Ayudantia 5 EAE210b

Vista previa del material en texto

A�������� �
M������������ I
C������� ��� D������� (�������������@��.��)
P��������� U���������� C������� �� C����
I�������� �� E�������
�� �� ����� ����
 
E�������� �
E�������� �
Un individuo debe elegir entre dos carreras universitarias,A yB. La carreraA lo con-
duce a un trabajo estable, en que ganaría $125 con certeza. La carrera B, en cambio,
a uno riesgoso, en que con probabilidad 0.7 ganaría $225, y con probabilidad 0.3 ga-
naría a $25. El costo de ambas carreras es el mismo, pero el individuo no cuenta con
recursos, por lo que debe pedir un préstamo para �nanciarlo. Su función Bernoulli
es u (c) = 100pc, donde c corresponde al ingreso disponible para el consumo al
momento de egresar (es decir, el sueldo menos el pago por el crédito).
(a) Suponga que el monto que debe pagar por el préstamo al egresar es $25. ¿Cuál
de las dos carreras escoge? Muestre la situación en un grá�co.
(b) Suponga en cambio que ahora se establece un sistema de crédito universitario,
bajo el cual la cuota a pagar es un 20% del sueldo al egresar (es decir, en vez
de pagar $25 �jo por el crédito, paga el 20% de su ingreso). ¿Cambia su
decisión? Gra�que y explique la intuición de su resultado.
� ��
A 125 B 0,7
225
0,3 25
4 014 60 CF ELULBD.at WOW 0,3 look
C ULA Fo Woo Eluts 990,95
ELIGE A
b 014 60 CF EN 0,7 wo.to t0is.wuFsF8ElUlAf W0 Foo Lao 1073,31
(a) Suponga que el monto que debe pagar por el préstamo al egresar es $25. ¿Cuál
de las dos carreras escoge? Muestre la situación en un grá�co.
Respuesta: Del enunciado tenemos . . .
Carrera A: $125 con certeza.
Carrera B: $225 con probabilidad 0.7 y $25 con probabilidad 0.3.
costo A � costo B ) debe pedir crédito para cualquiera de las dos.
f. de Bernoulli: u(c) = 100pc donde c � sueldo - crédito al egresar
En este primer caso el valor del crédito al egresar es $25.
Construimos entonces la función de utilidad esperada.
� ��
A 125 I n
225 Ti 0,7 Bas25 Ti 0,3 Ukswo.EEUlH lTn.UCr k tiTa.u ca k es 25
A 1 no EI WOO
B 10,7 WO FI 0,3 no 989,95 990
ESCOGE LACARRERA A
(a) Suponga que el monto que debe pagar por el préstamo al egresar es $25. ¿Cuál
de las dos carreras escoge? Muestre la situación en un grá�co.
Respuesta: Del enunciado tenemos . . .
Carrera A: $125 con certeza.
Carrera B: $225 con probabilidad 0.7 y $25 con probabilidad 0.3.
costo A � costo B ) debe pedir crédito para cualquiera de las dos.
f. de Bernoulli: u(c) = 100pc donde c � sueldo - crédito al egresar
En este primer caso el valor del crédito al egresar es $25.
Construimos entonces la función de utilidad esperada.
� ��
(a) Suponga que el monto que debe pagar por el préstamo al egresar es $25. ¿Cuál
de las dos carreras escoge? Muestre la situación en un grá�co.
Respuesta: Del enunciado tenemos . . .
Carrera A: $125 con certeza.
Carrera B: $225 con probabilidad 0.7 y $25 con probabilidad 0.3.
costo A � costo B ) debe pedir crédito para cualquiera de las dos.
f. de Bernoulli: u(c) = 100pc donde c � sueldo - crédito al egresar
En este primer caso el valor del crédito al egresar es $25.
Construimos entonces la función de utilidad esperada.
� ��
(a) Suponga que el monto que debe pagar por el préstamo al egresar es $25. ¿Cuál
de las dos carreras escoge? Muestre la situación en un grá�co.
Respuesta: Del enunciado tenemos . . .
Carrera A: $125 con certeza.
Carrera B: $225 con probabilidad 0.7 y $25 con probabilidad 0.3.
costo A � costo B ) debe pedir crédito para cualquiera de las dos.
f. de Bernoulli: u(c) = 100pc donde c � sueldo - crédito al egresar
En este primer caso el valor del crédito al egresar es $25.
Construimos entonces la función de utilidad esperada.
� ��
Construimos entonces la función de utilidad esperada:
Sea k la carrera, y E
�
U(k)
�
la utilidad esperada de estudiar la carrera k.
Denotemos dos estados de la naturaleza como e1 y e2, cada uno con una
probabilidad de ocurrencia de ⇡1 y ⇡2 respectivamente. Luego:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Donde c1,k y c2,k representan el ingreso de la persona en el estado 1 y 2
respectivamente, habiendo estudiado la carrera k.
� ��
Construimos entonces la función de utilidad esperada:
Sea k la carrera, y E
�
U(k)
�
la utilidad esperada de estudiar la carrera k.
Denotemos dos estados de la naturaleza como e1 y e2, cada uno con una
probabilidad de ocurrencia de ⇡1 y ⇡2 respectivamente. Luego:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Donde c1,k y c2,k representan el ingreso de la persona en el estado 1 y 2
respectivamente, habiendo estudiado la carrera k.
