Ayudantía7Pauta

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
INSTITUTO DE ECONOMÍA 
AYUDANTIA N°7 – Macroeconomía Internacional EAE240B 
Profesor: Emiliano Luttini 
Ayudante: Sebastián Figari 
Regla de Tipo de Cambio Óptima. 
a) 
𝑖𝑡+1 = 𝔼𝑡𝑒𝑡+1 − 𝑒𝑡 (1) ⇒ 𝑖𝑡+1 = �̅� − 𝑒𝑡 pues 𝔼𝑡𝑒𝑠 = �̅� 
𝑦𝑡
𝑠 = 𝜃(𝑝𝑡 − 𝔼𝑡−1𝑝𝑡) (2) ⇒ 𝑦𝑡
𝑠 = 𝜃(𝑝𝑡 − �̅�) pues 𝔼𝑡𝑝𝑠 = �̅� 
𝑦𝑡
𝑑 = 𝛿(𝑒𝑡 − 𝑝𝑡) + 𝜖𝑡 (3) 
𝑚𝑡 − 𝑝𝑡 = 𝜙𝑦𝑡 − 𝜂𝑖𝑡+1 + 𝜈𝑡 (4) ⇒ �̅� − 𝑝𝑡 = 𝜙𝑦𝑡 − 𝜂(�̅� − 𝑒𝑡) + 𝜈𝑡 pues 𝑚𝑡 = �̅� 
 
Operando el sistema: 
(2) en (4): 
 �̅� − 𝑝𝑡 = 𝜙[𝜃(𝑝𝑡 − �̅�)] − 𝜂�̅� + 𝜂𝑒𝑡 + 𝜈𝑡 
�̅�(1 + 𝜙𝜃 + 𝜂) − 𝑝𝑡(1 + 𝜙𝜃) = 𝜂𝑒𝑡 + 𝜈𝑡 (6) 
Despejando 𝑒𝑡: 
𝑒𝑡 =
�̅�(1+𝜙𝜃+𝜂)−𝑝𝑡(1+𝜙𝜃)−𝜈𝑡
𝜂
 (7) 
 
(6) en (2)=(3): 
 𝑦𝑡
𝑠 = 𝑦𝑡
𝑑 ⇒ 𝜃(𝑝𝑡 − �̅�) = 𝛿(𝑒𝑡 − 𝑝𝑡) + 𝜖𝑡 ⇒ 𝜃𝑝𝑡 − 𝜃 �̅� = 𝛿𝑒𝑡 + 𝛿𝑝𝑡 + 𝜖𝑡 
𝑝𝑡(𝜃 + 𝛿) − 𝜃�̅� − 𝜖𝑡 = 𝛿 {
�̅�(1 + 𝜙𝜃 + 𝜂) − 𝑝𝑡(1 + 𝜙𝜃) − 𝜈𝑡
𝜂
} 
𝑝𝑡 [(𝜃 + 𝛿) +
𝛿
𝜂
(1 + 𝜙𝜃)] = �̅�(
𝛿
𝜂
(1 + 𝜙𝜃 + 𝜂) + 𝜃) −
𝛿
𝜂
𝜈𝑡 + 𝜖𝑡 
𝑝𝑡 =
�̅�{
𝛿
𝜂
(1+𝜙𝜃+𝜂)+𝜃}
[(𝜃+ 𝛿)+
𝛿
𝜂
+
𝛿
𝜂
𝜙𝜃)]
−
𝛿
𝜂 
𝜈𝑡
(𝜃+ 𝛿)+
𝛿
𝜂
+
𝛿
𝜂
𝜙𝜃
+
𝜖𝑡
(𝜃+ 𝛿)+
𝛿
𝜂
+
𝛿
𝜂
𝜙𝜃
= �̅� −
𝛿
𝜂 
𝜈𝑡
(𝜃+ 𝛿)+
𝛿
𝜂
+
𝛿
𝜂
𝜙𝜃
+
𝜖𝑡
(𝜃+ 𝛿)+
𝛿
𝜂
+
𝛿
𝜂
𝜙𝜃
 
 
𝑝𝑡 = �̅� +
𝜂𝜖𝑡−𝛿𝜈𝑡
𝜂(𝜃+ 𝛿)+𝛿(1+𝜙𝜃)
 (8) 
 
Ahora, trabajando la ecuación (7), e insertando (8) en (7): 
𝑒𝑡 =
1
𝜂
{�̅�(1 + 𝜙𝜃 + 𝜂) − 𝑝𝑡(1 + 𝜙𝜃) − 𝜈𝑡} 
𝑒𝑡 =
1
𝜂
{�̅�(1 + 𝜙𝜃 + 𝜂) − [�̅� +
𝜂𝜖𝑡 − 𝛿𝜈𝑡
𝜂(𝜃 + 𝛿) + 𝛿(1 + 𝜙𝜃)
] (1 + 𝜙𝜃) − 𝜈𝑡} 
𝑒𝑡 = �̅� − [
(1 + 𝜙𝜃)𝜂𝜖𝑡 − (1 + 𝜙𝜃)𝛿𝜈𝑡
𝜂(𝜂(𝜃 + 𝛿)) + 𝜂𝛿(1 + 𝜙𝜃)
] −
𝜈𝑡
𝜂
 
