Guías1a102017

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INSTITUTO DE ECONOMIA 
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
Esta versión: 3 de agosto de 2017 
 
Guía 1 (repaso de revisión de probabilidades) 
 
1. La probabilidad que un estudiante apruebe matemáticas es 2/3 y que apruebe inglés es 
4/9. Si la probabilidad que pase al menos un curso es 4/5, ¿cuál es la probabilidad que 
apruebe los dos? R: 14/45. 
2. Un alumno acaba de matricularse por primera vez en la universidad. La probabilidad 
que se reciba es 0,85 si obtiene una beca y 0,45 si no la obtiene. Si la probabilidad de 
obtener una beca es 0,3 ¿cuál es la probabilidad que este alumno se reciba? 
3. Suponga que la probabilidad que una empresa auspicie la transmisión por televisión 
de un partido de fútbol, una teleserie, un concurso y un noticiero son: 0,2, 0,4, 0,3 y 
0,1 respectivamente. Suponga además que la probabilidad que ello incremente las 
ventas sea: 0,85, 0,45, 0,35 y 0,15 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de 
obtener un aumento en las ventas? R: 0,47. 
4. La mastitis es una enfermedad que afecta a las vacas que están produciendo leche. En 
el negocio de la leche es muy importante detectar esta enfermedad tempranamente. 
 Un grupo de investigadores desarrolló un examen para este efecto con una 
confiabilidad del 90%, es decir, de 100 vacas con la enfermedad, el examen detecta 
ésta en 90. 
 De las vacas libres de mastitis, un 99% de los exámenes se consideran libres de la 
enfermedad y un 1% se diagnostica como mostrando mastitis. 
 De una gran cantidad de vacas, de las que se sabe que un 0,1% tiene mastitis, se 
selecciona una al azar y se la somete al examen que arroja como resultado que sí tiene 
la enfermedad. 
 ¿Cuál es la probabilidad que la vaca tenga realmente mastitis? R: 0,0826. 
5. Hay 50% de probabilidad que la empresa X haga propuestas para la construcción de 
un puente. La empresa Y hace una propuesta y la probabilidad que obtenga la obra es 
2/3 siempre que a su vez la empresa X no haga la propuesta. Si esto no ocurre y la 
empresa X presenta su propuesta, la probabilidad que Y gane se reduce a solo 1/5. Si 
la empresa Y obtiene el contrato, ¿cuál es la probabilidad que la empresa X no haya 
hecho propuestas? R: 10/13. 
6. De los mil postulantes a Ingeniería Comercial en una determinada universidad, sólo 
pueden entrar 100 por problemas de vacantes. 
La universidad cree que el 15 por ciento de los postulantes serían “buenos” alumnos 
(en el sentido que aprovecharían bien la experiencia) y que el otro 85 por ciento 
serían “malos” alumnos (en el sentido que no aprovecharían bien la experiencia). 
La universidad decide tomar una prueba especial de selección que se equivoca el 20 
por ciento de las veces. Es decir, el 80 por ciento de los “buenos alumnos” obtiene un 
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puntaje por encima del corte y el 80 por ciento de los “malos alumnos” obtiene un 
puntaje por debajo del corte. Nadie tiene exactamente el puntaje de corte. 
Se pide: 
a) Si la universidad elige al azar dentro de los que obtienen un puntaje por encima 
del corte, ¿qué porcentaje esperaría que fueran “buenos” alumnos? Respuesta: 
0,4138. 
b) Ahora suponga que la universidad hace una última pregunta a aquellos que 
pasaron el corte. Es una pregunta muy difícil que solo responde correctamente el 
25 por ciento de los “buenos” alumnos y ninguno de los malos alumnos. La 
universidad se da cuenta que si exige responder correctamente esta pregunta a los 
que acepta, quedarían vacantes desocupadas. La universidad decide, en 
consecuencia, aceptar a todos los que respondan esta pregunta en forma correcta, y 
llenar las vacantes restantes con aquellos que superaron el puntaje de corte, 
eligiendo al azar entre ellos. 
¿Qué porcentaje de los aceptados esperaría que fueran “buenos” alumnos? 
Respuesta: 0,5423. 
c) Suponga ahora que la universidad tiene dos alternativas con igual costo: i) aplicar 
la prueba especial de selección y elegir al azar los 100 alumnos entre los que 
superan el corte (tal como en la parte a)); ii) hacer la pregunta especial a los 1.000 
postulantes y luego llenar las vacantes que sobren al azar dentro de los que no 
respondieron (en esta alternativa no se aplicaría la prueba de selección de la parte 
a). ¿Qué alternativa elegiría la universidad si valora positivamente el tener 
“alumnos buenos”? ¿Qué porcentaje de los aceptados serían buenos alumnos? 
Respuesta: Elijo ii) ya que 0,4481 es mayor que 0,4138. 
7. Basado en artículo de Faigman y Baglioni 
“Robo en casa habitación ubicada en Eliodoro Yáñez con Recoleta” 
 
La casa se encontraba vacía en el momento del robo. El ladrón se llevó un televisor 
marca LG y una pelota de fútbol marca “Alexis”. El principal sospechoso es el ex 
marido de la dueña de casa, Juan Pérez, quien ya le había robado 100 mil pesos el 
mes anterior pero, por no haberse presentado una denuncia, no tuvo pena ni 
consecuencia alguna. El ex marido declaró que él estaba trotando en la hora del robo, 
pero no había nadie que pudiera atestiguar a su favor. 
 
Se pide: 
a) Con estos antecedentes, ¿qué probabilidad subjetiva asigna al evento que Juan 
Pérez es el ladrón? NOTA: DEBE RESPONDER ESTA PARTE Y LA 
PROBABILIDAD DEBE ESTAR ENTRE 0,1 y 0,9 inclusive. 
b) Ahora le dicen que el ex marido de la víctima es fanático del fútbol, por lo que 
corresponde que tenga una pelota en su casa tal como le encontraron a la 
mañana siguiente del robo. 
Un testigo experto, de la ANFP (Asociación Nacional de Fútbol Profesional), 
asegura que solo el 20% de las pelotas de fútbol son de marca “Alexis” y que 
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la pelota encontrada era efectivamente de dicha marca. ¿Cómo cambia la 
probabilidad que le asigna al evento que Juan Pérez es el ladrón? NOTA: 
DEBE USAR EL TEOREMA DE BAYES EN SU RESPUESTA. 
c) El televisor encontrado en la casa de Juan Pérez al dia siguiente del robo era 
de marca LP. Un testigo experto declaró que el 60% de los televisores en 
Santiago son de marca LP. ¿Cómo cambia su respuesta anterior? NOTA: EN 
ESTA PARTE DEBE RESPONDER CON UN NÚMERO APROXIMADO 
LO QUE USTED “CREE” ES AHORA LA PROBABILIDAD QUE JUAN 
PEREZ SEA EL LADRON. 
8. Soft Priors y el Multiple Prior Model 
El próximo domingo juega la Católica contra Manchester City en un partido amistoso 
donde no cabe el empate. Usted tiene la posibilidad de comprar hoy una camiseta de 
la Católica a $x. Al final del partido, usted va a poder vender la camiseta en $20.000 
si gana la Católica y en $4.000 si pierde. Su función de utilidad es U(W) = W. 
El problema que tiene es la probabilidad de que gane la Católica. 
Se pide: 
a) Suponga inicialmente que p = Probabilidad que gane la Católica = 0,5. ¿Para 
qué valores de “x” le conviene comprar la camiseta de la Católica? Explique 
su respuesta. 
b) Suponga ahora que no está seguro de la probabilidad que debe asignar al 
evento que gane la Católica, ya que nunca los ha visto enfrentarse. Decide 
estar igual de cómodo con una probabilidad p = 0,3 o 0,7, asignándole a cada 
uno de estos valores una “probabilidad” de 0,5. ¿Para qué valores de “x” le 
conviene comprar la camiseta de la Católica? Explique su respuesta. 
c) Ahora suponga lo mismo que en b), con la diferencia que ha decidido seguir el 
Multiple Prior Model, descrito en el artículo de Gilboa et. al., donde el 
tomador de decisiones elige aquella alternativa que maximiza la mínima 
utilidad esperada a través de las distintas probabilidades priori. ¿Para qué 
valores de “x” le conviene comprar la camiseta de la Católica? Explique su 
respuesta. 
9. Según el artículo de Gilboa et. al., el modelo bayesiano supone, erróneamente, que las 
creencias iniciales (probabilidades priori) son exógenas. Adicionalmente, supone, 
también erróneamente, que la revisión de probabilidades sólo se puede dar en el 
contexto de nueva información. Explique por qué los autores consideran que estos 
supuestos son errados o al menos demasiado limitantes. Puede dar ejemplos en su 
respuesta.10. Pregunta de Lectura. Gilboa: Free Will: A Rational Illusion 
Gilboa diría que usted no tiene real libertad para decidir si responder que este 
comente es verdadero, falso o incierto. Comente. Explique claramente su respuesta. 
11. Pregunta de Lectura: Gilboa: Soft Priors and the Multiple Prior Model 
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Suponga que usted es neutral al riesgo. Suponga que le ofrecen la posibilidad de 
comprar o vender una acción de la empresa punto com Beta S. A. a un precio de P. 
El precio puede subir a 100 pesos, con probabilidad p, o bajar a 20 pesos con 
probabilidad “1-p”. El problema es que usted no está seguro de cómo asignarle un 
número a su grado de creencia sobre la probabilidad de que ocurra el estado 1 donde 
el precio sube a 100 pesos. Suponga que lo más que puede decir es que p está entre 
0,3 y 0,6. 
Se pide: 
Use el “Multiple Prior Model” para determinar en qué rango de P le conviene 
comprar, vender o no participar en este mercado. 
Respuesta: Si P es menor que 44, le conviene comprar. Si es mayor que 68 le 
conviene vender. Entre medio, le conviene no participar. 
12. Pregunta de Lectura. Gilboa: Free Will: A Rational Illusion 
De acuerdo con la lectura, el “libre albedrío” (free will) no es consistente con el 
concepto de “decisión racional”. Comente señalando si la afirmación es verdadera, 
falsa o incierta. NOTA: En su respuesta debe usar algún ejemplo de la lectura. 
13. Pregunta de Lectura: Gilboa: Soft Priors and the Multiple Prior Model 
Explique, con ejemplos de la lectura, los principales “errores” del Modelo Bayesiano. 
 
GUÍA 2: DECISIONES CON NEUTRALIDAD AL RIESGO 
1. La función de utilidad del Sr. Risque es v(c) = c0,5, donde c se mide en pesos. 
El Sr. Risque tiene en su poder 100 acciones de la empresa A y 200 acciones de la 
empresa B, cuyos retornos dependen de si se aprueba o no la Reforma 
Constitucional hoy en la tarde. La probabilidad que se apruebe es 0,6. 
Si se aprueba, las acciones de la empresa A valdrían 3 pesos cada una y las acciones 
de la empresa B valdrían 7 pesos cada una. 
Si no se aprueba la Reforma Constitucional, las acciones de la empresa A valdrían 5 
pesos cada una y las acciones de la empresa B valdrían 2 pesos cada una. 
 