� ��
Construimos entonces la función de utilidad esperada:
Sea k la carrera, y E
�
U(k)
�
la utilidad esperada de estudiar la carrera k.
Denotemos dos estados de la naturaleza como e1 y e2, cada uno con una
probabilidad de ocurrencia de ⇡1 y ⇡2 respectivamente. Luego:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Donde c1,k y c2,k representan el ingreso de la persona en el estado 1 y 2
respectivamente, habiendo estudiado la carrera k.
� ��
Construimos entonces la función de utilidad esperada:
Sea k la carrera, y E
�
U(k)
�
la utilidad esperada de estudiar la carrera k.
Denotemos dos estados de la naturaleza como e1 y e2, cada uno con una
probabilidad de ocurrencia de ⇡1 y ⇡2 respectivamente. Luego:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Donde c1,k y c2,k representan el ingreso de la persona en el estado 1 y 2
respectivamente, habiendo estudiado la carrera k.
� ��
Construimos entonces la función de utilidad esperada:
Sea k la carrera, y E
�
U(k)
�
la utilidad esperada de estudiar la carrera k.
Denotemos dos estados de la naturaleza como e1 y e2, cada uno con una
probabilidad de ocurrencia de ⇡1 y ⇡2 respectivamente. Luego:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Donde c1,k y c2,k representan el ingreso de la persona en el estado 1 y 2
respectivamente, habiendo estudiado la carrera k.
� ��
Calculemos entonces la utilidad esperada para cada carrera:
Tenemos:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
�
100
p
125� 25
�
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
�
100
p
225� 25
�
+ 30%
�
100
p
25� 25
�
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
200
⌘
+ 0 = 700
p
2 ⇡ 990
� ��
Calculemos entonces la utilidad esperada para cada carrera:
Tenemos:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
�
100
p
125� 25
�
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
�
100
p
225� 25
�
+ 30%
�
100
p
25� 25
�
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
200
⌘
+ 0 = 700
p
2 ⇡ 990
� ��
Calculemos entonces la utilidad esperada para cada carrera:
Tenemos:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
�
100
p
125� 25
�
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
�
100
p
225� 25
�
+ 30%
�
100
p
25� 25
�
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
200
⌘
+ 0 = 700
p
2 ⇡ 990
� ��
Calculemos entonces la utilidad esperada para cada carrera:
Tenemos:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
�
100
p
125� 25
�
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
�
100
p
225� 25
�
+ 30%
�
100
p
25� 25
�
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
200
⌘
+ 0 = 700
p
2 ⇡ 990
� ��
Calculemos entonces la utilidad esperada para cada carrera:
Tenemos:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
�
100
p
125� 25
�
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
�
100
p
225� 25
�
+ 30%
�
100
p
25� 25
�
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
200
⌘
+ 0 = 700
p
2 ⇡ 990
� ��
Calculemos entonces la utilidad esperada para cada carrera:
Tenemos:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
�
100
p
125� 25
�
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
�
100
p
225� 25
�
+ 30%
�
100
p
25� 25
�
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
200
⌘
+ 0 = 700
p
2 ⇡ 990
� ��
Calculemosentonces la utilidad esperada para cada carrera:
Tenemos:
E
�
U(k)
�
= ⇡1u(c1,k) + ⇡2u(c2,k).
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
�
100
p
125� 25
�
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
�
100
p
225� 25
�
+ 30%
�
100
p
25� 25
�
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
200
⌘
+ 0 = 700
p
2 ⇡ 990
� ��
Entonces tenemos:
E
�
U(k = A)
�
= 1000
E
�
U(k = B)
�
⇡ 990
Como E
�
U(k = A)
�
> E
�
U(k = B)
�
, se escoge la carrera A.
Gra�quemos . . .
� ��
Entonces tenemos:
E
�
U(k = A)
�
= 1000
E
�
U(k = B)
�
⇡ 990
Como E
�
U(k = A)
�
> E
�
U(k = B)
�
, se escoge la carrera A.
Gra�quemos . . .
� ��
Entonces tenemos:
E
�
U(k = A)
�
= 1000
E
�
U(k = B)
�
⇡ 990
Como E
�
U(k = A)
�
> E
�
U(k = B)
�
, se escoge la carrera A.
Gra�quemos . . .
� ��
�
Línea de Certeza
���
e2
e1
���
���
A
B
Para la carrera A en cualquier escenario e1 ó e2 tiene 125� 25 = 100 de ingreso. En cambio, para la carrera B en el
escenario e1 recibe 225� 25 = 200 de ingreso, mientras que en el escenario e2 recibe 25� 25 = 0 de ingreso. Con
la carrera A alcanza una curva de indiferencia más alta, dado que el agente es averso al riesgo. Luego escoge A.
� ��
�
Línea de Certeza
���
e2
e1
���
���
A
B
Para la carrera A en cualquier escenario e1 ó e2 tiene 125� 25 = 100 de ingreso. En cambio, para la carrera B en el
escenario e1 recibe 225� 25 = 200 de ingreso, mientras que en el escenario e2 recibe 25� 25 = 0 de ingreso. Con
la carrera A alcanza una curva de indiferencia más alta, dado que el agente es averso al riesgo. Luego escoge A.
