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Guía de ejercicios Módulo 5: Motivación Parte A: Motivación Fundamentos de Dirección de Empresa Segundo semestre 2017 Profesores Gastón Llanes y Francisco Ruiz-Aliseda Versión: 14 de noviembre de 2017 Ejercicio 1. Riesgo moral en equipos Un equipo compuesto por n ≥ 2 trabajadores indexados por i ∈ {1, ...,n} debe rea- lizar esfuerzo para producir un resultado conjunto. Dado un esfuerzo ei ∈ [0,∞), el bene�cio bruto es: π (e1, ..., en) = e1 + ... + en. El costo del esfuerzo del agente i es c(ei) = e2i . El valor creado es igual a los bene�cios brutos menos la suma de los costos: u(e1, ..., en) = π (e1, ..., en) − c(e1) − ... − c(en). (a) Suponga que los agentes no tienen ningún con�icto de interés. Es decir, a todos les interesa maximizar el pago neto total que genera su esfuerzo. ¿Cuál es el nivel de esfuerzo e�ciente? ¿Cuál es el valor creado por el esfuerzo de los agentes? (b) Suponga que los agentes no pueden contratar sobre ei , i ∈ {1, ...,n}, porque el esfuerzo no es veri�cable, pero el resultado de la cooperación de todos los agentes sí lo es. Si los agentes forman una cooperativa y dividen los bene�cios brutos por partes iguales, ¿cuáles son los niveles de esfuerzo de equilibrio a medida que n →∞? ¿Cuál es el valor creado por el esfuerzo de los agentes a medida que n →∞? (c) Suponga ahora que los agentes venden la empresa a un principal. ¿Hay algún con- trato que el principal pueda ofrecer a cada agente tal que el esfuerzo de equilibrio sea igual al esfuerzo óptimo? ¿Cuál será el precio de venta máximo que el principal aceptará para comprar la empresa? 1 Solución. (a) Los agentes eligen e1 y e2 para maximizar Π(e1, ..., en) = e1 + ... + en − e 2 1 − ... − e 2 n por lo que la condición de primer orden del agente 1 (∂Π(e1, ..., en)/∂e1 = 0) da que 1 − 2e1 = 0. Por tanto, e1 = 1/2. Usando la simetría del problema, se cumple que êi = 1/2 para todo i ∈ {1, ...,n}, y π (̂e1, ..., ên) = n 2 . (b) Buscamos un equilibrio de Nash. Dado e2, ..., en, el agente 1 elige e1 para maximizar 1 n (e1 + ... + en) − e 2 1 , por lo que la condición de primer orden da que 1 n − 2e1 = 0. Claramente, el equilibrio es simétrico, por lo que e∗i = 1 2n para todo i ∈ {1, ...,n}. Claramente, e∗i < êi y π (e ∗ 1, ..., e ∗ n) = 1 2 < π (̂e1, ..., ên). Conforme n aumenta, cada agente se esfuerza menos de manera que el bene�cio se mantiene constante, siendo esto cierto aun cuando n → ∞, en cuyo caso cada agente converge a no esforzarse nada y el bene�cio por agente se vuelve nulo. Esto no es cierto en (a), donde cada agente se esfuerza siempre lo mismo, de manera que el bene�cio por agente siempre se mantiene constante en 1/2. (c) En el óptimo social, cada agente hace un esfuerzo igual a êi = 1/2, y tiene un costo de esfuerzo igual a c (̂ei) = 1/4. Por lo tanto, si el principal ofrece un contrato por el cual paga una suma wi ≥ 1/4 a cada agente si el resultado agregado es n2 y w ′ i = 0 en caso contrario, todos los agentes elegirán hacer el nivel de esfuerzo óptimo. Si el 2 principal comprara la empresa, elegiríawi = 1/4 y obtendría un bene�cio neto igual a π (̂e1, ..., ên) − c (̂e1) − ... − c (̂en) = n 2 − n 4 = n 4 . Por lo tanto, el principal estará dispuesto a pagar hasta n4 por la empresa. Ejercicio 2. Riesgo moral en equipos Un equipo compuesto por dos trabajadores, i = 1, 2, debe realizar esfuerzo para pro- ducir un resultado conjunto. Dado un esfuerzo ei ∈ [0,∞), el resultado es: π (e1, e2) = e1 + e2 + e1 e2. El costo del esfuerzo del agente i es c(ei) = e2i . (a) Suponga que los agentes no tienen ningún con�icto de interés. Es decir, a ambos les interesa maximizar el pago neto total que genera su esfuerzo. ¿Cuál es el nivel de esfuerzo e�ciente? ¿Cuál es el valor creado por el esfuerzo de los agentes? (b) Suponga que los agentes forman una cooperativa y que los esfuerzos son veri�- cables. ¿Dentro de los contratos que dan un tratamiento simétrico a ambos agentes, cuál es el contrato óptimo que �rmarán? ¿Cuál es el nivel de esfuerzo que harán en equilibrio? (c) Suponga ahora que los agentes no pueden contratar sobre ei , i ∈ {1, 2}, porque el esfuerzo no es veri�cable, pero el resultado de la cooperación de ambos agentes sí lo es. Si ambos agentes dividen los bene�cios de la cooperativa por partes iguales, ¿cuáles son los niveles de esfuerzo de equilibrio? ¿Cuál es el valor creado por el esfuerzo de los agentes? Explique la razón de la discrepancia