Se pide: 
a) Al Sr. Risque le ofrecen cambiarle su paquete de acciones por otro paquete que 
contiene 130 acciones de la empresa A y 170 acciones de la empresa B. ¿Le 
conviene el cambio? Explique su respuesta. Debe responder esta pregunta hasta el 
final si quiere el total del puntaje. 
Respuesta: No, ya que la utilidad esperada es 36,7386 en lugar de 36,4352. 
b) Suponga ahora el mismo paquete inicial de acciones (100 de A y 200 de B), y que el 
precio de mercado hoy en la mañana es de 1 acción de A por 1 acción de B. Usted 
está dispuesto a comprar/vender acciones de una compañía por acciones de la otra 
compañía hoy en la mañana. ¿Cuántas acciones compraría o vendería de cada una? 
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NOTA 1: Puede dejar expresada su respuesta a esta parte en términos de un 
problema de optimización definiendo claramente sus variables. 
NOTA 2: Suponga que una vez conocido si se aprueba o no la Reforma (hoy en la 
tarde), usted venderá sus acciones para consumir el bien c. (8 puntos) 
2. Suponga que usted asigna una probabilidad “p” al evento “el comente de la 
pregunta 1 es falso”, y una probabilidad “1-p” al evento “el comente de la pregunta 
1 es verdadero”. Suponga que el puntaje en la pregunta depende de cuán seguro 
usted responda. Esto es, le ponen puntos según la probabilidad “y” (que puede ser 
distinta de p), que usted ponga en la respuesta. 
El sistema de puntajes en la pregunta es “asimétrico”.Si el comente es falso, usted 
recibe “10 y” puntos en la pregunta (mientras mayor sea la probabilidad que usted 
escriba en la respuesta, mejor para usted). Si es verdadero, usted recibe “8 (1-y2)” 
puntos en la pregunta (mientras menor sea la probabilidad que usted asigna a la 
respuesta incorrecta, mejor para usted). 
a) Si usted desea maximizar el puntaje esperado sin considerar nada más ¿qué valor de 
“y” elegiría (en función de p)? Suponga que si asigna un valor de “y” fuera del 
rango entre cero y uno, su puntaje es MENOS CINCO (la probabilidad no puede ser 
menor que cero o mayor que uno). 
b) ¿Existe algún rango de “p” tal que le convenga aparentar seguridad absoluta 
diciendo ya sea que el comente es verdadero o es falso con probabilidad 1? 
Explique claramente su respuesta. (6 puntos) 
c) ¿Existe algún valor de p para el cual usted sería totalmente sincero en su respuesta? 
 
3. Ud. es dueño de una verdulería y debe decidir cuántas lechugas comprar en la 
mañana en La Vega para satisfacer la demanda del día. Las lechugas en La Vega 
cuestan 15 pesos por unidad y el precio de venta en su verdulería es de 20 pesos por 
unidad. La demanda diaria es una variable aleatoria uniforme (continua) entre 0 y 
100 lechugas. 
Se pide: 
Si Ud. es neutral al riesgo, ¿cuántas lechugas compraría en la mañana, si las lechugas 
que no vende durante el día, las puede vender a un restaurant de mala muerte en 4 
pesos por unidad al final del día? 
4. Usted tiene una empresa que produce huevos de chocolate. Los costos totales se 
pueden representar a través de la función CT = 2 x2. El precio en el mercado es de 
200 pesos cada uno, si es que los vende antes de pascua, y de 20 pesos si los vende 
después. 
Usted debe producirlos con al menos un mes de anticipación a la pascua, cuando NO 
conoce con certeza la cantidad que podrá vender. La cantidad demandada antes de 
pascua por sus huevos de chocolate, al precio de 200 pesos por unidad, es una 
variable aleatoria, pudiendo ser igual a 40 unidades, con probabilidad 0,2 y de 100 
unidades, con probabilidad igual a 0,8. Si produce huevos de chocolate en exceso de 
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la cantidad demandada anterior, podrá venderlos todos al precio de 20 pesos cada uno 
después de pascua. 
Se pide: 
¿Cuántos huevos de chocolate le conviene producir? Suponga que es neutral al 
riesgo. Respuesta: 41. 
5. Revisión de probabilidades 
Suponga que la P(cara) en un lanzamiento de una “tachuela” u objeto similar es 
igual a p (p minúscula). Usted no está muy seguro del valor de p (probabilidad 
“soft”) y estima que: 
P(p = 0) = 0,0 
P(p = 0,25) = 0,1 
P(p = 0,5) = 0,4 
P(p = 0,75) = 0,3 
P(p = 1) = 0,2 
Se pide: 
a) ¿Cómo cambiarían sus probabilidades si en el próximo lanzamiento sale cara? 
NOTA: Se espera una respuesta numérica. 
b) Si después de dicho lanzamiento le ofrecen jugar, pagándole 10.000 si sale cara y 
nada si sale sello. ¿Cuánto pagaría por jugar, suponiendo que usted es neutral al 
riesgo? NOTA: Se espera una respuesta numérica. (3 puntos) 
 
6. Usted es un empresario neutral al riesgo que está pensando producir “brosnes”, 
producto en el cual tendría el monopolio. De los estudios de mercado que encargó, 
usted desprende que la demanda se puede representar como P = 1.500 – Q o como P 
= 4.500 – Q, dependiendo de si se permite o si no se permite la importación de 
“briscas”, respectivamente (las briscas son en alguna medida sustitutos de los 
brosnes). Usted estima que la probabilidad que se permita la importación de briscas 
es 0,5. 
El problema se complica por el siguiente aspecto: Antes de saber si se permitirá o no 
la importación de briscas, usted debe decidir entre invertir en una tecnología de punta 
que le cuesta $ 1.000.000 pero que le permite producir a un costo variable de $500 
por unidad; e invertir en una tecnología tradicional que le cuesta $ 500.000 pero 
donde los costos variables ascienden a $1.000 por unidad. 
Suponga que después de decidir el tipo de inversión, se sabrá si se permite o no la 
importación de briscas. Luego de saber si se permite o no la importación, usted 
deberá decidir cuántos brosnes producir. 
Se pide: 
a) ¿Qué tipo de inversión le conviene? ¿Cuál es la ganancia esperada? 
 Respuesta: Tecnología de punta. $1.125.000.7 
 
b) ¿A cuánto asciende la pérdida esperada del monopolista, en términos de sus 
utilidades, asociada a no saber anticipadamente (antes de la inversión) si se 
permitirá o no la importación de briscas? 
 Respuesta: $375.000. 
7. Suponga un juego donde a usted le pagan 2𝑥 pesos donde x es el primer lanzamiento 
de una moneda en el que sale “cara”. Si es neutral al riesgo, ¿cuánto pagaría por 
jugar? Respuesta: infinito. Este resultado se conoce como la “Paradoja de San 
Petersburgo”. 
 
Guía 3 (decisiones sin neutralidad al riesgo, utilidad esperada) 
 
1. Usted tiene hoy una riqueza de 10.000 dólares. Le ofrecen un proyecto donde puede 
ganar 10.000 dólares o perder 9.000 dólares con probabilidades iguales a 0,5. Su 
función de utilidad es U = ln y donde y es la riqueza final. 
 Se pide: 
a) Demuestre que a usted no le conviene aceptar el proyecto. 
b) Suponga que usted tiene muchos amigos con igual riqueza y función de utilidad 
que usted. ¿A cuántos amigos, como mínimo, debe invitar a participar en el 
proyecto para que a todos les convenga participar? Nota: todos participarían en 
iguales condiciones. PUEDE DEJAR EXPRESADA SU RESPUESTA. 
c) ¿Cuál es el número de amigos que maximiza la utilidad esperada de cada uno 
de sus miembros? PUEDE DEJAR EXPRESADA SU RESPUESTA. 
2. Juan Pérez, experto en Macroeconomía y Análisis de Coyuntura, cree que el próximo 
año viene difícil. El asigna las siguientes probabilidades a las distintas tasas de 
crecimiento del producto interno bruto. Suponga que la tasa de crecimiento no puede 
tomar otro valor que los que aparecen en la tabla. 
Tasa de Crecimiento Probabilidad 
 0% 0,5 
 2% 0,4 
 3% 0,1 
 Juan Pérez tiene una riqueza inicial de 100.000 pesos y su función de utilidad es 
 U = W0,5 
 donde W es su riqueza final. 
 Suponga que una empresa ha decidido contratar a Juan Pérez 
para que les dé una predicción de la tasa de crecimiento para el próximo año. El 
informe dirá “la tasa de crecimiento para el próximo año será de x por ciento”. El 
pago por el informe será igual a: 
 Pago = 25.000 – 5.000 (TC – x)2 
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 A modo de ejemplo, si dice x = 1,5 por ciento y la Tasa de Crecimiento (TC) es de 2 
por ciento, entonces recibiría 
 Pago = 25.000 – 5.000 (2 – 1,5)2 = 25.000 – 1.250 = 23.750 pesos. 
 Obviamente, el pago se haría una vez conocida la tasa de crecimiento efectiva del 
próximo año. 
Se pide: 
a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento esperada de Juan Pérez? 
b) Si el experto desea maximizar su propia utilidad sin considerar nada más, ¿cuál 
sería el valor de x en el informe? Suponga que si bien TC es una variable 
discreta, x es una variable continua. Explique claramente su respuesta. 
 
