Método Simplex- Proyecto

Vista previa del material en texto

2
Simulación de Ecuaciones Diferenciales con GeoGebra
Miguel Ángel Estrada Patiño
Juan Esteban Quintana García
Juan Diego Quiroz Henao
Ecuaciones Diferenciales
Rubén Darío Borja Tamayo
Facultad de Ingenieria
Institución Universitaria de Envigado
Envigado
2022
Simulación de Ecuaciones Diferenciales con GeoGebra
Introducción
En este proyecto se tiene como objetivo, presentar el concepto de Ecuaciones Diferenciales (ED) como el sistema de ecuaciones donde se involucran las derivadas de una función desconocida de una o más variables, para describir el comportamiento de diferentes problemáticas o modelos planteados a partir de Ecuaciones Diferenciales; Analizar este comportamiento significa conocer de una manera muy puntual lo que significan las Ecuaciones Diferenciales, para que sirven, porque son importantes, etc.; a su vez se plantean diferentes aplicaciones, explicadas paso a paso para un mayor entendimiento, y con ayuda de la herramienta web como lo es GeoGebra, un software matemático dinámico que permite brindar una experiencia más interactiva y la visualización grafica de las diferentes soluciones a las problemáticas y modelos que conllevan consigo las Ecuaciones Diferenciales.
Planteamiento del problema 
Este proyecto se basa en una herramienta fundamental para la programación lineal, el método simplex; generalmente se utiliza para la solución de problemas en cuanto a maximización y minimización, ya sean de recursos, utilidades, productos, etc., Se debe mencionar que es posible adecuarlo a una aplicación tecnológica como lo es Microsoft Excel (Hoja de Cálculo) mediante la herramienta Solver, que ha se ha convertido necesario en una empresa a la hora de realizar posibles compras, inventarios, evaluar la productividad. en este proyecto se presentará dicho método aplicado en 3 diferentes empresas, las cuales presentan diferentes requisitos, para ello nos fundamentamos en explicar primeramente conceptos básicos de programación lineal y en modelos que nos permiten comenzar a entender esta herramienta.
¿Como resolver problemáticas mediante las Ecuaciones Diferenciales, brindando una solución interactiva?
Simulación de Ecuaciones Diferenciales con GeoGebra	1
Introducción	2
Planteamiento del problema	2
Marco Conceptual – Teórico	3
Aplicaciones	8
Referencias	28
Marco Conceptual – Teórico 
Que son ecuaciones diferenciales, Que es GeoGebra, Que son Ecuaciones diferenciales ordinarias de Segundo orden y Que es el método de Euler
Al pasar de los años, el método simplex ha ido evolucionando o encontrando modelos de adaptación, pero este Método Simplex o Algoritmo Simplex como fue denominado en su época, fue creado en 1947 por George Dantzig y se le conoce como un método analítico dedicado a solucionar los problemas que tengan lugar dentro de la programación lineal y cuenta con la habilidad de resolver los modelos más complicados a través del método gráfico. Dantzig da a conocer las 3 circunstancias que lo llevaron a proponer el primer método eficiente para la resolución de problemas, en este caso, de programación lineal. 
Por otro lado, el modelo de Wassily Leontief influyó mucho en el Método Simplex planteado por Dantzig. El modelo intersectorial de Leontief, fue inspirado en el equilibrio de la utilización de materiales utilizados por los planificadores soviéticos, el cual se describirá a continuación. Supongamos que dividimos la economía de un país en n sectores distintos, cada uno de estos sectores produce solo una clase de bien mediante la transformación de bienes producidos por los demás sectores. Supongamos además que el i-ésimo sector es el extractor de carbón y que el j-ésimo es el productor de hierro. Denotamos por el número de toneladas de carbón que se requieren para producir una tonelada métrica (Tm) de hierro. Si es la producción total de hierro durante el último año, , expresará el número de Tm de carbón consumidas por el sector del hierro (input), y el consumo total de carbón por el conjunto de los sectores productivos será . La diferencia entre la producción total de carbón (output de ese sector), , y el carbón utilizado en la producción de otros bienes es la suma del carbón de uso doméstico, del consumido por la administración, etc. Esta suma se llama demanda final de carbón, denotada por . Así el balance material del ejercicio es 
Si se desea que el próximo año las demandas finales sean en lugar de , suponiéndose inalterados los valores , llamados los coeficientes tecnológicos (más adelante se hablará sobre ellos), habrá que resolver el sistema de ecuaciones e inecuaciones denotados por 
Un resultado de la matemática económica (Teorema de Hawkins-Simon) establece que este sistema tiene exactamente una solución . Procede en particular extraer Tm de carbón el año próximo.
Es importante traer a coalición el tema de Programación Lineal, por lo tanto, conocer un poco más de éste; el primer problema de Programación Lineal fue propuesto por J. Fourier y consistía en un sistema de inecuaciones, a través de una eliminación sucesiva de variables extendiendo el método de reducción Gauss. Un problema que pretendía minimizar la función ; f no era diferenciable lo que hacía imposible la solución analítica del problema, lo reformulo y obtuvo
; debido a que la i-enésima restricción se puede reemplazar por dos lineales. El belga De la Vallé Poussin fue el primero en resolverlo mediante una particular versión del método simplex, iniciando estados particulares de la programación lineal en EE. UU. y URSS con la recuperación de Wall Street y la economía del nuevo estado soviético, respectivamente. (Chávez, s.f.).
