Ayudantia 8

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Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Set de ejercicios VIII
Macroeconomı́a II - EAE220B
Profesor: Alexandre Janiak
Ayudantes: Pablo Vallejo y Vicente Munita
Algunos de los ejercicios a continuación serán resueltos en la ayudant́ıa del viernes 23 de octubre.
Inconsistencia dinámica
Ejercicio 1
Suponga que la función de pérdida del banco central viene dada por:
L = π2 + γ(u− un + κ)2
La curva de Phillips está dada por: u = un−η(π−πe). Los parámetros γ, η y κ son ambos estrictamente
mayores que cero.
1. Compute la inflación de equilibrio bajo discreción.
2. Compute la inflación de euqilibrio bajo compromiso completo (full commitment).
3. ¿La pérdida del banco central es mayor bajo discreción que bajo full commitment? Justifique
algebraicamente.
Ejercicio 2
El tiempo comienza en el peŕıodo 0. La función de pérdida del banco central en la fecha t está dada
por:
Vt = π
2
t + λ(yt − ȳ − κ)2
y la curva de Phillips viene dada por la expresión usualmente usada: yt = ȳ + θ(πt − πet ). En cada
fecha τ , el banco central minimiza la suma descontada de Vt:
Wτ =
∞∑
t=τ
βt−τVt
donde β ∈ (0, 1) y λ, θ > 0. Sabemos que bajo discreción en un modelo de un periodo, el banco central
elegiŕıa π = πq = λθκ, y también sabemos que bajo full commitment la inflación debe ser cero. Ahora
suponga que la gente forma expectativas de acuerdo con:
πet =
{
0 si πτ = 0,∀τ < t
λθκ en otro caso
En otras palabras, mientras el banco central se mantiene eligiendo inflación cero, la gente cree que
hará eso en el futuro. Si elige alguna tasa de inflación diferente de cero, la gente cree que elegirá la
inflación consistente con un equilibrio estático bajo discreción, lo cual es π = πq = λθκ. Asuma que
en la fecha τ el banco central ha elegido inflación cero por cada t < τ .
1. ¿Cuál es el valor de Wτ si el banco central elige inflación cero por siempre (esto es, si elige πt = 0
para cada t ≥ τ)?
2. Suponga que el banco central decide desviarse de la estrategia asumida en 1 y elige una tasa de
inflación distinta a cero en la fecha τ (pero hace el mejor desv́ıo posible). ¿En ese caso, cuál es
el valor de Wτ?
3. Escriba una condición de parámetros que haga que el valor de Wτ que encontró en la pregunta
2 sea menor que el valor de Wτ de la pregunta 1. Interprete.
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Ejercicio 3
El tiempo comienza en t = 0. La función de pérdida del banco central en la fecha t viene dada por:
Lt = ut + γπ
2
t
y la curva de Phillips tiene la forma usual: ut = un − η(πt − πet ). En cada periodo τ el banco central
minimiza la suma descontada de Lt:
∞∑
t=τ
βt−τLt
Sabemos que bajo discreción en un modelo de un peŕıodo, el banco central elegiŕıa π = πd ≡ η2γ , y
también sabemos que la inflación óptima es cero. Ahora suponga que la gente forma sus expectativas
de acuerdo con:
πet =
{
0 if πτ = 0,∀τ < t o πτ 6= 0 para τ ∈ {t− k, ..., t− 1}
η
2γ otherwise
En otras palabras, mientras el banco central se mantiene eligiendo inflación cero, la gente cree que hará
lo mismo en el futuro. En el momento que elija una inflación diferente, la gente creerá que elegirá una
inflación consistente con un equilibrio estático bajo discreción, πe = η2γ por k peŕıodos donde k ≥ 1 y
entonces ellos creeán que elegirá cero en el futuro de nuevo.