con el punto (b). (d) Suponga ahora que los agentes venden la empresa a un tercero (principal), y se convierten además en sus empleados. Demuestre cómo el principal que coordina a los agentes puede encontrar un sistema de incentivos que resulte en el esfuerzo e�ciente en un equilibrio simétrico. (e) Determinar el precio de venta de la cooperativa si antes del juego en (d) los coopera- tivistas negocian conjuntamente a la Nash con el principal con igual peso negociador 3 para cada una de las dos partes (el principal no tiene alternativa, pero los cooperati- vistas tienen la alternativa de seguir con la cooperativa del caso c). Determinar cuánto gana cada cooperativista. Solución. (a) Los agentes eligen e1 y e2 para maximizar el bene�cio conjunto neto: Π(e1, e2) = e1 + e2 + e1 e2 − e 2 1 − e 2 2, por lo que las condiciones de primer orden (∂Π(e1, e2)/∂e1 = 0 y ∂Π(e1, e2)/∂e2 = 0) dan que 1 + e2 − 2e1 = 0 y 1 + e1 − 2e2 = 0. Obviamente, la solución es simétrica, por lo que ê1 = ê2 = 1 y Π(̂e1, ê2) = 1. (b) Si ambos agentes hacen lo mismo, deben recibir lo mismo, por lo que la fracción del bene�cio generado que recibe cada uno si ê1 = ê2 = 1 es 1/2. Dado que el esfuerzo es veri�cable, los agentes pueden �rmar un contrato en el que especi�can que si el agente i elige ei , êi , entonces no recibe ninguna parte del bene�cio. Dado este contrato, está claro que ningún agente tiene incentivos a elegir un esfuerzo que di�era del e�ciente. Si ambos agentes eligen el esfuerzo e�ciente, entonces cada uno gana û = 1/2(1+ 1+ 12) − 12 = 1/2 > 0. (c) Buscamos un equilibrio de Nash. Dado e2, el agente 1 elige e1 para maximizar 1 2 (e1 + e2 + e1 e2) − e 2 1 , por lo que la condición de primer orden da que 1 2 (1 + e2) − 2e1 = 0. Claramente, el equilibrio es simétrico, por lo que e∗i = 1/3 para todo i ∈ {1, 2}. Clara- 4 mente, e∗i < êi y cada agente gana u∗ = 1 2 [ 1 3 + 1 3 + ( 1 3 )2] − ( 1 3 )2 = 5 18 < û . Hay un problema de free-riding al no poder cada agente apropiarse de todo el aumento del bene�cio que supone un mayor esfuerzo, y tal problema no puede resolverse dado el riesgo moral que soporta cada agente frente al otro, lo cual implica que no puede castigarse al otro agente cuando hace free-riding. El riesgo moral impide resolver el problema de free-riding inherente en la situación, lo cual crea ine�ciencias. (d) El principal paga un salario wi = 1 al agente i ∈ {1, 2} si π = 3 y no paga nada si π , 3. Dada esta estructura de incentivos, si el agente 1 espera que el otro elija e2, entonces elegirá o bien e1 = 0 o bien e1 = 3−e21+e2 para que así π = 3. En este caso, el agente 1 obtendría una utilidad igual a 1 − ( 3 − e2 1 + e2 )2 = [ 1 − 3 − e2 1 + e2 ] [ 1 + 3 − e2 1 + e2 ] = 8(e2 − 1) (1 + e2)2 , la cual es negativa si e2 < 1, por lo que su función de reacción es eR1 (e2) = 0 si e2 < 1 y eR1 (e2) = 3−e2 1+e2 si e2 ≥ 1. Por simetría, e R 2 (e1) = 0 si e1 < 1 y e R 2 (e1) = 3−e1 1+e1 si e1 ≥ 1. Es claro que existe un equilibrio en el que cada agente elige un esfuerzo igual a 0. Si los agentes se esfuerzan, e1 = 3−e21+e2 cuando e2 = e1 implica que se debe cumplir que e ∗ i = 1 para todo i ∈ {1, 2} en un equilibrio de Nash simétrico. Si el principal les coordina para que elijan e∗i = 1 para todo i ∈ {1, 2} en lugar de e ∗ i = 0 para todo i ∈ {1, 2}, el sistema de incentivos impuesto por un principal que hace que se coordinen los agentes lleva a la e�ciencia. El principal gana Π(̂e1, ê2) = 1. (e) El costo de oportunidad de los cooperativistas es 518 + 5 18 = 59 , mientras que el costo de oportunidad del principal es 0. Como el valor creado en caso de transacción es 1 (el bene�cio de la �rma es 1, pues el principal gana 1 y los empleados 0 cada uno de ellos), se deben repartir 1 − 59 = 4 9 entre el principal y los cooperativistas. El principal debe entonces ganar 0 + 12 ( 4 9 ) , por lo que el precio de venta p resulta de la siguiente igualdad: 1 − p = 4/18. Así que p = 7/9, por lo que cada uno de los cooperativistas gana 7/18 vendiendo la cooperativa a pesar de que anticipan un salario que será igual 5 al costo de oportunidad de su esfuerzo una vez sean empleados del principal. Ejercicio 3. Modelo Principal-Agente Considere el modelo de agencia visto en clase y pregúntese a qué precio podría vender el principal la empresa al agente. [Ayuda: Comience por encontrar cuál sería la deci- sión óptima del agente si el fuera el dueño. Después calcule la utilidad del agente, y pregúntese qué oferta podría hacer el principal que dejaría al agente indiferente entre comprar la empresa o no.] Compare los bene�cios del principal con los que obtiene en la situación estudiada en clase. ¿En qué caso son mayores? ¿En qué caso son iguales? Explique por qué. Solución. Si el agente es el dueño, capturará todo el valor generado por su esfuerzo: x = e + ε, por lo que su utilidad será: U = E(x − c(e)) − λVar (x − c(e)) = e − e2 2 − λ σ 2ε 2 . Su esfuerzo óptimo será: e = 1, y su utilidad de equilibrio será 1 2 − λ σ 2ε . El máximo precio que el agente aceptará para comprar la empresa es el que hace 1 2 − λ σ 2ε 2 − P = u, es decir, P = 1 2 − λ σ 2ε 2 − u . 