� ��
(b) Suponga en cambio que ahora se establece un sistema de crédito universitario,
bajo el cual la cuota a pagar es un 20% del sueldo al egresar (es decir, en vez de pagar
$25 �jo por el crédito, paga el 20% de su ingreso). ¿Cambia su decisión? Gra�que y
explique la intuición de su resultado.
Respuesta:
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
⇣
100
p
125⇥ 80%
⌘
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
225⇥ 80%
⌘
+ 30%
⇣
100
p
25⇥ 80%
⌘
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
180
⌘
+ 30%
⇣
100
p
20
⌘
⇡ 1073
� ��
A 125 T r
225 Ti 0,7 Bas25 Ti 0,3 Ukswo.EEUll4 lTr.UCek tiTa.y ca k es 08
A 1 no EN WOO
B 10,7 wo Ears 0,3 no 939,15 134,161 673,31
ESCOGE LACARRERA B
(b) Suponga en cambio que ahora se establece un sistema de crédito universitario,
bajo el cual la cuota a pagar es un 20% del sueldo al egresar (es decir, en vez de pagar
$25 �jo por el crédito, paga el 20% de su ingreso). ¿Cambia su decisión? Gra�que y
explique la intuición de su resultado.
Respuesta:
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
⇣
100
p
125⇥ 80%
⌘
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
225⇥ 80%
⌘
+ 30%
⇣
100
p
25⇥ 80%
⌘
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
180
⌘
+ 30%
⇣
100
p
20
⌘
⇡ 1073
� ��
(b) Suponga en cambio que ahora se establece un sistema de crédito universitario,
bajo el cual la cuota a pagar es un 20% del sueldo al egresar (es decir, en vez de pagar
$25 �jo por el crédito, paga el 20% de su ingreso). ¿Cambia su decisión? Gra�que y
explique la intuición de su resultado.
Respuesta:
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
⇣
100
p
125⇥ 80%
⌘
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
225⇥ 80%
⌘
+ 30%
⇣
100
p
25⇥ 80%
⌘
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
180
⌘
+ 30%
⇣
100
p
20
⌘
⇡ 1073
� ��
(b) Suponga en cambio que ahora se establece un sistema de crédito universitario,
bajo el cual la cuota a pagar es un 20% del sueldo al egresar (es decir, en vez de pagar
$25 �jo por el crédito, paga el 20% de su ingreso). ¿Cambia su decisión? Gra�que y
explique la intuición de su resultado.
Respuesta:
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
⇣
100
p
125⇥ 80%
⌘
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
225⇥ 80%
⌘
+ 30%
⇣
100
p
25⇥ 80%
⌘
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
180
⌘
+ 30%
⇣
100
p
20
⌘
⇡ 1073
� ��
(b) Suponga en cambio que ahora se establece un sistema de crédito universitario,
bajo el cual la cuota a pagar es un 20% del sueldo al egresar (es decir, en vez de pagar
$25 �jo por el crédito, paga el 20% de su ingreso). ¿Cambia su decisión? Gra�que y
explique la intuición de su resultado.
Respuesta:
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
⇣
100
p
125⇥ 80%
⌘
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
225⇥ 80%
⌘
+ 30%
⇣
100
p
25⇥ 80%
⌘
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
180
⌘
+ 30%
⇣
100
p
20
⌘
⇡ 1073
� ��
(b) Suponga en cambio que ahora se establece un sistema de crédito universitario,
bajo el cual la cuota a pagar es un 20% del sueldo al egresar (es decir, en vez de pagar
$25 �jo por el crédito, paga el 20% de su ingreso). ¿Cambia su decisión? Gra�que y
explique la intuición de su resultado.
Respuesta:
Para la carrera A:
E
�
U(k = A)
�
= 100%
⇣
100
p
125⇥ 80%
⌘
= 100
p
100 = 100⇥ 10 = 1000
Para la carrera B:
E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
225⇥ 80%
⌘
+ 30%
⇣
100
p
25⇥ 80%
⌘
) E
�
U(k = B)
�
= 70%
⇣
100
p
180
⌘
+ 30%
⇣
100
p
20
⌘
⇡ 1073
� ��
Entonces tenemos:
E
�
U(k = A)
�
= 1000
E
�
U(k = B)
�
⇡ 1073
Como E
�
U(k = A)
�
< E
�
U(k = B)
�
escoge la carrera B.
Gra�quemos . . .
� ��
Entonces tenemos:
E
�
U(k = A)
�
= 1000
E
�
U(k = B)
�
⇡ 1073
Como E
�
U(k = A)
�
< E
�
U(k = B)
�
escoge la carrera B.
Gra�quemos . . .
� ��
Entonces tenemos:
E
�
U(k = A)
�
= 1000
E
�
U(k = B)
�
⇡ 1073
Como E
�
U(k = A)
�
< E
�
U(k = B)
�
escoge la carrera B.
Gra�quemos . . .
� ��
�
Línea de Certeza
e2
e1
���
���
��
���
A
B
En este caso, para la carrera A en cualquier escenario e1 ó e2 tiene 125 ⇥ 80% = 100 de ingreso. En cambio,
para la carrera B en el escenario e1 recibe 225 ⇥ 80% = 180 de ingreso, mientras que en el escenario e2 recibe
25⇥ 80% = 20 de ingreso. Con la carrera B alcanza una curva de indiferencia más alta, luego escoge B.
