Examen 2011-1 (Enunciado)

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Escuela de Administración 
 
EAA-251 Métodos de Optimización 
Examen (130 puntos, 120 minutos) 
Profesores: Marcos Singer 
Bárbara Prieto 
Christian Villalobos 
Fecha: 4 de julio de 2011 
Pregunta 1 (40 puntos): 
La cadena hotelera EXPLORANDO acaba de construir un nuevo hotel en un sector de 
creciente interés turístico en el país. 
El nuevo hotel cuenta con 40 habitaciones de 25 metros cuadrados de una, todas con baño 
privado. Estas habitaciones pueden ser equipadas como piezas singles estándar, dobles, 
triples o singles deluxe, tal como se describe a continuación: 
 Habitación single estándar: 1 cama single, LCD 32 pulgadas con TV cable, wi-fi, 
climatización, equipo de música y secador de pelo. 
 Habitación doble: 2 camas single, LCD 32 pulgadas con TV cable, wi-fi, 
climatización, equipo de música y secador de pelo. 
 Habitación triple: 3 camas single, LCD 32 pulgadas con TV cable, wi-fi, 
climatización, equipo de música y secador de pelo. 
 Habitación single deluxe: 1 cama King, LCD 37 pulgadas con TV cable, wi-fi, 
climatización, frigobar, equipo de música y secador de pelo. 
Todas las habitaciones incluyen estacionamiento, servicios a la habitación y desayuno. Para 
las habitaciones estándar (single, doble y triple), se ofrecerá desayuno continental servido en 
la cafetería del hotel. La pieza deluxe incluye un desayuno tipo brunch servido en la propia 
habitación. 
La compañía debe decidir cuántas habitaciones de cada tipo ofrecer, con tal de maximizar su 
nivel de utilidad. Se sabe que una habitación deluxe significa una utilidad diaria de 180 
dólares, en tanto que las habitaciones estándar tienen niveles de utilidad positivos, pero 
menores. La empresa pretende alcanzar un nivel de ocupación de sus habitaciones de un 
100% 
La empresa cuenta con un presupuesto total de 90 mil dólares para equipar las habitaciones. 
Cada tipo de habitación requiere una cierta inversión en equipamiento. 
Con respecto al personal de servicio (recepcionistas, auxiliares, aseadores, nocheros, entre 
otros), el hotel trabaja con sistema de turnos. Cada tipo de habitación requiere una diferente 
cantidad de turnos de servicio para su operación. Una habitación single estándar requiere 1 
turno diario, al igual que una habitación doble. Una habitación deluxe necesita el doble. El 
hotel cuenta, en total, con 52 turnos diarios que pueden ser distribuidos para atender a los 4 
tipos de habitaciones. 
Dada su vasta experiencia en el rubro hotelero, la empresa ha determinado que por cada 
habitación single del tipo deluxe, debe existir al menos 2 habitaciones single estándar. 
Además, los estudios de mercado han concluido que la demanda por habitaciones singles 
(estándar o deluxe) no supera las 30 unidades (esto es, no es posible ocupar más de 30 
habitaciones single a la vez) 
Los siguientes tableaus representan algunos de los vértices asociados al problema recién 
planteado: 
A 
0 100 120 80 0 0 0 0 -100 -3.000 
0 1 1 0 1 0 0 0 -1 10 
0 1,5 2 2 0 1 0 0 -1 60 
0 1 2 1 0 0 1 0 -1 22 
0 0 0 3 0 0 0 1 1 30 
1 0 0 1 0 0 0 0 1 30 
 
B 
0 0 20 80 -100 0 0 0 0 -4.000 
0 1 1 0 1 0 0 0 -1 10 
0 0 0,5 2,0 -1,5 1 0 0 0,5 45 
0 0 1 1 -1 0 1 0 0 12 
0 0 0 3 0 0 0 1 1 30 
1 0 0 1 0 0 0 0 1 30 
 
C 
0 0 20 0 -100 0 0 -26,7 -26,7 -4.800 
0 1 1 0 1 0 0 0 -1 10 
0 0 0,5 0 -1,5 1 0 -0,67 -0,17 25 
0 0 1 0 -1 0 1 -0,33 -0,33 2 
0 0 0 1 0 0 0 0,33 0,33 10 
1 0 0 0 0 0 0 -0,33 0,67 20 
 
D 
0 0 0 0 -80 0 -20 -20 -20 -4.840 
0 1 0 0 2 0 -1 0,33 -0,67 8 
0 0 0 0 -1 1 -0,5 -0,5 0,0 24 
0 0 1 0 -1 0 1 -0,33 -0,33 2 
0 0 0 1 0 0 0 0,33 0,33 10 
1 0 0 0 0 0 0 -0,33 0,67 20 
 