6 Este precio será el bene�cio del principal. Compare este valor con el bene�cio de equilibrio cuando el principal es el dueño y el agente un empleado: π ∗ = 1 2 (1 + λ σ 2ε ) − u Comparando estos dos valores, es fácil ver que P > π ∗ si y solo si λ < 0. Por lo tanto, si el agente es adverso al riesgo, nunca será óptimo que sea el dueño de la empresa. Por otra parte, los dos modelos son equivalentes cuando λσ 2ε = 0, es decir cuando el agente es neutral al riesgo o cuando no hay incertidumbre. Este resultado ha sido visto en clase. El resultado es muy intuitivo. Dado que el agente es adverso al riesgo, nunca será óptimo que asuma todo el riesgo por la operación de la empresa. Si el principal y el agente pudieran contratar sobre el esfuerzo, el principal asumiría todo el riesgo. La única razón por la que el agente asume parte del riesgo con riesgo moral es porque si el principal asumiera todo el riesgo, no podría darle incentivos a hacer esfuerzo. Ejercicio 4. Modelo Principal-Agente Considere el modelo de agencia visto en clase y analice cómo cambia la solución cuan- do es el agente quien hace la oferta contractual en la primera etapa (en clase se analizó el caso en que es el principal quien impone el contrato en la primera etapa). Es decir, considere un juego en dos etapas. Primero, el agente elige α y β , y el principal decide si acepta el contrato que el agente propone. Segundo, el agente elige el nivel de esfuerzo e dados α y β . Solución. The second stage of the model is the same as the one done in class. We showed that, in the second stage, the agent earns an expected utility equal to U (α , β) = α + β e∗(β) − [e∗(β)]2/2 − λβ2σ 2X/2, 7 where e∗(β) = β , so such utility can be rewritten as U (α , β) = α + β2 − β2/2 − λβ2σ 2X/2. In the �rst stage, the agent must therefore choose α and β to maximize U (α , β) sub- ject to the constraint that the principal accepts the contract, that is, P(α , β) = E((1 − β)(e∗(β)+X ) − α) ≥ 0. Clearly, this constraint must hold with equality at the optimal solution (otherwise, the agent could increase α a bit without violating the constraint and yet increase her utility, which would contradict optimality). This fact, together with E(X ) = 0, then implies that α = (1 − β)β , so the agent chooses β to maximize (1 − β)β + β2 − β2/2 − λβ2σ 2X/2. The �rst-order condition then yields β∗ = 1 1 + λσ 2X , so the agent chooses the same slope for the incentive contract that the principal would choose if the latter had the chance to choose the contract. It readily follows that α∗ = λσ 2X (1 + λσ 2X )2 , so the agent gains U (α∗, β∗) = λσ 2X (1 + λσ 2X )2 + 1 (1 + λσ 2X )2 ( 1 − λσ 2X 2 ) = 1 2(1 + λσ 2X ) , which exceeds u, so the agent is willing to engage in the relationship with the prin- cipal. The only di�erence in results between this model and the one in which the principal makes the contractual o�er to the agent is on the �xed wage. Regardless of who makes the o�er, both �nd it optimal to choose the same β∗ (and hence induce the same e�ort); increasing the agent’s bargaining power simply shifts rents away from the principal to the agent through the �xed portion of the agent’s wage. 8 Ejercicio 5. Contratos con un proveedor La empresa Maja S.A. necesita comprar un insumo de un proveedor, Goya S.R.L., que debe invertir para aumentar la calidad de su insumo. Si Goya hace una inversión x ∈ [0,∞) obtiene un insumo de calidad q = √ x + ε , donde ε es una variable aleatoria con esperanza 0 y varianza σ 2. El costo de inversión para Goya es x . Goya tiene una restricción de capacidad, por lo que sólo puede atender a un cliente. De no acordar con Maja, Goya puede vender su insumo a una empresa alternativa que estaría dispuesta a pagarle p0, independientemente de la calidad del producto. Las empresas juegan un juego en dos