Examen 2008-2

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Escuela de Administración 
II Semestre de 2008 
 
EAA-251 Métodos de Optimización 
Examen (120 puntos, 120 minutos) 
 
Profesores: Marcos Singer 
Bárbara Prieto 
Normas: 
• Las consultas se responden en público. 
• Toda respuesta debe ser adecuadamente justificada si corresponde. 
• Cualquier ambigüedad resuélvala a su criterio. 
 
Pregunta 1 (20 puntos): 
Una importadora se dedica a la venta y distribución de electrodomésticos (radios, 
televisores, videos, etc.) cuyo costo de compra y cantidad máxima de importación depende 
de cada producto. Los productos importados pueden almacenarse en bodegas ubicadas a lo 
largo de la costa. La distribución de productos desde las bodegas a los centros de consumo 
es realizada por flotas de camiones que dispone cada bodega. La empresa no permite el 
transporte de productos entre bodegas y el costo de transporte unitario está dado por la 
combinación origen-destino del despacho. Cada centro de consumo tiene demandas 
máximas y cantidades mínimas a entregar de cada producto. 
Plantee el programa lineal que calcula el programa de importación, distribución y venta 
anual que maximiza las utilidades, medidas como los ingresos por las ventas menos los 
costos de compra y transporte, sin considerar las diferencias de inventario. Para ello defina 
los conjuntos y los parámetros y variables, con las unidades de medidas correspondientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Pregunta 2 (50 puntos): 
Una empresa constructora está planificando el desarrollo de proyectos inmobiliarios 
durante los próximos 5 años. Estos proyectos corresponden a edificios de departamentos, 
los que serán construidos en diferentes comunas de la Región Metropolitana. 
La inmobiliaria construye 4 tipos de edificios con departamentos de 2 y 3 dormitorios, los 
que tienen las siguientes características: 
 
 Edificio Tipo 1 Edificio Tipo 2 Edificio Tipo 3 Edificio Tipo 4 
Nº de Pisos 12 10 8 7 
Nº de 
Departamentos 
de 2 Dorms. 
50 40 20 30 
Nº de 
Departamentos 
de 3 Dorms. 
25 30 40 30 
Margen de 
Utilidad por 
Edificio 
50 mil UF 40 mil UF 30 mil UF 25 mil UF 
Estudios de la inmobiliaria han concluido que la demanda de departamentos de 2 
dormitorios en los próximos 5 años no superará las 1.350 unidades, en tanto que la 
demanda máxima de departamentos de 3 dormitorios será de 1.000 unidades. 
La disponibilidad de terrenos con que cuenta la inmobiliaria le permite construir como 
máximo 40 edificios de cualquier tipo. Además, la empresa cuenta con 117.000 horas 
hombre de obrero para la construcción de edificios. Los edificios tipo 1 al 4 requieren de 
4.000, 3.500, 3.000 y 2.500 horas de obrero respectivamente. 
Finalmente, debe considerarse que el plano regulador de la región permite construir, como 
máximo, 8 edificios con una altura mayor a 11 pisos. 
A partir de todas las restricciones que enfrenta la empresa y asumiendo que su objetivo es 
maximizar su utilidad, a continuación se presentan los tableaus asociados a algunos de los 
vértices del problema (las restricciones representadas en los tableaus están en el mismo 
orden en que aparecen en el enunciado): 
 3 
 