� ��
�
Línea de Certeza
e2
e1
���
���
��
���
A
B
En este caso, para la carrera A en cualquier escenario e1 ó e2 tiene 125 ⇥ 80% = 100 de ingreso. En cambio,
para la carrera B en el escenario e1 recibe 225 ⇥ 80% = 180 de ingreso, mientras que en el escenario e2 recibe
25⇥ 80% = 20 de ingreso. Con la carrera B alcanza una curva de indiferencia más alta, luego escoge B.
� ��
Intuición:
En la pregunta (a) el monto que se pagaba era �jo y siempre el mismo, independiente
del escenario en el que se encontraba la tomadora de decisiones. En la pregunta (b),
sin embargo, el monto depende directamente del ingreso (se paga un 20% en crédito,
por lo que el agente tiene asegurado un 80% de su ingreso en todo escenario).
Como el agente es averso al riesgo (esto lo sabemos por su función de Bernoulli
que es cuasi cóncava, si fuera lineal sería neutral al riesgo) el recibir $0 con 30%
de probabilidad en la pregunta (a) le afectaba mucho a su utilidad. En cambio, en la
pregunta (b) tiene la oportunidad de recibir un ingreso positivo en ambos escenarios,
por lo que está dispuesto a tomar la alternativa más riesgosa (carrera B).
�� ��
E�������� �
E�������� �
Una compañía de seguros planea introducir un nuevo producto en el mercado, y
debe decidir qué precio q �jarle. Este nuevo producto es un seguro que paga una
indemnización demonto z (a elección del asegurado) en caso que ocurra el siniestro,
a cambio de una prima de monto qz (que el asegurado paga en cualquier caso si
decide contratar el seguro). Asuma que 0 < q < 1.
Para simpli�car, suponga que el potencial comprador del seguro tiene una función
Bernoulli de la forma: u = pc con c : el consumo. Si no ocurre el siniestro el
consumo es 100, y si ocurre el siniestro cae a 81. La probabilidad de que ocurra el
siniestro es 50%.
Suponga que la compañía de seguros maximiza la ganancia esperada, es decir, el
valor esperado de la diferencia entre ingresos y gastos. Los ingresos de la compañía
provienen de la recaudaciónde la prima, y los gastos, del pago de indemnizaciones.
�� ��
E�������� �
Se pide:
(a) Sin hacer cálculos, ¿qué nivel de indemnización pediría el comprador si el
precio fuera q = 0.5? Justi�que su respuesta.
(b) Encuentre el monto de indemnización que escogería cada comprador potencial
para cada valor de q (la cobertura contratada no puede ser negativa, ni superar
el ����). Indique explícitamente para qué valores de q el consumidor no
contrataría el seguro, y para qué valores contrataría un seguro de cobertura
completa.
(c) Suponga ahora que el monto de indemnización que escogería cada comprador
potencial para cada valor de q es z = 50q � 27. Plantee el problema de
optimización de la compañía de seguros. Demuestre que la solución es
q = 0.52.
�� ��
µ PASANADAb COMPRADOR M
ELO 0,5 t 0,5
O q q 1
a ZEZÉ
a 1 y
z un_z.cz y Í
q LIÉ µ 9 two
q 81 29,1 7 r g 2 wo z 4
42 81 9,2 zqtqr.az r g 2 wo 1 4 29
r g a Zaz 9 2 ga z s g a LOO 81 42
2 le g a q q tq s g 2 no 8142
2 s g 2 no 819,2
G g a q q tq
9 95
t
q os 11 912
wo 814 s 1g
G g a q q tq
r g a no 8142 o e g a NO 81 9T F
µ a q q t 5
µ.gg no a_q
no voz 9oz
lo 1991
q 0,52
0,5 q 0,526
c MAX ELI f z.cz 1g tq z 7 509 2T
1g 509 27 q t 1g 509 27 q 150g
27
E 5092 279 soga 27g 59 27 1 4
W0 09 32 O
z
7004 sq
(a) Sin hacer cálculos, ¿qué nivel de indemnización pediría el comprador si el
precio fuera q = 0.5? Justi�que su respuesta.
Respuesta:
Si el precio es q = 0.5, el comprador pediría una indemnización completa. Esto es,
z = 19 (dado que sin siniestro tiene 100 y con siniestro 81 el daño del siniestro es
100� 81 = 19).
Lo anterior ocurre, dado que el seguro es actuarialmente justo, es decir, q = 0.5 = ⇡
(el precio es igual a la probabilidad del incidente).
�� ��
Dado 4015 suDEMNZAMÓN COMPLETA 2 19
El precio es actorialmente justo
(a) Sin hacer cálculos, ¿qué nivel de indemnización pediría el comprador si el
precio fuera q = 0.5? Justi�que su respuesta.
Respuesta:
Si el precio es q = 0.5, el comprador pediría una indemnización completa. Esto es,
z = 19 (dado que sin siniestro tiene 100 y con siniestro 81 el daño del siniestro es
100� 81 = 19).
