S01 s1-Material de clase

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REPASO DE VECTORES
Cálculo Aplicado a la Física 2
Semana 01 – Sesión 01
Datos/Observaciones
LOGROS
✓Al finalizar la sesión el estudiante opera 
con vectores utilizando, la suma, producto 
escalar y producto vectorial, mediante 
resolución de ejercicios concretos
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
AGENDA
✓ Representación de un vector
✓ Resultante de vectores
✓ Producto vectorial
✓ Producto escalar
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Bienvenidos!
Docente Jimmy Llontop I.
✓Doctor en Ciencias-Física - Brasil
✓Magister en Física - Brasil
✓Físico-Univ. Nac. Ing. - Perú
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
PC 
EXPA 
LC 
EP 
TF 
EXFN
– Práctica Calificada (2)
– Examen Parcial
– Laboratorio (4)
– Evaluación Permanente (2)
– Trabajo Final (Proyecto)
– Examen final
Sistema de evaluación
(5%)PC1 + (10%)PC2 + (5%)LC1 + (5%)LC2 + (5%)LC3 + (5%)LC4 
+ 
(5%)EP1 + (5%)EP2 + (20%)EXPA + (20%)EXFI + (15%)TF 
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Libros base
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Grupos de trabajo
Los grupos no serán creados por los alumnos, es responsabilidad del alumno
integrarse con el compañero respectivo de su grupo, el docente creará los
grupos que se mantendrán para los talleres, laboratorios y PROYECTO FINAL.
Cada grupo debe designar un representante máximo en la próxima semana y
escribirme pro bandeja de Canvas (entrada) el propio representante y uno de los
integrantes, para respaldar lo dicho, indicando el NUMERO DE GRUPO al cual
pertenecen)
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Sistema de evaluación
LABORATORIO CALIFICADO ( LC )
Se realizarán 4 laboratorios durante el ciclo. La evaluación del laboratorio
será:
Grupal: Laboratorio presencial: será en el laboratorio de la universidad ubicado en el
quinto piso de la universidad, tolerancia máxima de 15 min. de ingreso. Tendrá 20
puntos (16 puntos de lo realizado y 4 puntos de un cuestionario dado en el
laboratorio) y el informe se entrega justo al terminar el laboratorio, para ser llevado y
revisado. No hay tiempos adicionales.
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Sistema de evaluación
Evaluación permanente ( EP )
En esta modalidad para su EP se tomará promedio de 4 talleres como evaluación
permanente 1 y luego otros 4 talleres para su evaluación permanente 2. (Si el alumno
participa positivamente en la gran mayoría o todas las clases: tendrá puntos
adicionales). Estos talleres son en base a 20 puntos, donde se hacen en las terceras
sesiones, y se entregan en el mismo día.
Este taller será creado en Canvas (tarea con nombre TALLER N° …) y será realizado
en grupos, el representante de cada grupo tiene que subir las resoluciones hechas en
el salón, al taller creado en Canvas.
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Pautas del curso
✓ Si hay dudas de lo que se está explicando, decirlas cuando el profesor preguntar, a fin de 
evitar interrupciones. Los últimos 10 min de clases son para preguntas fuera de lo que se 
explica en la sesión teórica.
✓ Cualquier persona irrespetuosa será sancionada con el bloqueo del ingreso a la clase. Una 
reincidencia provocará una sanción mayor. Recuerde llegar temprano para evitar 
amonestaciones de espera (tolerancia en aula: 15 minutos)
✓ Su participación en clases es importante y será anotada para evaluación permanente.