Con el avance tecnológico que ha impactado a el modo de vida desde diferentes aspectos como el de la educación, es común encontrar una serie de algoritmos dedicados a implementar la eficacia e incentivar la rapidez en los procesos de producción de las empresas. De este modo, es posible optimizar o agilizar los procedimientos relacionados con los inventarios, estructuras de costos y más, realzando la calidad de los procesos de la compañía y posicionarla en el mercado. A pesar de ser un método que cuenta con un procedimiento algebraico, los conceptos de simplex originalmente son geométricos, por lo tanto, al comprender las definiciones geométricas que nos brinda, se puede generar una acertada intuición de la manera en que este método trabaja tan eficientemente. La implementación de un procedimiento interactivo es la clave; es decir, se aplica de manera sucesiva la misma rutina de cálculo, lo que genera por resultado una amplia variedad de soluciones sucesivas, esto hasta que se encuentre el mejor resultado. De hecho, una característica elemental de simplex es que el último resultado obtenido genera una aportación tan grande que permite dar seguridad a las compañías de que han obtenido una respuesta óptima.
En el método Simplex, la teoría de matrices es de relevancia, ya que el algoritmo se basa en dicha teoría para la resolución de sus problemas. Debido a esto, una matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos, pueden ser números reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de columnas. La matriz identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo número tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno y todos los demás componentes iguales a cero.
Algo trascendental para este proyecto es determinar la importancia que tiene el método simplex en la programación lineal, y esto es que facilita encontrar de manera óptima para una solución. Tiene una gran ventaja práctica y sencilla, pues solo se trabaja con los coeficientes respecto a las restricciones y su función objetivo. Se aplica para encontrar la mejor solución mediante procedimientos iterativos, donde se van desechando posibles soluciones o resultados no viables, y se determina si el resultado es óptimo o no.
Además, cabe mencionar que es de gran importancia en el sector empresarial, debido a que sirve de herramienta para obtener soluciones relacionadascon pérdidas, inventario y ganancias. Gracias a este se puede visualizar cuánto se debe comprar, producir y vender, según sea el caso. Con la finalidad de que la organización obtenga suficientes ganancias que le permitan posicionarse y competir en el mercado. (SUPER USER, 2020)
Para ahondar más sobre el método simplex, se hablará de la variable de hoguera y exceso, que se utilizan para convertir inecuaciones en ecuaciones debido a que trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal y allí no lo son ecuaciones, adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex. Estas variables suelen estar representadas por la letra S, se suman si la restricción es de signo y se restan si la restricción es de signo .
Un truco matemático que también permite el desarrollo del método simplex es el método de la M, también sirve para convertir inecuaciones en ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, estas variables no deben formar parte de la solución. Su objetivo fundamental es la formación de la matriz identidad.
Estas variables se representan por la letra A, siempre se suman a las restricciones, su coeficiente es M, y el signo en la función objetivo va en contra del sentido de esta, en problemas de Maximización su signo es y en problemas de Minimización su signo es , para que su valor en la solución sea cero . (Lopez, 2019)
A continuación, se presentan las etapas para realizar una correcta solución de un problema mediante el método simplex:
Primeramente, se plantea el problema para identificar las variables y una definición de lo que sería la función del objetivo y sistema, se define una variable de entrada al aplicar la condición de factibilidad, luego, es seleccionada una variable de salida para emplear la condición de factibilidad
Luego se convergen desigualdades para crear igualdades, igualamos a 0 la función objetivo. Posteriormente a esto se modela una tabla inicial simplex agregando las variables del problema en las columnas. Por otra parte, en una de las filas se agrega cada uno de los grupos de coeficientes con su restricción y en la otra, se añaden los coeficientes de la función objetivo
Por último, se determinan los coeficientes y variables; seguidamente establecen nuevas soluciones básicas y posibles aplicando los cálculos adecuados.
Aplicaciones 
Con lo anterior, se desprende que el método simplex cuenta con infinidad de aplicaciones en Matemáticas, Geometría y Programación Lineal, entre todas estas se presentan 3 problemas de aplicación que permiten entender más claramente el álgebra lineal visto desde diferentes perspectivas, utilizando el método simplex; problemas asociados a la maximización y minimización.
En el primer problema de aplicación se tiene a una empresa dedicada a la mueblería y que va a introducir una línea para jardín, la cual consta de sillas, mecedoras y sillones. Cada producto requiere los siguientes materiales madera, plástico y aluminio para su fabricación, en la siguiente tabla se especifica la cantidad. 
	 