E 
0 -20 0 0 -120 0 0 -26,7 -6,7 -5.000 
0 1 1 0 1 0 0 0 -1 10 
0 -0,5 0 0 -2 1 0 -0,67 0,33 20 
0 -1 0 0 -2 0 1 -0,33 0,67 -8 
0 0 0 1 0 0 0 0,33 0,33 10 
1 0 0 0 0 0 0 -0,33 0,67 20 
A partir del enunciado, responda: 
a) Modele el problema como programa lineal, definiendo claramente variables, función 
objetivo y restricciones. Encuentre el tableau simplex asociado al origen de este 
problema (10 puntos) 
b) Analice el tableau A: 
i. ¿Qué vértice representa? Determine cuáles son las variables básicas y las no 
básicas (3 puntos) 
ii. Suponga que se encuentra en el vértice representado por el tableau A y decide 
equipar una habitación deluxe. ¿Cuánta utilidad adicional ganará con esta 
nueva habitación? ¿Cómo se relaciona su respuesta con lo que dice el 
enunciado: “una habitación deluxe significa una utilidad diaria de 180 
dólares”? Explique y fundamente claramente su respuesta (4 puntos) 
c) ¿Cuál es la solución óptima del problema? Determine cuántas habitaciones de cada 
tipo ofrecerá el hotel y cuál es el nivel de utilidad que puede alcanzar en el óptimo. 
¿Es única esta solución óptima? (3 puntos) 
d) A partir del tableau óptimo, responda: 
i. Determine las restricciones activas y los precios sombras de cada una de ellas. 
(2 puntos) 
ii. Usando el teorema de KKT, demuestre que los precios sombras derivados del 
tableau son los correctos (6 puntos) 
e) Conteste las siguientes preguntas a partir del tableau óptimo y asumiendo que cada 
una de ellas es independiente de la otra. 
i. El directorio de la compañía ha decidido recortar el presupuesto destinado al 
equipamiento del hotel. Específicamente, se ha determinado reducir en un 
20% el presupuesto (que originalmente era de 90 mil dólares). Explique 
claramente cómo afecta esta medida a la solución óptima del problema. ¿Cuál 
es la máxima función objetivo que se puede alcanzar? (4 puntos) 
ii. Una campaña de marketing orientada a ejecutivos extranjeros (que suelen 
viajar solos), permitiría aumentar en un 10% la demanda total por 
habitaciones singles (estándar o deluxe) durante el próximo año. ¿Cómo 
afectaría este incremento en la demanda a la solución óptima del problema?, 
¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por esta campaña? (Hint: asuma que el hotel 
funciona los 365 días del año) (4 puntos) 
iii. Un turno adicional del personal de servicio tiene un costo de 25 dólares. 
¿Cuántos turnos adicionales le conviene contratar, de manera de poder atender 
mejor a sus clientes? Fundamente su respuesta (4 puntos) 
 
 
Pregunta 2 (35 puntos) 
La pregunta a continuación es una adaptación de la que está en la Sección 7.2.2 en el apunte. 
Sin embargo, varios aspectos han sido modificados. 
La producción del fertilizante sulfato de potasio (K2SO4) requiere de un compuesto 
intermedio denominado schoenita, que se obtiene a partir de la cristalización de una 
salmuera. Esta salmuera puede tener distintas cantidades (concentraciones) de cloruro de 
magnesio (MgCl2), cloruro de potasio (K2Cl2) y sulfato de magnesio (MgSO4).
1 La mezcla 
se puede expresar por un vector en el espacio de la ilustración, en que los ejes muestran la 
concentración (en porcentaje) de MgCl2, K2Cl2 y MgSO4. 
Distintas concentraciones cristalizan como diferentes compuestos: 
 La superficie (o fase, que significa “cara”) cuadrangular comprendida entre a, b, c y d 
contiene todas las mezclas de la salmuera que cristalizan como schoenita; 
 La superficie cuadrangular comprendida entre los puntos c, d, e y j contiene todas las 
mezclas que cristalizan como glaserita; 
 La superficie formada por el punto d y combinaciones positivas de los vectores k y h 
contiene todas las mezclas que cristalizan como astracanita. 
Dado que la composición de la materia prima muestra una alta variabilidad, la planta química 
debe controlar la salmuera de manera de mantenerla en el estado que cristaliza como 
schoenita. Para ello utiliza diversas herramientas, como por ejemplo control de temperatura, 
uso de colectores (aditivos) químicos o mezcla con otras salmueras de diferente 
concentración. 
 
