Tarea Analisis Vectorial

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17/09/2019
Tarea No.1 de Análisis Vectorial
Tabla de contenido
1.- Demostrar que y dar una explicación geométrica.	3
2.- Si ¿podría decirse que ?	3
3.- Sean . Hallar:	4
a)	Las magnitudes de los vectores	4
b)	La magnitud de 	4
c)	Producto punto de 	4
d)	Cosenos directores de 	4
e)	Angulo entre 	4
f)	Producto cruz de 	4
4.- Si verificar que:	4
a)		4
b)		4
5.- Hallar el valor de m que haga coplanares a los vectores = (1,1,−1).	5
6.- Determinar si los siguientes vectores son o no linealmente dependientes:	5
a)	[1, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 1]	5
b)	[1, -6, 2], [0, 2, 7], [-2, 12, -4]	5
7.- Hallar un vector unitario paralelo a la suma de los vectores = (2,4,−5) y = (1,2,3).	6
8.- Hallar el ángulo agudo formado por dos diagonales de un cubo.	6
9.- Un hombre que se dirige hacia el sur a 15 Km/h observa que el viento sopla del Oeste. Aumenta su velocidad a 25 km/h y le parece que el viento sopla del suroeste. Determinar la velocidad del viento, así como su dirección y sentido.	7
10.- Hallar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo a lo largo de la recta que pasa por = (3,2,−1) y = (2,1,−4), en el campo de fuerzas dado por .	7
11.- Sobre un sólido puntual en P actúan fuerzas dadas por: , medidas en Newtons (N), hallar la resultante de estas fuerzas.	8
12.- Hallar un vector unitario perpendicular a [2, 1,-1] y a [3, 4, -1] simultáneamente:	8
13.- Demostrar que son vectores unitarios mutuamente perpendiculares.	8
14.- Hallar el área del triángulo que tiene por vértices calculando la magnitud del vector producto.	9
15.- ¿Para qué valores de a son perpendiculares?	10
16.- Sean ; calcular:	10
a)		10
b)		10
c)		10
d)		11
e)		11
16.- Si , hallar su conjunto recíproco de vectores.	11
17.- Expresar como combinación lineal de los vectores del problema 16.	12
18.- Expresar el vector (2,2,2) como una combinación lineal del conjunto ortonormal obtenido en el ejercicio 16.	13
19.- Si son vectores unitarios y θ es el ángulo entre ellos, demostrar que:	15
20.- demostrar que:	16
Problemas para añadir a la tarea. - Demostrar de modo analítico que:	17
a)		17
b)		17
c)		18
1.- Demostrar que y dar una explicación geométrica.
 
Con consigues un vector resultante , con consigues otro vector resultante , que tienen la misma magnitud ya que tienen los mismos componentes, pero uno con signo diferente, al hacer el producto escalar entre estos vectores queda la multiplicación de sus componentes, que tienen forma de binomio conjugado, por lo tanto el resultado es igual a la resta de sus componentes al cuadrado, siendo las componentes los vectores .
2.- Si ¿podría decirse que ? No
Si :
	
	No siempre se cumplirá esta condición a menos que o sea un vector nulo.
 
3.- Sean . Hallar:
a) Las magnitudes de los vectores
b) La magnitud de 
c) Producto punto de 
d) Cosenos directores de 
e) Angulo entre 
f) Producto cruz de 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
4.- Si verificar que:
a) 
b) 
5.- Hallar el valor de m que haga coplanares a los vectores = (1,1,−1).
Si el triple producto escalar es igual a cero los vectores son coplanares
6.- Determinar si los siguientes vectores son o no linealmente dependientes:
a) [1, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 1]	Son linealmente dependientes
Si su triple producto escalar es diferente de cero los vectores son linealmente independientes.
	
	
	
	
b) [1, -6, 2], [0, 2, 7], [-2, 12, -4] 	No son linealmente dependientes
Si su triple producto escalar es diferente de cero los vectores son linealmente independientes.
	