 
Con toda esta información, responda: 
(a) Modele el problema como programa lineal (10 puntos) 
(b) Encuentre la solución óptima del problema: ¿es esta solución única?. ¿Cuántos 
edificios de cada tipo se deben construir y qué nivel de utilidad se espera alcanzar? 
(5 puntos) 
(c) ¿Cuáles son los precios sombra de TODAS las restricciones del problema?. 
Identifique qué restricciones son activas en el óptimo. (5 puntos) 
 4 
(d) Demuestre, utilizando KKT, que los precios sombra determinados en la pregunta 
anterior son los correctos (6 puntos) 
(e) La empresa tiene la posibilidad de adquirir varias hectáreas de terreno adicionales 
para la construcción de edificios. Específicamente, estos nuevos terrenos le 
permitirían construir 4 edificios adicionales (es decir, un 10% más de lo que puede 
construir hasta ahora). Si estos nuevos terrenos tienen un costo de 20.000 UF, ¿es 
conveniente para la empresa comprarlos y desarrollar proyectos en ellos? Justifique 
su respuesta (5 puntos) 
(f) La inmobiliaria está pensando contratar más mano de obra para la construcción de 
edificios. ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar por incrementar sus horas hombre en 
2.000 horas de obrero adicionales?. Justifique su respuesta (5 puntos) 
(g) Ubíquese en el vértice asociado al tableau B: 
i) ¿Cuántos edificios de cada tipo se construyen en este vértice? (1 punto) 
ii) ¿Qué restricciones son activas en ese punto? (1 punto) 
iii) ¿Cuáles son las variables básicas y las no básicas en este tableau? (1 punto) 
iv) ¿Cuántas iteraciones debieron realizarse, al menos, a partir del tableau 
original hasta alcanzar el tableau B? Fundamente su respuesta (2 puntos) 
v) Suponga que se encuentra construyendo la cantidad de edificios asociados a 
este vértice no óptimo y decide comenzar a construir un edificio tipo 2 
adicional. El gerente comercial de la inmobiliaria apoya esta decisión 
argumentando que un edificio tipo 2 le reporta a la empresa un margen de 
utilidad de 40 mil UF, por lo que si se construye este “nuevo” edificio se 
podrá aumentar la utilidad de la empresa en esa cantidad. Comente 
rigurosamente el argumento del gerente: ¿será realmente posible aumentar 
en 40 mil UF la utilidad de la empresa al construir este edificio tipo 2 
adicional? Si no es así, ¿por qué no? Justifique su respuesta (5 puntos) 
vi) Suponga que decide alcanzar el nivel de construcción representado por el 
tableau C. ¿Qué variable debió elegir como entrante y cuál como saliente 
para llegar a este punto? ¿Qué opina de esa elección de variables entrante y 
saliente? Justifique su respuesta (4 puntos) 
 
 
 
 
 5 
Pregunta 3 (50 puntos): 
Considere el poliedro de la ilustración que tiene 6 lados, definido por las restricciones (1), 
(2), (3), (4) y las restricciones de no-negatividad. Si bien la restricción (4) es redundante, no 
la eliminaremos del problema. 
 
 
(a) Plantee algebraicamente las restricciones (1), (2), (3) y (4). Si la función objetivo es 
maximizar x + y + z, determine el tableau inicial. (7 puntos) 
Ayuda: Las restricciones (1) al (4) tienen la forma Ax + By + Cz ≤ D. El coeficiente D 
toma los valores de 15, 4, 3 y 24 para las restricciones (1), (2), (3) y (4) 
respectivamente. Usted debe encontrar el valor de A, B y C para cada restricción. 
(b) Realice una eliminación de Gauss-Jordan de manera de llegar al punto (0, 8, 0), el cual 
es no-factible. (Esta pregunta mide qué tan bien usted entiende el Método Simplex, 
como para modificarlo de tal forma de realizar una operación que no está concebida en 
el método original) (7 puntos) 
(c) ¿Satisface KKT el punto (0, 8, 0)? ¿Es óptimo? Justifique su respuesta (5 puntos) 
(d) A partir del tableau no-factible de (0, 8, 0): 
i) Señale el vector-dirección del borde que va desde (0, 8, 0) a (0, 4, 3) en el espacio x-
y-z. Muestre en el gráfico (2 puntos) 
ii) Exprese dicho vector-dirección en el espacio x-y-z-h1-h2-h3-h4. (1 punto) 
iii) Si quisiera llegar al punto no-factible (0, 0, 6), ¿cuál sería la variable entrante? 
¿Cuál sería la variable saliente? (1 punto) 
 
 6 
(e) El tableau a continuación representa el punto (0, 4, 3) en el dibujo. 
 x y z h1 h2 h3 h4 
 0 0 0 0 0 0,33 -0,33 -7 
 0 0 0 1 0 3 -1 0 
 -1 0 0 0 1 1,33 -0,33 0 
 0 0 1 0 0 1 0 3 
 1 1 0 0 0 -1,33 0,33 4 
 