etapas. Primero, Maja hace una oferta a Goya y Goya decide si aceptar el contrato. Segundo, Goya elige su inversión, se conoce la realización de la variable aleatoria, y se ejecutan los contratos. Maja es neutral al riesgo y tiene una utilidad esperada π = E(q − p), donde p es el pago total a Goya. Goya es adversa al riesgo y dado un pago aleatorio neto de costos θ , tiene una utilidad igual a E(θ ) − λVar (θ )/2. (a) Suponga que la inversión de Goya es contratable y que Maja ofrece un contrato α+β √ x a Goya. ¿Cuáles es el contrato óptimo entre Maja y Goya? ¿Cuál es la inversión de equilibrio? (b) Suponga que la inversión de Goya no es contratable, pero que la calidad sí lo es, y que Maja ofrece un contrato α + β q a Goya. ¿Cuál es el contrato óptimo? ¿Cuál es la inversión de equilibrio? (c) Compare los resultados de los puntos anteriores y explique la razón de la diferencia. Ejercicio 6. Incentivos para innovación Una empresa quiere desarrollar un nuevo producto, para lo cual contrata a un inves- tigador. La probabilidad de innovar del investigador depende del esfuerzo que ponga en investigar. En concreto, el innovador innova con probabilidad x ∈ [0, 1] haciendo un esfuerzo con un costo de x2/2. Si el investigador innova, la empresa obtiene un bene�cio bruto igual a 12 . Si el innovador no innova, la empresa obtiene un bene�cio bruto igual a 0. El innovador tiene una alternativa a trabajar en la empresa que le da una utilidad de u < 116 . 9 El innovador es adverso al riesgo: dado un pago aleatorio θ , recibe una utilidad igual a E(θ ) −Var (θ ). La empresa es neutral al riesgo y maximiza sus bene�cios esperados netos del pago al innovador. Suponga que el esfuerzo del investigador no es contratable, pero que el resultado del proceso de innovación sí lo es, y que la empresa le ofrece al investigador un contrato compuesto de un salario base α , independiente de si innova, más un bono β si innova. Los jugadores juegan un juego en dos etapas. Primero, la empresa hace una oferta contractual al innovador y este decide si aceptar la oferta de la empresa. Segundo, el innovador elige su esfuerzo, se conoce el resultado del proceso de innovación, y se ejecutan los contratos. (a) Cálculos preliminares: dado un pago aleatorio θ = α + β I , donde I = 1 si se innova e I = 0 en caso contrario, y una probabilidad de innovación x , ¿cuáles son las esperanzas y varianzas de I y θ? (Ayuda: I es una variable aleatoria con distribución Bernoulli con parámetro x .) (b) Segunda etapa: Dados α y β , ¿cuál es el esfuerzoóptimo del investigador? (c) Intuición: ¿Cuál es la interpretación de β? ¿Cómo cambia el esfuerzo a medida que aumenta β? ¿Por qué es necesario que β∗ > 0 en el contrato de equilibrio? (d) Primera etapa: Escriba el problema de maximización de la empresa. Encuentre los valores α∗, β∗ y x∗ de equilibrio. Ejercicio 7. Incentivos multitarea Considere la siguiente relación entre un principal y un agente. El principal quiere que el agente haga dos actividades a y b. Los bene�cios del principal como función de los esfuerzos ea ≥ 0 y eb ≥ 0 en tales actividades vienen dados por π = ea + ρeb , donde ρ ∈ [0, 1] es un parámetro. El principal tiene acceso a una medida de desempeño veri�cable, que viene dada por m = ea + eb . 10 El agente tiene una utilidad de reserva igual a u, y tiene un costo de realizar las acti- vidades igual a: c(ea, eb) = 1 2 e2a + 1 2γ e2b , donde γ > 0 es un parámetro. El principal quiere maximizar la diferencia entre sus in- gresos y el salario que pague al agente, y el agente quiere maximizar la diferencia entre el salario y sus costos, siempre y cuando el contrato que ofrece el principal satisfaga su restricción de racionalidad individual. (a) Dé un ejemplo de una relación entre un principal y un agente en la realidad. En este ejemplo, ¿a qué pueden corresponder π ,m, ea , y eb? (b) Suponga que ea y eb son veri�cables. ¿Cuáles son los niveles de esfuerzo e�cientes de cada una de las actividades (es decir, los que maximizan los ingresos del principal netos de los costos del agente)? (c) ¿Cuál es la interpretación del parámetro γ ? ¿Qué sucede a medida que γ se acerca a 0? ¿Qué sucede a medida que γ crece? Responder a lo mismo para ρ. (d) Considere ahora el caso en que sólo m es contratable y suponga que el principal ofrece al agente un salario w(m) = α + βm. ¿Qué signi�can α y β? ¿Cuáles son los niveles de α y β de equilibrio? (e) ¿Cuáles son los niveles de ea y eb de