Tarea 2

Vista previa del material en texto

Macroeconometŕıa Aplicada
Tarea # 2
1. (3 pts.) Considera el siguiente proceso autorregresivo de segundo orden:
yt = a0 + a2yt−2 + �t, |a2| < 1, �t ∼ iid(0, σ2� )
(a) Encuentra Et−2(yt): la expectativa de yt, condicional en información disponible
en t− 2.
(b) Encuentra Et−1(yt): la expectativa de yt, condicional en información disponible
en t − 1. Comenta sobre la intuición detrás de la similitud o diferencia de este
resultado respecto al de la pregunta anterior.
(c) Encuentra Et(yt+2).
(d) Encuentra γ1 = cov(yt, yt−1): la autocovarianza de yt para el primer rezago. Co-
menta sobre la intuición del resultado. Sugerencias: usa la expresión MA(∞) del
proceso; recuerda el resultado sobre la serie geométrica que discutimos en clase;
nota que este proceso tiene media distinta de cero, y que la media NO es a0.
(e) Encuentra γ2 = cov(yt, yt−2).
2. (2 pts.) Considera los siguientes dos modelos:
xt = 0.5xt−1 + �t
xt = �t + 0.8�t−1
(a) Qué clases de modelos son estos ejemplos?
(b) Cómo se veŕıan las funciones de autocorrelación (ACF) y autocorrelación par-
cial de estos procesos? (No debes calcularlas; solamente explica la forma que
tendŕıan).
(c) Haciendo una serie de sustituciones sucesivas, comenta sobre la persistencia de
shocks �t para cada caso. Sugerencia: Supón que �t = 1, �t+j = 0, j 6= 0, y analiza
la evolución de x desde t en adelante.
3. (1/2 pt.) Los criterios de información de Akaike (AIC) y de Schwartz (SBIC) son
útiles para identificar el orden de modelos ARMA. Cuáles son los dos objetivos que
estos criterios consideran?
4. (1 pt.) Un investigador busca determinar el orden apropiado para un modelo ARMA
que describa una serie de 200 observaciones. La serie está expresada en desv́ıos de
su media (por lo que no requiere incluir una constante en su modelo). Para los sigu-
ientes posibles modelos, tiene estimaciones del logaritmo de la varianza de los residuos
(log(σ̂2� )). Cuál es el orden óptimo del modelo que busca a la luz de los criterios de
información de Akaike y de Schwartz? Coinciden estos criterios en un orden, o sugieren
órdenes distintos?
1
Orden ARMA(p,q) log(σ̂2� )
(0,0) 0.932
(1,0) 0.864
(0,1) 0.902
(1,1) 0.836
(2,1) 0.801
(1,2) 0.821
(2,2) 0.789
(3,2) 0.773
(2,3) 0.782
(3,3) 0.764
5. (1/2 pt.) Si la respuesta a la pregunta anterior es que los criterios de Akaike (AIC) y
Schwartz (SBIC) sugieren modelos de distinto orden, cómo podŕıas escoger entre uno
u otro?
6. (1 pt.) Considera el proceso yt = (1 + 2.4L + 0.8L
2)�t, donde �t ∼ i.i.d.(0, 1) (es
decir, el ruido blanco �t tiene media 0 y varianza 1). Demuestra que este proceso es
estacionario.
7. (2 pts.) Supón que has estimado el siguiente modelo ARMA(1,1) para alguna serie de
tiempo:
yt = 0.036 + 0.69yt−1 + 0.42�t−1 + �t
Supón que tienes datos hasta t− 1: sabes que yt−1 = 3.4, y que �t−1 = −1.3.
(a) Obtén pronósticos para la serie y en los periodos t, t+ 1 y t+ 2 usando el modelo
ARMA estimado.
(b) Si los valores efectivos para la serie resultan ser -0.032, 0.961, 0.203 en t, t + 1 y
t+2, respectivamente, calcula la ráız del error cuadrático medio de tu proyección.
2
Respuestas
1. (a) Et−2(yt) = Et−2(a0 + a2yt−2 + �t) = a0 + a2yt−2.
(b) Et−1(yt) = Et−1(a0 + a2yt−2 + �t) = a0 + a2yt−2. El resultado es igual al anterior:
Et−2(yt) = Et−1(yt). La información obtenida en t− 1 no ayuda a pronosticar yt,
porque yt es una función de su segundo rezago solamente, no del primero.
