neutral): zN = L = 62. Luego, dado que
pN = πNL = 34 × 62 =
93
2 = 46.5
CN = (z
N , pN ) = (62, 46.5)
Con este contrato, el individuo negligente obtiene una utilidad esperada igual a
EUN = (1−
3
4
)×
√
131− 93
2
+
3
4
×
√
131− 62− 93
16
+ 62
=
√
131− 93
2
=
√
169
2
=
13√
2
= 9.192388
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(iii) el contrato diseñado para los individuos precavidos (P ) NO tiene cobertura completa,
sino parcial. Es decir, zP < L. En particular, zP es tal que los individuos NEGLIGENTES
estarán exactamente indiferentes entre CP y el contrato diseñado para ellos, CN (RCI
activa). Es decir:
(1− πN )
√
W − pN + πN
√
W − L− pN + zN︸ ︷︷ ︸
Utilidad esperada de tipo N con seguro CN
= (1− πA)
√
W − pP + πA
√
W − L− pP + zP︸ ︷︷ ︸
Utilidad esperada de tipo N con seguro CP
Esta condición garantiza que los NEGLIGENTES no elegirán el contrato CP .
Para obtener los valores numéricos del contrato diseñado para el tipo P , usamos el dato que
nos dan, que indica que la riqueza que obtendŕıa en caso de que no se enferme seŕıa igual a
128. Si no se enferma
w2 = W − pP = 128
de donde, reemplazando W = 131, obtenemos la prima pP = 131 − 128 = 3. Luego,
sabiendo que la prima será actuarialmente justa (es decir, pP = πP zP ) y que πP = 12 ,
podemos obtener zP , la compensación:
pP = πP zP
3 =
1
2
zP
zP = 6
El contrato para los de tipo P seŕıa entonces
CP = (z
P , pP ) = (6, 3)
Con este contrato, los individuos precavidos obtendŕıan una utilidad esperada igual a:
EUP =
1
2
√
131− 3 + 1
2
√
131− 62− 3 + 6 = 7
√
2 = 9.899495
En conclusión el menú de contratos será:
{CN , CP } = {(zN , pN ), (zP , pP )} = {(62, 46.5); (6, 3)}
Mostramos que para este valor de α el candidato es el equilibrio separador de
este juego.
La intuición primero: si α es relativamente muy alto (hay una relativamente alta proporción
de individuos PRECAVIDOS, tipo P ), entonces puede ser una alternativa rentable que una
aseguradora se desv́ıe y ofrezca un único contrato para todos (con una prima actuarialmente
justa para el individuo promedio, es decir con p = π̄z y z = L (cobertura completa)). Si
este contrato es más deseable a los del menú para ambos tipos (especialmente para los
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precavidos), entonces el menú no puede ser parte de un equilibrio. Recuerde que π̄ =
απP + (1− α)πN . Luego, en este ejercicio:
π̄ =
1
2
πP + (1− 1
2
)πN =
1
2
∗ 1
2
+
1
2
∗ 3
4
=
5
8
Luego, la prima de este contrato agrupador seŕıa: p = 58 ∗ 62 =
155
4 y z = L = 62. Con este
contrato, la riqueza de ambos estados seŕıa la misma para ambos tipos: w1 = w2 = W −p =
131 − 1554 =
369
4 = 92.25. Y la utilidad esperada para cualquier individuo seŕıa
√
369
4 =
3
2
√
41 = 9.604686. Esta utilidad es MENOR que la que obtiene un individuo PRECAVIDO
con el menú (puesto que con el menú obtiene 9.899495), por lo tanto ninguna aseguradora
lo ofreceŕıa porque solo seŕıa aceptado por los NEGLIGENTES (lo cual ocasionaŕıa una
pérdida para la aseguradora que se desviara).
Como no hay incentivos para que ninguna aseguradora se desv́ıe, el menú que encontramos
es el equilibrio separador.
Gráfico.
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