equilibrio? ¿Son mayores o menores que los niveles encontrados en el punto (b)? ¿Por qué? Examine cómo las divergencias varían según cambian ρ y γ y explique por qué. Solución. (a) El principal podría ser el gerente general y el agente el gestor de una división geo- grá�ca a cargo de dos proyectos a y b (e.g., dos productos). En este caso, el esfuerzo ea podrían ser las ganancias derivados del proyecto/producto a y el esfuerzo eb po- drían ser las ganancias derivadas del proyecto/producto b, con m representando las ganancias totales de la división geográ�ca del agente. Por su parte, π podrían ser las ganancias que genera la empresa gestionada por el gerente general si éste prima un proyecto sobre otro por motivos estratégicos. (b) El principal pagaría un salario w por que el agente hiciera un esfuerzo ei en el 11 proyecto i ∈ {a,b} para maximizar ea + ρeb −w sujeto a la restricción de que w − 1 2 e2a − 1 2γ e2b − u ≥ 0. Claramente, w = 12 e 2 a + 1 2γ e 2 b + u, por lo que el principal elige ea y eb para maximizar ea + ρeb − 1 2 e2a − 1 2γ e2b − u. Las condiciones de primer orden brindan que 1 − ea = 0 y ρ − eb/γ = 0, por lo que êa = 1 y êb = γ ρ, con ŵ = 12 + γ ρ2 2 + u. (c) El parámetro γ afecta al costo marginal de esforzarse en el proyecto b, por lo que puede interpretarse cómo la productividad del agente en tal proyecto (e.g., qué tan experto es en realizar tal proyecto). Si γ se acerca a 0, el proyecto resulta muy difícil de ejecutar para el agente, o sea, apenas es productivo. Si γ crece, el proyecto resulta más fácil de ejecutar para el agente, haciéndose una tarea trivial conforme γ → ∞. Por todo ello, γ captura la preferencia relativa del proyecto b sobre el a desde el punto de vista del agente: cuando γ < 1, dado un mismo esfuerzo en ambos proyectos, el costo es mayor en el b, mientras que lo contrario ocurre cuando γ > 1. Respecto a ρ, captura la importancia del proyecto b en relación a a desde el punto de vista del principal. Si ρ = 0, la importancia relativa es nula, pero la importancia relativa aumenta conforme ρ crece, de manera que el proyecto b se vuelve in�nitamente más importante para el principal que el a cuando ρ → ∞. Por todo ello, ρ captura la preferencia relativa del proyecto b sobre el a desde el punto de vista del principal. Dada la restricción ρ ≤ 1, estamos mirando a los casos en que el proyecto b nunca es más importante que el a desde el punto del vista del principal. (d) Dado α y β , y eligiendo no ignorar costos ya hundidos en la segunda etapa, el 12 agente elegirá ea y eb para maximizar α + βea + βeb − 1 2 e2a − 1 2γ e2b − u, por lo que las condiciones de primer orden brindan que β − ea = 0 y β − eb/γ = 0. De ahí que e∗a(β) = β y e∗b (β) = γ β , por lo que aceptar el contrato hace que el agente espere obtener una utilidad U (α , β) = α + β2 + γ β2 − β2 2 − γ β2 2 − u = α + β2 2 + γ β2 2 − u descontando el costo de oportunidad de aceptar el contrato. Anticipando esto, el prin- cipal elige α y β para maximizar P(α , β) = e∗a(β) + ρe ∗ b (β) − α − βe ∗ a(β) − βe ∗ b (β) = β(1 − β) + γ β(ρ − β) − α sujeto a la restricción de que α + β2 2 + γ β2 2 − u ≥ 0. Claramente, se debe cumplir que α = u − β 2 2 − γ β2 2 , por lo que el principal elige β para maximizar P(β) = β(1 − β 2 ) + γ β(ρ − β 2 ) − u. La condición de primer orden brinda que 1 − β + γ ρ − γ β = 0, por lo que la sensibilidad del salario del agente a la medida del desempeño es β∗ = 1 + γ ρ 1 + γ 13 y el salario �jo es α∗ = u − (1 + γ ρ)2 2 (1 + γ ) . El principal gana P∗ = (1 + γ ρ)2 2 (1 + γ ) − u y el agente gana u. (e) Se cumple que e∗a(β ∗) = 1 + γ ρ 1 + γ y e∗b (β ∗) = γ ( 1 + γ ρ 1 + γ ). Conforme ρ crece, el principal intenta inducir al agente a que se esfuerce en el proyecto b, para lo cual aumenta β , lo cual a su vez tiene el efecto de aumentar el esfuerzo en el proyecto a. Además, se cumple que êa − e ∗ a(β ∗) = 1 − ρ 1 + 1γ y e∗b (β ∗) − êb = 1 − ρ 1 + 1γ . Teniendo en cuenta que m − π = (1 − ρ)eb , no hay divergencia en los esfuerzos in- ducidos si ρ = 1, pues no hay divergencia entre el agente y el principal porque éste usa la medida de desempeño que desearía. Cuando ρ < 1, la medida de desempeño pone demasiado énfasis en eb y el agente trabaja más de lo e�ciente en b a costa de trabajar menos de lo e�ciente en a (que es el proyecto por el cual el principal tiene una preferencia relativa). Este efecto es mayor conforme más productivo es el agente en el proyecto b, pues êa − e∗a(β∗) y e∗b (β ∗) − êb crecen con γ . Esto explica por qué β∗ disminuye conforme γ aumenta, es decir, por qué el principal encuentra óptimo hacer el salario del agente menos sensible al desempeño medido conforme γ aumenta. 