	
	
7.- Hallar un vector unitario paralelo a la suma de los vectores = (2,4,−5) y = (1,2,3).
 + = 
8.- Hallar el ángulo agudo formado por dos diagonales de un cubo.
Ubicando al cubo en el origen, se trazan dos diagonales saliendo del origen. (cada lado del cubo mide a)
9.- Un hombre que se dirige hacia el sur a 15 Km/h observa que el viento sopla del Oeste. Aumenta su velocidad a 25 km/h y le parece que el viento sopla del suroeste. Determinar la velocidad del viento, así como su dirección y sentido.
Velocidad del hombre = 
Velocidad del viento = 
Caso 1:
	
Caso 2:
	
Dirección y sentido:
Velocidad del viento = 
10.- Hallar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo a lo largo de la recta que pasa por = (3,2,−1) y = (2,1,−4), en el campo de fuerzas dado por . 
11.- Sobre un sólido puntual en P actúan fuerzas dadas por: , medidas en Newtons (N), hallar la resultante de estas fuerzas. 
, medida en Newtons (N)
12.- Hallar un vector unitario perpendicular a [2, 1,-1] y a [3, 4, -1] simultáneamente: 
Producto cruz o vectorial da como resultado un vector perpendicular
13.- Demostrar que son vectores unitarios mutuamente perpendiculares. 
Todos son unitarios.
Si el producto punto o escalar es igual a cero, los vectores son perpendiculares.
Todos son mutuamente perpendiculares.
14.- Hallar el área del triángulo que tiene por vértices calculando la magnitud del vector producto. 
15.- ¿Para qué valores de a son perpendiculares? 
Para que sean perpendiculares el producto punto debe ser igual a cero.
Son perpendiculares para a = 2 y a = -1 
16.- Sean ; calcular: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
16.- Si , hallar su conjunto recíproco de vectores. 
17.- Expresar como combinación lineal de los vectores del problema 16. 
1) 
2) 
3) 
18.- Expresar el vector (2,2,2) como una combinación lineal del conjunto ortonormal obtenido en el ejercicio 16. 
Ortonormalización:
Combinación lineal: 
1) 
2) 
3) 
	
	
19.- Si son vectores unitarios y θ es el ángulo entre ellos, demostrar que:
 
sugerencia:
 					
2 = 2
0 = 0
Como son unitarios sus magnitudes son iguales a uno.
			
				
20.- demostrar que:
 