Lo anterior ocurre, dado que el seguro es actuarialmente justo, es decir, q = 0.5 = ⇡
(el precio es igual a la probabilidad del incidente).
�� ��
(a) Sin hacer cálculos, ¿qué nivel de indemnización pediría el comprador si el
precio fuera q = 0.5? Justi�que su respuesta.
Respuesta:
Si el precio es q = 0.5, el comprador pediría una indemnización completa. Esto es,
z = 19 (dado que sin siniestro tiene 100 y con siniestro 81 el daño del siniestro es
100� 81 = 19).
Lo anterior ocurre, dado que el seguro es actuarialmente justo, es decir, q = 0.5 = ⇡
(el precio es igual a la probabilidad del incidente).
�� ��
(b) Encuentre el monto de indemnización que escogería cada comprador potencial
para cada valor de q (la cobertura contratada no puede ser negativa, ni superar el
����). Indique explícitamente para qué valores de q el consumidor no contrataría
el seguro, y para qué valores contrataría un seguro de cobertura completa.
Respuesta:
El comprador resuelve:
max
z
E(U) = 50%
p
100� zq + 50%
p
81� zq + z
s.a. 0  z  19
�� ��
MAX ECU 0,5 0,5 O a te 19 a
O 0,25 cg 0,25 tata g q
Pza toma E
s
z ll
4 q 81 Ex z Ha_zoxttlwo.iqwo zq
z l9qa zooqtLoo
7 0 9 0,526
r g q 2 19 9 0,5
45cg a0,526
(b) Encuentre el monto de indemnización que escogería cada comprador potencial
para cada valor de q (la cobertura contratada no puede ser negativa, ni superar el
����). Indique explícitamente para qué valores de q el consumidor no contrataría
el seguro, y para qué valores contrataría un seguro de cobertura completa.
Respuesta:
El comprador resuelve:
max
z
E(U) = 50%
p
100� zq + 50%
p
81� zq + z
s.a. 0  z  19
�� ��
(b) Encuentre el monto de indemnización que escogería cada comprador potencial
para cada valor de q (la cobertura contratada no puede ser negativa, ni superar el
����). Indique explícitamente para qué valores de q el consumidor no contrataría
el seguro, y para qué valores contrataría un seguro de cobertura completa.
Respuesta:
El comprador resuelve:
max
z
E(U) = 50%
p
100� zq + 50%
p
81� zq + z
s.a. 0  z  19
�� ��
El problema anterior podemos reescribirlo como:
max
z
E(U) = 50%
p
100� zq + 50%
p
81 + z(1� q)
s.a. 0  z  19
C.P.O.
@E(U)
@z
:
1
2
"
1
2
p
100� zq
⇥ (�q)
#
+
1
2
"
1
2
p
81 + z(1� q)
⇥ (1� q)
#
= 0
) q
2
p
100� zq
=
1� q
2
p
81 + z(1� q)
) q
p
81 + z(1� q) = (1� q)
p
100� zq
�� ��
El problema anterior podemos reescribirlo como:
max
z
E(U) = 50%
p
100� zq + 50%
p
81 + z(1� q)
s.a. 0  z  19
C.P.O.
@E(U)
@z
:
1
2
"
1
2
p
100� zq
⇥ (�q)
#
+
1
2
"
1
2
p
81 + z(1� q)
⇥ (1� q)
#
= 0
) q
2
p
100� zq
=
1� q
2
p
81 + z(1� q)
) q
p
81 + z(1� q) = (1� q)
p
100� zq
�� ��
El problema anterior podemos reescribirlo como:
max
z
E(U) = 50%
p
100� zq + 50%
p
81 + z(1� q)
s.a. 0  z  19
C.P.O.
@E(U)
@z
:
1
2
"
1
2
p
100� zq
⇥ (�q)
#
+
1
2
"
1
2
p
81 + z(1� q)
⇥ (1� q)
#
= 0
) q
2
p
100� zq
=
1� q
2
p
81 + z(1� q)
) q
p
81 + z(1� q) = (1� q)
p
100� zq
�� ��
El problema anterior podemos reescribirlo como:
max
z
E(U) = 50%
p
100� zq + 50%
p
81 + z(1� q)
s.a. 0  z  19
C.P.O.