Suponga que el banco central se encuentra en un peŕıodo τ tal que ha elegido inflación cero en todos los
peŕıodos previos. ¿Es óptimo para el banco central elegir inflación cero en todos los peŕıodos futuros?
Ejercicio 4
Suponga un banco central que la función de pérdida (L) de un banco central depende de inflación (π)
y desempleo (u) de acuerdo con:
L = u+ γπ2, γ > 0
Donde γ > 0 y π denotan la tasa de inflación. La curva de Phillips en términos de desempleo es:
u = un − η(π − πe), η > 0
donde u denota la tasa de desempleo, un es el desempleo natural y π
e es la inflación esperada.
1. Encuentre la inflación π y la función de pérdida L bajo discreción.
2. Encuentre la inflación π y la función de pérdida L bajo commitment.
3. Suponga que el banco central se puede desviar de la inflación prometida bajo commitment. ¿Cuál
es su pérdida en este caso? ¿Qué inflación usará?
4. ¿Por qué decimos que el banco central es inconsistente en el tiempo? Explique en palabras.
5. Suponga que en lugar de jugar el juego con discreción, el banco central puede delegar la con-
ducción dela poĺıtica monetaria a un tercer involucrado quien tiene una función de pérdida
L̄ = u + αγπ2, con α > 1 (quien entonces jugará un juego bajo discreción). ¿Estaŕıa el banco
central dispuesto a hacerlo? Justifique su respuesta.
A continuación considere una versión dinámica del problema presentado. El tiempo es discreto e
indexado por t ∈ {0, 1, 2...}. La pérdida del banco central como función en cualquier fecha τ es:
V =
∞∑
t=τ
βt−τLt =
∞∑
t=τ
βt−τ [ut + γπ
2
t ]
La curva de Phillips es como antes pero con sub́ındices de tiempo:
ut = un − η(πt − πet )
Denote con Ldisc, Lcom, Ldev las pérdidas que encontró en las preguntas 1, 2 y 3, respectivamente, y
denote con πdisc, πcom, πdev la inflación que encontró en las preguntas 1 a 3.
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6. Suponga que el juego de inflación bajo discreción es jugado en cada fecha. Además, asuma que
los agentes forman sus expectativas de acuerdo con:
πet =
{
πcom si πt−j , para todo j > 0
πdisc en otro caso
Escriba una codición para β que garantice que el banco central va a preferir cooperar (por
ejemplo, elija π = πcom en toda fecha futura). Escriba las condiciones en términos de β, Ldisc,
Lcom y Ldev. Interprete la condición.
7. A partir de su respuesta a la pregunta 6, piensa que garantizando que el banco central per-
manecerá un largo plazo en su posición reduce o aumenta el problema de inconsistencia temporal?
Explique.
IS-LM-PC
Ejercicio 5
Considere el modelo IS-LM-PC y suponga que hay un aumento del precio del combustible. Interprete
este aumento de precio como un cambio en el producto potencial. Compare la respuesta de la economı́a
en dos casos: (i) la inflación esperada es igual a la inflación rezagada, (ii) las expectativas de inflación
están ancladas en algún nivel π̄. En el mediano plazo, el banco central ajusta la tasa de interés
para mantenerse tan cerca como sea posible al producto potencial. Usted puede asumir además que
incialmente las taas de interés son muy altas, de forma que la restricción de cota inferior cero (ZLB)
no estaŕıa activa. Realice una gráfica con el tiempo en el eje horizontal y el producto y la inflación en
el eje de las ordenadas, para cada uno de los casos mencionados.
Ejercicio 6
Considere el modelo IS-LM donde el banco central fija la tasa de interés real. Asuma que las expec-
tativas de inflación están ancladas en algún nivel π̄. Suponga que el gobierno decide reducir el gasto
en forma permanente. Además, asuma que las tasas de interés son suficientemente altas de forma que
el banco central no estará restringido por la cota inferior cero (ZLB) y por tanto puede simplemente
ignorarla.
