Tarea 2

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EAE 211 B 2º semestre 2019
Profesor Felipe Zurita
Ayudantes Begoña Bilbao Felipe del Canto
Viviana Díaz Rodrigo Icarán
Lucía Langlois Vedran Razmilic
Tarea Nº2
Eficiencia
Respuestas
Pregunta 1.– Ponderadores de Pareto
En la segunda formulación del problema de Pareto (clase 3), se plantea maximizar
∑n
i=1 ϕiui(x),
siendo {ϕi} ponderadores: ϕi ≥ 0 y
∑n
i=1 ϕi = 1. Encuentre en los tres casos del ejemplo 1 de la
clase 1 (diapositiva 20) los ponderadores que corresponderían a las soluciones de Bentham y de
Rawls. Discuta.
En el plano (uA, uB), las expresiones ϕAuA +ϕBuB = a se ven como rectas. Esto implica que los
ponderadores para la solución de Bentham serán iguales en los 3 casos, ya que esta maximiza la
suma de las utilidades (uA + uB). Como la pendiente de las rectas es 1, entonces debe ser cierto
que 1 = ϕAϕB (la pendiente de la recta ϕAuA + ϕBuB = a), de donde ϕA = ϕB =
1
2 .
En el caso 1 (utilidad lineal) la solución de Bentham coincide con toda la recta de la frontera de
posibilidades de utilidad. La solución de Rawls coincide con un punto de esa recta, por lo que
los ponderadores son los mismos. Esto muestra que el método de los ponderadores no es capaz
de diferenciar puntos de rectas si la frontera es lineal en algún tramo. En particular la solución
de Rawls no está identificada con este método.
Para el caso 2 (utilidad marginal decreciente) la solución de Bentham distingue un único punto.
La solución de Rawls coincide con el mismo punto y por lo tanto en este caso los ponderadores
son los mismos. La diferencia con el caso anterior es que ahora el método de ponderadores es
capaz de identificar ambas soluciones exactamente.
Para el caso 3 (utilidad heterogénea) la solución de Bentham distingue un único punto para el
cual además uA > uB . Esto implica que la solución de Rawls es distinta (porque ahí uA = uB).
Como la frontera de posibilidades de utilidad tiene la forma uB =
√
1− u
2
A
4 , en el punto
(
2√
5
, 2√
5
)
(donde uA = uB) la pendiente de la recta tangente es 14 . De aquí, ϕA =
1
5 , ϕB =
4
5 . Observar que
estos ponderadores entregan más peso al individuo B, lo que en el gráfico se aprecia notando que
uB es más alta que en la solución de Bentham.
Hoja 1 de 3
Pregunta 2.– El conjunto de posibilidades de utilidad es cardinal
Si X es el conjunto de asignaciones factibles, entonces el conjunto de posibilidades de utilidad que
genera es su imagen en el plano de utilidades, a través de P (X) = {(uA(x), uB(x)) : x ∈ X}.
Observe, sin embargo, que si reemplazamos las funciones de utilidad (uA(x), uB(x)) por otras
(vA(x), vB(x)) que representen a las mismas preferencias, habremos generado un conjunto distinto.
Vale decir, si escribimos P (X,uA, uB) para resaltar esta dependencia del conjunto en las funciones
de utilidad que se consideren, sabemos que en general
P (X,uA, uB) ̸= P (X, vA, vB),
pese a que las preferencias sean las mismas:
ui(x) > ui(x′) ⇐⇒ vi(x) > vi(x′). (1)
En esta pregunta se le pide que compruebe este hecho en un ejemplo particular. Específicamente,
considere: X = {(xA, xB) : 0 ≤ xA, xB ≤ 5 y xA + xB ≤ 5}, ui =
√
xi, y vi = x2i .
(a) Dibuje los conjuntos de posibilidades de utilidad P (X,uA, uB) y P (X, vA, vB).
uA
uB
√
5
√
5 vA
vB
25
25
(b) Encuentre las asignaciones eficientes, indicando la relación que exista entre ambos gráficos.
