Ayudantía 1 EAE210b

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EAE 210B, Primer Semestre 2020
Ayudant́ıa 1
Pregunta 1
Considere la siguiente función f :
f(x1, x2) = 100� (x1 � 10)2 � (x2 � 5)2
Analizando la función, responda las siguientes preguntas:
(a) ¿Puede f tomar valores negativos? ¿valores mayores que 100? Si quisiera maxi-
mizar f , ¿cómo seŕıa (x⇤1, x
⇤
2)?
(b) Indique cómo cambiaŕıa su respuesta anterior bajo las siguientes restricciones:
i. x1  20
ii. x1 = 20
iii. x1 = 5
iv. x1 + x2 = 10
(c) Verifique si los puntos que usted identifica como máximo satisfacen las condiciones
necesarias para un óptimo usando método de KKT o Lagrange, y encuentre e
interprete el valor de �⇤ en los cada caso.
Pregunta 2
Considere una matriz cuadrada An⇥n:
• Un menor principal de orden k es el determinante de la matriz que se forma al
eliminar las mismas (n� k) filas y columnas de A.
• Un menor principal ĺıder de orden k es el determinante de la matriz que se
forma al eliminar las últimas (n� k) filas y columnas de A.
• A es semi-definida negativa si (�1)kMk � 0 para todo Mk con k = 1, ..., n,
donde Mk es un menor principal de orden k.
• A es definida negativa si (�1)kDk > 0 para k = 1, ..., n, donde Dk es el menor
principal ĺıder de orden k.
Sea f una función doblemente diferenciable; decimos que f es cóncava si la matriz
Hf de segundas derivadas es semi-definida negativa al evaluarla en cualquier punto x
de su dominio (y convexa si es semi-definida positiva).
Considere una función de utilidad Cobb-Douglas u(x, y) = x↵y�, con ↵ y � parámetros
positivos.
(a) Indique bajo qué condiciones la función es cóncava. Considere en particular los
casos con ↵ = � = 0.5 y con ↵ = � = 2 en su análisis.
(b) Indique bajo qué condiciones la función es cuasi cóncava. Considere en particular
el caso con ↵ = � = 2 en su análisis. Discuta a qué se debe su resultado.
1
Pregunta 3
A Julio le gusta comer chocolate (C) y frutas (F). Su función de utilidad es: U(C, F ) =p
C ⇤
p
F
(a) Encuentre las funciones de demanda por chocolate y por frutas de Julio en
términos de su ingreso y el precio de los bienes.
(b) Los papás de Julio le dan 10.000 cada semana para comprar estos dos bienes, y el
precio del chocolates es de 1.000 y el de la fruta 2.000. ¿Cuál es la canasta óptima
de Julio?
(c) Los papás de Julio están preocupados porque creen que él no come suficiente fruta.
Por ello, deciden darle 2 unidades de fruta cada semana además del dinero que está
recibiendo hasta ahora. Muestre gráficamente el nuevo conjunto de posibilidades
de consumo de Julio, analizando cómo cambia dependiendo de si la fruta se puede
revender o no.
(d) ¿Cuál será la nueva canasta óptima de Julio en este caso? Use el método de
Kuhn-Tucker para encontrar cómo la demanda por chocolate y fruta responde al
regalo en general. Suponga que el regalo no se puede revender.
(e) Junio, el hermano mayor de Julio, dice a sus padres que esta estrategia no funciona
y que simplemente podŕıan dar a Julio 4.000 cada semana y que eso tendŕıa el
mismo efecto. ¿Está de acuerdo? ¿Cambiaŕıa tu respuesta si los precios de las
frutas y los chocolates fueran distintos?
2
PROBLEMA 1 VÍCTOR NADEAU BENJAMIN VILLALOBOS
FCK Xa WO X voy a_ ja g a
BUlUAwBos uc.d
a si puede tomar valores negativos
No puedetomar valores mayores a wo
Máx Iuris
b i X aro ii Xr su iii Xis
e Xr Xa
s si sí
I s l s l l ste
vo zo to zo 5 W
NO INFLUYE ÓPTIMO ras Óptimo 5,5
ÓPTIMO 110.5
iv Xr TX LO
Nsw Xa
Loo lla Xa nde Hz 5
a
wo Xia X tw Xa 25 9 Xr 7,5
CASO 1
µ
75 2 5 tw xa 4 2 tw O Xa 2,5
c Ls wo la lof Ita 5 a 1120 XD
Xi 21 w X O X ya que lo
21 2 5 0 restricción no es
activa
HACERCASO 43 t
Li wo µ usa Xa s t tho Xr Xa
Xi 21 1 6 X so
ta 2112 5 1 0
W Xr Xa O
PREGUNTA 2
www.xa.uiq.lu II yy 70
1
U K r Ya 2 yo
Uyy x p ya 1 yB
1 K D X yo x p ya
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H x p ya yr p pu yayoa
Uy a p Xa
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Uyy B p 1 ya Y
2
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µ Uu Uu Uu Uy a n so
lá x pi p snapa yaa yama zo
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70 x p 1 2
lá x pi B x pa
x esa nosepueoettt.tt
jiiIoV
Una punción es cuasicóncava si se puede escribir como una trans
monótona creciente de una función cóncava
b f ya ti yak
PROBLEMA 3
UCC f E t sa m c pctf.fr
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