i) Determine las componentes de los bordes que están visibles en este vértice y 
muéstrelos en el gráfico. (4 puntos) 
ii) ¿Cuáles de esos bordes son promisorios? (1 punto) 
iii) ¿Cuáles de esos bordes son factibles? (2 puntos) 
(f) A partir del tableau anterior realice una eliminación de Gauss-Jordan. 
i) ¿A qué vértice llega después de realizar la eliminación de Gauss-Jordan? Justifique 
su respuesta (1 punto) 
ii) En el nuevo tableau, exprese en el espacio x-y-z cuáles bordes están visibles. 
Muestre esos bordes en elgráfico (4 puntos) 
iii) ¿Cuáles de esos bordes son promisorios? (1 punto) 
iv) ¿Cuáles de esos bordes son factibles? (2 puntos) 
v) ¿Cuáles bordes son comunes con el tableau anterior? (2 puntos) 
(g) Considere el siguiente tableau óptimo: 
 x y z h1 h2 h3 h4 
 0 0 0 -0,11 0 0 -0,22 -7 
¿? 0 0 0 0,33 0 1 -0,33 0 
¿? -1 0 0 -0,44 1 0 0,11 0 
¿? 0 0 1 -0,33 0 0 0,33 3 
¿? 1 1 0 0,44 0 0 -0,11 4 
i) ¿Es única la solución óptima? Exprese el conjunto óptimo de puntos en el espacio x-
y-z-h1-h2-h3-h4. (4 puntos) 
ii) ¿Cuál es el beneficio marginal de relajar la restricción (4)? Fundamente su respuesta 
(3 puntos) 
iii) ¿Cuál es el beneficio marginal de relajar la restricción (1) en 1 y simultáneamente 
eliminar las restricciones (3) y (4)? (3 puntos) 
 7 
Pontificia Universidad Católica de Chile 
Escuela de Administración 
 
EAA-251 Métodos de Optimización 
Pauta Examen II Semestre 2008 (120 puntos) 
 
Pregunta 1 (20 puntos) 
Conjuntos: 
 E = {radios, televisores, videos,...} : electrodomésticos 
 B = {bodega1, bodega2,..., bodegaN} : bodegas 
 C = {c1, c2,....cN} : centros de consumo 
Parámetros: 
Ce [$/u] : costo de compra del electrodoméstico e 
Te [u] : cantidad máxima de importación del producto e 
Ab [u] : capacidad de almacenamiento de la bodega b 
Ie,b [u] : inventario inicial del producto e en la bodega b 
Fb [u] : capacidad de despacho de la flota de la bodega b 
Ec,b [$/u] : costo de envío al centro de consumo c desde la bodega b 
De,c [u] : demanda máxima del producto e en el centro de consumo c 
Ne,c [u] : cantidad mín. del producto e requerida en el centro de consumo c 
Pe,c [$/u] : precio del producto e en el centro de consumo c 
Variables: 
z [$] : utilidad 
ve,c [u] : ventas del producto e en el centro de consumo c 
ce,b [u] : compras del producto e que se almacena en la bodega b 
ie,b [u] : inventario del producto e en la bodega b 
de,c,b [u] : despacho del producto e al centro de consumo c desde la bodega b 
Maximizar: 
Sujeto a: ∀e Importación máxima 
 ∀b Capacidad de bodegas 
 ∀e, b Balance de inventario 
 ∀b Capacidad de la flota 
 ∀e, c Demanda máxima 
 ∀b Cantidad mínima de despacho 
 8 
 ∀e, b, c 
Pregunta 2 (50 puntos) 
(a) Modele el problema como programa lineal (10 puntos) 
Variables de decisión: 
 x1: número de edificios tipo 1 a construir 
x2: número de edificios tipo 2 a construir 
 x3: número de edificios tipo 3 a construir 
x4: número de edificios tipo 4 a construir 
 
Maximizar z = 50x1 + 40x2 + 30x3 + 25x4 
Sujeto a: 
(1) 50x1 + 40x2 + 30x3 + 25x4 ≤ 1.350 Demanda deptos 2 dorms. 
(2) 25x1 + 30x2 + 40x3 + 30x4 ≤ 1.000 Demanda deptos 3 dorms. 
(3) x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 40 Terreno 
(4) 4x1 + 3,5x2 + 3x3 + 2,5x4 ≤ 117 Horas hombre (en miles de hrs) 
(5) x1 ≤ 8 Máx edificios de altura 
(6) x1 ≥ 0 No negatividad 
(7) x2 ≥ 0 No negatividad 
(8) x3 ≥ 0 No negatividad 
(9) x4 ≥ 0 No negatividad 
 