14 Ejercicio 8. Incentivos multitarea Considere la siguiente relación entre un principal y un agente. El principal quiere que el agente haga dos actividades a y b. Los bene�cios del principal como función de los esfuerzos ea ≥ 0 y eb ≥ 0 en tales actividades vienen dados por π = ea + eb , pero los bene�cios y los niveles de esfuerzo en las actividades no son veri�cables, por lo que no pueden incluirse en un contrato. Sin embargo, el principal tiene acceso a una medida de desempeño veri�cable, que viene dada por m = ea + σeb , donde σ ∈ [0, 1] es un parámetro.1 El agente tiene una utilidad de reserva igual a u, y tiene un costo de realizar las acti- vidades igual a: c(ea, eb) = 1 2 e2a + 1 2 e2b . El principal quiere maximizar la diferencia entre sus ingresos y el salario que pague al agente, y el agente quiere maximizar la diferencia entre el salario y sus costos, siempre y cuando el contrato que ofrece el principal satisfaga su restricción de racionalidad individual. (a) Suponga que ea y eb son veri�cables. ¿Cuáles son los niveles de esfuerzo e�cientes para cada una de las actividades (es decir, los que maximizan los ingresos del principal netos de los costos del agente)? (b) ¿Cuál es la interpretación del parámetro σ? ¿Qué sucede a medida que σ se acerca a 0? ¿Qué sucede a medida que σ se acerca a 1?(c) Considere ahora el caso en que sólo m es contratable y suponga que el principal ofrece al agente un salario w(m) = α + βm. ¿Qué signi�can α y β? ¿Cuáles son los niveles de α y β de equilibrio? ¿Cuáles son los niveles de ea y eb de equilibrio? ¿Son 1Una pregunta al margen: suponga que el principal no observa ea y eb , pero que π y m son ambas veri�cables. En este caso, ¿tiene algún efecto sobre el equilibrio que el principal no pueda observar ea y eb? 15 mayores o menores que los niveles encontrados en el punto (b)? ¿Por qué? (d) Considere los resultados del punto anterior. Haga un grá�co de β en función de σ . Explique qué sucede con β a medida que σ crece de 0 a 1. Ejercicio 9. Incentivos multitarea y motivación intrínseca Considere la siguiente relación entre un principal y un agente. El principal quiere que el agente haga dos actividades a y b. Los bene�cios del principal como función de los esfuerzos ea ≥ 0 y eb ≥ 0 en tales actividades vienen dados por π = ea + eb . Los bene�cios y el nivel de esfuerzo en la actividad b no son veri�cables, pero el nivel de esfuerzo en la actividad a sí lo es. Por lo tanto, el principal puede ofrecer contratos al agente que estén basados en ea . Dado un salario w para el trabajador, el bene�cio del principal es igual a π −w . El agente tiene una utilidad de reserva igual a u, y tiene un costo de realizar las acti- vidades igual a: c(ea, eb) = 1 2 e2a + 1 2 e2b + γeaeb , donde γ ∈ (−1, 1) es un parámetro. El agente está motivado intrínsecamente a realizar las actividades a y b. Su utilidad cuando recibe un salario w y realiza las actividades en niveles ea y eb es u(ea, eb) = σ (ea + eb) +w − c(ea, eb), donde σ ≥ 0 es un parámetro. (a) Dé un ejemplo de una relación entre un principal y un agente en la realidad, en que el agente está motivado intrínsecamente a realizar las actividades que constituyen su trabajo. (b) Suponga que ea y eb son veri�cables. ¿Cuáles son los niveles de esfuerzo e�cientes para cada una de las actividades (es decir, los que maximizan los ingresos del principal netos de los costos del agente)? 16 (c) ¿Cuál es la interpretación del parámetro γ ? ¿Qué sucede si γ es negativo? ¿Qué sucede si γ es positivo? (d) ¿Cuál es la interpretación del parámetro σ? ¿Qué sucede si σ es igual a cero? ¿Qué sucede si σ es positivo? (e) Suponga que el principal ofrece un salario que es independiente de las acciones del agente, es decir w = α , para una constante α que debe ser elegida por el principal. ¿Cuáles son los niveles de ea y eb en equilibrio? ¿Realizará el agente un nivel positivo de las actividades a y b? ¿Por qué? ¿Qué pasaría si σ = 0? (f) Suponga que ea es veri�able y el principal ofrece un salario w(ea) = α + βea al agente. ¿Cuáles son los niveles de α y β en equilibrio? ¿Cuáles son los niveles de ea y eb en equilibrio? (g) Considere el resultado del punto anterior. Suponga que σ = 0 y que γ < 0. ¿Hará el agente un nivel