Ay 4

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Pontificia	Universidad	Católica	de	Chile	
Escuela	de	Administración	
Finanzas	I	
Profesor	Felipe	Aldunate	
Ayudantía	4	
	
Pregunta	1	–	Decisiones	bajo	incertidumbre	(P1	1-2013	JT)	
	
Suponga	que	existe	una	 isla	donde	viven	hombres	 (h)	 y	mujeres	 (m).	 Los	dos	grupos	 tienen	 la	
misma	 cantidad	 de	 personas	 y	 todos	 son	 tomadores	 de	 precios.	 Existen	 dos	 estados	 de	 la	
naturaleza:	sol	y	lluvia.	Si	hay	sol,	los	hombres	pueden	cosechar	20	manzanas	y	las	mujeres	nada.	
Si	hay	lluvia,	los	hombres	no	pueden	cosechar	nada	y	las	mujeres	pueden	cosechar	una	cantidad	
x	de	manzanas.	La	función	de	utilidad	para	hombres	y	mujeres	es:	
	
𝑈 = 	𝜋 ln 𝐶( + 1 − 𝜋 	ln	(𝐶-)		
Donde	𝜋	es	la	probabilidad	de	sol.	C1	es	el	consumo	de	manzanas	si	hay	sol	y	C2	es	el	consumo	de	
manzanas	 si	 hay	 lluvia.	 Hombres	 y	mujeres	 transan	 activos	 de	 Arrow-Debreu	 en	 un	mercado	
completo	en	t	=	0	antes	de	que	se	conozca	el	estado	de	la	naturaleza.	El	activo	"sol"	es	un	papel	
que	vale	por	una	manzana	si	hay	sol	en	 t	=	1	y	el	activo	"lluvia"	es	un	papel	que	vale	por	una	
manzana	si	hay	lluvia	en	t	=	1.	No	hay	consumo	en	t	=	0.	
	
a) Encuentre	 los	 precios	 y	 consumos	 de	 equilibrio	 para	 el	 caso	 en	 que	𝜋 = 	1 2	 y	 x	 =	 10.	
Suponga	que	el	precio	del	activo	sol	se	normaliza	a	$1.	Calcule	la	riqueza	de	hombres	y	mujeres	
en	t	=	0.	¿Qué	grupo	es	más	rico?	Dado	que	sol	y	lluvia	son	igualmente	probables,	alguien	puede	
pensar	 que	 los	 precios	 de	 los	 activos	 sol	 y	 lluvia	 deben	 ser	 iguales.	 ¿Es	 así?	 Fundamente	 sus	
respuestas.	
	
b) Asuma	ahora	que	𝜋 = 	2 3	y	también	que	el	precio	del	activo	sol	se	normaliza	a	$1.	¿Cuánto	
debe	ser	x	para	que	el	precio	de	equilibrio	del	activo	lluvia	sea	$0,5?	¿Cuáles	son	los	consumos	en	
equilibrio?	¿Qué	grupo	es	más	rico?	Explique.	
	
c) Asuma	ahora	que	𝜋 = 	2 3	y	x	=	20.	Se	abre	la	posibilidad	de	comerciar	manzanas	con	el	
continente,	aunque	esto	es	factible	sólo	si	hay	sol.	Si	hay	lluvia	los	barcos	no	pueden	llegar	ni	salir	
de	la	isla.	El	continente	es	infinitamente	más	grande	que	la	isla	de	hombres	y	mujeres.	En	t	=	0	el	
precio	del	activo	sol	en	el	continente	es	igual	a	$2.	Calcule	el	precio	del	activo	lluvia	y	los	consumos	
de	equilibrio	en	este	nuevo	escenario.	Interprete.		
	
	
	
	
	
	
	
Pregunta	2	–	Decisiones	bajo	incertidumbre	(P1	2-2014	JT)	
Una	persona	se	encuentra	analizando	su	decisión	de	inversión	para	el	próximo	año.	Esta	persona	
tiene	disponible	una	riqueza	de	W	hoy.	Esta	persona	necesita	consumir	el	próximo	año,	pero	no	
está	 segura	 si	 necesitará	 el	 dinero	 a	 fines	 de	 junio,	 t	 =	 1,	 o	 a	 fines	 de	 diciembre,	 t	 =	 2.	 La	
probabilidad	de	necesitar	 los	 recursos	en	 junio	es	π;	si	usa	 los	 recursos	en	 junio	no	necesitará	
recursos	en	diciembre,	y	vice	versa.	Su	función	de	utilidad	es:	
U(c1,	c2)	=π	ln(c1)	+	(1	−	π)	ln(c2)	
donde	ci	es	consumo	en	t	=	i.	En	la	economía	existen	dos	activos.	El	primero	activo,	que	llamaremos	
B,	es	un	bono	que	tiene	un	precio	igual	a	1	hoy	y	que	entrega	un	pago	de	1	en	cualquiera	de	los	
dos	meses.	Esto	es,	usted	puede	canjear	el	bono	por	1	unidad	de	consumo	en	junio	o	en	diciembre,	
pero	no	en	ambos.		
El	segundo	activo	consiste	en	la	posibilidad	de	invertir	en	una	empresa	nueva	que	va	a	entregar	
un	retorno	de	1	en	diciembre	y	cuyas	acciones	cuestan	p	<	1	−	π	hoy.	Estas	acciones	claramente	
tienen	una	mejor	rentabilidad	en	diciembre,	pero	si	usted	las	debe	vender	en	junio	no	valen	nada	
(usted	tiene	0	por	cada	acción).		
Asuma	que	la	única	manera	que	tienen	las	personas	de	llevar	recursos	entre	periodos	es	mediante	
los	activos	financieros	(por	ejemplo,	no	es	posible	almacenar	bienes	de	consumo).		
a)		Si	la	persona	supiera	con	certeza	que	NO	va	a	necesitar	consumir	en	junio,	¿cuál	es	su	portafolio	
óptimo?	
	