(b) Encuentre la solución óptima del problema: ¿es esta solución única?. ¿Cuántos 
edificios de cada tipo se deben construir y qué nivel de utilidad se espera alcanzar? 
(5 puntos) 
Tableau óptimo: B 
Solución óptima y única: x1 = 10, x2 =23, x3 = 1,5 y x4 = 0 
Utilidad (z) = 1.365 miles de UF 
(c) ¿Cuáles son los precios sombra de TODAS las restricciones del problema?. 
Identifique qué restricciones son activas en el óptimo. (5 puntos) 
Precios sombra: 
Precio sombra restricción (1) = 0,3 ACTIVA 
Precio sombra restricción (2) = 0 NO ACTIVA 
Precio sombra restricción (3) = 0 NO ACTIVA 
Precio sombra restricción (4) = 8 ACTIVA 
Precio sombra restricción (5) = 3 ACTIVA 
Precio sombra no negatividad de x1 = 0 NO ACTIVA 
Precio sombra no negatividad de x2 = 0 NO ACTIVA 
Precio sombra no negatividad de x3 = 0 NO ACTIVA 
 9 
Precio sombra no negatividad de x4 = 4 ACTIVA 
 
(d) Demuestre, utilizando KKT, que los precios sombra determinados en la pregunta 
anterior son los correctos (6 puntos) 
(50, 40, 30, 25) = α (50, 40, 20, 30) + β (4, 3.5, 3, 2.5) + χ (1, 0, 0, 0) + δ (0, 0, 0, -1) 
Resolviendo sistema de ecuaciones: 
α = 0,3; β = 8; χ = 3; δ = 4 
(e) La empresa tiene la posibilidad de adquirir varias hectáreas de terreno adicionales 
para la construcción de edificios. Específicamente, estos nuevos terrenos le 
permitirían construir 4 edificios adicionales (es decir, un 10% más de lo que puede 
construir hasta ahora). Si estos nuevos terrenos tienen un costo de 20.000 UF, ¿es 
conveniente para la empresa comprarlos y desarrollar proyectos en ellos? Justifique 
su respuesta (5 puntos) 
No, no es conveniente. Esa restricción no es activa y por lo tanto la empresa no debe 
adquirir nuevos terrenos (a la empresa le sobran terrenos) 
(f) La inmobiliaria está pensando contratar más mano de obra para la construcción de 
edificios. ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar por incrementar sus horas hombre en 
2.000 horas de obrero adicionales?. Justifique su respuesta (5 puntos) 
La restricción de horas hombre sí es activa y tiene un precio sombra de 8 mil UF. Es 
decir, por cada mil horas adicionales la empresa ganará 8 mil UF más. Si 
incrementa sus horas de obrero en 2.000, entonces la empresa estaría dispuesta a 
pagar hasta 16 mil UF 
(g) Ubíquese en el vértice asociado al tableau B: 
i) ¿Cuántos edificios de cada tipo se construyen en este vértice? (1 punto) 
10 edificios tipo 1 y 20 tipo 3. 0 de los otros tipos. 
ii) ¿Qué restricciones son activas en ese punto? (1 punto) 
La (2), la (5) y las no negatividades de x2 y x4 
iii) ¿Cuáles son las variables básicas y las no básicas en este tableau? (1 punto) 
Variables básicas: x1, x3, h1, h3, h4 
Variables no básicas: x2, x4, h2, h5 
iv) ¿Cuántas iteraciones debieron realizarse, al menos, a partir del tableau 
original hasta alcanzar el tableau B? Fundamente su respuesta (2 puntos) 
 10 
2 iteraciones, ya que al menos debieron “entrar” las variables x1 y x3, las 
que en el tableau original eran variables no básicas. 
v) Suponga que se encuentra construyendo la cantidad de edificios asociados a 
este vértice no óptimo y decide comenzar a construir un edificio tipo 2 
adicional. El gerente comercial de la inmobiliaria apoya esta decisión 
argumentando que un edificio tipo 2 le reporta a la empresa un margen de 
utilidad de 40 mil UF, por lo que si se construye este “nuevo” edificio se 
podrá aumentar la utilidad de la empresa en esa cantidad. Comente 
rigurosamente el argumento del gerente: ¿será realmente posible aumentar 
en 40 mil UF la utilidad de la empresa al construir este edificio tipo 2 
adicional? Si no es así, ¿por qué no? Justifique su respuesta (5 puntos) 
Al estar construyendo la cantidad de edificios representada por este punto, el 
hecho de construir un edificio tipo 2 (x2 variable entrante) hace aumentar el 
valor objetivo en 17,5 mil UF y NO en 40 mil UF. Esto se debe a que por 
cada 1 edificio tipo 2 que se construye, a la vez se deja de construir 0,75 
edificios tipo 3, los que tienen un margen de utilidad de 30 mil UF. Para 
darse cuenta de esto, es necesario moverse por el borde que hace crecer x2 y 
observar qué pasa con el resto de las holguras. Un cambio unitario en x2 
implica que x3 disminuye en 0,75. Por lo tanto, al construir un edificio tipo 
2 se ganan 40 mil UF, pero se pierden 0,75x30 mil UF = 40 – 0,75x30 = 
17,5. Esta es la ganancia “neta” que resulta de construir un edificio tipo 2 al 
partir del vértice representado por el tableau B 
vi) Suponga que decide alcanzar el nivel de construcción representado por el 
tableau C. ¿Qué variable debió elegir como entrante y cuál como saliente 
para llegar a este punto? ¿Qué opina de esa elección de variables entrante y 
saliente? Justifique su respuesta (4 puntos) 
Para llegar a C, se debió elegir x2 como variable entrante y h1 como 
saliente. La elección de la variable saliente fue equivocada, y por eso se 
llegó a un vértice NO factible. No se tomó en cuenta el resultado del test de 
minimización.11 
 