(c) Et(yt+2) = Et(a0 + a2yt + �t+2) = a0 + a2yt.
(d) Para obtener cov(yt, yt−1), primero expresamos el proceso como un MA(∞):
yt−2 = a0 + a2yt−4 + �t−2
yt = a0 + a2(a0 + a2yt−4 + �t−2) + �t
= a0 + a0a2 + a
2
2yt−4 + a2�t−2 + �t
yt−4 = a0 + a2yt−6 + �t−4
yt = a0 + a0a2 + a
2
2(a0 + a2yt−6 + �t−4) + a2�t−2 + �t
= a0 + a0a2 + a0a
2
2 + a
3
2yt−6 + a
2
2�t−4 + a2�t−2 + �t
= a0(1 + a2 + a
2
2) + a
3
2yt−6 + �t + a2�t−2 + a
2
2�t−4
yt = a0(1 + a2 + a
2
2 + . . .+ a
k
2) + a
k
2yt−2k + �t + a2�t−2 + a
2
2�t−4 + . . .+ a
k
2�t−2k
Cuando k →∞, dado que |a2| < 1, y usando el resultado de la serie geométrica:
yt =
a0
1− a2
+ �t + a2�t−2 + a
2
2�t−4 + a
3
2�t−6 + . . .
Nota que la media E(yt) = a0/(1− a2).
γ1 = cov(yt, yt−1) = E[(yt − E(yt))(yt−1 − E(yt−1))]
= E[(�t + a2�t−2 + a
2
2�t−4 + . . .)(�t−1 + a2�t−3 + a
2
2�t−5 + . . .)]
= 0
La autocovarianza para el primer rezago es cero porque la serie yt no es una
función de su primer rezago. El primer rezago no ofrece ninguna información
sobre el valor actual de la serie.
(e)
γ2 = cov(yt, yt−2) = E[(yt − E(yt))(yt−2 − E(yt−2))]
= E[(�t + a2�t−2 + a
2
2�t−4 + . . .)(�t−2 + a2�t−4 + a
2
2�t−6 + . . .)]
= E[a2�
2
t−2 + a
3
2�
2
t−4 + a
5
2�
2
t−6 + . . .]
= a2σ
2
� + a
3
2σ
2
� + a
5
2σ
2
� + . . .
= (1 + a22 + a
4
2 + . . .)a2σ
2
� =
a2σ
2
�
1− a2
.
2. (a) El primer modelo es un AR(1). El segundo es un modelo MA(1).
3
(b) Forma de funciones de autocorrelación (ACF) y autocorrelación parcial (PACF):
Modelo ACF PACF
xt = 0.5xt−1 + �t Cae geométricamente. 6= 0 para el primer
rezago y 0 a partir del
segundo rezago.
xt = �t + 0.8�t−1 6= 0 para el primer
rezago y 0 a partir del
segundo rezago.
Cae geométricamente.
(c) En el primer modelo (AR(1)), los shocks tienen efectos que se deshacen gradual-
mente en el tiempo. En el segundo modelo (MA(1)), shocks tienen efectos que
duran exactamente un periodo más allá de aquel en el que el shock se produce.
A continuación se demuestran estas afirmaciones:
Supongamos que � toma un valor de uno en el periodo t, y cero en cualquier otro
periodo: �t = 1; �t+j = 0, j 6= 0. La variable x será cero en periodos previos a
t. La respuesta consiste en evaluar cómo se comporta la variable x a partir del
periodo del shock, t.
Para el primer modelo (AR(1)), xt = 0.5xt−1 + �t, x = 0 antes de t. En el periodo
t, xt = 0.5xt−1+�t = 0.5∗0+1 = 1. En t+1, xt+1 = 0.5xt+�t+1 = 0.5∗1+0 = 0.5.
En t + 2, xt+2 = 0.5xt+1 + �t+2 = 0.5 ∗ 0.5 + 0 = 0.25. Y aśı sucesivamente. Por
lo tanto, shocks a �t tienen efectos que se deshacen gradualmente.
Para el segundo modelo (MA(1)), xt = �t+0.8�t−1, x = 0 antes de t. En el periodo
t, xt = �t+0.8�t−1 = 1+0.8∗0 = 1. En t+1, xt+1 = �t+1+0.8�t = 0+0.8∗1 = 0.8.