positivo de esfuerzo en la actividad b? ¿Por qué? (h) Considere el resultado del punto (f). Suponga que σ > 0 y que γ > 0. ¿En qué situación hará el agente un nivel positivo de esfuerzo en la actividad a? ¿Por qué? Solución. (a) Profesiones en las que haya cierto sentido vocacional, como por ejemplo médicos o profesores. (b) El principal pagaría un salariow por que el agente hiciera un esfuerzo ei en la tarea i ∈ {a,b} para maximizar ea + eb −w sujeto a la restricción de que σ (ea + eb) +w − 1 2 e2a − 1 2 e2b − γeaeb − u ≥ 0. Claramente, w = 12 e 2 a + 1 2 e 2 b + γeaeb − σ (ea + eb) +u, por lo que el principal elige ea y eb para maximizar ea + eb − 1 2 e2a − 1 2 e2b − γeaeb + σ (ea + eb) − u. 17 Las condiciones de primer orden brindan que 1−ea−γeb+σ = 0 y 1− eb−γea+σ = 0, por lo que usando la simetría de tales condiciones, obtenemos que êa = 1 + σ 1 + γ y êb = 1 + σ 1 + γ , con ŵ = 1 − σ 2 1 + γ + u. (c) Teniendo en cuenta que ∂2c(ea, eb) ∂ea∂eb = ∂2c(ea, eb) ∂eb∂ea = γ , el parámetro γ captura si las actividades realizadas por el agente muestran economías de ámbito (γ < 0) o deseconomías de ámbito (γ > 0). (d) El parámetro σ captura el disfrute del agente conforme se esfuerza más en cual- quiera de las tareas, un efecto de la motivación intrínseca que tiene el agente (no hay motivación intrínseca cuando σ = 0). (e) Dado α , el agente elige ea y eb para maximizar σ (ea + eb) + α − 1 2 e2a − 1 2 e2b − γeaeb , por lo que las condiciones de primer orden brindan que σ − ea − γeb = 0 y σ − eb − γea = 0. Usando la simetría de ambas condiciones da que e∗a = e∗b = σ 1 + γ ≥ 0, por lo que el agente tiene una utilidad igual a α + σ 2 1 + γ . Por lo tanto, el principal elige α para maximizar ea + eb −α sujeto a la restricción de que α + σ 2 1 + γ ≥ u. Está claro entonces que α∗ = u − σ 2 1 + γ . El agente se esfuerza si y sólo si está motivado intrínsecamente (σ > 0). (f) Dados α y β , el agente elige ea y eb para maximizar σ (ea + eb) + α + βea − 1 2 e2a − 1 2 e2b − γeaeb , 18 por lo que las condiciones de primer orden brindan que σ + β − ea − γeb = 0 y σ − eb − γea = 0. Resolviendo el sistema de ecuaciones brinda que e∗a(β) = σ (1 − γ ) + β 1 − γ 2 y e∗ b (β) = σ (1 − γ ) − βγ 1 − γ 2 , por lo que el agente tiene una utilidad igual aα+ β2 + 2σ (β + σ )(1 − γ ) 2(1 − γ 2) . Por lo tanto, el principal elige α y β para maximizar e∗a(β) + e∗b (β) − α − βe ∗ a(β) sujeto a la restricción de que α + β2 + 2σ (β + σ )(1 − γ ) 2(1 − γ 2) ≥ u. Está claro entonces que α = u − β2 + 2σ (β + σ )(1 − γ ) 2(1 − γ 2) , por lo que el principal elige β para maximizar P(β) = (1 − β)( σ (1 − γ ) + β 1 − γ 2 ) + σ (1 − γ ) − βγ 1 − γ 2 + β2 + 2σ (β + σ )(1 − γ ) 2(1 − γ 2) − u. Como dP(β) dβ = 1 − β − γ 1 − γ 2 , la condición de primer orden implica que β∗ = 1−γ . Así queα∗ = u− 2σ 2 + (1 + 2σ )(1 − γ ) 2(1 + γ ) y e∗a(β∗) = 1 + σ 1 + γ y e∗ b (β∗) = σ − γ 1 + γ . (g) Cuando σ = 0 y γ < 0, e∗ b (β∗) = − γ 1 + γ > 0, por lo que el agente se esfuerza en la tarea b. Aunque sólo le premian por esforzarse en la a, el hecho de que realizar la b disminuya el costo marginal de hacer la a le incita a esforzarse en la b. (h) Cuando σ > 0 y γ > 0 (deseconomías de ámbito en la realización de ambas activi- dades), debe cumplirse que la motivación intrínseca del agente hacia trabajar supere las deseconomías de ámbito. El grado en que aumenta el costo marginal de realizar la actividad b debido al esfuerzo en a debe ser compensado por la motivación intrínseca. 19 Ejercicio 10. Incentivos multitarea con aversión al riesgo Un principal quiere motivar esfuerzo de un agente. El agente puede esforzarse en rea- lizar dos actividades, a y b. Dados esfuerzos ea y eb , el principal obtiene un bene�cio igual a π (ea) = ea . El principal dispone de una medida de rendimiento que viene dada por m(ea, eb , ε) = ea + ϕ eb + ε, donde ε es una variable aleatoria con esperanza 0 y varianza σ 2, y ϕ ∈ [0, 1] es un parámetro. El agente tiene una utilidad de reserva igual a u y es adverso al riesgo, por lo que, dado un pago aleatorio θ tiene una utilidad igual a Uθ = E(θ ) − λ Var (θ ) 2 . El costo para el agente de realizar esfuerzos ea y eb es c(ea, eb) = 1 2 e2a + 1 2 e2b . El principal y el agente juegan el siguiente juego en dos etapas. En la primera etapa, el principal ofrece un contrato al agente y este decide si aceptarlo o no. En la segunda etapa, el agente realiza esfuerzo, se realiza la variable aleatoria, y se ejecuta el contrato. (a) Suponga