@E(U)
@z
:
1
2
"
1
2
p
100� zq
⇥ (�q)
#
+
1
2
"
1
2
p
81 + z(1� q)
⇥ (1� q)
#
= 0
) q
2
p
100� zq
=
1� q
2
p
81 + z(1� q)
) q
p
81 + z(1� q) = (1� q)
p
100� zq
�� ��
) q
p
81 + z(1� q) = (1� q)
p
100� zq
) q2 [81 + z(1� q)] = (1� q)2 [100� zq]
) 81q2 + z(1� q)q2 = 100(1� q)2 � zq(1� q)2
) z(1� q)q2 + zq(1� q)2 = 100(1� q)2 � 81q2
) z
⇥
(1� q)q2 + q(1� q)2
⇤
= 100(1� q)2 � 81q2
�� ��
) q
p
81 + z(1� q) = (1� q)
p
100� zq
) q2 [81 + z(1� q)] = (1� q)2 [100� zq]
) 81q2 + z(1� q)q2 = 100(1� q)2 � zq(1� q)2
) z(1� q)q2 + zq(1� q)2 = 100(1� q)2 � 81q2
) z
⇥
(1� q)q2 + q(1� q)2
⇤
= 100(1� q)2 � 81q2
�� ��
) q
p
81 + z(1� q) = (1� q)
p
100� zq
) q2 [81 + z(1� q)] = (1� q)2 [100� zq]
) 81q2 + z(1� q)q2 = 100(1� q)2 � zq(1� q)2
) z(1� q)q2 + zq(1� q)2 = 100(1� q)2 � 81q2
) z
⇥
(1� q)q2 + q(1� q)2
⇤
= 100(1� q)2 � 81q2
�� ��
) q
p
81 + z(1� q) = (1� q)
p
100� zq
) q2 [81 + z(1� q)] = (1� q)2 [100� zq]
) 81q2 + z(1� q)q2 = 100(1� q)2 � zq(1� q)2
) z(1� q)q2 + zq(1� q)2 = 100(1� q)2 � 81q2
) z
⇥
(1� q)q2 + q(1� q)2
⇤
= 100(1� q)2 � 81q2
�� ��
) q
p
81 + z(1� q) = (1� q)
p
100� zq
) q2 [81 + z(1� q)] = (1� q)2 [100� zq]
) 81q2 + z(1� q)q2 = 100(1� q)2 � zq(1� q)2
) z(1� q)q2 + zq(1� q)2 = 100(1� q)2 � 81q2
) z
⇥
(1� q)q2 + q(1� q)2
⇤
= 100(1� q)2 � 81q2
�� ��
) z
⇥
(1� q)q2 + q(1� q)2
⇤
= 100(1� q)2 � 81q2
) z [(1� q)q (q + 1� q)] = 100(1� q)2 � 81q2
) z [(1� q)q] = 100(1� 2q + q2)� 81q2
) z [(1� q)q] = 100� 200q + 100q2 � 81q2
) z = 19q
2 � 200q + 100
(1� q)q
�� ��
) z
⇥
(1� q)q2 + q(1� q)2
⇤
= 100(1� q)2 � 81q2
) z [(1� q)q (q + 1� q)] = 100(1� q)2 � 81q2
) z [(1� q)q] = 100(1� 2q + q2)� 81q2
) z [(1� q)q] = 100� 200q + 100q2 � 81q2
) z = 19q
2 � 200q + 100
(1� q)q
�� ��
) z
⇥
(1� q)q2 + q(1� q)2
⇤
= 100(1� q)2 � 81q2
) z [(1� q)q (q + 1� q)] = 100(1� q)2 � 81q2
) z [(1� q)q] = 100(1� 2q + q2)� 81q2
) z [(1� q)q] = 100� 200q + 100q2 � 81q2
) z = 19q
2 � 200q + 100
(1� q)q
�� ��
) z
⇥
(1� q)q2 + q(1� q)2
⇤
= 100(1� q)2 � 81q2
) z [(1� q)q (q + 1� q)] = 100(1� q)2 � 81q2
) z [(1� q)q] = 100(1� 2q + q2)� 81q2
) z [(1� q)q] = 100� 200q + 100q2 � 81q2
) z = 19q
2 � 200q + 100
(1� q)q
�� ��
) z
⇥
(1� q)q2 + q(1� q)2
⇤
= 100(1� q)2 � 81q2
) z [(1� q)q (q + 1� q)] = 100(1� q)2 � 81q2
) z [(1� q)q] = 100(1� 2q + q2)� 81q2
) z [(1� q)q] = 100� 200q + 100q2 � 81q2
) z = 19q
2 � 200q + 100
(1� q)q
�� ��
z =
19q2 � 200q + 100
(1� q)q
De esto veri�camos que nuestra respuesta en (a) esté correcta. Si q = 0.5:
z =
19q2 � 200q + 100
(1� q)q
) z = 19 ⇤ (0.5)
2 � 200 ⇤ 0.5 + 100
(1� 0.5) ⇤ (0.5)
) z = 19 ⇤ 0.25� 100 + 100
(0.5) ⇤ (0.5)
) z = 4.75
0.25
= 19
�� ��
z =
19q2 � 200q + 100
(1� q)q
De esto veri�camosque nuestra respuesta en (a) esté correcta. Si q = 0.5:
z =
19q2 � 200q + 100
(1� q)q
) z = 19 ⇤ (0.5)
2 � 200 ⇤ 0.5 + 100
(1� 0.5) ⇤ (0.5)
) z = 19 ⇤ 0.25� 100 + 100
(0.5) ⇤ (0.5)
) z = 4.75
0.25
= 19
�� ��
z =
19q2 � 200q + 100
(1� q)q
De esto veri�camos que nuestra respuesta en (a) esté correcta. Si q = 0.5:
z =
19q2 � 200q + 100
(1� q)q
) z = 19 ⇤ (0.5)
2 � 200 ⇤ 0.5 + 100
(1� 0.5) ⇤ (0.5)
) z = 19 ⇤ 0.25� 100 + 100
(0.5) ⇤ (0.5)
) z = 4.75
0.25
= 19
�� ��
z =
19q2 � 200q + 100
(1� q)q
De esto veri�camos que nuestra respuesta en (a) esté correcta. Si q = 0.5:
z =
19q2 � 200q + 100
(1� q)q
) z = 19 ⇤ (0.5)
2 � 200 ⇤ 0.5 + 100
(1� 0.5) ⇤ (0.5)
) z = 19 ⇤ 0.25� 100 + 100
(0.5) ⇤ (0.5)
) z = 4.75
0.25
= 19
�� ��
Ahora bien, recordemos que 0  z  19, es decir:
0  19q
2 � 200q + 100
(1� q)q  19
En primer lugar, estudiamos cuando z = 0:
19q2 � 200q + 100
(1� q)q = 0 , 19q
2 � 200q + 100 = 0
) 19q2 � 200q + 100 = 0 , (19q � 10)(q � 10) = 0
) q = 10/19 ⇡ 0.526 ó q = 10
Descartamos q = 10 pues 0 < q < 1 de acuerdo al enunciado.