Considere los puntos a = (4; 2; 3), b = (4; 3; 2), c = (2; 4; 2), d = (2; 2,5; 3,5), e = (0; 2,5; 
3,5) e i = (2; 2; 2).1 Lo que sigue es versión muy simplificada de la producción de sulfato de potasio que realiza la empresa SQM 
a partir de las salmueras del Salar de Atacama (Singer & Donoso, 2006b). 
3
3
4
4
3
a
K2Cl2
M
g
S
O
4
d
b
c
i
e
k
h
j
2
2
a) (10 ptos.) Demuestre que los puntos a, b, c y d que forman la fase de la schoenita son 
coplanarios (se encuentran sobre un mismo plano). 
b) Muestre la expresión vectorial de los puntos que corresponden a las siguientes acciones. 
 (3 ptos.) Diluir gradualmente la mezcla que está en i con agua pura. 
 (3 ptos.) Aumentar gradualmente la concentración por evaporación de agua, hasta 
duplicarla. 
 (3 ptos.) Diluir gradualmente MgCl2 en i. 
c) Suponga que se concentra gradualmente la mezcla evaporando agua. 
 (3 ptos.) Muestre la expresión vectorial que calcula si la mezcla concentrada 
cristalizará como schoenita al pasar por el plano comprendido entre a, c y d. 
 (3 ptos.) Muestre el sistema de cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas que se debe 
resolver. 
 (5 ptos.) Resuelva el sistema. ¿Cuánto se debe aumentar la concentración de la 
mezcla? 
d) (5 ptos) Suponga que agregar un cierto colector químico hace que la mezcla se “mueva” 
desde i en una dirección j que concentra la mezcla. Muestre la expresión vectorial que 
calcula si la mezcla cristalizará al pasar por el plano entre a, c y d, pero que dicha 
cristalización esté “lejos” del segmento c-d, porque de lo contrario el resultado es muy 
inestable entre schoenita y glaserita. 
Pregunta 3 (25 puntos) 
Considere el siguiente tableau simplex con el respectivo poliedro factible de un problema de 
maximización: 
 
a) Exprese matemáticamente y muestre en el gráfico el punto que representa el tableau. (2 
puntos) 
y
x
3
4
z
3
4 5
4
3
0 -13/5 0 -2 2/5 -12
0 -13/5 1 -2 2/5 0
0 22/15 0 2/3 -1/5 2
1 -2/15 0 -1/3 1/5 2
0
0
1
0
x h1 h3y z h2
Restricción 1
R
estricción 2
R
estricción 3
b) Identifique claramente en el gráfico los bordes que parten del punto actual y exprese 
matemáticamente los vectores bordes asociados a cada uno de ellos. (6 puntos) 
c) Avance por el borde promisorio y encuentre el tableau asociado a un nuevo punto: 
i) ¿Qué holgura es relajada al moverse por dicho borde? (2 puntos) 
ii) Muestre el nuevo tableau y qué punto representa. (4 puntos) 
iii) ¿Qué tamaño tiene el borde por el cual se avanzó? (2 puntos) 
iv) Muestre gráfica y matemáticamente los bordes asociados al nuevo punto. (6 
puntos). 
d) ¿Cuál es la solución óptima de este problema? (3 puntos) 
Pregunta 4 (30 puntos) 
En lo que sigue, se resolverá una modificación del problema del consumidor para funciones 
de utilidad lineales. Considere un consumidor que debe elegir la cantidad a consumir de dos 
bienes, 𝑥1 y 𝑥2, los cuales tienen un precio de compra 𝑝1 y 𝑝2, respectivamente. Estos 
productos ofrecen al consumidor una utilidad unitaria 𝑢1 y 𝑢2, respectivamente, de modo que 
su función de utilidad es lineal. El consumidor debe maximizar su utilidad total, sujeto a una 
restricción presupuestaria que le impide gastar más de 𝐼 pesos, de modo que, bajo los 
supuestos de la Teoría del Consumidor, el problema de optimización que resuelve es: 
𝑃)𝑀𝑎𝑥 𝑈1𝑥1 + 𝑈2𝑥2 
 𝑃1𝑥1 + 𝑃2𝑥2 ≤ 𝐼 
 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
Si denotamos por 𝜆 a la variable dual asociada a la restricción presupuestaria y asumimos 
que todos los parámetros del problema son estrictamente positivos, el valor óptimo de esta 
variable en el problema dual es �̂� = max {
𝑈1
𝑃1
,
𝑈2
𝑃2
}. 
i) Escriba el problema dual asociado al problema del consumidor para funciones de 
utilidad lineales 𝑃). (6 puntos) 
ii) Demuestre que la solución del problema dual es �̂� = max {
𝑈1
𝑃1
,
𝑈2
𝑃2
}. (4 puntos) 
iii) ¿Cuál es la interpretación económica del valor de la variable dual 𝜆 en el óptimo? (4 
puntos) 
iv) En base a la solución del problema dual obtenida en (ii), encuentre la solución óptima 
del problema primal 𝑃). (6 puntos) 
v) En base a su respuesta en (iv), establezca un procedimiento económico para obtener la 
solución óptima del Problema del Consumidor para funciones de utilidad lineales, y 
para CUALQUIER cantidad de bienes que el consumidor evalúe comprar. Es decir, las 
variables serán {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛} (4 puntos) 
vi) Muestre, mediante el Método Simplex, que la solución propuesta en (v) es óptima. Para 
ello, plantee el tableau inicial del problema primal y resuélvalo mediante el Método 
Simplex. (HINT: a partir del tableau inicial, elija como variable entrante a la base, la 
que el procedimiento establecido en (v) tenga valor estrictamente positivo y demuestre 
que el tableau resultante tiene costos reducidos negativos o nulos). (6 puntos)