✓ La coma y punto decimal son aceptados en todos los países, sin embargo, para padronizar
esto, nosotros usaremos apenas la coma decimal para los decimales, y el punto para 
multiplicaciones, para evitar confusiones. Ejm: 8 541,208 kg :ocho mil quinientos cuarenta 
y un, doscientos ocho kg
✓ Recuerde que, para aprobar el curso: EL CURSO SE APRUEBA EN TODAS LAS 
EVALUACIONES Y NO EN UN ÚLTIMO EXAMEN. Aproveche las primeras evaluaciones con 
notas altas Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
En el curso en sí, sobre los descuentos de puntaje en 
las evaluaciones:
❖No puede faltar unidades en cualquier resultado final(respuesta). Ejm 4 kg; 2,07 N, 35,087 cm
❖Números grandes que tengan más de cuatro dígitos enteros o números pequeños menores o igual 
a 0,009 con presencia de más decimales tienen que estar expresados en notación científica. Ejm: 
52 445 km=5,245 107 m
❖Cuando haya 3 o más decimales, usar 3 decimales en la respuesta final, con su redondeo 
respectivo. Ejemplo 2,41754 N=2,418 N.
❖El valor de la gravedad aquí es PADRÓN, g= 9,81 m/s2. USAR CUALQUIER OTRO VALOR GENERARÁ 
DESCUENTOS EN CALIFICACIONES.
❖Cualquier problema individual no se transmite directamente mediante delegad@, se hace 
vía medio formal de correo vía Canvas (Bandeja de entrada), puede avisar al delegad@ que hay un 
email dejado, así podré responderlo lo más pronto posible, de la misma manera si su duda lo dejó 
en los Foros de Consulta avisar mediante delegad@ que hay dicha duda, ES IMPORTANTE ELLO.
❖Respuestas finales tienen que estar resaltadas, o enmarcadas, no enmarque otras respuestas que 
obtenga y no fue lo pedido por la pregunta. El no cumplir con esto implicará duda en la respuesta, 
desorden y confusión, generando descuento de puntaje.
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Utilidad 
A continuación se muestra el siguiente vídeo, analice y opine cómo el vídeo 
muestra la importancia del tema a ver:
https://www.youtube.com/watch?v=Xy-uu39Vaf0 (min 15:55)
Jimmy Llontop I.
https://www.youtube.com/watch?v=Xy-uu39Vaf0
Datos/Observaciones
Representación de un vector
Todo vector puede considerarse como la suma de dos componentes, cada uno de
los cuales se encuentra sobre los ejes x e y. Es decir, todo vector, sea en 2D o 3D,
contiene vectores unitarios.
IMPORTANTE: “Vector” que no tenga algún vector unitario NO es un vector (el
módulo, magnitud o intensidad de un vector es un escalar, sin vectores unitarios).
𝑨
𝛼
𝑨𝒙 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝜶
𝑨𝒚 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏𝜶
Módulo: 𝐴 = 𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2
𝒙
𝒚 𝐴
→
= 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑖
∧
+ 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑗
∧
Expresión vectorial: 
Dirección: es el ángulo medido desde el eje X 
positivo hacia el propio vector, medido en sentido 
antihorario, caso contrario se dice que es 
negativo.𝑖
∧
𝑗
∧
−𝒊
∧
−𝒋
∧
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Representación de un vector
Todo vector puede considerarse como la suma de dos componentes, cada
uno de los cuales se encuentra sobre los ejes x e y.
→
+= jiA 0,60,7
𝐴𝑥 = 7,0
𝑖
∧
𝑗
∧ 𝐴𝑦 = 6,0
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Módulo y dirección de un vector
El módulo del vector F :
Observaciones:
✓la DIRECCIÓN es el ángulo medido
desde el eje X
+
hasta llegar al vector, esto
en sentido antihorario. La dirección
(ángulo) se encontrará geométricamente,
construyendo un triángulo rectángulo con el
vector y aplicando trigonometría de la
tangente, luego se sumará o restará 180° o
360 ° según el gráfico. Si tenemos los
catetos:
Sea el vector F: 22
yx FFF +=
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑂𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝑂
𝐶𝑂𝑆𝑇𝐴𝐷𝑂
DIRECCIÓN ≠ 𝜽
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Descomposición vectorial
¿Cómo se expresan las componentes de un vector A teniendo el módulo y un ángulo?