que ea es contratable y que el principal ofrece un contrato lineal en ea . ¿Cuál es el contrato de equilibrio? ¿Y los niveles de esfuerzo de equilibrio? (b) Suponga que ea , eb y π no son contratables y que el principal ofrece un contrato lineal enm. ¿Cuál es el contrato de equilibrio? ¿Y los niveles de esfuerzo de equilibrio? (c) ¿Qué sucede con los niveles de ea y eb de equilibrio a medida que aumentan λ y ϕ? ¿Por qué? Solución. (a) Dado un contrato α + β ea , el salario del agente es determinístico (no dependede 20 ε), por lo que el agente resuelve el siguiente problema: máx ea ,eb α + β ea − 1 2 e2a − 1 2 e2b . La condición de primer orden es β − ea = 0, por lo que êa(β) = β , y êb = 0. La utilidad del agente es α + 1 2 β2. En la primera etapa, el principal resuelve máx α ,β êa(β) − (α + β êa(β)) = β − α − β 2, sujeto a la restricción de participación: α + 1 2 β2 ≥ u . En el óptimo, el principal elige α para que la restricción de participación se cumpla con igualdad, por lo que α = u − 1 2 β2, y el problema del principal se puede escribir como máx β β − u − 1 2 β2. La condición de primer orden es 1 − β = 0, por lo que β̂ = 1. Teniendo en cuenta esto, êa = 1. (b) Dado un contrato α + βm, el salario del agente es probabilístico (depende de ε), 21 por lo que el agente resuelve el siguiente problema: máx ea ,eb α + β (ea + ϕ eb) − 1 2 e2a − 1 2 e2b − 1 2 λ β2 σ 2ε . Las condiciones de primer orden son β − ea = 0, β ϕ − eb = 0, por lo que e∗a(β) = β , y e∗b (β) = βϕ. La utilidad del agente es α + 1 2 β2 + 1 2 ϕ2 β2 − 1 2 λ β2 σ 2ε . En la primera etapa, el principal resuelve máx α ,β êa(β) − (α + β (êa(β) + êb(β))) = β − α − β(β + βϕ), sujeto a la restricción de participación: α + 1 2 β2 + 1 2 ϕ2 β2 − 1 2 λ β2 σ 2ε ≥ u . En el óptimo, el principal elige α para que la restricción de participación se cumpla con igualdad, por lo que α = u − 1 2 β2 − 1 2 ϕ2 β2 + 1 2 λ β2 σ 2ε , y el problema del principal se puede escribir como máx β β − u − 1 2 β2 − 1 2 ϕ2 β2 − 1 2 λ β2 σ 2ε . La condición de primer orden es 1 − β − ϕ2 β − λ β σ 2ε = 0, 22 por lo que β∗ = 11+ϕ2+λ σ 2ε . Teniendo en cuenta esto, e ∗ a = 1 1+ϕ2+λ σ 2ε y e∗ b = ϕ 1+ϕ2+λ σ 2ε . (c) A medida que λσ 2ε , e∗a y e∗b caen. A medida que el agente se hace más adverso al riesgo o que el riesgo aumenta, se hace más caro asignar riesgo al agente, por lo que el principal reacciona dando incentivos de menor potencia. En consecuencia, el esfuerzo en las dos actividades disminuye. A medida que ϕ, e∗a cae y e∗b aumenta. A medida que la calidad de la medida de rendimiento empeora (ϕ aumenta), los incentivos de alta potencia son menos efectivos, porque aumentan los incentivos a manipular la medida de rendimiento. En consecuencia, el principal reacciona disminuyendo la potencia de los incentivos. e∗ b aumenta porque al aumentar ϕ el agente tiene más incentivos a manipularm. Ejercicio 11. Contratos relacionales Considere un juego in�nitamente repetido en el que participan un principal y un agen- te. En cada período t = 0, 1, ..., el agente puede elegir un nivel de esfuerzo et ∈ {0, 1} de manera que el principal gane un bene�cio πt = K et en tal período para un parámetro dado K > 0. Después de observar et , el principal decide el salariowt a pagar al agente, donde tal salario puede ser contingente en et porque el esfuerzo es observable (pero el esfuerzo no es veri�cable, por lo que no puede escribirse un contrato formal). El costo del esfuerzo es c(et ) = k et , donde k ∈ (0,K) es un parámetro. Tanto el principal como el agente descuentan pagos futuros usando el factor de descuento δ = (1+r )−1, donde r > 0 es la tasa de descuento por período, de manera que 0 ≤ δ < 1. (a) Usando estrategias del tipo gatillo, hallar condiciones para que se pueda sostener un equilibrio en que et = 1 para todo t y sacar implicancias para el establecimiento de los contratos relacionales. (b) Hacer lo mismo que en (a) si el principal paga el salario antes de que el agente elija su esfuerzo, bajo el supuesto de que el principal observa los esfuerzos pasados del agente antes de decidir si pagar el salario. 23 Riesgo moral en equipos Riesgo moral en equipos Modelo Principal-Agente Modelo Principal-Agente Contratos con un proveedor Incentivos para innovación Incentivos multitarea Incentivos multitarea Incentivos multitarea y motivación intrínseca Incentivos multitarea con aversión al riesgo Contratos relacionales
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