	Madera 
	Plástico 
	Aluminio 
	Sillas
	1 unidad
	1 unidad
	2 unidades
	Mecedoras 
	1 unidad
	1 unidad
	3 unidades
	Sillones 
	1 unidad
	2 unidades
	5 unidades
Fig 1. #. Tabla representativa de cantidad de materiales.
Se dispone de 400 unidades de madera, 500 de plástico y 1,450 de aluminio para iniciar la producción. Se considera que puede vender cada silla en 21 dólares, cada mecedora en $24 y cada sillón en $36 y que puede colocar en el mercado toda su producción. Determinar los niveles de producción por cada uno de los productos que generen la mayor utilidad posible. 
El problema se modela como uno de programación lineal
De este modo, la utilidad registrada por la venta de todos los productos es: 
Entonces, el problema es elegir a, b, c para que se maximice el valor de U que está sujeto a restricciones de inventario de materias primas: 
unidades de madera requeridas
unidades de plástico requeridas
unidades de aluminio requeridas
Para iniciar convertimos el PPL a la forma estándar del problema: 
Maximizar 
sujeta a:
Se usa las variables de holgura , y para convertir las restricciones de desigualdades a ecuaciones: 
Maximizar 
sujeta a 
La tabla simplex en la primera iteración se compone de los coeficientes del sistema usando un renglón por cada restricción, y el renglón de la utilidad al principio o al final. La solución básica factible (SBF) inicial es , así que las variables básicas son . 
Fig 1.2. #. Tabla representativa primera iteración.
Se usa el coeficiente 2 como pivote, el resto de los coeficientes de esta columna se eliminan por el método de reducción de Gauss-Jordan, para obtener la segunda iteración: 
Fig 1.3. #. Tabla representativa segunda iteración.
Para obtener la tercera iteración tomamos el y eliminamos los coeficientes de esta columna mediante Gauss-Jordan: 
Fig 1.4. #. Tabla resultante.
La solución básica factible es óptima, debido a que el renglón U no hay coeficientes negativos. Esto es, el valor máximo de U es cuando y = ( son variables no básicas). Por tanto, lo óptimo para la empresa es no producir ninguna silla y dedicarse, en cambio, a fabricar 300 mecedoras y 100 sillones. Esto generará la mayor utilidad posible de $10,800. Nota: se tendrá un excedente de 100 unidades de aluminio con esta combinación (Online, 2018)
La segunda aplicación se basa en una señora que elabora Hallacas durante todo el año, en diciembre del año 2017 dispone de Bs 5.000.000 para ser invertidos en la elaboración de hallacas, el costo para rellenar cada hallaca es el siguiente:
	Tipo de Relleno
	Costo del Relleno por Unidad
	Guiso Tradicional
	10.000 Bs
	Cerdo
	6.000 Bs
	Caraotas
	7.000 Bs
Fig 2. #. Tabla costos de relleno.
Los costos que presentan la elaboración de hallacas son: las hojas de plátano para envolverlas son de 1.000 Bs por cada hallaca, el de la harina y los otros ingredientes es de 8.000 Bs por hallaca, el del pabilo gastado para amarrar una hallaca es de 500 Bs. La comunidad solicita a la señora que elabore como máximo 120 hallacas que no sean de guiso tradicional, adicionalmente como medida para controlar el colesterol, se le ha pedido a la señora que el número de hallacas de guiso tradicional más el doble de hallacas de cerdo sea a lo sumo 200, si cada hallaca se vende en 25.000 Bs. Determinar los niveles de producción de hallacas que maximizan las ganancias de la señora cumpliendo con su presupuesto y las restricciones impuestas por la comunidad.
Se elabora la siguiente tabla refleja el costo para elaborar cada hallaca (se calcula mediante sumar el costo de todos los ingredientes) y la ganancia obtenida