3. Suponga que un experto asigna una probabilidad “p” al evento “la Católica le gana al 
Manchester el próximo domingo en el partido amistoso que jugarán sin posibilidad de 
empate”. El experto es un hombre pobre, averso al riesgo e inseguro de sí mismo. Lo 
primero hace que él tenga una riqueza inicial de sólo 10.000 pesos; lo segundo tiene 
que ver con su función de utilidad que es U = W0,5, donde W es su riqueza final, y lo 
tercero significa que por principio él sólo está dispuesto a decir una y sólo una de las 
siguientes dos frases: 
a) La probabilidad que gane la Católica es Alta. Esto significa que el 
informe dice: A = 1; B = 0. 
b) La probabilidad que gane la Católica es Baja. Esto significa que informe 
dice: A = 0; B = 1. 
Suponga que el sistema de pagos para este experto es el siguiente: 
Pago en caso de “Gana la Católica” = 30.000 A – 1.900 B 
Pago en caso de “Pierde la Católica” = – 7.500 A + 52.500 B 
Se pide: 
Si el experto desea maximizar su propia utilidad sin considerar nada más, ¿en qué 
rango de “p” dirá que la probabilidad de que gane la Católica es Alta? ¿Baja? 
Explique claramente su respuesta. 
4. El padrino 
Juan es averso al riesgo y tiene una riqueza inicial de $1.000.000 y ningún principio 
que haga que le moleste robar. Su función de utilidad Bernoulli es de la forma: 
 𝑢(𝑐) = √𝑐, 
donde c es el nivel de consumo (Juan maximiza utilidad esperada, en un contexto de 
incertidumbre). 
Juan está pensando robar $100.000 en un almacén, donde la probabilidad que lo 
pillen es 0,4, y el castigo o multa si lo pillan es $200.000 (multa que incluye la 
devolución de los $100.000 robados, y $100.000 de su bolsillo). 
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El mafioso del pueblo ofrece a Juan un "seguro": si lo pillan, el mafioso le paga parte 
(o toda) la multa. El mafioso le cobra 0,4 pesos por cada peso de indemnización z (es 
decir, por cada peso de multa que deba pagar en caso que Juan sea pillado). Pero Juan 
debe pagarle al mafioso antes de salir a robar, y estima que la probabilidad que el 
mafioso realmente pague la multa, en caso de ser pillado, es α. 
Se pide: 
a) Indique cuál es la probabilidad de ocurrencia de los distintos eventos posibles 
en caso que Juan decida tomar el seguro y robar. 
b) Suponga inicialmente que α=1. Si Juan decide salir a robar, ¿qué nivel de z 
escogería? Fundamente claramente, explicando la intuición económica de su 
resultado. 
c) ¿Le conviene a Juan salir a robar? 
d) Suponga ahora que 0<α<1, y que Juan decide salir a robar. Plantee, sin 
resolver, el problema de optimización que enfrenta Juan. Sea claro respecto de 
la función a maximizar y las restricciones que enfrenta. 
5. Ud. tiene $120 para gastar en dos bienes. Su función de utilidad es del tipo Cobb-
Douglas, con lo que 
 U = X1X2 
 El precio del bien 1 es P1 y el precio del bien 2 es siempre P2 = 2. 
 El problema se complica por los siguientes aspectos: 
a) Usted consumirá ambos bienes mañana. 
b) Usted puede comprar ambos bienes mañana u hoy. 
c) Mañana el precio del bien 1 puede ser P1 = 2 o P1 = 5 con igual probabilidad (0,5 
cada una). 
d) El precio del bien 1 hoy es conocido. 
Se pide: 
¿Hasta qué precio del bien 1 está dispuesto a pagar hoy para no tener que enfrentar el 
riesgo que el precio suba mañana? 
6. El partido contra Paraguay es el próximo domingo. Ud. ha decidido verlo con un 
amigo suyo, también fanático de la selección chilena. El cree que la probabilidad que 
gane Chile es de 0,9 mientras que Ud. estima dicha probabilidad en 0,8. 
 Ambos aceptan la propiedad delta, con lo cual la función de utilidad se puede 
representar como 
 U(x) = -e-x 
 En el caso suyo,  = 1/500 mientras que en el caso de su amigo = 1/1000. 
 Han decidido considerar la posibilidad de apostar entre ustedes. Como él asigna una 
mayor probabilidad a Chile que Ud., él apostaría a Chile y Ud. a Paraguay. La 
apuesta consistiría en que Ud. le paga a él $1.000 si gana Chile y él le paga a Ud. 
$7.000 si gana Paraguay. 
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Se pide: 
a) ¿Les conviene jugar? 
b) Ahora suponga que una tercera persona les ofrece una apuesta que consiste en 
que ustedes le pagan $2.000 si gana Chile y él les paga $x si gana Paraguay, 
montos que dividirían entre ambos en partes iguales. Si no existe la posibilidad 
de compensar a su amigo por posibles pérdidas ni tampoco que él lo compense 
a Ud., ¿cuál es el mínimo valor de x para que acepten la apuesta? 
7. Usted es dueño de Soluciones Informáticas S.A. (SISA), empresa que desea 
desarrollar un programa que permitiría la conexión en línea de todos los tenistas del 
mundo. En caso de éxito, le vendería el programa a la Asociación de Tenistas 
Profesionales (ATP) por 1 millón de dólares. 
 La probabilidad de que logre desarrollar el programa (éxito) depende del número de 
ingenieros de computación que contrate. La probabilidad de éxito es 
 P(éxito) = 1 – exp(-x) 
 donde x es el número de ingenieros. Cada ingeniero le cuesta 10 mil dólares. 
Se pide: 
a) ¿Cuántos ingenieros contrataría si Ud. es neutral al riesgo? Respuesta: 4,6052.b) ¿Cuántos ingenieros contrataría si su función de utilidad es U = W0,5, donde W 
es la riqueza final, en miles de dólares, suponiendo que hoy tiene una riqueza de 
2 millones de dólares. 
c) Suponga que otra empresa, Superbrain S.A., está tratando de desarrollar el 
mismo producto. Ud. asigna una probabilidad de 0,25 que ellos tengan éxito en 
el desarrollo del programa. ¿Contrataría Ud. más o menos ingenieros que si 
está sólo frente a este desafío? ¿Cuántos contrataría? Suponga nuevamente que 
es neutral al riesgo. Asimismo, suponga que si ambas empresas logran 
desarrollar el producto, la probabilidad que Ud. se gane el millón de dólares es 
0,5. Nota: Suponga que los eventos de poder desarrollar el producto por parte 
de SISA y Superbrain son independientes. 
8. Ud. es productor de trigo y debe decidir cuánto sembrar (en hectáreas) para el 
próximo año. Sus costos totales están representados por la siguiente función: 
CT =  +  Y2 
donde: 
 CT = costos totales de producción en pesos. 
 Y = cantidad de hectáreas producidas de trigo. 
 Ud. sabe "con certeza" que el rendimiento es igual a 50 quintales por hectárea. 
 El precio al cual vender es una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 
de 1.000, 2.000 y 2.500 pesos por quintal con probabilidades de 0.2, 0.5 y 0.3, 
respectivamente. 
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 Suponga que Ud. dispone de 100 hectáreas (no restrictivo) para sembrar trigo, su 
función de utilidad es v( c ) = c 0,5 y su riqueza inicial es W (ésta es suficiente para 
cubrir el máximo costo posible, es decir W > CT =  +  Y2). Nota: Una ganancia, 
positiva o negativa, de x pesos en la siembra de trigo le haría consumir c = W + x. 
 Se pide: 
a) Formule un modelo matemático que le permita saber si en este caso un aumento 
en los costos fijos afecta, en el margen, la cantidad sembrada de trigo. 
Explique como usaría su modelo para responder. 
b) Responda el problema anterior basado en su modelo y suponiendo 
  = 1.000.000;  = 1.500 y W = 3.000.000. 
9. Ud. acaba de comprar un automóvil por 3 millones de pesos. El auto tiene bolsa de 
aire (air bag) con lo que si choca , a Ud. no le pasa nada. Ud. no tiene peligro de 
chocar a terceros pero sí contra postes y árboles a los que no les pasa nada si Ud. los 
choca. Lo anterior significa que si choca, sólo puede dañar su auto. A Ud. le gusta la 
velocidad pero también le importa el costo del choque. 
El costo total del daño en caso de chocar es función de su velocidad, la cual puede 
suponer constante, aunque función del costo esperado para Ud. del choque. Por otra 
parte, a mayor velocidad, mayor es la probabilidad que Ud. choque durante el 
próximo año. 
Ud. puede contratar un seguro para el próximo año que vale x pesos y que pagará un 
porcentaje fijo del costo total en caso de siniestro. 
Alternativamente, Ud. puede contratar un seguro que pagará el costo total del daño 
menos un deducible de 100.000, por los mismos x pesos. 
Finalmente, Ud. es averso al riesgo en todo sentido. 
 Se pide: Plantee un problema de optimización que, una vez resuelto, le permita 
decidir no sólo que sistema de seguro contratar sino también a qué velocidad manejar. 
Nota: El problema debe poder ser resuelto por un matemático aunque sea en forma 
simbólica. Es decir, no se aceptan funciones del tipo y = f(x) aunque sí se aceptan 
funciones del tipo “y = 2 x” o bien “y = a x”. 
10. El Sr. Juan Segura tiene inicialmente una casa y otros bienes por un total de 
$160.000. Su función de utilidad es U = W . 
La probabilidad de un incendio normal, que lo haría perder $70.000, es 5%. 
Adicionalmente, la probabilidad de un incendio grave, que lo haría perder $120.000, 
es también 5%. En consecuencia, la probabilidad de que la casa no se incendie es 
90%. 
Le ofrecen un seguro con un deducible que le obliga a pagar los primeros $10.000 de 
cualquier pérdida por incendio. La compañía pagaría cualquier exceso de pérdida 
sobre los $10.000. 
Se pide: 
12 
 
a) ¿Cuánto es lo máximo que estaría dispuesto a pagar por este seguro? 
b) Si puede comprar, y compra, un tipo especial de extintor que garantiza que todo 
incendio “grave” se transforma en “normal” a un precio de $1.000, ¿cuánto es 
lo máximo que estaría dispuesto a pagar por el seguro? 
 NOTA: Puede dejar expresadas sus respuestas. 
11. Hoy es 1 de enero de 2014. Suponga que Ud. está considerando un negocio que 
exige poner hoy $15.000 (inversión inicial) y cuyo retorno (bruto) es $12.000 o 
$25.000 en un año más con probabilidades 0,5 y 0,5. Ud. NO necesita dejar de 
trabajar para realizar el negocio. En su trabajo actual, usted gana $1.500 al año, 
pagaderos al final de cada año. 
 Ud. tiene $5.000 en el banco hoy al 10% anual (ésta es toda su riqueza). El Banco no 
está dispuesto a prestarle plata porque el negocio lo considera muy riesgoso, a pesar 
de sus intentos de convencerlos que Ud. tiene plata para cubrir la máxima pérdida de 
$3.000 (15.000 – 12.000). 
 Así las cosas, usted ha decidido buscar un socio, que tendría que poner los $10.000 
que le faltan y que participaría en las utilidades. El potencial socio le ha hecho ver 
que él, para ser socio, SÍ tendría que dejar de trabajar en su actual trabajo y además 
tendría que sacar plata de su banco, donde gana, al igual que usted, un 10% anual. 
Hoy, él tiene $14.000 en el banco. En su trabajo actual, él gana $800 al año, 
pagaderos al final de cada año. 
 La función de utilidad suya es U = ln W, donde W es la riqueza al final del año. El 
potencial socio cumple con la propiedad delta y es averso al riesgo, con lo que su 
función de utilidad es U = a - b eW, donde W es la riqueza al final del año. 
Se pide: 
a) Su problema es decidir la forma de participación del potencial socio. 
Específicamente, su problema es decidir un monto fijo de retribución más un 
porcentaje del retorno bruto. (A modo de ejemplo, si el monto fijo es 100 y el 
porcentaje es 1%, él se llevaría 220 o 350 con probabilidades 0,5 y 0,5, 
claramente inferior a su aporte de $10.000 más su trabajo). Obviamente, Ud. 
no puede esperar que el socio entre a su negocio si él espera quedar peor que 
antes. NO NECESITA RESOLVER, SOLO NECESITA PLANTEAR EL 
PROBLEMA DE OPTIMIZACION QUE UD. ENFRENTA. 
b) Suponga que, a pesar de no necesitar hacerlo, resolvió el problema anterior, y 
que el monto fijo calculado es $ y el porcentaje es igual a . ¿Cuál sería la 
máxima tasa que usted estaría dispuesto a pagarle al banco por un préstamo de 
$10.000 para así no tener que pagarle a un socio? Suponga que si no tiene 
socio, no necesita a otra persona que trabaje. NUEVAMENTE, NO 
NECESITA RESOLVER, SOLO NECESITA PLANTEAR EL PROBLEMA 
DE OPTIMIZACION QUE UD. ENFRENTA. 
c) Use una planilla Excel o cualquier otro programa computacional para resolver 
los problemas planteados en las letras a) y b). Nota: debe definir el valor del 
parámetro . 
13 
 
12. Usted es un agricultor que decidió sembrar trigo este año. 
Su problema son las lluvias y las plagas. Usted estima que la probabilidad de plaga es 
0,5 y la probabilidad de lluvia también es 0,5. Usted considera que ambas variables 
son independientes. 
Por otra parte, sus utilidades dependen de si llueve o no y de si hay plagas o no. El 
siguiente cuadro muestra sus utilidades en los distintos casos. 
 