En t + 2, xt+2 = �t+2 + 0.8�t+1 = 0 + 0.8 ∗ 0 = 0. Y aśı sucesivamente. Por lo
tanto, shocks a �t tienen efectos hasta el periodo t+ 1.
3. Los criterios de información de Akaike (AIC) y de Schwartz (SBIC) consideran dos
objetivos: a) la varianza de los residuos, es decir, el ajuste del modelo a los datos, y
b) el número de parámetros a estimar, pues a mayor número de parámetros, menores
grados de libertad. Aśı, valores más bajos de los criterios de información indican
modelos con mejor ajuste y más parsimoniosos.
4. Para identificar el orden óptimo, se pueden usar los criterios de información de Akaike
y de Schwarz (AIC y SBIC, respectivamente). Aplicando las ecuaciones discutidas en
clase, se obtienen los siguientes resultados (valor mı́nimo de cada criterio en negrita):
4
Orden ARMA(p,q) log(σ̂2� ) k (# parám.) AIC SBIC
(0,0) 0.932 0 0.932 0.932
(1,0) 0.864 1 0.874 0.890
(0,1) 0.902 1 0.912 0.928
(1,1) 0.836 2 0.856 0.889
(2,1) 0.801 3 0.831 0.880
(1,2) 0.821 3 0.851 0.900
(2,2) 0.789 4 0.829 0.895
(3,2) 0.773 5 0.823 0.905
(2,3) 0.782 5 0.832 0.914
(3,3) 0.764 6 0.824 0.923
Por lo tanto, el criterio AIC sugiere un modelo ARMA(3,2), mientras el criterio SBIC
sugiere un modelo ARMA (2,1).
5. Una forma es escoger el modelo que resulte en residuos sin autocorrelación. Otra
forma es hacer un análisis de pronósticos fuera de muestra y escoger el modelo con
mejor desempeño predictivo.
6. El proceso yt es un MA(2). Para que sea estacionario, debe tener media y varianza
constantes (y finitas), y autocovarianzas que solo dependen del rezago:
• E[yt] = E[(1 + 2.4L + 0.8L2)�t] = E(�t) + 2.4E(�t−1) + 0.8E(�t−2) = 0, que es
constante e igual para todo t.
• V ar[yt] = V ar[(1 + 2.4L+ 0.8L2)�t = σ2� (1 + 2.42 + 0.82) = 1 · 7.4 = 7.4 <∞.
• Autocovarianzas:
γ0 = V ar(yt) = 7.4.γ1 = E[ytyt−1] = E[(�t + 2.4�t−1 + 0.8�t−2)(�t−1 + 2.4�t−2 + 0.8�t−3)] = E[2.4�
2
t−1 +
0.8 · 2.4�2t−2] = 2.4 + 0.8 · 2.4 = 4.32.
γ2 = E[ytyt−2] = E[(�t+ 2.4�t−1 + 0.8�t−2)(�t−2 + 2.4�t−3 + 0.8�t−4)] = E[0.8�
2
t−2] =
0.8.
γ3 = E[ytyt−3] = E[(�t + 2.4�t−1 + 0.8�t−2)(�t−3 + 2.4�t−4 + 0.8�t−5)] = 0.
La autocovarianza solo depende del rezago s:
γs

7.4 para s = 0
4.32 para s = 1
0.8 para s = 2
0 para s ≥ 3
Por lo tanto, el proceso es estacionario.
7. (a) La proyección de la serie y está dada por la expectativa condicional:
Et−1(yt) = Et−1(0.036+0.69yt−1+0.42�t−1+�t) = 0.036+0.69·3.4+0.42·(−1.3) =
1.836.
Et−1(yt+1) = Et−1(0.036 + 0.69yt + 0.42�t + �t+1) = 0.036 + 0.69Et(yt) = 0.036 +
5
0.69 · 1.836 = 1.302.
Et−1(yt+2) = Et−1(0.036 + 0.69yt+1 + 0.42�t+1 + �t+2) = 0.036 + 0.69Et(yt+1) =
0.036 + 0.69 · 1.302 = 0.935.
(b) Usa la definición de la ráız del error cuadrático medio:
RMSE =
√∑T+h
i=T+1(xi − x̂i)2
h
Para este ejemplo, se convierte en:
RMSE =
√
(−0.032− 1.836)2 + (0.961− 1.302)2 + (0.203− 0.935)2
3
= 1.175
6