	Tipo de Hallaca
	Costo por Unidad
	Ganancia por Unidad
	Guiso Tradicional
	19.500 Bs
	5.500 Bs
	Cerdo
	15.500 Bs
	9.500 Bs
	Caraotas
	16.500 Bs
	8.500 Bs
Fig 2.1. #. Tabla de costos y ganancias.
Las variables de decisión son el número de hallacas de cada tipo que se desea producir para guiso tradicional, cerdo, y caraotas. 
La función objetivo representa la medida de efectividad del sistema, es decir, se quiere maximizar la ganancia entonces la función objetivo queda dada por:
Las restricciones del sistema expresan cantidades de recursos limitados o requerimientos que se deben satisfacer. La primera restricción va relacionada con el presupuesto se dispone de un máximo de Bs 5.000.000 invertido entre todas las hallacas
La otra restricción es la solicitud de máximo solo 120 hallacas sean diferentes al guiso tradicional, es decir, la suma del número de hallacas de cerdo y caraotas debe ser como máximo 120
Para controlar el colesterol de la población, se pide que el número de hallacas de guiso tradicional más el doble de hallacas de cerdo sea a lo sumen 200
El sistema estaría dado por:
Maximizar 
sujeta a: 
Al final se incluye la restricción de no negatividad debido a que los valores de las variables de decisión no pueden ser negativos, seguidamentese introducen las variables de holgura:
Maximizar 
sujeta a:
Al tabular las variables de holgura deben tomar valores mayores o iguales a cero
Fig 2.2. #. Tabulación inicial del sistema.
Se resuelve aplicando operaciones similares a las transformaciones algebraicas de Gauss-Jordan, se debe determinar una variable entrante y una variable básica saliente en cada iteración
A) La variable de entrada es la variable no básica con el coeficiente más negativo en la fila Z, el óptimo se alcanza en la iteración en las cual los coeficientes en la fila Z son positivos 
B) La variable de salida es la variable básica asociada con la relación mínima no negativa con el denominador estrictamente positivo.
Fig 2.3. #. Tabla de iteración cero .
El coeficiente negativo con mayor valor absoluto es -9.500 por lo tanto la variable de entrada es , calculando las relaciones entre la columna b y la fila seleccionada se obtiene
Así, el Valor Básico de Salida (VBS) es , luego de esto se aplican operaciones de fila de forma tal que la en la columna seleccionada todos los elementos sean igual a 0 a excepción del elemento pivote en la intersección entre la fila y la columna seleccionada. Se divide la fila 4 entre 2 y se aplican las operaciones de fila obteniendo la siguiente tabla para la iteración
Fig 2.4. #. Tabla de iteración uno .
Se procede a iterar nuevamente utilizando los mismos criterios, 
Fig 2.5. #. Tabla de iteración dos.
, la fila pivote se divide entre 20.000
Fig 2.6. #. Tabla de iteración tres.
Como todos los valores en la fila Z son positivos, la solución obtenida es óptima, es decir, los valores que maximizan la función objetivo son los siguientes:
Esto significa para la señora que para maximizar sus ganancias debe preparar 156 hallacas de guiso tradicional, 22 de cerdo y 98 de caraotas, obteniendo una ganancia total de Bs. 1.900.000, es decir, un 38% de su inversión original. (ydavgonzalez, 2017)
Una aplicación del método simplex en minimización está dada por:
Minimizar la función objetivo 
Sujeto a:
Se suman las variables de holgura para pasar las inecuaciones a ecuaciones
Igualamos la función objetivo a cero: 
Seguidamente para identificar las variables básicas, igualamos las inecuaciones a 0
Las variables no básicas son las que nos quedan 
Al tabular estas ecuaciones tenemos que:
	