Por último, su función de utilidad se puede representar como U = √x , donde x se 
refiere a su utilidad. 
Se pide: 
a) Suponga que una compañía de seguros le ofrece por $60 un seguro que le pagaría 
$100 en caso de “no lluvia”. ¿Lo compraría? En esta parte, suponga que este es el 
único seguro disponible en el mercado. Explique su respuesta. 
b) Suponga que una compañía de seguros le ofrece por $120 un seguro que le 
pagaría 200 pesos en caso de plagas. ¿Lo compraría? En esta parte, suponga que 
este es el único seguro disponible en el mercado. Explique su respuesta. 
c) Esta vez, supongaque una compañía de seguros le ofrece por $180 un seguro que 
le pagaría $100 en caso de “no lluvia” y $200 en caso de plagas. ¿Lo compraría? 
En esta parte, suponga que este es el único seguro disponible en el mercado. 
Explique su respuesta. 
d) La compañía está decidida a vender uno solo de los productos anteriores, ¿cuál 
producto le conviene vender si quiere maximizar el valor esperado de sus 
ganancias? Explique su respuesta. 
 
13. Ud. tiene $10 para gastar en dos bienes. El bien 1 es viajar a las Torres del Paine 
durante las vacaciones (x1=1 si va y x1 = 0 si no va) y el bien 2 es arroz, cuya 
cantidad se expresa en kilógramos. El precio del bien 2 es $1 por kilógramo siempre. 
Su función de utilidad es del tipo Cobb-Douglas, con lo que 
 𝑈 = 𝑥1𝑥2
2 
El problema es el precio del viaje. Hoy le dijeron que si reserva hoy, el precio es de 
$6 pero que si espera hasta mañana, el precio puede subir a $8 o bajar a $5. NOTA: 
El arroz lo puede comprar después de decidir si compra o no el pasaje y, en caso de 
comprar, después de comprarlo. 
Se pide: 
a) ¿En qué rango debe estar la probabilidad de que baje el precio a $5 para que le 
convenga esperar hasta mañana? Respuesta: p debe ser mayor que 12/21. 
No Lluvia Lluvia
Plagas 100 225
No plagas 400 900
14 
 
b) ¿Cuánto es lo máximo que le ofrecería a la agencia de viajes porque le reserve a 
$6 hasta mañana, suponiendo que si sube el precio, le mantienen la reserva, y 
que si baja el precio, usted anula la reserva y compra el pasaje a $5? Suponga 
en esta parte que la probabilidad que usted asigna a que baje el precio es 0,5. 
Respuesta: 0,5314. 
c) Ahora suponga que el precio del viaje, si espera hasta mañana, es una variable 
aleatoria uniforme continua entre “a” y 8 pesos. ¿Qué valor debe tomar el 
parámetro “a” para que usted esté indiferente entre esperar hasta mañana o 
comprar hoy el pasaje a $6? Puede dejar expresada su respuesta. 
14. Su riqueza es de $4.000 mientras que la de su hermano es de $2.000. Su función de 
utilidad es v(c) = ln c, mientras que la función de utilidad de su hermano es v(c) = 
c0,1, donde c se mide en pesos. 
Les ofrecen un juego que les exige poner $1.000 a cada uno y que pagaría en total 
$6.500 con probabilidad ½ y $0 con probabilidad ½. 
Si bien lo lógico puede ser que ambos compartan las ganancias en partes iguales ya 
que el juego exige que cada uno ponga el mismo monto de $1.000, uno de ustedes 
considera que eso no corresponde ya que por una parte los grados de aversión al 
riesgo son distintos y por otra parte ambos tienen distinta riqueza. 
¿En qué rango debería estar su porcentaje de participación en los ingresos del juego 
para que a ambos les convenga jugar? Puede dejar expresada su respuesta. 
 
15. Suponga un individuo cuya riqueza inicial es W = 1.000 pesos y cuya función de 
utilidad es v(c) = - e-0,01c. 
 Asimismo, suponga un mundo con 2 estados de la naturaleza, 1 = 0,2 y 2 = 0,8. 
Los derechos contingentes se transan en el mercado a los precios P1 = 0,3 y P2 = 0,7. 
Se pide: Calcule la elasticidad-riqueza de las demandas por c1 y c2. 
16. Usted tiene 50 mil pesos en el bolsillo (ésta es su riqueza completa). Asimismo, usted 
es fanático de la Católica (equipo de fútbol), que juega este fin de semana con 
Deportes Osorno. No puede ir al partido, pero sí puede apostar ya sea en favor de 
Deportes Osorno o en favor de la Católica. 
Una apuesta a favor de la Católica o de Deportes Osorno cuesta 10 mil pesos y no 
puede hacer más de una apuesta (o compra la tarjeta de apuesta o no la compra). Si 
apuesta a favor de la Católica le pagan 15 mil pesos (sus 10 mil y 5 mil más). Por otro 
lado, si apuesta a Deportes Osorno, le pagan 30 mil pesos (sus 10 mil y 20 mil más). 
A pesar de su fanatismo, usted considera que la probabilidad que gane la Católica es 
0,6. Su función de utilidad es 𝑣𝑔(𝑐) = ln(50 + 𝑐) si gana la Católica y 𝑣𝑝(𝑐) = ln 𝑐 
si pierde, donde c es la plata (en miles de pesos) que le queda después de ganar o 
perder la apuesta. 
Se pide: 
15 
 
a) En caso de apostar, ¿a quién le apuesta? ¿quién prefiere que gane? Explique su 
respuesta. 
b) ¿Le conviene apostar? Explique su respuesta. 
c) ¿Es éste un juego justo? Explique su respuesta. 
17. Robinson tiene 100 kilos de cebada que puede guardar en un granero hasta febrero 
del próximo año o sembrar. Por cada kilo que siembre él obtiene 2 kilos si llueve en 
forma normal y 0,9 kilos si llueve en forma anormal (sequía). La cosecha sería en 
febrero del próximo año. El puede sembrar todo o parte de los 100 kilos. Los precios 
en la fecha de cosecha serán 6 y 10 pesos por kilo según si llueve normalmente o si 
hay sequía respectivamente. Robinson estima que la probabilidad que en el año llueva 
normalmente es 0,7. 
Se pide: 
a) ¿Cuánta cebada sembraría si fuera “extremadamente averso al riesgo”? 
b) ¿Cuánta cebada sembraría si fuera “neutral al riesgo”? 
18. El partido de Chile contra Paraguay es el próximo domingo. Ud. ha decidido verlo 
con un amigo suyo, también fanático de la selección chilena. Ambos creen que la 
probabilidad que gane Chile es de 0,6. Su amigo tiene una riqueza de 10.000 pesos 
mientras que usted tiene una riqueza de sólo 2.000 pesos. 
La función de utilidad de cada uno de ustedes se puede representar como U(w) = w0,5. 
Suponga que una tercera persona les ofrece una apuesta que consiste en que ustedes 
le pagan 3.000 pesos si gana Chile y él les paga 7.000 si gana Paraguay. 
Ustedes han decidido entre ustedes que si gana Chile, cada uno de ustedes pagaría 
1.500 pesos cada uno. Si pierde Chile (gana Paraguay), usted recibiría un porcentaje 
 de los 7.000 pesos y su amigo recibiría un porcentaje 1- de dicho monto. 
 Se pide: 
a) ¿Entre qué valores tendría que estar  para que a ambos les convenga jugar? 
Puede dejar expresada su respuesta en términos de un problema de optimización 
y/o de ecuaciones o desigualdades que se deben cumplir. (10 puntos) 
b) Si  = 0,6, ¿les conviene jugar? Explique en base a su respuesta a la parte a). (5 
puntos). 
 
Guía 4 (sobre la carga de riesgo óptima para el individuo, punto 2 
del programa) 
 
1. Usted tiene 50 mil pesos en el bolsillo (ésta es su riqueza completa). Asimismo, usted 
es fanático de la Católica (equipo de fútbol), que juega este fin de semana con 
Deportes Osorno. No puede ir al partido, pero sí puede apostar en el juego justo ya 
sea en favor de Deportes Osorno o en favor de la Católica. 
 A pesar de su fanatismo, usted considera que la probabilidad que gane la Católica es 
0,5. Su función de utilidad es 𝑣𝑔(𝑐) = 20 − 4𝑒
−0,5𝑐 si gana la Católica y 𝑣𝑝(𝑐) =
16 
 
10 − 𝑒−0,6𝑐 si pierde, donde c es la plata (en miles de pesos) que le queda después 
de ganar o perder la apuesta. 
 Se pide: 
 Si b es el monto que apuesta a favor de la Católica ( b < 0 significa que apuesta a 
Deportes Osorno), ¿cuánto vale b?; ¿quién prefiere que gane? Explique su respuesta. 
 Respuesta: b = 6.008,5 pesos (6,01 miles de pesos). 
 
2. Suponga que las acciones de la empresa A valen $4 cada una y que las acciones de la 
empresa B valen $5 cada una. Por otro lado, existe un mercado de derechos 
contingentes a si ocurre o no un determinado evento (gana la elección 1 u otro 
candidato). Los “vales por $1 si ocurre el estado 1” tienen un precio de P1 por unidad 
y los “vales por $1 si ocurre el estado 2” tienen un precio de P2 por unidad. 
a) ¿Cuánto debería valer P1 y P2 si las acciones de A generan 3 pesos si ocurre el 
estado 1 y 7 pesos si ocurre el estado 2, mientras que las acciones de B generan 
3 pesos en el estado 1 y 10 pesos en el estado 2? 
b) Suponga que P1 = 0,2 y P2 = 0,8. Diseñe una operación de arbitraje que le 
permita ganar plata con certeza. 
3. Su jefe ha decidido aceptar los axiomas detrás de la Regla de la Utilidad Esperada, 
además de la Propiedad Delta (aversión al riesgo absoluto constante), con lo que sufunción de utilidad es exponencial y el equivalente cierto se puede expresar como: 
𝐸𝐶 = −
1
𝛾
ln (𝐸(𝑒−𝛾𝑥)) 
Suponga también que su jefe le dijo que en un juego justo que paga 3 si sale cara y 0 
si sale sello, el equivalente cierto es 1. 
En este minuto usted debe decidir si meterse o no en un proyecto cuyos retornos son 
aleatorios y siguen la función de densidad exponencial (con  =1). Así f(x) = e-x para 
x > 0. 
La función generadora de momentos de esta distribución es: 
E(etx) = 1/(1-t). 
Se pide: 
a) Escriba una ecuación que le permita determinar el parámetro . 
b) ¿Cuál es el valor de ? 
i)  = 0,6213513 
ii)  = 0,4812118 
iii)  = 1,3239626 
iv)  = 0,2136234 
v)  = otro valor 
17 
 
Justifique en base a su respuesta anterior. 
c) ¿Cuál es la máxima cantidad que pagaría por meterse en el proyecto? R: 0,8164. 
 