Para este ejemplo se descompone encerrando el ángulo dato en un triángulo
rectángulo, y se usa la descomposición trigonométrica, siempre partiendo del origen
del vector y llegando a la cabeza del vector, movimientos apenas horizontal y/o
vertical:
x
y
q
A
→
𝐴
→
= 𝐴𝑥
→
+ 𝐴𝑦
→
𝐷𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝐸𝑗𝑚:
= −𝐴 cos 𝜃 𝑖
∧
+−𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗
∧
𝐴𝑦
→
𝐴𝑦
→
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único
requisito es que la suma de esta componentes nos de le vector original.
EN DOS DIMENSIONES: Se hará la descomposición a lo máximo en dos componntes:
una horizontal y otra vertical, encerrando al ángulo dato
Descomposición vectorial
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Ejercicio
Encuentre el módulo y dirección de la resultante del conjunto de vectores mostrado en
la figura; si:
റ𝐶 = 2,5 𝑚/𝑠
30°
53°𝑥
𝑦
𝐵 = 14 𝑚/𝑠
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Característica de un vector en el espacio
Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥Ԧ𝑖 + 𝑎𝑦 Ԧ𝑗 + 𝑎𝑧𝑘
Vector 𝒂 expresado en término de 
sus componentes vectoriales:
Módulo: Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2 + 𝑎𝑧
2
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Característica de un vector en el espacio
Suponga que መ𝑓 es un vector unitario de Ԧ𝐹 con la misma dirección de él, de forma
que: Ԧ𝐹 = 𝐹 መ𝑓. Entonces, el vector unitario de Ԧ𝐹 es:
𝑭 = 𝑭𝒙Ԧ𝒊 + 𝑭𝒚 Ԧ𝒋 + 𝑭𝒛𝒌 𝑭 = 𝑭(𝒇𝒙Ԧ𝒊 + 𝒇𝒚 Ԧ𝒋 + 𝒇𝒛𝒌)
Los cosenos directores de cualquier vector Ԧ𝑎 son las componentes de un vector
unitario que tiene la misma dirección que Ԧ𝑎: 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 = 𝑓𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 = 𝑓𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝑓𝑦,
෠𝒇 =
𝑭
𝑭
Dos vectores paralelos siempre tendrán el mismo vector unitario:
Ԧ𝐹
A(x1; y1) 
B(x2; y2) Con esto se puede construir el vector Ԧ𝐹 encontrando
el vector unitario de AB ( en la misma dirección del
vector F) pues el vector unitario de AB será el vector
unitario de Ԧ𝐹
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Vector en el espacio mediante coordenadas
𝒓𝑨𝑩 = 𝒓𝑩 − 𝒓𝑨 = (𝒙𝑩−𝒙𝑨)Ԧ𝒊 + (𝒚𝑩−𝒚𝑨)Ԧ𝒋 + (𝒛𝑩−𝒛𝑨) 𝒌
Obs: coordenadas de un punto a vector: se coloca los vectores unitarios a lado de
cada coordenada, no haber signo equivale a signo +
Ejm. Convertir A=(–2;5;–3) a vector 𝑨
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Ejemplo
Se aplica una fuerza de valor 400 N, tal como se muestra en la figura. Encuentre la 
expresión para dicha fuerza.