	Z
	
	
	
	
	
	
	Solución
	Z
	1
	-2
	-3
	-1
	0
	0
	0
	0
	
	0
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	6
	
	0
	1
	0
	-1
	0
	1
	0
	-4
	
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	5
Fig 3. #. Tabulación minimización.
Escogemos el menor valor negativo en este caso la columna de y dividimos con la columna de solución, la columna de solución nos quedaría
	
	Z
	
	
	
	
	
	
	Solución
	Z
	1
	-2
	-3
	-1
	0
	0
	0
	0
	
	0
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	6
	
	0
	1
	0
	-1
	0
	1
	0
	-4
	
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	5
Fig 3.1. #. Intercambio minimización.
En esta iteración intercambiamos que entra y que sale
 Debemos convertir los valores por encima del 1 pivote en ceros, así que aplicamos operaciones de matrices por reducción Gauss-Jordan
Se suman las filas resaltadas para eliminar el -1 encima del 1 pivote
	
	Z
	
	
	
	
	
	
	Solución
	Z
	1
	-2
	-3
	-1
	0
	0
	0
	0
	
	0
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	6
	
	0
	1
	0
	-1
	0
	1
	0
	-4
	
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	5
Fig 3.2. #. Primera iteración minimización.
Para eliminar el 1 de la columna de restamos las filas 2 y 4
	
	Z
	
	
	
	
	
	
	Solución
	Z
	1
	-2
	-3
	-1
	0
	0
	0
	0
	
	0
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	6
	
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	1
	1
	
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	5
Fig 3.3. #. Segunda iteración minimización.
Para eliminar el -1 de la columna de restamos las filas 1 y 4
	
	Z
	
	
	
	
	
	
	Solución
	Z
	1
	-2
	-3
	-1
	0
	0
	0
	0
	
	0
	-1
	0
	0
	-1
	0
	-1
	1
	
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	1
	1
	
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	5
Fig 3.4. #. Tercera iteración minimización.
La tabla resultante nos daría el óptimo de minimización
	
	Z
	
	
	
	
	