4. Suponga un individuo cuya riqueza inicial es W = 1.000 pesos y cuya función de 
utilidad es v(c) = - e-0,01c. 
 Asimismo, suponga un mundo con 2 estados de la naturaleza, 1 = 0,3 y 2 = 0,7. 
Los derechos contingentes se transan en el mercado a los precios P1 = 0,4 y P2 = 0,6. 
 Se pide: Calcule la elasticidad cruzada de la demanda, no compensada, de c1 respecto 
al precio c2. 
5. La función de utilidad del Sr. Risk es: 
v( c ) = 2 c0,5 
El señor Risk tiene en este momento 1.000 kgs de cebada que puede guardar en un 
granero hasta al 28 de febrero del próximo año o bien sembrarlo total o parcialmente 
en su predio. La función de producción de cebada es tal que por cada kg de siembra 
se obtiene 0,8 o 1,5 kg de producto dependiendo de si el tiempo es malo o bueno 
(probs 0,6 y 0,4 respectivamente). 
a) Plantee el problema del señor Risk. 
b) Suponga que las acciones de la empresa A cuestan hoy 1 kg de cebada y 
valdrán 1,2 o 0,8 kg. de cebada el 28 de febrero del próximo año si el tiempo es 
malo o bueno respectivamente. Plantee el nuevo problema del señor Risk, 
definiendo claramente las variables, función objetivo y restricciones. 
6. Si Chile clasifica finalmente para el mundial, las acciones de BIELSA S.A. valdrían 
$6 por acción y las de SAMPAOLI S.A. valdrían $20 por acción. 
 En caso contrario, las acciones de BIELSA S.A. valdrían $10 por acción y las de 
SAMPAOLI S.A. valdrían también $10 por acción. 
 Hoy las acciones de BIELSA S.A. valen $8 por acción y las de SAMPAOLI S.A. 
valen $14 por acción. 
 Se pide: 
a) ¿Cuánto debería valer un "vale por $1 si Chile clasifica para el mundial"? 
¿cuánto debería valer un "vale por $1 si Chile NO clasifica para el mundial"? 
b) Suponga que Ud. tiene una función de utilidad igual a 
 v(c) = c0,5 
 y que sólo puede operar en el mercado de derechos contingentes (no hay 
mercado de acciones para BIELSA S.A. y SAMPAOLI S.A.) a los precios 
calculados en la parte a). 
 Ud. asigna una probabilidad de 0,9 al evento "Chile clasifica para el mundial" y 
dispone de $100 para comprar derechos contingentes. 
18 
 
 ¿Cuántos "vale por $1 si Chile clasifica para el mundial" y cuántos "vale por $1 
si Chile no clasifica para el mundial" compraría? 
 
7. Suponga tres estados de la naturaleza. Asimismo, suponga dos acciones (A y B) 
cuyos valores dependen del estado de la naturaleza de acuerdo con el siguiente 
cuadro, que también muestra las probabilidades que usted asigna a los distintos 
estados. 
 
Las acciones de la empresa A se venden hoy a $1 peso cada una mientras que las acciones 
de la empresa B se venden en $3 cada una. No existen las “ventas cortas”. 
Se pide: NO NECESITA RESOLVER PERO SI INDICAR LOS PASOS QUE TENDRIA 
QUE SEGUIR UN MATEMÁTICO O UN EXPERTO EN SOLVER DE EXCEL PARA 
RESOLVER. 
a) Si usted dispone hoy de $100.000, que debe invertir en acciones, ¿cuántas acciones 
de cada tipo compraría? Suponga que su función de utilidad se puede representar 
como U(x) = x0,5. (6 puntos) 
Respuesta: Usando Solver de Excel: A = 64.586,87; B = 11.804,38. 
b) En relación con la parte a), ¿cómo calcularía la elasticidad-precio de su demanda 
por acciones de la empresa B? (5 puntos) 
c) Le ofrecen participar en un proyecto de la empresa C, cuyas acciones tendrían un 
valor de $1 en el estado 1, $1 en el estado 2 y $11 en el estado 3. Las acciones se 
venden hoy a $5 por acción. El problema es que le cobran “un monto de entrada” 
(como en algunos fondos mutuos en la actualidad). ¿Cuál es el máximo monto de 
entrada que lo haría participar de este proyecto? 
Respuesta: Usando Solver de Excel: El máximo monto de entrada es igual a 
2.858,32 pesos. 
d) ¿Cuáles son los valores implícitos de los derechos contingentes a los distintos 
estados de la naturaleza? Nota: En esta parte no considere el “monto de entrada” 
para comprar acciones de la empresa C. (4 puntos) 
Pregunta 8.- (15 puntos) 
Su jefe ha decidido aceptar los axiomas detrás de la Regla de la Utilidad Esperada, además 
de la Propiedad Delta, con lo que su función de utilidad se puede representar como 
𝑈(𝑥) = −𝑒−𝛾𝑥 y el equivalente cierto se puede expresar como: 
Estado 1 Estado 2 Estado 3
Probabilidad 0,2 0,3 0,5
Acción A 1 1 1
Acción B 2 1 5
19 
 
𝐸𝐶 = −
1
𝛾
ln (𝐸(𝑒−𝛾𝑥)) 
Suponga también que su jefe le dijo que en un juego justo que paga 10 si sale cara y 0 si 
sale sello, el equivalente cierto es 3. 
En este minuto usted debe decidir si meterse o no en un proyecto cuyos retornos son 
aleatorios y siguen la función de densidad exponencial (con  = 4). Así f(x) = e-x para x > 
0. 
La función generadora de momentos de esta distribución es: 
E(etx) = /(-t). 
Se pide: NO NECESITA RESOLVER PERO SI INDICAR LOS PASOS QUE TENDRIA 
QUE SEGUIR UN MATEMÁTICO O UN EXPERTO EN SOLVER DE EXCEL PARA 
RESOLVER. 
d) Escriba una ecuación que le permita determinar el parámetro . (6 puntos) 
e) ¿Cuál es la máxima cantidad que pagaría por meterse en el proyecto? (6 puntos) 
Pregunta 9.- State Dependent Utility 
Usted está planeando sus vacaciones de verano. Cuenta con $121 y dos alternativas: a) ir de 
camping al sitio de un tío en Copihue, el cual no le cobra nada por usar su sitio; b) ir a 
Punta Cana donde entre hotel y viaje gastará $57. 
Su función de utilidad se puede expresar como: 
𝑈(𝑐) = 8𝑐0.5 o 𝑈(𝑐) = 5 𝑐
2
3⁄ 
según si va a Copihue o a Punta Cana respectivamente. c representa el gasto en otros bienes 
cuyo precio es $1 por unidad. 
Se pide: 
a) ¿Qué alternativa prefiere? (3 puntos) 
b) Suponga que antes de decidir donde veranear, le ofrecen un juego donde ganaría 
$61 con probabilidad 0,5 y perdería 48 con probabilidad 0,5. ¿Le conviene jugar? 
c) Suponga que después de decidir donde veranear, de acuerdo con su respuesta en a), 
le ofrecen un juego donde ganaría $61 con probabilidad 0,5 y perdería 48 con 
probabilidad 0,5. ¿Le conviene jugar? 
Pregunta 10.- (18 puntos) 
La función de utilidad de Robinson Crusoe se puede representar como: 
v( c ) = 2 c0,5 
Robinson tiene en este momento 100 kgs de cebada que puede guardar en un granero hasta 
al 28 de febrero del próximo año o bien sembrarlo total o parcialmente en su predio. La 
20 
 
función de producción de cebada es tal que por cada kg de siembra se obtiene 0,5 o 3 kg de 
producto dependiendo de si el tiempo es malo o bueno (probs 0,6 y 0,4 respectivamente). 
El problema de Robinson se complica porque puede tomar un seguro (que debe pagar hoy), 
que le cuesta un kilo de cebada por cada 2 kilos de cebada que le pagan el 28 de febrero del 
próximo año en caso de mal tiempo. 
Suponga que Robinson puede sembrar total o parcialmente o no sembrar y que puede o no 
contratar un seguro mayor, menor o igual al monto sembrado. 
Se pide: NO NECESITA RESOLVER PERO SI INDICAR LOS PASOS QUE TENDRIA 
QUE SEGUIR UN MATEMÁTICO O UN EXPERTO EN SOLVER DE EXCEL PARA 
RESOLVER. 
a) ¿Le conviene asegurarse? ¿sobreasegurarse? ¿Qué entiende por “sobreasegurarse” 
en este caso? (7 puntos) 
b) ¿Cómo cambia su respuesta anterior si no se puede “sobreasegurar”?(4 puntos) 
c) El hecho que tenga la posibilidad de asegurarse, ¿implica que Robinson siembra 
más o menos cebada? (7 puntos) 
 
Pregunta 11.- Cuánto ahorrar para la vejez (30 puntos) 
Suponga solo dos períodos: en el primero usted trabaja y gasta, y en el segundo solo 
gasta ya que es su período como pensionado (si es que vive). El problema es cuánto 
ahorrar para la vejez. La probabilidad que no pueda disfrutar de su período como 
pensionado (muera) es 0,2. En su período activo usted gana $1.000 con probabilidad 
1. 
Su función de utilidad en cada período (si vive) es igual a 𝑣(𝑐) = √𝑐. Si muere, 
usted valora a sus herederos de igual forma (en relación al monto que usted les deja) 
pero el impuesto de herencia es igual a 30% de lo que les deje (así, por ejemplo, si 
usted tuviera 100 pesos el segundo período para consumir, sus herederos 
consumirían solo $70). 
Suponga que lo que ahorre en el primer período le genera 10% de rentabilidad. 
Suponga también que un “útil” el primer período es equivalente a un útil el segundo 
período en términos de su bienestar total. 
Se pide: 
a) Plantee, SIN RESOLVER, su problema de optimización, que le permita saber 
cuánto consumir en cada período. (10 puntos) 
 
b) Suponga que usted puede contratar hoy un seguro de vida a un precio de 0,2 
pesos por cada peso asegurado. Es decir, si usted paga hoy 2 pesos, la 
compañía de seguros le paga a sus herederos en caso de muerte 10 pesos en el 
próximo período. 
i) Plantee, NUEVAMENTE SIN RESOLVER, su problema de 
optimización, que le permita saber cuánto consumir en cada período y 
cuánto seguro contratar. (8 puntos) 
21 
 
ii) ¿Es el seguro un “juego justo”? Explique claramente su respuesta. (4 
puntos) 
 
c) Suponga que usted puede hoy contratar una renta vitalicia, donde tendría que 
pagar hoy 0,8 pesos a cambio que la compañía le devuelve 1 peso en el 
próximo período si es que usted continua vivo. 
 
