Solución Examen 02

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
INGENIERÍA, CIENCIAS Y CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
EXAMEN 02 - FEBRERO 2020
Preguntas:
1. Calcule el valor exacto de
E =
cos(2x)− sen(2x)
sen2
(
x +
π
4
) ,
si tan(x) = −1
5
y x 6∈ I I.
Solución. Como tan(x) < 0 y x 6∈ I I, se puede concluir que x ∈ IV. Por lo tanto, se puede realizar el siguiente
dibujo:
Con la ayuda de este gráfico, se tiene que
sen(x) = − 1√
26
y cos(x) =
5√
26
Entonces
E =
cos(2x)− sen(2x)
sen2
(
x +
π
4
)
=
[cos2(x)− sen2(x)]− 2 sen(x) cos(x)
[
sen(x) cos
(
π
4
)
+ cos(x) sen
(
π
4
)]2
=
[
25
26
− 1
26
]
− 2 (−5)
26
[
− 1√
26
· 1√
2
+
5√
26
· 1√
2
]2
=
34
26
16
52
=
17
4
.
Se sigue que el valor exacto de E =
17
4
.
2. Dado x ∈ [0, 2π], resuelva la ecuación:
3 cos(x)− 4 = tan(x) sen(x) + 2 sec(x).
Solución. Primero calculemos el CVA, se tienen las condiciones:
tan(x) ∈ R ∧ sec(x) ∈ R ⇐⇒ cos(x) 6= 0
⇐⇒ x 6= π
2
∧ x 6= 3π
2
.
Por lo tanto CVA = [0, 2π]r
{
π
2
,
3π
2
}
. Ahora bien,
3 cos(x)− 4 = tan(x) sen(x) + 2 sec(x) ⇐⇒ 3 cos2(x)− 4 cos(x) = sen2(x) + 2 Multiplicando por cos(x)
⇐⇒ 3 cos2(x)− 4 cos(x) = 1 − cos2(x) + 2
⇐⇒ 4 cos2(x)− 4 cos(x)− 3 = 0
⇐⇒ 4y2 − 4y − 3 = 0 con y = cos(x)
⇐⇒ (2y − 3)(2y + 1) = 0
⇐⇒ y = 3
2
∨ y = −1
2
⇐⇒ cos(x) = 3
2
∨ cos(x) = −1
2
pues y = cos(x)
⇐⇒ F ∨
(
x = π − π
3
∨ x = π + π
3
)
⇐⇒ x = 2π
3
∨ x = 4π
3
.
Por lo tanto Sol =
{
2π
3
,
4π
3
}
.
3. Resuelva la inecuación
42x − 4log2(5) ≤ −22x − 2log4(25).
Solución. Primero notemos que
4log2(5) = (22)log2(5) = 22 log2(5) = 2log2(25) = 25
y de idéntica forma
2log4(25) = 2
log2(25)
log2(4) = 2
log2(25)
2 = 2log2(5) = 5.
Ahora bien,
42x − 4log2(5) ≤ −22x − 2log4(25) ⇐⇒ 24x − 25 ≤ −22x − 5
⇐⇒ 24x + 22x − 20 ≤ 0
⇐⇒ y2 + y − 20 ≤ 0 con y = 22x
⇐⇒ (y + 5)(y − 4) ≤ 0
⇐⇒ −5 ≤ y ≤ 4 con una tabla de signos
⇐⇒ −5 ≤ 22x ≤ 4 pues y = 22x
⇐⇒ −5 ≤ 22x ∧ 22x ≤ 4
⇐⇒ V ∧ log2(22x) ≤ log2(4) pues log2 es creciente
⇐⇒ 2x ≤ 2
⇐⇒ x ≤ 1.
Por lo tanto,
Sol = ]−∞, 1] .
4. Demuestre que la función
f : R− −→
]
− 12 , 12
[
x 7−→
(
1
2
)x2+|x|
− 1
2
.
es biyectiva y calcule su inversa.
Solución. Primero notemos que para x ∈ dom( f ),
|x| = −x,
de donde
f (x) =
(
1
2
)x2−x
− 1
2
=
(
1
2
)(x− 12 )
2− 14
− 1
2
.