 
Pregunta 3 (50 puntos) 
(a) Plantee algebraicamente las restricciones (1), (2), (3) y (4). Si la función objetivo es 
maximizar x + y + z, determine el tableau inicial. (7 puntos) 
Ayuda: Las restricciones (1) al (4) tienen la forma Ax + By + Cz ≤ D. El coeficiente D 
toma los valores de 15, 4, 3 y 24 para las restricciones (1), (2), (3) y (4) 
respectivamente. Usted debe encontrar el valor de A, B y C para cada restricción. 
(1) 3x + 3y + z ≤ 15 
(2) y ≤ 4 
(3) z ≤ 3 
(4) 3x + 3y + 4z ≤ 24 
 
 
 
(b) Realice una eliminación de Gauss-Jordan de manera de llegar al punto (0, 8, 0), el cual 
es no-factible. (Esta pregunta mide qué tan bien usted entiende el Método Simplex, 
como para modificarlo de tal forma de realizar una operación que no está concebida en 
el método original) (7 puntos) 
Para llegar al punto (0,8,0), la variable entrante es y, la saliente es h4 
 
 
(c) ¿Satisface KKT el punto (0, 8, 0)? ¿Es óptimo? Justifique su respuesta (5 puntos) 
(1, 1, 1) = α (-1, 0, 0) + β (0, 0, -1) + χ (3, 3, 4) 
 -α + 3χ = 1 
 3χ = 1 
 -β + 4χ = 1 
 α = 0, χ = 1/3, β = 1/3 
 12 
El vértice sí satisface KKT, ya que los ponderadores son no negativos. Sin embargo no es 
óptimo debido a que se trata de un vértice NO factible. 
 
(d) A partir del tableau no-factible de (0, 8, 0): 
iv) Señale el vector-dirección del borde que va desde (0, 8, 0) a (0, 4, 3) en el espacio x-
y-z. Muestre en el gráfico (2 puntos) 
 
Se trata del borde en que z es variable entrante: (0, -1,33 , 1) 
 
 
v) Exprese dicho vector-dirección en el espacio x-y-z-h1-h2-h3-h4. (1 punto) 
(0, -1.33 , 1, 3, 1.33, -1, 0) 
vi) Si quisiera llegar al punto no-factible (0, 0, 6), ¿cuál sería la variable entrante? 
¿Cuál sería la variable saliente? (1 punto) 
Entrante: z, saliente: y 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
 