Plantee, NUEVAMENTE SIN RESOLVER, su problema de optimización, 
que le permita saber cuánto consumir en cada período y cuánta renta vitalicia 
contratar. (8 puntos) 
Pregunta 12.- Suponga un mercado de acciones donde hay 2 tipos de acciones: A y 
B, cuyos retornos dependen de si se aprueba o no la Reforma Constitucional hoy en 
la tarde. La probabilidad que se apruebe es 0,6. 
Si se aprueba, las acciones de la empresa A valdrían 3 pesos cada una y las acciones de la 
empresa B valdrían 7 pesos cada una. 
Si no se aprueba la Reforma Constitucional, las acciones de la empresa A valdrían 5 pesos 
cada una y las acciones de la empresa B valdrían 2 pesos cada una. 
Suponga que ambas acciones se están transando a 4 pesos cada una hoy en la mañana. 
Se pide: 
a) ¿Cuánto debería valer una nueva acción C hoy en la mañana si en caso que se 
apruebe la Reforma valdría 8 pesos y si se rechaza valdría solo 1 peso? (6 puntos) 
b) ¿Cuánto debería valer la acción de C hoy en la mañana si la probabilidad que se 
apruebe la reforma es 0,8 en lugar de 0,6? (nota: nada más cambia de los datos 
anteriores). 
c) Suponga que el precio de la acción C está en la mañana a 2 pesos por debajo del 
precio encontrado en la parte a). ¿Qué operaciones haría para ganar plata segura? 
 
Pregunta 13.- (10 puntos) 
El próximo domingo juega la Católica con el Real Madrid. Su función de utilidad en caso 
que gane la Católica es v(c) = 2 ln c donde c es el consumo de cebada, cuyo precio es Pc = 
1. Si pierde la Católica, su utilidad se reduce a la mitad. Es decir, en este caso, v(c) = ln c. 
Nota: si no le gusta la Católica, sustituya “Católica” por el nombre de su equipo. 
Usted cree que la probabilidad que gane la Católica es 0,4 y la probabilidad que 
pierda es 0,6 (no hay empate). 
Le ofrecen apostar $100 a favor o en contra de la Católica. Si pierde, pierde $100. Si 
gana, gana $200. Su riqueza actual es w = 1.000 y el precio de la cebada es igual a 
$1 por unidad. 
Se pide: 
22 
 
¿Acepta la oferta? Si sí, ¿a favor de quien? ¿quién quiere que gane? EXPLIQUE 
CLARAMENTE SU RESPUESTA. 
Pregunta 14.- Suponga que las acciones de la empresa A valen $4 cada una y que las 
acciones de la empresa B valen $5 cada una. Las acciones de A generan 3 pesos si ocurre el 
estado 1 y 6 pesos si ocurre el estado 2, mientras que las acciones de B generan 8 pesos en 
el estado 1 y 3 pesos en el estado 2. Usted dispone de 100 acciones de cada tipo. 
Se pide: 
a) Grafique, en el plano C1, C2 (consumos contingentes al estado 1 y al estado 2), sus 
posibilidades de consumo, e indique el punto de riqueza inicial. SUPONGA que no 
hay ventas cortas. (7 puntos) 
b) Suponga que usted es “total y absolutamente adverso al riesgo”. ¿Cuántas acciones 
de cada tipo compraría/vendería. Recuerde que hoy tiene 100 acciones de cada tipo? 
Respuesta: Vendo 22,8571 acciones de B y compro 28,5714 acciones de A. 
 
 
Guía 5 (sobre las medidas de aversión al riesgo y sobre la estática 
comparativa de cambios en la riqueza y en los precios, punto 3 del 
programa) 
1. Ud. acaba de sembrar 10 hectáreas de trigo. La producción, que se cosechará en 
marzo del próximo año, será de 50 quintales por hectárea con probabilidad 1 = 0,4 y 
de 90 quintales por hectárea con probabilidad 2 = 0,6. 
 Por otra parte, en el mercado de futuros de trigo local, el precio del “trigo-marzo” está 
hoy a 25 pesos el quintal. Ud. considera que dicho precio está sesgado. Ud. cree que 
el precio en marzo del trigo será de 20, 30 o 40 pesos con probabilidades 0,2; 0,5 y 
0,3 respectivamente. El precio en marzo y la cantidad que Ud. produzca son 
variables aleatorias independientes. 
 Suponga que su función de utilidad es U = ln W, donde W es la riqueza final, en 
pesos, compuesta por la venta de trigo y las ganancias o pérdidas en el mercado de 
futuros. 
Se pide: 
a) ¿Cuánto trigo-marzo vendería o compraría hoy en el mercado de futuros? 
Suponga, para simplificar que Ud. no necesita plata propia hoy para transar en 
futuros. 
 NOTAS: 
1. PUEDE DEJAR EL RESULTADO EXPRESADO EN TERMINOS DE 
ECUACIONES. 
23 
 
2. LOS COSTOS DE PRODUCCION YA SE INCURRIERON Y NO 
AFECTAN LA RIQUEZA FINAL. 
3. SI BIEN PUEDE HACER COMPRAS O VENTAS A FUTURO, SU 
RIQUEZA FINAL NO PUEDE SER NEGATIVA. 
b) Suponga ahora que NO ha sembrado y que el costo total de producción de trigo 
es CT = 20 Y2 donde Y es el número de hectáreas sembradas de trigo. 
Formule, SIN RESOLVER, el problema de optimización correspondiente. 
3 Suponga que Ud. es productor de soya y que “sabe” que va a producir 1.000 quintales 
en marzo del próximo año. En el mercado de futuros de soya local, el precio de la 
“soya-marzo” está a 68 pesos el quintal. Ud. considera que dicho precio está algo 
sesgado. Su visión es que el precio en marzo de la soya será de 50; 70 o 90 con 
probabilidades 1/4; 1/2 y 1/4. 
 Suponga que su función de utilidad es U = W0,5, donde W es la riqueza final, en 
pesos, compuesta por la venta de soya y las ganancias o pérdidas en el mercado de 
futuros. 
Se pide: 
a) ¿Cuánta soya-marzo vendería o compraría hoy en el mercado de futuros? Suponga, 
para simplificar que Ud. no necesita plata propia hoy para transar en futuros. NOTA: 
PUEDE DEJAR EL RESULTADO EXPRESADO EN TERMINOS DE 
ECUACIONES. 
b) Suponga que tiene sólo dos alternativas: Comprar un quintal de soya-marzo o vender 
un quintal de soya-marzo. ¿Qué prefiere? 
4. Suponga dos acciones A y B cuyos precios son PA = 8 y PB = 4. Asimismo, 
suponga que la matriz Zas = Precio final de la acción a si ocurre el estado s, es 
igual a 
 Estado de la naturaleza 
 1 2 
 A 5 12 
 Acción 
 B 7 3 
 
 Adicionalmente, suponga una función de utilidad v( c ) = c ln c. Suponga que el 
individuo tiene $2.000 para comprar acciones, y que 1 = 0,6 y 2 = 0,4 
24 
 
 Finalmente, suponga que en este mercado no son posibles la “ventascortas” de 
acciones, salvo para los miembros del Club de las Ventas Cortas. Los miembros de 
este club pueden realizar ventas cortas en la medida que bajo cualquier estado de la 
naturaleza puedan cumplir con sus obligaciones. 
Se pide: 
a) ¿Cuánto pagaría por pertenecer al Club de las Ventas Cortas? NOTA: NO 
NECESITA RESOLVER PERO SI DEJAR CLARO LOS PASOS QUE SEGUIRIA 
PARA RESOLVER. EN OTRAS PALABRAS, DEBE DEMOSTRAR QUE SABE 
RESOLVER EL PROBLEMA. 
b) Si hubiera un mercado de derechos contingentes, ¿qué valor tendrían los derechos 
contingentes al estado 1? ¿al estado 2? 
c) El individuo de este ejemplo, ¿qué tipo de aversión al riesgo tiene? (IRRA, IARA, 
CARA, CRRA, DARA, DRRA). 
 
5. Papas y pescados 
 
Considere un individuo con una función de utilidad de la forma: 
 
 u(x₁,x₂) = x₁x₂, 
 
donde x₁ es cantidad de papas y x₂ es la cantidad de pescado que consume (en 
porciones). El precio de las papas es p₁=1, mientras que el precio del pescado es p₂. 
 
El problema se complica por lo siguiente: él debe comprar las papas en Santiago 
antes de salir de vacaciones, mientras que el pescado lo comprará en su lugar de 
vacaciones. Él estima que el precio del pescado será p₂=1 ó p₂=4 con probabilidades 
0,6 y 0,4 respectivamente. En un contexto de incertidumbre él toma sus decisiones 
maximizando utilidad esperada. 
 
Si tiene $100 antes de comprar las papas en Santiago, ¿cuántas papas compraría? 
Ayuda: note que x₂ va a depender de cuántas papas compró antes de salir de Santiago 
y del precio p₂ que finalmente rija en su lugar de vacaciones. 
 
¿Cuál es el número esperado de porciones de pescado que compraría en el lugar de 
vacaciones? 
 
6. Suponga dos acciones A y B cuyos precios son PA = 8 y PB = 4. Asimismo, 
suponga que la matriz Zas = Precio final de la acción a si ocurre el estado s, es 
igual a 
 Estado de la naturaleza 
25 
 
 1 2 
 A 5 12 
 Acción 
 B 7 3 
 Adicionalmente, suponga que su función de utilidad se puede representar como v(c) = 
ln c. Suponga que usted tiene $2.000 para comprar acciones, y que 1 = 0,6 y 2 = 
0,4 
 Finalmente, suponga que en este mercado no son posibles la “ventas cortas” de 
acciones. 
 El problema es que el Estado ha decidido prohibir las transacciones de la empresa B 
por considerarla atentatoria contra el bien común (venden hilo curado). 
Se pide: 
a) ¿A cuánto asciende su disposición a pagar por evitar la prohibición? 
b) ¿Cuánto le tienen que pagar a usted para que no le importe la prohibición? 
c) ¿A cuánto asciende su disposición a pagar por evitar que ocurra el estado 2? 
Esta pregunta es independiente de la partes a) y b). Es decir, aquí suponga que 
no hay prohibición de transar. 
NOTA: EN ESTA PREGUNTA (TANTO EN LA PARTE A COMO EN LAS 
PARTES B Y C) NO NECESITA RESOLVER PERO SI DEJAR CLARO LOS 
PASOS QUE SEGUIRIA PARA RESOLVER. EN OTRAS PALABRAS, DEBE 
DEMOSTRAR QUE SABE RESOLVER EL PROBLEMA. 
7. Usted es un agricultor que cuenta con 100 hectáreas para producir trigo. Su 
problema es cuántas hectáreas sembrar hoy y cuánto vender o comprar en el 
mercado de futuros local de trigo. 
 Usted cuenta con los siguientes antecedentes: 
 La producción se cosecharía en marzo del próximo año. El rendimiento será de 50 
quintales por hectárea con probabilidad 1 = 0,4 y de 90 quintales por hectárea con 
probabilidad 2 = 0,6. 
 Por otra parte, en el mercado de futuros de trigo local, el precio del “trigo-marzo” está 
hoy a 30 pesos el quintal. Ud. cree que el precio en marzo del trigo será de 20 o 40 
pesos por quintal con probabilidades 0,2 y 0,8 respectivamente. El precio en marzo y 
la cantidad que Ud. produzca son variables aleatorias independientes. 
26 
 
