I1 2018-2

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Segundo semestre 2018
MAT1299 - MAT1279
Interrogación 1 - Solución
1. Sean los vectores u1 =
(
1
−1
)
, u2 =
(
2
3
)
y u3 =
(
4
5
)
.
a) Demuestre que el conjunto {u1, u2} es linealmente independiente.
Solución:
Si αu1 + βu2 = 0⃗, entonces α + 2β = 0 y −α+ 3β = 0.
Resolviendo queda 5β = 0, luego α = β = 0. Por lo tanto {u1, u2} es lineal-
mente independiente.
1 punto por suponer que αu1 + βu2 = 0⃗
1 punto por resolver el sistema y concluir.
b) Demuestre que Gen{u1, u2, u3} = Gen{u1, u2}.
Solución:
Basta con probar que u3 ∈ Gen{u1, u2}.
Se debe encontrar α y β tales que u3 = αu1 + βu2.
El sistema queda α + 2β = 4 y −α + 3β = 5.
Resolviendo se tiene que α = 2/5 y β = 9/5.
1 punto por plantear que es necesario que u3 ∈ Gen{u1, u2}.
1 punto por plantear y resolver el sistema.
1
c) Demuestre que Gen{u1, u2} = R2.
Solución:
Basta con probar que todo vector de R2 está en Gen{u1, u2}.
Se debe encontrar α y β tales que
(
a
b
)
= αu1 + βu2 para cualquier a, b ∈ R.
El sistema queda α + 2β = a y −α+ 3β = b.
Resolviendo se tiene que α = (3a− 2b)/5 y β = (a+ b)/5.
1 punto por plantear que es necesario probar que todo vector de R2 está
en Gen{u1, u2}.
1 punto por plantear y resolver el sistema.
2
2. a) Determine el valor de a ∈ R para que
 −12
a
 y
 43a
1
 sean ortogonales.
Solución:
Para que sean ortogonales el producto punto de los vectores debe ser cero.
Resolviendo queda −4 + 6a+ a = 0, luego a = 4/7.
2 puntos por plantear la condición del producto punto igual a 0.
1 punto por resolver y encontrar el valor de a.
b) Dados u y v vectores ortonormales calcule ∥u− v∥.
Solución:
∥u− v∥ =
√
(u− v) · (u− v)
=
√
u · u− u · v − v · u+ v · v
=
√
1− 0− 0 + 1
=
√
2
1 punto por usar la definición de norma.
1 punto por reemplazar cuando el producto punto es 0.
1 punto por reemplazar cuando el producto punto es 1.
3
3. Dado el sistema
x1 + x2 −x3 = 2
(k − 1)x2 + kx3 = k
k(k − 1)x3 = (k − 1).
Determine k ∈ R de modo que el sistema
i) tenga solución única,
ii) tenga infinitas soluciones,
iii) no tenga solución.
Encuentre las soluciones para el caso en que el sistema tenga infinitas soluciones.
Solución:
Matricialmente el sistema queda
 1 1 −1 20 (k − 1) k k
0 0 k(k − 1) (k − 1)
.
Si k = 0 queda
 1 1 −1 20 −1 0 0
0 0 0 −1
 y el sistema no tiene solución, pues la tercera
ecuación queda 0 = 1.
Si k = 1 queda
 1 1 −1 20 0 1 1
0 0 0 0
 y el sistema tiene infinitas soluciones, pues la
segunda variable es libre.
En este caso las soluciones son
 x1x2
x3
 =
 3− αα
1
 para todo α ∈ R.
Si k ̸= 0 y k ̸= 1 el sistema tiene solución única, pues hay tres pivotes.
2 puntos por justificar y clasificar el caso k = 0.
2 puntos por justificar, clasificar y escribir las soluciones para el caso k = 1.
2 puntos por justificar y clasificar el caso k ̸= 0 y k ̸= 1.
4
4. a) Sea A una matriz tal que A
 12
1
 = ( 1
3
)
y A
 01
−1
 = ( 2
5
)
. Deter-
mine una matriz B tal que AB =
[
2 2 2
5 6 6
]
.
Solución:
Como A
 12
1
 = ( 1
3
)
, entonces A
 24
2
 = ( 2
6
)
.
Entonces, de la definición de producto, A
 0 2 21 4 4
−1 2 2
 = [ 2 2 2
5 6 6
]
.
1 punto por obtener que A
 24
2
 = ( 2
6
)
.
2 puntos por escribir la matriz pedida.
5
b) Si L y M son matrices tales que LM t = M tL, demuestre que
(Lt + I)M = M(I + Lt).
Solución:
(Lt + I)M = LtM + IM
= LtM +M
= (M tL)t +M
= (LM t)t +M
= MLt +M
= MLt +MI
= M(Lt + I)
= M(I + Lt)
1 punto por usar adecuadamente LM t = M tL.
1 punto por usar adecuadamente que la suma de matrices es conmutativa.
1 punto por el resto de la demostración.
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