	
	Solución
	Z
	1
	-2
	-2
	0
	0
	0
	1
	5
	
	0
	-1
	0
	0
	-1
	0
	-1
	1
	
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	1
	1
	
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	1
	5
Fig 3.5. #. Tabla resultante minimización.
La solución del problema está dada por , y las demás condiciones estarían igualadas a cero , 
Por último, se aplica el método simplex para un modelo en la producción de leche y sus derivados. Para la realización de éste, se requiere dividir mediante grupos teniendo así que la progresión del ganado vacuno a través de los primeros dos grupos requiere de un año, mientras la progresión de los grupos productores de leche del 3 hacia el grupo 4, toma un año más.
Con lo anterior, se genera el subsistema de ganado en donde la progresión de ganado vacuno a través del tiempo, las relaciones del número de vacas productoras de leche (Grupo 4) al ganado de otros grupos contribuyen al número y tipo de ganado conservado y/o vendido durante cada periodo de tiempo. 
Fig 4. #. Representación gráfica del subsistema de ganado.
Siendo así las variables de la Fig. #: 
: El número de vaquillas nacidas del grupo 1. 
: El número de toros nacidos del grupo 1. 
: El número de vaquillas vendidas en el nacimiento. 
: El número de vaquillas no vendidas en el nacimiento. 
: El número de toros no vendidos en el nacimiento. 
: El número de toros vendidos en el nacimiento. 
: El número de vaquillas del grupo 2. 
: El número de toros del grupo 2. 
: El número de vaquillas vendidas del grupo 3. 
: El número de vaquillas no vendidas del grupo 3. 
: El número de toros del grupo 3.
: El tamaño del rebaño de ganado del grupo 4 (es decir, el tamaño de producción de leche).
Las relaciones entre estas variables son dependientes del periodo tiempo (), bajo consideración. Durante cada periodo de tiempo (año), cada productora de leche (ganado del grupo 4) tiene terneros y aproximadamente la mitad de todos los terneros serán toros y la otra mitad vaquillas. Consecuentemente, las siguientes relaciones son verdaderas para cada periodo :
Las crías no serán vendidas mientras estén en edad del grupo 2. Tener presente que la progresión del grupo 1 al grupo 2 es hecha en el mismo año. Por lo tanto, para cada 𝑡, tenemos las siguientes ecuaciones:
El ganado del grupo 2 se mudará en ganado del grupo 3 en el próximo periodo de tiempo, puesto que todos los toros de esta edad deberán ser vendidos, para cada tenemos las siguientes igualdades:
Finalmente, el ganado del grupo 4 sufre aproximadamente una tasa de mortalidad del 30% cada año, pero al mismo tiempo la población del grupo 4 es aumentada por la infusión de vaquillas del grupo 3 del periodo anterior que se conservaron. Lo anterior se expresa:
Las ecuaciones del (1) al (7), involucran todas las relaciones necesarias para describir el subsistema ganado del rebaño con la excepción de algunas condiciones iniciales indicando el número de ganado que existe actualmente dentro de cada grupo. Ahora describiremos el subsistema cosecha juntamente con las interacciones cosecha – ganado.
Fig 4.1. #. Representación conceptual del rebaño.
 En esta línea de sentido, el subsistema de cosecha tmabién se puede representar por una serie de ecuaciones, cada una de ellas igualando a la cantidad de un cierto cultivo de la cosecha durante un periodo de tiempo particular más la cantidad disponible en el granero. Como se exhibe en la Figura #balance de materia
Fig 4.2. #. Esquemas de ecuaciones de balance de materia para el subsistema de cosecha.
Además de las ecuaciones de balance de materia, es preciso incorporar las relaciones que describen las limitaciones que existen de la cantidad de cada cosecha que puede ser almacenado debido a la capacidad granero.
Sea la variable, bajo el control del dueño, definidas como sigue: 
: El número de hectáreas dedicadas para producir ensilaje en el año . 
: El número de hectáreas dedicadas para producir forraje de avena en el año. 
: El número de hectáreas dedicadas para producir heno viejo en el año . 
: El número de hectáreas dedicadas para producir heno en el año . 
: El número de quintales de semilla de avena comprada en el año . 
: El número de pacas de heno compradas en el año . 
: El número de toneladas de ensilaje en almacenamientoal final del año . 
: El número de toneladas de heno viejo en almacenamiento al final del año . 
: El número de toneladas de heno en almacenamiento al final del año . 
 : El total de consumo de cultivo en año para todos los grupos de ganado, .
Los son variables las cuales relacionan las variables del subsistema ganado a las variables subsistema cosecha.
Entonces la ecuación que describe el balance de materia para ensilaje está dada por:
Donde: 
El coeficiente indica que cada hectárea produce 15 toneladas de ensilaje, la cantidad representa el consumo anual de ensilaje por los diversos grupos de ganado y los coeficientes en (9) representan el consumo por ganado de ensilaje en toneladas por cada grupo del rebaño, menos el ganado del grupo 1 que no consume ensilaje. El límite de almacenamiento para el ensilaje es igual a la capacidad del silo, la cual es de 56 toneladas.
Del mismo modo podemos definir las restricciones de otras cosechas como se muestran a continuación:
Para Avena: 
Donde:
 