Las asignaciones eficientes se ven en el conjunto de posibilidades de utilidad como la frontera
de cada conjunto. En cada caso (con u y v), si tomamos los puntos en cada frontera y
volvemos a las asignaciones en el plano de las X obtendremos los mismos puntos.
(c) Muestre que las respuestas de Bentham y de Rawls a la pregunta de cuál es la mejor división
de la torta puede depender de si se ocupan las funciones (uA, uB) ó (vA, vB). Explique.
Por la pregunta 1, las soluciones de Bentham y Rawls para las utilidades (uA, uB) es el
mismo punto, donde xA = xB = 52 . Para el caso de las utilidades (vA, vB), la solución de
Rawls se mantiene (vA = vB más alto se sigue obteniendo en el mismo punto), pero la de
Bentham cambia. Notar en el dibujo que la recta uA + uB = a más alta se obtiene cuando
xA = 5, xB = 0 o bien xA = 0, xB = 5, es decir, cuando toda la dotación se la lleva un solo
individuo. La razón es que las soluciones de Rawls y Bentham dependen de un concepto
cardinal de utilidad, que no se preserva cuando existen transformaciones monotónicas.
Pregunta 3.– El conjunto de asignaciones eficientes es ordinal
Siguiendo con la notación del problema anterior, sea E(X,u) = {x ∈ X : ̸ ∃x′ ∈ X tal que u(x′) ≥
u(x)} el conjunto de asignaciones eficientes bajo u. Muestre que E(X,u) = E(X,v) si se satisface
la condición (1).
Idea de la demostración. Tenemos que probar que E(X,u) ⊂ E(X,v) y viceversa. Por simetría
basta probar solo una de esas inclusiones. Para x ∈ E(X,u) y para todo x′ ∈ X distinto de x,
u(x′) < u(x).
Por la condición (1), esto implica que v(x′) < v(x), luego x ∈ E(X,v).
Hoja 2 de 3
Pregunta 4.– Curva de contrato
Considere el problema de repartir la canasta de bienes (X1, X2) entre los consumidores A y B. En
los siguientes casos, encuentre las curvas de contrato y explique las diferencias entre ellas:
(a) X1 = X2 > 0, ui(x) = 13 ln(x1i) +
2
3 ln(x2i) para i = A,B.
(b) X1 = X2 > 0, uA(x) = 13 ln(x1A) +
2
3 ln(x2A) y uB(x) =
2
3 ln(x1B) +
1
3 ln(x2B).
(c) X1 = 2X2 > 0, ui(x) = 13 ln(x1i) +
2
3 ln(x2i) para i = A,B.
Los extremos de la caja de Edgeworth (OA y OB) se incluyen por convención, por lo que no
discutiremos estos puntos en detalle. Así, en cada uno de los casos basta resolver para solución
interior, pues las utilidades marginales no son acotadas cerca de 0. Para (a), en el óptimo paretiano
tenemos
x2A
x1A
=
x2B
x1B
⇐⇒ x2A
x1A
=
X2 − x2A
X1 − x1A
⇐⇒ x2A = x1A.
Luego la curva de contrato es una recta. Para el caso (b), en el óptimo tenemos
x2A
2x1A
=
2x2B
x1B
⇐⇒ x2A
2x1A
=
2(X2 − x2A)
X1 − x1A
⇐⇒ x2A =
4X1x1A
X1 + 3x1A
.
Como A valora más el bien 2 que el 1 (y viceversa con B), entonces la curva de contrato avanza
más rápido verticalmente al comienzo (para darle más dotación del bien 2 a A y no quitar tanto
del 1 a B. Finalmente, para (c), en el óptimo tenemos
x2A
x1A
=
x2B
x1B
⇐⇒ x2A
x1A
=
X2 − x2A
X1 − x1A
⇐⇒ x2A =
1
2
x1A.
En este caso la curva de contrato también es un recta como en (a), pero como la dotación del
bien 1 es mayor que la del 2, la sustitución entre ellos es más lenta, esto es, por cada unidad del
bien 1 que se quita del bien 1 se entrega menos del bien 2 en comparación con (a).
Hoja 3 de 3