�� ��
Ahora bien, recordemos que 0  z  19, es decir:
0  19q
2 � 200q + 100
(1� q)q  19
En primer lugar, estudiamos cuando z = 0:
19q2 � 200q + 100
(1� q)q = 0 , 19q
2 � 200q + 100 = 0
) 19q2 � 200q + 100 = 0 , (19q � 10)(q � 10) = 0
) q = 10/19 ⇡ 0.526 ó q = 10
Descartamos q = 10 pues 0 < q < 1 de acuerdo al enunciado.
�� ��
Ahora bien, recordemos que 0  z  19, es decir:
0  19q
2 � 200q + 100
(1� q)q  19
En primer lugar, estudiamos cuando z = 0:
19q2 � 200q + 100
(1� q)q = 0 , 19q
2 � 200q + 100 = 0
) 19q2 � 200q + 100 = 0 , (19q � 10)(q � 10) = 0
) q = 10/19 ⇡ 0.526 ó q = 10
Descartamos q = 10 pues 0 < q < 1 de acuerdo al enunciado.
�� ��
Ahora bien, recordemos que 0  z  19, es decir:
0  19q
2 � 200q + 100
(1� q)q  19
En primer lugar, estudiamos cuando z = 0:
19q2 � 200q + 100
(1� q)q = 0 , 19q
2 � 200q + 100 = 0
) 19q2 � 200q + 100 = 0 , (19q � 10)(q � 10) = 0
) q = 10/19 ⇡ 0.526 ó q = 10
Descartamos q = 10 pues 0 < q < 1 de acuerdo al enunciado.
�� ��
En segundo lugar, estudiamos cuando z = 19:
19q2 � 200q + 100
(1� q)q = 19 , 19q
2 � 200q + 100 = 19q � 19q2
) 19q2 � 200q + 100 = 19q � 19q2 , 38q2 � 219q + 100 = 0
) 38q2 � 219q + 100 = 0 , (2q � 1)(19q � 100)
) q = 1/2 ó q = 100/19 ⇡ 5.26
Descartamos q = 5.26 pues 0 < q < 1 de acuerdo al enunciado.
�� ��
En segundo lugar, estudiamos cuando z = 19:
19q2 � 200q + 100
(1� q)q = 19 , 19q
2 � 200q + 100 = 19q � 19q2
) 19q2 � 200q + 100 = 19q � 19q2 , 38q2 � 219q + 100 = 0
) 38q2 � 219q + 100 = 0 , (2q � 1)(19q � 100)
) q = 1/2 ó q = 100/19 ⇡ 5.26
Descartamos q = 5.26 pues 0 < q < 1 de acuerdo al enunciado.
�� ��
En segundo lugar, estudiamos cuando z = 19:
19q2 � 200q + 100
(1� q)q = 19 , 19q
2 � 200q + 100 = 19q � 19q2
) 19q2 � 200q + 100 = 19q � 19q2 , 38q2 � 219q + 100 = 0
) 38q2 � 219q + 100 = 0 , (2q � 1)(19q � 100)
) q = 1/2 ó q = 100/19 ⇡ 5.26
Descartamos q = 5.26 pues 0 < q < 1 de acuerdo al enunciado.
�� ��
En segundo lugar, estudiamos cuando z = 19:
19q2 � 200q + 100
(1� q)q = 19 , 19q
2 � 200q + 100 = 19q � 19q2
) 19q2 � 200q + 100 = 19q � 19q2 , 38q2 � 219q + 100 = 0
) 38q2 � 219q + 100 = 0 , (2q � 1)(19q � 100)
) q = 1/2 ó q = 100/19 ⇡ 5.26
Descartamos q = 5.26 pues 0 < q < 1 de acuerdo al enunciado.
�� ��
En segundo lugar, estudiamos cuando z = 19:
19q2 � 200q + 100
(1� q)q = 19 , 19q
2 � 200q + 100 = 19q � 19q2
) 19q2 � 200q + 100 = 19q � 19q2 , 38q2 � 219q + 100 = 0
) 38q2 � 219q + 100 = 0 , (2q � 1)(19q � 100)
) q = 1/2 ó q = 100/19 ⇡ 5.26
Descartamos q = 5.26 pues 0 < q < 1 de acuerdo al enunciado.
�� ��
Tenemos entonces que:
0.5 < q < 0.526
son los valores entre los cuales el consumidor contrata el seguro. Cuando q = 0.5
contrata un seguro con cobertura completa, cuando q > 0.526, el consumidor no
contrata el seguro pues es muy caro.