 Suponga que su función de utilidad es U = ln W, donde W es la riqueza final, en 
pesos, compuesta por la venta de trigo y las ganancias o pérdidas en el mercado de 
futuros. 
 Suponga que el costo total de producción de trigo es CT = 20 Y2 donde Y es el 
número de hectáreas sembradas de trigo. 
 Si bien puede hacer compras o ventas a futuro, su riqueza final no puede ser negativa. 
Se pide: 
a) Formule, SIN RESOLVER, el problema de optimización correspondiente. 
b) En base a su respuesta a la parte a), determine qué es mejor: i) Producir 3 
hectáreas de trigo, vendiendo 150 quintales a futuro, o ii) No producir y 
comprar 150 quintales en el mercado de futuros. Estas son las únicas dos 
alternativas. 
8. Suponga dos proyectos alternativos: 
 Proyecto A: Este proyecto le reportará 100 pesos con probabilidad 0,3; 200 pesos con 
probabilidad 0,3 y 300 pesos con probabilidad 0,4. 
 Proyecto B: Este proyecto le reportará 100 pesos con probabilidad 0,2; 200 pesos con 
probabilidad 0,52 y 300 pesos con probabilidad 0,28. 
 Juan le ha pedido asesoría acerca de cuál de los dos proyectos elegir. 
Se pide: 
a) Si no sabe si Juan es averso o preferente al riesgo, ¿puede recomendarle algún 
proyecto? En caso positivo, ¿cuál? Explique su respuesta. 
b) Si sabe que Juan es averso al riesgo, ¿puede recomendarle algún proyecto? En 
caso positivo, ¿cuál? Explique su respuesta. 
9. Usted está buscando un socio que aporte capital para un emprendimiento suyo 
relacionado con la producción de paraguas. Usted está dispuesto a garantizarle al 
socio 900 pesos en caso de lluvia (p=0,5) y 0 pesos en caso de no lluvia (p=0,5). El 
potencial socio, llamado Juan, tiene una riqueza de $1.000 y exhibe aversión al riesgo 
relativo creciente. 
 Usted le ofrece las condiciones anteriores a cambio de 400 pesos que usted usaría 
para comprar la máquina que hace los paraguas. Juan decide NO aceptar el proyecto 
en esas condiciones (considera que 400 pesos es mucho), pero le dice que él está 
dispuesto a pagar hasta un máximo de 300 pesos. Usted le cree que ese es el máximo 
pero como a usted no le conviene ese valor, no hay trato. 
 Al año siguiente, cuando la situación económica de Juan ha mejorado al punto que su 
riqueza ha aumentado a $2.000, usted piensa que puede volver a contactarlo para que 
se asocie con usted, esta vez con otro proyecto también relacionado con paraguas. 
27 
 
 Esta vez, usted está dispuesto a garantizarle $1.800 en caso de lluvia y 0 en caso de 
no lluvia. Las probabilidades de lluvia y no lluvia siguen siendo las mismas. 
 Se pide: (NOTA: las partes a) y b) son independientes totalmente) 
a) En base a la información anterior, ¿qué puede decir respecto del monto que estaría 
dispuesto a pagar Juan por el nuevo proyecto? NOTA: Su respuesta puede incluir 
frases como a) Juan está dispuesto a pagar montos bajo tal o cual número, b) Juan no 
está dispuesto a pagar montos superiores a tanto, c) Juan podría estar dispuesto a 
pagar montos entre tanto y tanto, dependiendo de tal o cual hecho, d) Juan podría no 
estar dispuesto a pagar montos entre tanto y tanto, etc.. DEBE EXPLICAR 
CLARAMENTE SU RESPUESTA. (10 puntos) 
 Respuesta: Juan no está dispuesto a pagar un número mayor o igual a $600. 
Dependiendo del grado de aversión al riesgo relativo, puede estar dispuesto a pagar 
como máximo cualquier número entre 0 y 600. 
b) En el mismo año siguiente, a usted se le ocurre otro proyecto más flexible que el 
anterior en el sentido que si no llueve pero hay mucho sol, los paraguas pueden ser 
usados como quitasol. Sin embargo, si llueve, no son tan buenos. Así, si llueve, puede 
garantizarle a Juan sólo $1.500 (p=0,5). Si no llueve, puede garantizarle $1.000 si hay 
sol y 0 si no hay sol (nublado sin lluvia). 
 ¿En qué rango debería estar la probabilidad de sol para que usted pueda asegurar que 
Juan está dispuesto a pagar más por este proyecto que por el proyecto en a)? NOTA: 
DEBE EXPLICAR CLARAMENTE SU RESPUESTA. SE RECOMIENDA EL 
USO DE GRÁFICOS (12 puntos). 
 Respuesta: Para que haya dominancia estocástica de segundo orden, con lo que se 
puede asegurarque cualquier averso al riesgo prefiere el proyecto que domina, se 
requiere que p sea mayor a 0,15. 
 
10. Usted ha decidido regalarle a un amigo suyo para su cumpleaños ya sea una acción de 
Andina (A) o de Budweiser (B). El valor de la acción A al día siguiente del 
cumpleaños de su amigo será de 3 o 2 con probabilidades 0,4 y 0,6 respectivamente. 
Por su parte, el valor de la acción B al día siguiente del cumpleaños será de 1 o “x” 
con probabilidades 0,4 y 0,6 respectivamente. 
Se pide: 
a) ¿Cuánto tendría que valer “x”, como máximo, para que usted esté seguro que su 
amigo prefiere la acción A a la acción B como regalo de cumpleaños? Suponga que 
sólo sabe que su amigo es averso al riesgo. Explique claramente su respuesta. (10 
puntos) 
b) ¿Cómo cambia su respuesta anterior si su amigo le dice que su función de utilidad es 
𝑈(𝑐) = √𝑐? Es decir, ¿cuánto tendría que valer “x” como máximo para que él esté 
mejor con la acción A que con la acción B? Explique claramente su respuesta. (5 
puntos) 
c) ¿Cómo caracterizaría el tipo de aversión al riesgo de su amigo? Explique claramente 
su respuesta. (5 puntos) 
 
28 
 
 
11. Considere un agricultor que cuenta con 100 hectáreas para sembrar trigo y/o arvejas. 
Las arvejas rinden 10 o 20 quintales por hectárea (probabilidades 0,5 y 0,5) mientras 
que el trigo rinde 40 quintales por hectárea con certeza. El problema es que las 
arvejas se venden necesariamente a $25 por quintal, mientras que el trigo se venderá 
al momento de cosecha en marzo de 2016, en $10 o $20 por quintal (probabilidades 
0,4 y 0,6). 
 El costo de producción de las arvejas es de 100 pesos por hectárea mientras que el 
costo de producción del trigo es de 120 pesos por hectárea. 
 El precio del trigo-marzo es hoy de 14 pesos por quintal. No hay mercado de futuros 
de arvejas. 
 Suponga que la función de utilidad del agricultor se puede expresar como U = W0,5, 
donde W es la riqueza final, en pesos, compuesta por los ingresos netos agrícolas y 
las ganancias o pérdidas en el mercado de futuros. 
Se pide: 
a) ¿cuántas hectáreas de trigo y arvejas sembraría? 
b) ¿cuánto trigo vendería o compraría a futuro? 
NOTA: Plantee, SIN RESOLVER, el problema de optimización que enfrenta el 
agricultor, dejando claro cómo usaría su modelo para responder ambas preguntas. 
12. Suponga dos proyectos alternativos: 
 Proyecto A: Este proyecto le reportará 100 pesos con probabilidad 0,4; 200 pesos con 
probabilidad 0,3 y 300 pesos con probabilidad 0,3. 
 Proyecto B: Este proyecto le reportará 100 pesos con probabilidad 0,2; 200 pesos con 
probabilidad “p” y 310 pesos con probabilidad “0,8 – p”. 
 Juan le ha pedido asesoría acerca de cuál de los dos proyectos elegir. 
 Se pide: 
 Si sabe que Juan es averso al riesgo, ¿entre qué valores debe estar “p” para que usted 
pueda recomendarle un proyecto? Explique claramente su respuesta. 
 
Guía 6 (sobre decisiones de información, punto 4 del programa) 
1. A usted le acaban de ofrecer 2 motos iguales por 300.000 pesos (150.000 cada una 
pero debe comprar las dos o ninguna). El problema es que usted no está seguro ni de 
cuántas podrá vender (Q) ni tampoco a qué precio (P). La moto o las motos que no 
venda no tienen ningún valor para usted. Usted cree que Q y P son variables 
independientes con las siguientes funciones de probabilidad: 
𝑃(𝑄 = 𝑄0) = {
1
3
 𝑄0 = 0, 1, 2
0 𝑐. 𝑜. 𝑣.
 
29 
 
𝑃(𝑃 = 𝑃0) = {
1
2
 𝑃0 = 100.000, 250.000
0 𝑐. 𝑜. 𝑣.
 
Finalmente, suponga que usted es indiferente al riesgo. 
a) ¿Le conviene comprar las motos? 
b) ¿Cuánto pagaría por información perfecta acerca de la variable P? 
c) ¡Cuánto pagaría por información perfecta acerca de la variable Q suponiendo 
que no puede comprar información respecto de P? 
d) ¿Cuánto pagaría por información perfecta sobre ambas? 
2. El problema de Juan Pérez es decidir si comprar o no una piedra que puede ser (o 
puede no ser) preciosa. Adicionalmente, puede comprar un test cuyos resultados los 
sabría antes de tener que decidir si comprar o no la piedra. 
Suponga que: 
a) Inicialmente él asigna una probabilidad de 0,4 al evento que la piedra sea 
preciosa. 
b) Si la piedra es preciosa ganaría 10.000 pesos (netos). 
c) Si la piedra no es preciosa, perdería 2.000 pesos. 
d) El test le costaría 500 pesos adicionales. 
e) Si la piedra es preciosa, el test diría que es preciosa con probabildiad p y que es 
falsa con probabilidad (1-p). 
f) Si la piedra no es precios , el test se equivocaría con probabilidad 0,4. 
Finalmente, con estos números, Juan Pérez ha decidido hacer el test. Si el test dice 
que es auténtica comprará la piedra y si dice que es falsa no compará la piedra. 
Se pide: 
¿En qué rango está la probabilidad p? 
 
3. Ud. ha sido contratado por la Asociación de Aeronáutica Chilena para evaluar el 
proyecto ALFA 1. Este consiste en lanzar un cohete a la luna tripulado con una 
“araña del rincón”. El costo del proyecto es de 3 millones de dólares. El beneficio es 
de 5 millones si la araña sobrevive y de 0 si muere (los beneficios son por contratos 
con auspiciadores que usarían a la “araña del espacio” como parte de su publicidad). 
La probabilidad que sobreviva es 0,7. 
Por otra parte, si gasta 300 mil dólares, se puede desarrollar un predictor, con una 
confiabilidad del 65%, del tiempo que habrá en la luna al momento del viaje. Es 
decir, si el tiempo es bueno, el test diría bueno con un 65% de probabilidad y si el 
tiempo es malo, el predictor diría malo también con un 65% de probabilidad. Si el 
tiempo es bueno, la probabilidad que la araña sobreviva es de un 90%. La 
probabilidad que el tiempo en la luna sea bueno es 0,5. 
Finalmente, suponga que es neutral al riesgo. 
30 
 
Se pide: 
a) Encuentre las matrices de probabilidad conjunta, de verosimilitud y posteriori 
potencial para este caso. 
b) ¿Conviene lanzar el cohete? ¿Conviene desarrollar el predictor? 
4. Suponga que Ud. tiene en este momento 10.000 pesos, una función de utilidad igual a 
v( c ) = c0,5, y que está frente a la posibilidad de jugar al “dado”. El juego consiste en 
que Ud. apuesta x pesos a un número. Si adivina, le devuelven 8 x y si no, no le 
devuelven los x pesos que apostó. 
 Se pide: 
¿Cuánto pagaría por saber si el dado es par o impar? 
 