0 = 0
Problemas para añadir a la tarea. - Demostrar de modo analítico que: 
a) 
0 = 0
b) 
	0 = 0
c) 
Tarea No.1 de Análisis Vectorial con GeoGebra
NOTA: En todos los ejercicios haga la construcción en Geogebra. 
Problema 1.- Dados los puntos en el espacio 3D, A=(2,1,3); B=(-3,4,-1) y C=(3,4,-1) construya un triángulo con los vectores que unen los puntos con las siguientes características y de una explicación geométrica de lo que hizo. 
Primero introduje los puntos A=(2,1,3); B=(-3,4,-1) y C=(3,4,-1), luego cree los vectores y por último comprobé que cumple con haciendo una operación.
Geométricamente la suma de vectores se determina ubicando al vector y en su extremo final colocar el extremo inicial del vector , que da como resultado al vector resultante cuyo punto inicial está en el punto inicial de cuyo final está en el punto final de . En este caso el vector resultante es porque al realizar el resultado es cero
Problema 2.- Realice las operaciones descritas: , siendo los vectores dados por:
Para resolver todos fue igual, primero ingreso los puntos iniciales y finales de los vectores, después pongo los vectores respecto a esos puntos, con la herramienta longitud calculo las magnitudes y para las operaciones solo las pongo en la barra de entrada. 
• el vector tiene su origen en (2,3) y finaliza en (-1,2); inicia en (1,1) y termina en (-1,-1). 
Problema 3.- Encuentre vectores unitarios que tengan la misma dirección que los vectores dados. 
Primero puse un punto inicial en el origen y el final siendo el que me den, luego puse un vector con respecto a esos puntos, con la herramienta distancia conseguí la magnitud del vector. Para encontrar los vectores unitarios con la misma dirección que los vectores dados dividí estos vectores entre su magnitud. Otra forma de conseguirlos es con el comando vectorunitario().
• (9,-5) 
• 
• 
Problema 4.- Encuentre un vector que tenga la misma dirección que (-2,4,-2), pero que tenga longitud 6. 
Primero puse un punto inicial en el origen y el final siendo (-2,4,-2), luego puse un vector con respecto a esos puntos, con la herramienta distancia conseguí lamagnitud del vector. Para encontrar el vector que tenga la misma dirección que (-2,4,-2), pero que tenga longitud 6, multiplique el vector (-2,4,-2) por 6 y luego lo dividí entre su magnitud. Otra forma de sacarlo es con el comando vectorunitario() y el resultado multiplicarlo por 6.
Problema 5.- Si el vector está en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas bidimensional y forma un ángulo de π/3 radianes (60º) con el eje positivo de las x, además la magnitud = 4 encuentre el vector en forma de componentes. 
Primero coloque el ángulo de 60°, cree un vector con ese Angulo, calcule su vector unitario para luego multiplicarlo por 4, con eso ya encontré el vector, para encontrar sus componentes trace líneas perpendiculares desde el punto final del vector hasta los ejes.
Problema 6.- Suponga un punto A fijo en el espacio coordenado y un punto B que tiene la posibilidad de cambiar, de tal modo que entre A y B se establece un vector. Asimismo, se tiene otro punto C, que tiene también la posibilidad de moverse, de modo que entre B y C se establece otro vector, siendo el vector resultante la unión de los puntos A y C. La regla de modificación de los vectores es: donde s y t son los parámetros (deslizadores) de cambio s para el punto B y t para el punto C. 
Primero ubiqué el punto A y lo convertí a objeto fijo, después puse los puntos B y C para después crear lo vectores , que va de A a B,, que va de B a C, y que va de A a C o se puede sacar haciendo a+b ya que es el resultante. Después cree los deslizadores s y t. finalmente introduje la formula 
Problema 7.- Realice el producto punto y el producto cruz de los vectores y que toma los siguientes valores 
a) = 5i − k y = 3i −1j +10k 
Primero introduje los vectores luego calcule sus productos cruz y punto.
b) = (s,2s,3s) y = (t,−t,5t) 
Primero cree deslizadores para s y t, luego introduje los vectores y por último calcule sus productos punto y cruz.
c) = 12 y = 15 el ángulo entre ellos es de π/6. 
Cree dos pares de vectores con un ángulo de π/6, uno en 2D y otro en 3D, después saque sus vectores unitarios y los multiplique por la magnitud dada, con esos nuevos vectores calcule sus productos punto y cruz.
Problema 8.- Demostrar analíticamente y compruébelo en Geogebra 
a) 
0 = 0
Cree vectores a y b y luego introduje la ecuación separada en dos por la igualdad y el resultado fue el mismo.
b) 
Cree vectores a y b y luego introduje la ecuación separada en dos por la igualdad y el resultado fue el mismo.
c) Si son vectores unitarios y θ es el ángulo entre ellos demostrar que sugerencia:
 					