(e) El tableau a continuación representa el punto (0, 4, 3) en el dibujo. 
 x y z h1 h2 h3 h4 
 0 0 0 0 0 0,33 -0,33 -7 
 0 0 0 1 0 3 -1 0 
 -1 0 0 0 1 1,33 -0,33 0 
 0 0 1 0 0 1 0 3 
 1 1 0 0 0 -1,33 0,33 4 
 
iv) Determine las componentes de los bordes que están visibles en este vértice y 
muéstrelos en el gráfico. (4 puntos) 
En ese tableau están visibles 3 bordes: 
(a) El que hace crecer x y mantiene h3 y h4 en cero: (1, -1, 0, 0, 1, 0, 0) (flecha 
roja) 
(b) El que hace crecer h3 y mantiene x y h4 en cero: (0, 1.33, -1, -3, -1.33, 1, 0) 
(flecha verde) 
(c) El que hace crecer h4 y mantiene x y h3 en cero: (0, -0.33, 0, 1, 0.33, 0, 1) 
(flecha naranja) 
Debido a que se trata de un punto degenerado (con 5 restricciones activas en 
este caso), hay 5 opciones de holguras para relajar y, por lo tanto, 5 opciones de 
bordes por los cuales moverse. El tableau simplex sólo muestra 3 bordes: 
 14 
 
v) ¿Cuáles de esos bordes son promisorios? (1 punto) 
Sólo el que hace crecer h3 y mantiene x y h4 en cero (borde (b), flecha verde) 
vi) ¿Cuáles de esos bordes son factibles? (2 puntos) 
Sólo bordes (a) y (c): flechas roja y naranja 
 
(f) A partir del tableau anterior realice una eliminación de Gauss-Jordan. 
 
 
 
 
 
 
i) ¿A qué vértice llega después de realizar la eliminación de Gauss-Jordan? Justifique 
su respuesta (1 punto) 
Al mismo vértice anterior: (0, 4, 3). A pesar de haber hecho una eliminación de G-J, 
seguimos estando en el mismo punto debido a que se trata de un vértice degenerado. 
 
ii) En el nuevo tableau, exprese en el espacio x-y-z cuáles bordes están visibles. 
Muestre esos bordes en el gráfico (4 puntos) 
x y z h1 h2 h3 h4 
0,25 0 0 0 -0,25 0 -0,25 -7 
2,25 0 0 1 -2,25 0 -0,25 0 
-0,75 0 0 0 0,75 1 -0,25 0 
0,75 0 1 0 -0,75 0 0,25 3 
0 1 0 0 1 0 0 4 
 15 
En ese tableau están visibles 3 bordes: 
(d) El que hace crecer x y mantiene h2 y h4 en cero: (1, 0, -0.75, -2.25, 0, 0.75, 0) 
(flecha roja) 
(e) El que hace crecer h2 y mantiene x y h4 en cero: (0, -1, 0.75, 2.25, 1, -0.75, 0) 
(flecha verde) 
(f) El que hace crecer h4 y mantiene x y h2 en cero: (0, 0, -0.25, 0.25, 0, 0.25, 1) 
(flecha naranja) 
 
 
iii) ¿Cuáles de esos bordes son promisorios? (1 punto) 
Sólo el que hace crecer x 
iv) ¿Cuáles de esos bordes son factibles? (2 puntos) 
Sólo flecha naranja 
v) ¿Cuáles bordes son comunes con el tableau anterior? (2 puntos) 
Ninguno! 
(g) Considere el siguiente tableau óptimo: 
 16 
 x y z h1 h2 h3 h4 
 0 0 0 -0,11 0 0 -0,22 -7 
 0 0 0 0,33 0 1 -0,33 0 
 -1 0 0 -0,44 1 0 0,11 0 
 0 0 1 -0,33 0 0 0,33 3 
 1 1 0 0,44 0 0 -0,11 4 
iv) ¿Es única la solución óptima? Exprese el conjunto óptimo de puntos en el espacio x-
y-z-h1-h2-h3-h4. (4 puntos) 
No. La solución óptima es una recta……(poner cuál recta) 
v) ¿Cuál es el beneficio marginal de relajar la restricción (4)? Fundamente su respuesta 
(3 puntos) 
Cero. A pesar de que la restricción 4 tiene un costo reducido negativo en el tableau 
óptimo, de trata de una restricción redundante. 
vi) ¿Cuál es el beneficio marginal de relajar la restricción (1) en 1 y simultáneamente 
eliminar las restricciones (3) y (4)? (3 puntos) 
0,11