5. Ud. es dueño de una panadería y debe decidir cuánto pan producir en la mañana para 
satisfacer la demanda del día. El costo de producción es de 4 pesos por kg. y el precio 
de venta es de 6 pesos por kg. La demanda diaria es una variable aleatoria uniforme 
entre 200 y 1.200 kg. 
Ud. ha decidido producir 500 o 1.000 kg. de pan. Es decir, Ud. ha decidido 
considerar sólo dos alternativas de producción. 
Se pide: 
a) Si Ud. es neutral al riesgo, ¿cuánto pan produciría en la mañana, si el pan que no 
vende en la mañana, lo pierde? 
b) ¿Cuánto pagaría, como máximo, por información perfecta sobre la cantidad de 
pan que podrá vender durante el día? 
6. Ud. considera que la probabilidad de que Ud. tenga úlcera es 40%. Como está de 
vacaciones, no sabe si volverse a Santiago o no para ir al doctor, quién le dirá con 
certeza si tiene o no úlcera. La matriz de consecuencias (ingresos en pesos) es: 
 
 
 Estado Naturaleza 
 Tiene úlcera No tiene 
 Volver a Santiago 300 500 
Acción 
 No volver a Santiago 0 1.000 
 
Suponga que Ud. es neutral al riesgo. 
Se pide: 
a) ¿Le conviene volverse a Santiago? 
31 
 
b) Suponga que en la zona donde Ud. está de vacaciones, si bien no hay doctor, 
hay un veterinario que le cobra 30 pesos por la consulta. Ud. cree que este le 
diagnosticará correctamente con probabilidad de 90% si efectivamente tiene la 
enfermedad, y con probabilidad de 95%si no la tiene. 
 ¿Le conviene ir al veterinario? ¿cuánto es lo máximo que estaría dispuesto a 
pagar por la consulta del veterinario? 
NOTA: Puede dejar expresadas sus respuestas. 
7. (Ejemplo 5.2, página 183) En una situación de perforación de pozo petrolífero, 
suponga 2 estados: 1) Mojado (1 = 0,24); 2) seco (2 = 0,76). Si perfora (x = 1), 
puede ganar $1.000.000 (si ocurre el estado 1) o perder $400.000 (si ocurre el estado 
2). Si no perfora (x = 2), pierde $50.000. 
Suponga que el individuo es neutral al riesgo. Un "servicio de mensajes" (que hace 
estudios geológicos previos a la perforación) se caracteriza por la siguiente matriz de 
verosimilitud (L). 
 Mensaje 
 Mojado Seco Total 
 Mojado 0,6 0,4 1,0 
Estado 
 Seco 0,2 0,8 1,0 
¿Cuánto pagaría por el "servicio de mensajes"? 
 
8. (Ejemplo 5.3, página 184) Suponga un mundo con dos estados donde los precios de 
los derechos contingentes son p1 = 1 = 1/2; p2 = 2 = 1/2. Suponga un individuo 
cuya función de utilidad es v(c) = c0,5. 
Suponga una dotación inicial de (c1, c2) = (50, 150). 
¿Cuánto vale la información perfecta sobre qué estado de la naturaleza va a ocurrir? 
9. (E&E, problema 1, página 185) Ud. tiene la oportunidad de apostar sobre el 
lanzamiento de una moneda. Si su elección es correcta, gana $30, pero si no es 
correcta pierde $50. Inicialmente, Ud. asigna probabilidad de 1/3 a cada uno de los 
siguientes eventos: 1) moneda tiene dos caras, 2) moneda tiene dos sellos, 3) moneda 
es normal. 
 ¿Cuánto pagaría por observar un lanzamiento de la moneda? Suponga que es neutral 
al riesgo. 
10. Ud. ha decidido producir banderines de Paraguay para vender este domingo en el 
Estadio Nacional. El costo por banderín es de 400 pesos. Ud. ha decidido cobrar un 
precio de $700 por banderín. La cantidad demandada a ese precio es aleatoria con las 
siguientes probabilidades: 
 Cantidad Demandada Probabilidad 
32 
 
 1.000 0,4 
 5.000 0,6 
Se pide: 
a) Si Ud. es neutral al riesgo, ¿cuántos banderines produciría? Suponga que la 
cantidad producida puede tomar cualquier valor y que se trata de una variable 
continua. 
b) ¿Cuánto está dispuesto a pagar por información perfecta sobre la cantidad 
demandada? 
c) Suponga que la información perfecta cuesta 100 millones de pesos, pero que 
existe un predictor que cuando la cantidad demandada es alta (5.000) predice 
"alta" con probabilidad 0,9 y cuando la cantidad demandada es baja (1.000) 
predice "baja" con probabilidad 0,7. ¿Cuánto está dispuesto a pagar por el 
predictor? 
11. La mastitis es una enfermedad que afecta a las vacas que están produciendo leche. En 
el negocio de la leche es muy importante detectar esta enfermedad tempranamente. 
Un grupo de investigadores desarrolló un examen para este efecto con una 
confiabilidad del 90%, es decir, de 100 vacas con la enfermedad, el examen detecta 
ésta en 90. 
De las vacas libres de mastitis, un 99% de los exámenes se consideran libres de la 
enfermedad y un 1% se diagnostica como mostrando mastitis. 
A priori, Ud. considera que un 2% de las vacas tiene mastitis. 
Su problema es el siguiente: Está a punto de comprar una vaca en $10.000 y no sabe 
si tiene mastitis o no. Si tiene mastitis, Ud. perdería los $10.000 y $30.000 más por 
contagios. Si no tiene mastitis, Ud. habrá hecho un buen negocio ya que la leche 
podría venderla, en términos de valor presente, en $15.000. 
Se pide: 
Si Ud. es neutral al riesgo, ¿cuánto está dispuesto a pagar porque se le practique el 
examen de mastitis a la vaca antes de comprarla? 
12. Dos individuos satisfacen la propiedad delta. Sus funciones de utilidad son del tipo 
𝑈(𝑥) =
1 − 𝑒−𝛾𝑥
1 − 𝑒−𝛾
 
Ambos son iguales en todos (creencias, riqueza inicial) excepto que uno es más 
averso al riesgo que el otro (el parámetro  es mayor). 
Ambos tienen un ingreso fijo de 1.000 en su trabajo actual. La alternativa es aceptar 
un trabajo que paga 500 seguros más un bono de 900 si se firma el NAFTA este año. 
La probabilidad que se firme el NAFTA este año es 0,5. Obviamente, la mejor acción 
priori es no cambiar de trabajo. 
33 
 
Ahora suponga que ambos pueden contratar un estudio a una empresa consultora 
especialista en estudios políticos y económicos que analizaría si el ambiente es 
propicio para la firma del NAFTA o no. 
Para simplificar, los resultados del estudio pueden ser: 
a) Ambiente Favorable, en cuyo caso la probabilidad que se firme el NAFTA es 0,8. 
b) Ambiente Desfavorable, en cuyo caso la probabilidad que se firme el NAFTA es 
0,3. 
Se pide: 
¿Cuál es el valor del estudio si el grado de aversión al riesgo es  = 0,001? ¿0,002? 
¿0,003? ¿puede concluir que mientras más averso al riesgo, más valor tiene la 
información adicional? 
13. Dos individuos con solo creencias distintas tienen la posibilidad de apostar juntos 200 
dólares (100 cada uno) ya sea a Seabiscuit (x1) o a War Admiral (x2). Sin unanimidad 
no pueden apostar. Los resultados para cada uno se presentan en el cuadro siguiente. 
 
 
 
 
 
 
Se pide: 
a) ¿Cuál sería el valor de la información perfecta si cada uno pudiera apostar por 
separado? R: 40. 
b) Si debe haber unanimidad, ¿cuál sería el valor de la información perfecta? En base 
a este ejemplo, ¿usted diría que se tiende a sub o a sobreinvertir en información 
cuando hay que ponerse de acuerdo? 
14. Pedro Pérez, el mismo experto en Macroeconomía y Análisis de Coyuntura de la Guía 
1, cree que el año 2014 viene difícil. Al igual que antes, él asigna las siguientes 
probabilidades a las distintas tasas de crecimiento del producto interno bruto. 
Suponga que la tasa de crecimiento no puede tomar otro valor que los que aparecen en 
la tabla. 
Tasa de Crecimiento Probabilidad 
 0% 0,5 
 2% 0,4 
 3% 0,1 
 Pedro Pérez tiene una riqueza inicial de 100.000 pesos y su función de utilidad es 
 U = W0,5 
 
 Estado 
 𝜋𝑠
𝑗
 0,8 0,2 
 𝜋𝑠
𝑘 0,2 0,8 
 
 
s1 s2 E(vj(c)) E(vk(c)) 
x1 100 -100 60* -60* 
x2 -100 100 -60 60* 
x3 0 0 0 0 
34 
 
 donde W es su riqueza final. 
 Suponga que una empresa ha decidido contratar a Pedro Pérez para que les dé una 
predicción de la tasa de crecimiento para el año 2014. El informe dirá “la tasa de 
crecimiento para el año 2014 será de x por ciento”. El pago por el informe será igual 
a: 
 Pago = 25.000 – 5.000 (TC – x)2 
 A modo de ejemplo, si dice x = 1,5 por ciento y la Tasa de Crecimiento (TC) es de 2 
por ciento, entonces recibiría 
 Pago = 25.000 – 5.000 (2 – 1,5)2 = 25.000 – 1.250 = 23.750 pesos. 
 Obviamente, el pago se haría una vez conocida la tasa de crecimiento efectiva del año 
2014. 
Se pide: 
a) ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar Pedro Pérez por información perfecta 
acerca de la tasa de crecimiento? 
b) ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar Pedro Pérez por el informe de un 
predictor, al cual no tiene acceso la empresa, y que dice ya sea “Vienen buenos 
tiempos” o “Vienen malos tiempos”. Si el informe es del primer tipo, entonces 
necesariamente la tasa de crecimiento sería igual a 3%. Si el informe dice 
“Vienen malos tiempos” entonces la tasa de crecimiento sería igual a 0% o 2% 
con probabilidades 0,6 y 0,4 respectivamente. 
15. Finalmente, usted va a salir de vacaciones dentro de una semana. El 
problema es que tiene “apenas” 10 mil dólares para viajar durante sus 
vacaciones de 15 días. 
Sus alternativas son dos: a) Ir a Kiribatí; b) Ir a Tonga. En ambas partes, su utilidad 
depende de cuánto pueda gastar en la isla, que a su vez es igual a su presupuesto 
menos lo que le cueste el pasaje. 𝑈(𝑐) = √𝑐, donde c es el gasto en la isla, en 
dólares. 
El problema es el valor del pasaje. Hoy, los pasajes a Kiribatí están a USD 6.000, al 
igual que los pasajes a Tonga. Usted sabe que la línea aérea Royal