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Suma de Vectores
Ԧ𝐴 = 𝐴𝑥Ԧ𝑖 + 𝐴𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐴𝑧𝑘 𝐵 = 𝐵𝑥Ԧ𝑖 + 𝐵𝑦 Ԧ𝑗 + 𝐵𝑧𝑘
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝑅𝑥Ԧ𝑖 + 𝑅𝑦 Ԧ𝑗 + 𝑅𝑧𝑘 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 Ԧ𝑖 + (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)Ԧ𝑗 + (𝐴𝑧 + 𝐵𝑍)𝑘
𝑹 = 𝑹𝒙
𝟐 + 𝑹𝒚
𝟐 + 𝑹𝒁
𝟐
Módulo Dirección
* Para la dirección se respeta signos de componentes
𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠
−1(
𝑎𝑥
𝑎
) 𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠
−1(
𝑎𝑦
𝑎
) 𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠
−1(
𝑎𝑧
𝑎
)
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Producto Escalar
𝜃
𝐴
→
. 𝐵
→
= 𝐴𝐵 cos ෣(𝐴 𝑦 𝐵)
Como el resultado del producto punto es un escalar, se denomina
también producto escalar.
Las unidades del producto punto son el producto de las unidades de los
dos vectores. Observe que el producto punto de dos vectores distintos
de cero es igual a cero si y sólo si los dos vectores son perpendiculares.
𝐴
→
𝐵
→
Sean los vectores: 𝐴
→
= 𝐴𝑥 𝑖
∧
+ 𝐴𝑦 𝑗
∧
+ 𝐴𝑧 𝑖
∧
𝐵
→
= 𝐵𝑥 𝑖
∧
+ 𝐵𝑦 𝑗
∧
+ 𝐵𝑧 𝑖
∧
𝐴
→
. 𝐵
→
= 𝐴𝑥𝐵𝑥+ 𝐴𝑦𝐵𝑦+ 𝐴𝑧𝐵𝑧
1era definición:
2da definición:
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Producto Vectorial
El vector 𝐴
→
𝑥𝐵
→
tiene una dirección perpendicular al plano que contiene a A y B, de tal manera que
este producto se especifica mediante la regla de la mano derecha; es decir, al cerrar los dedos de la
mano derecha desde el primer vector (A) hacia el segundo vector (B), el pulgar señalará la dirección
de 𝐴
→
𝑥𝐵
→
, como se muestra en la figura.
La dirección según la
regla de la mano derecha
𝐴
→
𝑥𝐵
→
= 𝐴
→
𝐵
→
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐴
→
× 𝐵
→
-𝐴
→
𝑥𝐵
→
= 𝐵
→
× 𝐴
→
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Producto Vectorial
El producto vectorial de dos vectores en componentes es.
Ԧ𝐴𝑥𝐵 =
Ƹ𝑖 Ƹ𝑗 ෠𝑘
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
= Ƹ𝑖(𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦) − Ƹ𝑗(𝐴𝑥𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑥) + ෠𝑘(𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥)
𝐴
→
𝑥𝐵
→
= 𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛(෣𝐴 𝑦 𝐵)
Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.
El módulo del producto vectorial se define como:
Sean los vectores: 𝐴
→
= 𝐴𝑥 𝑖
∧
+ 𝐴𝑦 𝑗
∧
+ 𝐴𝑧 𝑖
∧
𝐵
→
= 𝐵𝑥 𝑖
∧
+ 𝐵𝑦 𝑗
∧
+ 𝐵𝑧 𝑖
∧
Donde el símbolo ෣𝐴𝑦 𝐵 denota el ángulo entre los vectores A y B.
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
Ejercicio
4. Sean dos vectores:
Calcule el ángulo que forman los dos vectores
𝐴
→
= 6,0𝑖
→
− 5,0𝑗
→
− 3,0𝑘
→
𝐵
→
= 4,0𝑖
→
+ 2,0𝑗
→
+ 2,0𝑘
→
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
En esta sesión hemos aprendido que:
Jimmy Llontop I.
Datos/Observaciones
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2018) Física Universitaria 
Volumen II, Décimo cuarta edición. México. Pearson Educación.
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen II. México. 
Ed. Thomson.
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen II. México
Ed.Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. II. Panamá. Fondo Educativo interamericano.
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen II. México. Ed. 
Continental.