1. ¿Cuál es el efecto sobre el producto de este cambio en el mediano plazo? Explique su respuesta
utilizando el esquema IS-LM.
2. ¿Cuàl es el efecto sobre el producto de este cambio en el mediano plazo si asumimos ahora que
el banco central tratará de llevar la inflación a π̄? Explique su respuesta utilizando el modelo
IS-LM-PC.
3. En el mediano plazo, ¿el modelo IS-LM-PC predice que la inversión aumenta o disminuye?
Justifique.
Ejercicio 7
Debe responder a esta pregunta utilizando el modelo IS-LM-PC visto en clase. Suponga que en la
fecha inicial, la economı́a tiene inflación, inflación esperada y tasa de interés real iguales a cero. La
tasa de interés natural de esta economı́a (que iguala el producto con su nivel potencial) es negativa.
La inflación esperada es siempre igual a la inflación del peŕıodo anterior (πet = π
e
t−1). Elbanco central
siempre trata de mantener tanto como sea posible el producto cerca de su nivel potencial, pero la tasa
de interés nominal no se puede hacer cero.
1. De acuerdo con el modelo IS-LM-PC, luego de la fecha inicial, ¿la tasa de interés real aumen-
tará , decrecerá o se mantendrá estable? Y el producto aumentará, decrecerá o se mantendrá
estable? Explique (un gráfico puede ayudarlo).
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2. Explique, utilizando el modelo IS-LM-PC: ¿puede la poĺıtica fiscal llevar al producto hasta el
nivel del producto potencial? ¿Cómo?
Ejercicio 8
Las tasas de poĺıtica de interés real de Brasil son muy elevadas. Muchos economistas señalan que
parte de ello es causado por el hecho de que existe un banco de desarrollo (BNDES) prestando a tasas
de interés debajo de las de mercado (para algunas firmas). Esto quita poder a la poĺıtica monetaria,
forzando al banco central a aumentar mucho la tasa de interés para reducir la inflación. La siguiente
extensión simple del modelo IS-LM-PC se propone analizar si esa afirmación resiste un análisis formal
y trata de comprender mejor los mecanismos detrás del argumento.
Suponga que una fracción 1−λ de firmas en la economı́a piden prestado a la tasa de poĺıtica monetaria
más un premio por riesgo (r + x) y otra fracción pide a (1− s)(r + x) en el BNDES, donde s denota
el subsidio del BNDES. Cada firma tiene una función de inversión lineal en Y y en la tasa de interès
que recibe:
I = b0 + (1− λ)[b1Y − b2(r + x)] + λ[b1Y − b2(1− s)(r + x)]
La función de consumo es strandard: C = c0 + c1(Y − T ), con el supuesto habitual que b1 + c1 < 1.
Además, las expectativas de inflación estàn ancladas en π̄.
1. Suponga que inicialmenteλ = 0 (no hay BNDES) y el producto es igual al potencial. En el
momento t, λ se vuelve positivo (se introduce BNDES). ¿Cómo afectará esto al producto en el
corto y en el mediano plazo?
2. Ahora suponga que el gobierno decide aumentar λ pero a su vez aumenta los impuestos, de forma
que el equilibrio de corto plazo se mantiene inalterado. ¿Qué pasa en el mediano plazo?
3. Considere el caso en que λ = 0 y el caso en que λ 6= 0. Suponga que hay un aumento en c0
y compare el equilibrio de mediano plazo en ambos casos. ¿Hace sentido decir que la poĺıtica
monetaria se ha vuelto menos poderosa por el crédito subsidiado?
Ejercicio 9
Considere un páıs que ha tenido un nivel de inversión muy bajo por décadas. Algunos economistas
señalan que la inversión es baja porque el gasto el gobierno es demasiado alto. Suponga que el gobierno
de este páıs decide reducir el gasto (G) en forma permanente.