2 = 2
0 = 0
Cree vectores a y b y luego calcule sus vectores unitarios u y v, descubrí el ángulo entre ellos , para demostrarlo puse la ecuación separada en dos por la igualdad y el resultado fue el mismo.
d) 
0 = 0
Cree vectores a, b y c, para demostrarlo puse la ecuación separada en dos por la igualdad y el resultado fue el mismo.
Problema 9.- Hallar el valor de m que haga coplanares a los vectores . 
Si el triple producto escalar es igual a cero los vectores son coplanares, entonces cree vectores a, b y c, y un deslizador para m, y puse la formula del triple producto escalar.
Problema 10.- Dados los vectores , que son las diagonales de un paralelogramo, hallar el área de dicho paralelogramo. 
El producto cruz de dos vectores representa el área del paralelogramo formado por estos vectores. Entonces cree vectores a y b, calcule su producto cruz y la magnitud de este.
Problema 11.- Encuentre el volumen del paralelepípedo cuyas aristas están representadas por los vectores , 
El volumen del paralelepípedo formado por tres vectores es el triple producto escalar de estos vectores. Entonces cree vectores a b y c, y calcule su triple producto escalar.
Problema 12.- Dados los vectores , hallar un conjunto de vectores ortonormales utilizando el procedimiento de Gram-Schmidt. 
Primero introduje los vectores y , después calculé dividiendo entre su magnitud, para calcular , primero calcule , y con el calcule , para hice el producto vectorial de ya que este el perpendicular a . Para comprobarlo saque los ángulos entre los vectores y todos fueron de 90°.
Problema 13.- Dados los vectores , hallar un conjunto de vectores ortonormales utilizando el procedimiento alternativo al de Gram-Schmidt. 
Primero introduje los vectores y , después calculé que es el producto vectorial de y , después calculé que es el producto vectorial de y , para calcular volvi y unitarios. Para comprobarlo saque los ángulos entre los vectores y todos fueron de 90°.
Problema 14.- Encuentre el punto en el cuál la línea con ecuaciones paramétricas x=2+3t; y=-4t; z=5+t, intercepta al plano 4x+5y-2z=18, grafíquelo en Geogebra. 
Grafique la línea y el plano, ubique el punto en su intersección.
Problema 15.- Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, si dos planos no son paralelos entonces sus normales se intersectan en una línea recta. Con estos conceptos en mente realice los siguientes cálculos: 
a) Encuentre el ángulo entre los planos x+y+z=1; x-2y+3z=1. 	
	
	
	=
	=
En GeoGebra lo que hice fue graficar los dos planos y con la herramienta ángulo, saque el ángulo entre ellos.
b) Encuentre la ecuación paramétrica para la línea de intersección L de esos los planos x+y+z=1; x-2y+3z=1, grafíquelo en Geogebra. 
	
	
	
	Si z = 0: x+y =1; x-2y=1 
	
Si x = 0: y+z=1; -2y+3z=1 
	
 		 
 	o		
		
Lo que hice para calcular las ecuaciones paramétricas fue, graficar los planos, luego los puntos, y por último uní los puntos con la herramienta línea.
Problema 16.- Encuentre las ecuaciones paramétricas de la línea que pasa por los puntos (6,1,-3) y (2,4,5). 
Primero coloqué los puntos, después con la herramienta recta los uní, eso me dio la ecuación de la línea, solo es transformarla a paramétrica.
Problema 17.- Encuentre la ecuación del plano que pasa por (6,3,2) y es perpendicular al vector 
Primero coloqué el punto y el vector, después con la herramienta plano perpendicular conseguí la ecuación del plano perpendicular al vector y que pasa por el punto. Para comprobarlo hice el cálculo manual y me dio lo mismo, al igual que los coeficientes de las x,y,z de la ecuación están asociados al vector.
Problema 18.- Encuentre la ecuación del plano que pasa por (4,-2,3) y es paralelo al plano 3x − 7z = 12
Primero coloqué el punto y el plano, después con la herramienta plano paralelo conseguí la ecuación del plano paralelo al plano y que pasa por el punto. Para comprobarlo hice el cálculo manual y me dio lo mismo, al igual que los coeficientes de las x,y,z de la ecuación son iguales al del plano dado.
2