Para que una función sea biyectiva es necesario que sea inyectiva y sobreyectiva.
2
• Verifiquemos que f es inyectiva: dados x1, x2 ∈ dom( f ), se tiene que
f (x1) = f (x2) =⇒
(
1
2
)(x1− 12 )
2− 14
− 1
2
=
(
1
2
)(x2− 12 )
2− 14
− 1
2
=⇒
(
1
2
)(x1− 12 )
2− 14
=
(
1
2
)(x2− 12 )
2− 14
=⇒ log1/2
(
1
2
)(x1− 12 )
2− 14
= log1/2
(
1
2
)(x2− 12 )
2− 14
=⇒
(
x1 −
1
2
)2
− 1
4
=
(
x2 −
1
2
)2
− 1
4
=⇒
(
x1 −
1
2
)2
=
(
x2 −
1
2
)2
=⇒
∣
∣
∣
∣
x1 −
1
2
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
x2 −
1
2
∣
∣
∣
∣
=⇒ 1
2
− x1 =
1
2
− x2 pues x1, x2 < 0 =⇒ x1 −
1
2
, x2 −
1
2
< 0
=⇒ x1 = x2.
Se sigue que f es inyectiva.
• Verifiquemos que f es sobreyectiva: Dado x ∈ dom( f ),
x < 0 ⇐⇒ x − 1
2
< −1
2
⇐⇒
(
x − 1
2
)2
>
1
4
⇐⇒
(
x − 1
2
)2
− 1
4
> 0
⇐⇒ 0 < exp1/2
[
(
x − 1
2
)2
− 1
4
]
< exp1/2(0) pues exp1/2 es decreciente
⇐⇒ 0 <
(
1
2
)(x2− 12 )
2−
1
4
< 1
⇐⇒ −1
2
< f (x) <
1
2
,
de donde rec( f ) =
]
−1
2
,
1
2
[
, luego f es sobreyectiva.
Se concluye que la función f es biyectiva, de donde tiene inversa.
Obtengamos la imagen de la función inversa: Dado x ∈ dom( f ),
y = f (x) ⇐⇒ y =
(
1
2
)(x− 12 )
2−
1
4 − 1
2
⇐⇒ y + 1
2
=
(
1
2
)(x− 12 )
2−
1
4
⇐⇒ log1/2
(
y +
1
2
)
=
(
x − 1
2
)2
− 1
4
⇐⇒ log1/2
(
y +
1
2
)
+
1
4
=
(
x − 1
2
)2
⇐⇒
√
log1/2
(
y +
1
2
)
+
1
4
=
∣
∣
∣
∣
x − 1
2
∣
∣
∣
∣
⇐⇒
√
log1/2
(
y +
1
2
)
+
1
4
=
1
2
− x pues x < 0 =⇒ x − 1
2
< 0
⇐⇒ x = 1
2
−
√
log1/2
(
y +
1
2
)
+
1
4
.
3
Finalmente, la función inversa es
f−1 :
]
−1
2
,
1
2
[
−→ R−
y 7−→ 1
2
−
√
log1/2
(
y +
1
2
)
+
1
4
.
Bonus (0.5 puntos) Considere la función f : [−3, 2] → [−2, 3] cuya gráfica se muestra a continuación.
1 2−1−2−3
0
−1
−2
1
2
3
4
a) Calcule f (0), f (1) y f (2).
b) Determine el recorrido de la función f . ¿ f es so-
breyectiva?
c) Determine si f es inyectiva.
d) Determine los intervalos en donde f es decrecien-
te.
e) Resuelva f (x) > 0.
Solución.
a) Por el gráfico,
f (0) = −2, f (1) = 0 y f (2) = −2.
b) Por el gráfico, tenemos que
rec( f ) = [−2, 3],
luego f es sobreyectiva.
c) No es inyectiva dado que, por ejemplo, el elemento 0 en el conjunto de llegada, tiene dos elementos co-
rrespondientes en el conjunto de salida: f (−1) = f (1).
d) La función es decreciente en el intervalo [−2, 0] y en el intervalo [1, 2].
e) Por el gráfico,
f (x) > 0 ⇐⇒ −3 ≤ x < −1,
luego
Sol = [−3,−1[ .
4