Ejercicios_vectores

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Mecánica Newtoniana
Ejercicios Capítulo 1: Cinemática.
Abril de 2017
CÁLCULO VECTORIAL.
1. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 10 y 15 unidades de longitud, cuando su resultante tiene (a)
20 unidades de longitud y (b) 12 unidades de longitud. Dibujar la figura apropiada.
2. Dos vectores forman un ángulo de 110◦. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y hace un ángulo
de 40◦ con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector suma.
3. El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y hace un ángulo de 35◦ con uno de
los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud. Encontrar la magnitud del otro vector
y el ángulo entre ellos.
4. Dados los vectores ~A = (5; 45◦; 0◦) y ~B = (10; 30◦; 70◦) en coordenadas esféricas. Hallar ~A+ ~B, ~A− ~B
y ~A · ~B.
5. Tres vectores situados en un plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundo
forman un ángulo de 50◦, mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de 75◦. Encontrar la
magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor.
6. Encontrar la distancia entre los puntos P1(4, 5,−7) y P2(−3, 6, 12). Escribir también la ecuación de la
línea recta que pasa por los puntos.
7. Demostrar que si las magnitudes de la suma y la diferencia de dos vectores son iguales, entonces los
vectores son perpendiculares.
8. Demostrar que si la suma y la diferencia de dos vectores son perpendiculares, los vectores tienen
magnitudes iguales.
9. Dados los vectores
~A = 3~i+ 4~j − 5~k
y
~B = −~i+~j + 2~k.
Encontrar:
(a) La magnitud y dirección de su resultante.
(b) La diferencia, de su vector ~A− ~B.
(c) El ángulo entre ~A y ~B.
10. Demostrar que si dos vectores tienen la misma magnitud V y hacen un ángulo θ, su suma tiene una
magnitud S = 2V cos(θ/2) y su diferencia D = 2V sin(θ/2).
11. Descomponer un vector −→v de módulo
√
27 unidades según las direcciones de los vectores −→a = −→i +−→j ,−→
b =
−→
j +
−→
k , −→c =
−→
k +
−→
i .
12. Si −→a +
−→
b +−→c = 0 probar que (−→a ×
−→
b ) = (
−→
b ×−→c ) = (−→c ×−→a )
1
13. Sea el vector deslizante −→a = 2−→i + −→j − 2
−→
k que pasa por el punto P (3, 1,−2). Calcular el producto
vectorial del vector deslizante con el vector ~PA siendo A(1, 0, 1) y con el vector perpendicular al eje
que pasa por los puntos A(1, 0, 1) y B(1, 2, 1) cuyo módulo es 5.
14. (a) Demostrar que −→a (
−→
b ×−→c ) es igual en valor absoluto al volumen del paralelepípedo de aristas −→a ,
−→
b y −→c .
(b) Comprobar que:
−→a (
−→
b ×−→c ) =
∣∣∣∣∣∣
ax ay az
bx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣ (1)
(c) Aplicación para −→a = 2−→i +−→j ,
−→
b =
−→
i − 2
−→
k , −→c = −→i + 2−→j −
−→
k .
15. Demostrar la relación vectorial: −→a × (
−→
b ×−→c ) = (−→a · −→c )
−→
b − (−→a ·
−→
b )−→c
16. Demostrar vectorialmente que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
17. Dado el conjunto de 3 vectores no coplanares a1, a2, a3, los vectores
a1 =
a2 × a3
a1 · a2 × a3
,
a2 =
a3 × a1
a1 · a2 × a3
,
a3 =
a1 × a2
a1 · a2 × a3
(2)
se denominan vectores recíprocos. Demostrar que ai · ai = 1 y que ai · aj = 0 donde i y j toman los
valores 1, 2, 3.
18. Demostrar que si en un tetraedro dos pares de aristas opuestas son perpendiculares también lo son las
otras dos.
19. Utilizando métodos vectoriales, encontrar:
a) La longitud de las diagonales de un cubo de lado a.
b) Sus ángulos con los lados adyacentes.
c) Sus ángulos con las caras adyacentes.
d) El ángulo entre las diagonales.
20. Las caras de un tetraedro regular son triángulos equiláteros de lado a. Encontrar, utilizando métodos
vectoriales, el ángulo que hace cada lado con la cara opuesta y la distancia de un vértice a la cara
opuesta.
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