b)		Plantee	el	problema	de	optimización	mediante	el	cual	el	individuo	decide	cuánto	comprar	de	
cada	 activo	 si	 no	 tiene	 certeza	 de	 cuando	 necesitará	 consumir.	 Encuentre	 las	 condiciones	 de	
primer	orden.	Asuma	que	en	junio	lo	único	que	puede	hacer	este	individuo	es	canjear	sus	activos.		
c)		Encuentre	las	demandas	por	los	activos	A	y	B	dada	la	riqueza	y	los	precios.	
	
d)		Suponga	ahora	que	la	probabilidad	π	aumenta	y	que	terminamos	con	p	>	1	−	π,	
¿qué	sucede	
con	la	demanda	por	la	acción?	¿Qué	lógica	tiene	esto?	
	
e)	¿Qué	nos	 indica	esto	respecto	de	 las	demandas	de	mercado	por	activos	que	se	transan	con	
menor	frecuencia	en	el	mercado?	Nota:	calcule	los	retornos	ofrecidos	para	t	=	2	y	piense	que	nos	
indica	la	condición	p	<	1	−	π.	
	
	
	
Pregunta	3	-	Activos	derivados	y	Forwards	(P1	1-2016)	
El	próximo	año	una	mina	de	oro	puede	producir	150.000	kilogramos	si	está	abierta.	Los	costos	
de	extracción	son	$800	por	kilogramo,	pero	sólo	deben	ser	pagados	si	la	mina	está	abierta.	Esto	
es,	los	dueños	de	la	mina	pueden	decidir	no	extraer	oro	y	en	ese	caso	los	costos	de	extracción	
son	cero.		
El	precio	del	oro	el	próximo	año	serán	determinados	por	las	condiciones	de	mercado.	
Específicamente,	si	la	demanda	por	oro	es	alta,	el	precio	del	oro	será	de	$900,	pero	si	la	
demanda	es	baja,	el	precio	será	de	$500.		
Asuma	además	que	el	oro	sólo	puede	ser	extraído	exactamente	en	un	año	más.	Es	decir,	asuma	
que	no	se	puede	extraer	oro	hoy	y	almacenarlo	para	el	próximo	año	y	que	el	derecho	a	extraerlo	
expira	en	caso	de	no	ser	extraído	en	un	año	más.		
a)	¿Cuánto	oro	es	extraído	y	cuáles	son	los	flujos	de	caja	neto	(ganancias	o	pérdidas)	recibidos	al	
final	del	año	1	para	cada	estado?		
b)	Los	dueños	de	la	mina	de	oro	lo	han	contratado	a	usted	para	determinar	el	valor	de	ésta.	
Valorar	la	mina	no	es	tarea	fácil.	Sin	embargo,	usted	observa	que	los	precios	de	oro	sólo	pueden	
tomar	dos	valores	en	función	de	si	la	demanda	es	alta	o	baja.	Esto	le	da	una	idea	de	cómo	puede	
resolver	el	problema.	Además,	ellos	le	dicen	que	el	precio	de	un	contrato	forward	para	un	
kilogramo	de	oro	a	un	año,	que	no	tiene	costo	hoy,	es	$600.	Asuma	que	la	tasa	libre	de	riesgo	a	
un	año	es	de	5	%.	Encuentre	el	valor	de	la	mina	de	oro	hoy.	
Ayuda:	Recuerde	que	si	usted	compra	un	contrato	forward,	usted	está	obligado	a	comprar	oro	
en	un	año	más	a	un	precio	determinado	independiente	del	precio	de	mercado	del	oro	en	un	año.		
	
c)	Suponga	que	el	precio	de	un	contrato	forward	para	un	kilogramo	de	oro	a	un	año,	que	no	
tiene	costo	hoy,	de	$600	había	sido	encontrado	asumiendo	que	no	hay	costos	de	almacenaje	del	
oro	y	que	el	oro	no	entrega	dividendos.	En	esta	pregunta	queremos	determinar	cómo	cambiaría	
este	valor,	en	caso	de	que	el	oro	sí	tuviera	costos	de	almacenaje.		
¿Cuál	sería	el	precio	a	un	año	más	que	se	puede	fijar	en	el	contrato	forward	si	existiera	un	costo	
de	almacenamiento	del	oro	igual	a	$50	por	año	que	se	paga	a	fin	de	año?	Es	decir,	si	usted	está	
en	posesión	de	un	kilogramo	de	oro	usted	debe	gastar	$50	a	fin	de	cada	año	por	costos	de	
almacenamiento.