𝑒𝑡 = �̅� − [
(1+𝜙𝜃)𝜖𝑡−(𝜃+𝛿)𝜈𝑡
𝜂(𝜃+ 𝛿)+𝛿(1+𝜙𝜃)
] (9) 
 
Reemplazando (8) y (9) en la ecuación (3): 
 
𝑦𝑡
𝑑 = 𝛿(𝑒𝑡 − 𝑝𝑡) + 𝜖𝑡 
 
𝑦𝑡
𝑑 = 𝛿 {(�̅� − [
(1 + 𝜙𝜃)𝜖𝑡 − (𝜃 + 𝛿)𝜈𝑡
𝜂(𝜃 + 𝛿) + 𝛿(1 + 𝜙𝜃)
]) − (�̅� +
𝜂𝜖𝑡 − 𝛿𝜈𝑡
𝜂(𝜃 + 𝛿) + 𝛿(1 + 𝜙𝜃)
)} + 𝜖𝑡 
Resolviendo el álgebra, se llega a la expresión: 
𝑦𝑡 =
𝜃𝜂𝜖𝑡 − 𝜃𝛿𝜈𝑡
𝜂(𝜃 + 𝛿) + 𝛿(1 + 𝜙𝜃)
 
 
Por lo tanto: 
𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 𝔼𝑡−1{𝑦𝑡
2} = 𝔼𝑡−1 {
𝜃𝜂𝜖𝑡 − 𝜃𝛿𝜈𝑡
𝜂(𝜃 + 𝛿) + 𝛿(1 + 𝜙𝜃)
}
2
 
𝔼𝑡−1{𝑦𝑡
2} = [
𝜃𝜂
𝜂(𝜃 + 𝛿) + 𝛿(1 + 𝜙𝜃)
]
2
𝜎𝜖
2 + [
𝜃𝛿
𝜂(𝜃 + 𝛿) + 𝛿(1 + 𝜙𝜃)
]
2
𝜎𝜈
2 
 
 
 
 
b) 𝑒̅ = �̅�, 𝔼𝑡𝑚𝑡+1 = �̅� 
(2) = (3): 
(𝑝𝑡 − 𝔼𝑡−1𝑝𝑡) = 𝛿(𝑒𝑡 − 𝑝𝑡) + 𝜖𝑡 
𝑝𝑡 = 𝑒̅ +
𝜖𝑡
𝜃 + 𝛿
 
Reemplazando en (2): 
𝑦𝑡
𝑠 = 𝜃(𝑝𝑡 − �̅�) = 𝜃 (�̅� +
𝜖𝑡
𝜃 + 𝛿
) − 𝜃�̅� 
𝑦𝑡
𝑠 =
𝜃𝜖𝑡
𝜃 + 𝛿
 
Por lo tanto: 
𝔼𝑡−1{𝑦𝑡
2} = (
𝜃
𝜃 + 𝛿
)
2
𝜎𝜖
2 
 
 
c) 
𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡)| 𝑇𝐶 𝐹𝑖𝑗𝑜
𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡)| 𝑇𝐶 𝐹𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑙𝑒
= 
𝔼𝑡−1{𝑦𝑡
2}| 𝑇𝐶 𝐹𝑖𝑗𝑜
𝔼𝑡−1{𝑦𝑡
2}| 𝑇𝐶 𝐹𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑙𝑒
 
𝔼𝑡−1{𝑦𝑡
2}| 𝑇𝐶 𝐹𝑖𝑗𝑜
𝔼𝑡−1{𝑦𝑡
2}| 𝑇𝐶 𝐹𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑙𝑒
= 
(
𝜃
𝜃 + 𝛿)
2
𝜎𝜖
2
[
𝜃𝜂
𝜂(𝜃 + 𝛿) + 𝛿(1 + 𝜙𝜃)
]
2
𝜎𝜖2 + [
𝜃𝛿
𝜂(𝜃 + 𝛿) + 𝛿(1 + 𝜙𝜃)
]
2
𝜎𝜈2
 
𝔼𝑡−1{𝑦𝑡
2}| 𝑇𝐶 𝐹𝑖𝑗𝑜
𝔼𝑡−1{𝑦𝑡
2}| 𝑇𝐶 𝐹𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑙𝑒
= 𝐴𝑙𝑔𝑜1
𝜎𝜖
2
𝜎𝜖2
+ 𝐴𝑙𝑔𝑜2
𝜎𝜖
2
𝜎𝜈2
= 𝐴𝑙𝑔𝑜1 + 𝐴𝑙𝑔𝑜2
𝜎𝜖
2
𝜎𝜈2
 
 
Y si 𝜎𝜖
2 𝜎𝜈
2⁄ → 0 
 
𝔼𝑡−1{𝑦𝑡
2}| 𝑇𝐶 𝐹𝑖𝑗𝑜
𝔼𝑡−1{𝑦𝑡
2}| 𝑇𝐶 𝐹𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑙𝑒
= 𝐴𝑙𝑔𝑜1 
y como 𝐴𝑙𝑔𝑜1 < 0 la varianza del TC flotante tiene mayor varianza