Si pensamos desde el lado de la oferta, ¿tiene sentido cobrar q = 0.5?
�� ��
Tenemos entonces que:
0.5 < q < 0.526
son los valores entre los cuales el consumidor contrata el seguro. Cuando q = 0.5
contrata un seguro con cobertura completa, cuando q > 0.526, el consumidor no
contrata el seguro pues es muy caro.
Si pensamos desde el lado de la oferta, ¿tiene sentido cobrar q = 0.5?
�� ��
(c) Suponga ahora el monto de indemnización que escogería cada comprador
potencial para cada valor de q es z = 50q� 27. Plantee el problema de optimización
de la compañía de seguros. Demuestre que la solución es q = 0.52.
Respuesta:
La compañía resuelve:
max
q
E(⇧) = 1
2
zq +
1
2
(zq � z)
s.a. z = 50q � 27
Reemplazando la expresión para z en la función a maximizar:
) max
q
E(⇧) = 1
2
(50q � 27)q + 1
2
h
(50q � 27) q � (50q � 27)
i
�� ��
Compañía E z G t I Izq z S.A 2 soq 27
E 150oz A q t1glisoq 27 g 50gHD
9 1509 27 p soq zz yoya 27g 1 509 t
soga 279 250093 13504 t 13509,2 729q 25009,3
2750927569,2
a
(c) Suponga ahora el monto de indemnización que escogería cada comprador
potencial para cada valor de q es z = 50q� 27. Plantee el problema de optimización
de la compañía de seguros. Demuestre que la solución es q = 0.52.
Respuesta:
La compañía resuelve:
max
q
E(⇧) = 1
2
zq +
1
2
(zq � z)
s.a. z = 50q � 27
Reemplazando la expresión para z en la función a maximizar:
) max
q
E(⇧) = 1
2
(50q � 27)q + 1
2
h
(50q � 27) q � (50q � 27)
i
�� ��
o 3750q t 2750 q t 378 ha
2750 I TÉ 3750 3650 1 999 1
7500 7500 Q 0101
(c) Suponga ahora el monto de indemnización que escogería cada comprador
potencial para cada valor de q es z = 50q� 27. Plantee el problema de optimización
de la compañía de seguros. Demuestre que la solución es q = 0.52.
Respuesta:
La compañía resuelve:
max
q
E(⇧) = 1
2
zq +
1
2
(zq � z)
s.a. z = 50q � 27
Reemplazando la expresión para z en la función a maximizar:
) max
q
E(⇧) = 1
2
(50q � 27)q + 1
2
h
(50q � 27) q � (50q � 27)
i
�� ��
(c) Suponga ahora el monto de indemnización que escogería cada comprador
potencial para cada valor de q es z = 50q� 27. Plantee el problema de optimización
de la compañía de seguros. Demuestre que la solución es q = 0.52.
Respuesta:
La compañía resuelve:
max
q
E(⇧) = 1
2
zq +
1
2
(zq � z)
s.a. z = 50q � 27
Reemplazando la expresión para z en la función a maximizar:
) max
q
E(⇧) = 1
2
(50q � 27)q + 1
2
h
(50q � 27) q � (50q � 27)
i
�� ��
max
q
E(⇧) = 1
2
(50q � 27)q + 1
2
(50q � 27) q � 1
2
(50q � 27)
) max
q
E(⇧) = 50q2 � 27q � 25q + 13.5
) max
q
E(⇧) = 50q2 � 52q + 13.5
C.P.O.:
@⇧
@q
: 50 ⇤ 2q � 52 = 0
q = 0.52
�� / ��
max
q
E(⇧) = 1
2
(50q � 27)q + 1
2
(50q � 27) q � 1
2
(50q � 27)
) max
q
E(⇧) = 50q2 � 27q � 25q + 13.5
) max
q
E(⇧) = 50q2 � 52q + 13.5
C.P.O.:
@⇧
@q
: 50 ⇤ 2q � 52 = 0
q = 0.52
�� / ��
max
q
E(⇧) = 1
2
(50q � 27)q + 1
2
(50q � 27) q � 1
2
(50q � 27)
) max
q
E(⇧) = 50q2 � 27q � 25q + 13.5
) max
q
E(⇧) = 50q2 � 52q + 13.5
C.P.O.:
@⇧
@q
: 50 ⇤ 2q � 52 = 0
q = 0.52
�� / ��
max
q
E(⇧) = 1
2
(50q � 27)q + 1
2
(50q � 27) q � 1
2
(50q � 27)
) max
q
E(⇧) = 50q2 � 27q � 25q + 13.5
) max
q
E(⇧) = 50q2 � 52q + 13.5
C.P.O.:
@⇧
@q
: 50 ⇤ 2q � 52 = 0
q = 0.52
�� / ��
max
q
E(⇧) = 1
2
(50q � 27)q + 1
2
(50q � 27) q � 1
2
(50q � 27)
) max
q
E(⇧) = 50q2 � 27q � 25q + 13.5
) max
q
E(⇧) = 50q2 � 52q + 13.5
C.P.O.:
@⇧
@q
: 50 ⇤ 2q � 52 = 0
q = 0.52
�� / ��