Para Heno Viejo: 
Para Heno:
Además de las relaciones anteriores, ciertas condiciones de operaciones debieron ser satisfechas. En particular fue necesario para la granja cultivar continuamente en todas las 95 hectáreas disponibles para el cultivo, dado que cualquier tierra para cultivar no usada durante un año se convierte en inservible para cultivar por un cierto tiempo después de eso. Como una alternativa para extender la capacidad de cultivo, el dueño puede decidir rentar hasta 16 hectáreas en cualquier instante en el tiempo. Por lo tanto, su capacidad disponible incluyendo las restricciones de su uso continuo por 95 hectáreas, puede ser expresada por:
 
Donde representa el número de hectáreas no rentadas en el periodo (note que cuando las todas las 16 hectáreas son rentadas, mientras que si ninguno se renta ). Finalmente, como una condición operacional, el propietario desea dedicar por lo menos 44 hectáreas para el cultivo de beta (ambos; heno y heno viejo son cosechas debeta), esta condición nos da: 
Todas estas variables, desde (1) hasta (22) componen la operación factible para la granja lechera de la hacienda. Con esto se plantea la maximización de las ganancias resultantes y la utilidad por año , esta dada entonces por la suma de los productos de las variables de tiempo por sus correspondientes costos e ingresos apropiados:
Cabe resaltar que la ganancia es la diferencia entre la suma de ingresos y la suma de todos los costos asociados a las variables de decisión. Los valores obtenidos son ficticios, en el cuál estarían los gastos de la granja, los costos de cosechas, dividiendo por el costo por el tonelaje o pacas producidas por una hectárea. (Coaquira, 2017)
 FIGURA 12
:
 Cuadro de resultado
El resultado se obtuvo mediante una hoja de cálculo de Excel por medio de la herramienta Solver:
Fig 4.3. #. Resultado Hoja de Cálculo de Excel.
Referencias
Chávez, R. A. (s.f.). repobib. Obtenido de http://repobib.ubiobio.cl/jspui/bitstream/123456789/282/3/Chavez_Abello_Rodrigo.pdf
Coaquira, L. M. (2017). Library. Obtenido de https://1library.co/document/z1d9p6ez-aplicacion-metodo-simplex-produccion-derivados-pequenos-medianos-productores.html
Lopez, B. S. (11 de 06 de 2019). INGENIERIA INDUSTRIAL ONLINE.COM. Obtenido de https://www.ingenieriaindustrialonline.com/investigacion-de-operaciones/metodo-simplex/
Online, U. (2018). ULA-Online. Obtenido de PMI402_S4_E_Ejem_met_Sim.pdf (ula.edu.mx)
SUPER USER. (20 de 12 de 2020). Blog Aner. Obtenido de https://www.aner.com/blog/metodo-simplex.html
Velazquez, H. (2016). Youtube. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=cPGqr4jhnYc&t=4s
ydavgonzalez. (2017). steemit. Obtenido de stem-español: https://steemit.com/stem-espanol/@ydavgonzalez/aplicacion-del-metodo-simplex-a-un-problema-de-maximizacion-de-ganancias-fundamentado-en-los-topicos-de-algebra-lineal