Utilizando el modelo IS-LM-PC, resopnda las preguntas debajo. Asuma que las expectativas de in-
flación están ancladas en algún nivel π̄. Asuma además que las tasas de interés son lo suficientemente
elevadas como para que el banco central no esté restringido por la cota inferior cero (ZLB), por lo
que a menos que se indique lo contrario, usted puede ignorar esa restricción. Como es usual en el
modelo IS-LM-PC, debe asumir que el banco central no va a reaccionar a shocks en el corto plazo,
pero ajustará las tasas de interés reales para mantener el producto tan cercano cmoo sea posible al
producto potencial en el mediano plazo. Además, asuma que antes del cambio en el gasto del gobierno
la economı́a estaba en equilibrio con el producto en el nivel potencial.
1. ¿Cuál es el efecto sobre el producto de una reducción en el gasto del gobierno G en el corto y en
el mediano plazo? Explique su respuesta usando el modelo IS-LM-PC.
2. En el corto plazo, luego de la reducción de G, la inversión es mayor o menor? ¿Qué sucede en
el mediano plazo con G? En su respuesta, debe asumir que la inversión es una función creciente
del producto y decreciente de la tasa de interés real (como hacemos usualmente).
Ahora vamos a reemplazar algunos supuestos. Primero, en lugar de asumir expectativas ancladas
vamos a asumir expectativas adaptativas. Segundo, asumiremos que en el peŕıodo inicial, la inflación,
inflación esperada, tasa de interés nominal y real son iguales a cero (i = π = πe = r = 0). Por lo
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tanto, ahora no podemos ignorar más la cota inferior cero. La economı́a aún tiene el producto en el
nivel del producto potencial en el periodo inicial.
3. Luego de una reducción permanente del gasto del gobierno, ¿qué sucederá con la tasa de interés
real en el mediano plazo? Explique usando el diagrama IS-LM-PC.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 10
Un banco central ha decidido adoptar metas de inflación y ahora está debatiendo si fijar como objetivo
π = 5 o π = 0. La economı́a se describe por la siguiente curva de Phillips:
u = 5− 0.5(π − πe)
donde u y π son la tasa de desempleo y la tasa de inflación medidos en puntos porcentuales. El costo
social del desempleo y la inflación se describe mediante la función siguiente:
L = u+ 0.05π2
El banco central deseaŕıa que la pérdida social sea lo más baja posible.
1. Si el banco central se compromete a un objetivo de inflación de 5% ¿Cuál es la tasa de desempleo?
¿Cuál es la pérdida dados la inflación y el desempleo?
2. Si el banco central se compromete a un objetivo de inflación de 0% ¿Cuál es la inflación esperada?
¿Cuál será el desempleo? ¿Cuál es la pérdida dados inflación y desempleo?
3. Basado en sus respuestas anteriores, cuál objetivo de inflación recomendaŕıa? ¿Por qué?
4. Suponga que el banco central elige como objetivo π = 0 y que la inflación esperada es πe = 0.
Repentinamente, sin embargo, el banco central sorprende a la gente con un 5% de inflación.
¿Cuál es el desempleo en este peŕıodo de inflación inesperada? ¿Cuál es la pérdida de inflación
y desempleo?
5. ¿Qué problema ilustra su respuesta en la pregunta 4?
Ejercicio 11
Suponga que la función del banco central viene dada por:
V = π2 + λ(y − ȳ − κ)2
La curva de Phillips es y = ȳ+θ(π−πe). Los parámetros λ, θ y κ son estrictamente mayores que cero.
1. Compute la inflación de equilibrio bajo discreción.
2. Compute la inflación de equilibrio bajo compromiso completo (full commitment).
3. ¿La pérdida del banco central es mayor bajo discreción o bajo compromiso? Justifique usando
álgebra.
4. ¿Qué pasa cuando κ = 0? Explique con ecuaciones y con palabras.