Clase_1-3

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Minicurso: Funciones reales
Claudio Rivera
Facultad de Matemática
27 de enero de 2018
Álgebra de funciones
Sean f y g funciones con dominios A y B respectivamente. Entonces las funciones f + g,
f − g, f g y f/g están definidas como sigue:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) Dominio A ∩B
(f − g)(x) = f(x)− g(x) Dominio A ∩B
(f g)(x) = f(x)g(x) Dominio A ∩B
(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
Dominio {x ∈ A ∩B | g(x) 6= 0}
Álgebra de Funciones
Ejemplo. Sean f(x) =
1
x− 2 y g(x) =
√
x.
1. Determine f + g, f − g, f g y f/g y calcule sus dominios.
2. Calcular (f + g)(4), (f − g)(4), (f g)(4) y (f/g)(4).
�
Ejemplo. Sean f(x) =
1
x− 2 y g(x) =
√
x.
1. Determine f + g, f − g, f g y f/g y calcule sus dominios.
2. Calcular (f + g)(4), (f − g)(4), (f g)(4) y (f/g)(4).
�
Ejercicio. Sean
f(x) =
1
x
y g(x) =
x+ 1
x− 1
Determine f/g y calcule su dominio.
Composición de funciones
Composición de funciones
Dadas las funciones f y g, la función compuesta g ◦ f se define por
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
Composición de funciones
Composición de funciones
Dadas las funciones f y g, la función compuesta g ◦ f se define por
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
Composición de funciones
Composición de funciones
Dadas las funciones f y g, la función compuesta g ◦ f se define por
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
Composición de funciones
b
x
Composición de funciones
Dadas las funciones f y g, la función compuesta g ◦ f se define por
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
Composición de funciones
b
x
b
f(x)
Composición de funciones
Dadas las funciones f y g, la función compuesta g ◦ f se define por
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
Composición de funciones
b
x
b
f(x)
b
g(f(x))
Composición de funciones
Dadas las funciones f y g, la función compuesta g ◦ f se define por
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
Composición de funciones
g ◦ f
b
x
b
f(x)
b
g(f(x))
Ejemplo. Sean
f(x) =
√
x y g(x) =
√
4− x
Determine g ◦ f , f ◦ g, f ◦ f y g ◦ g y calcule sus dominios. �
Ejemplo. Sean
f(x) =
√
x y g(x) =
√
4− x
Determine g ◦ f , f ◦ g, f ◦ f y g ◦ g y calcule sus dominios. �
Ejercicio. Si f(x) =
1
x− 4 y g(x) = x
2, calcular f ◦ g, g ◦ f y sus dominios.
Ejemplo. Sean
f(x) =
√
x y g(x) =
√
4− x
Determine g ◦ f , f ◦ g, f ◦ f y g ◦ g y calcule sus dominios. �
Ejercicio. Si f(x) =
1
x− 4 y g(x) = x
2, calcular f ◦ g, g ◦ f y sus dominios.
Ejercicio. Si f(x) =
1
x
, calcular f ◦ f y su dominio.
Funciones uno a uno
Funciones uno a uno
Diremos que f es una función uno a uno si no hay dos elemento en el dominio de A que
tengan la misma imagen, vale decir,
Función uno a uno
Funciones uno a uno
Diremos que f es una función uno a uno si no hay dos elemento en el dominio de A que
tengan la misma imagen, vale decir,
a 6= b ⇒ f(a) 6= f(b)
Función uno a uno
a b a b
Funciones uno a uno
Diremos que f es una función uno a uno si no hay dos elemento en el dominio de A que
tengan la misma imagen, vale decir,
a 6= b ⇒ f(a) 6= f(b)
Función uno a uno
a b
Inyectiva
a b
No Inyectiva
Funciones uno a uno
Diremos que f es una función uno a uno si no hay dos elemento en el dominio de A que
tengan la misma imagen, vale decir,
a 6= b ⇒ f(a) 6= f(b)
Función uno a uno
La recta horizontal
Una función f es uno a uno si
y sólo si no hay una recta
horizontal que intersecta su
gráfica en más un punto.
a b
Inyectiva
a b
No Inyectiva
Ejemplo.
�
Ejemplo.
La función
f(x) = x2
1
2
3
1 2-1-2
�
Ejemplo.
La función
f(x) = x2
no es inyectiva ya que
f(−1) = f(1) 1
2
3
1 2-1-2
�
Ejemplo.
La función
f(x) = x2
no es inyectiva ya que
f(−1) = f(1)
y, por tanto, a = 1 y b = −1 tienen la misma
imagen.
1
2
3
1 2-1-2
�
Ejemplo.
La función
f(x) = x2
no es inyectiva ya que
f(−1) = f(1)
y, por tanto, a = 1 y b = −1 tienen la misma
imagen.
1
2
3
1 2-1-2
La función
f(x) = x2, x ≥ 0
1
2
3
1 2
�
Ejemplo.
La función
f(x) = x2
no es inyectiva ya que
f(−1) = f(1)
y, por tanto, a = 1 y b = −1 tienen la misma
imagen.
1
2
3
1 2-1-2
La función
f(x) = x2, x ≥ 0
es inyectiva usando la prueba de la
recta horizontal.
1
2
3
1 2
�
Una función f es uno a uno si y sólo si
f(a) = f(b) ⇒ a = b
Teorema
Una función f es uno a uno si y sólo si
f(a) = f(b) ⇒ a = b
Teorema
Ejemplo. Demuestre que f(x) = 3x+ 4 es una función uno a uno. �
Una función f es uno a uno si y sólo si
f(a) = f(b) ⇒ a = b
Teorema
Ejemplo. Demuestre que f(x) = 3x+ 4 es una función uno a uno. �
Ejercicio. Demuestre que f(x) =
2x+ 1
x+ 3
es una función uno a uno.
Función Inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces se puede definir su
función inversa f−1 con dominio B y recorrido A mediante la relación
f−1(b) = a ⇔ f(a) = b
Función Inversa
Función Inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces se puede definir su
función inversa f−1 con dominio B y recorrido A mediante la relación
f−1(b) = a ⇔ f(a) = b
Función Inversa
A B
Función Inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces se puede definir su
función inversa f−1 con dominio B y recorrido A mediante la relación
f−1(b) = a ⇔ f(a) = b
Función Inversa
a b
A B
Función Inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces se puede definir su
función inversa f−1 con dominio B y recorrido A mediante la relación
f−1(b) = a ⇔ f(a) = b
Función Inversa
a b = f(a)
f
A B
Función Inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces se puede definir su
función inversa f−1 con dominio B y recorrido A mediante la relación
f−1(b) = a ⇔ f(a) = b
Función Inversa
a = f−1(b) b = f(a)
f
f−1
A B
Función Inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces se puede definir su
función inversa f−1 con dominio B y recorrido A mediante la relación
f−1(b) = a ⇔ f(a) = b
Función Inversa
a = f−1(b) b = f(a)
f
f−1
A B
� f−1(f(a)
︸︷︷︸
)
Función Inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces se puede definir su
función inversa f−1 con dominio B y recorrido A mediante la relación
f−1(b) = a ⇔ f(a) = b
Función Inversa
a = f−1(b) b = f(a)
f
f−1
A B
� f−1(f(a)
︸︷︷︸
b
)
Función Inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces se puede definir su
función inversa f−1 con dominio B y recorrido A mediante la relación
f−1(b) = a ⇔ f(a) = b
Función Inversa
a = f−1(b) b = f(a)
f
f−1
A B
� f−1(f(a)
︸︷︷︸
b
) = a
Función Inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces se puede definir su
función inversa f−1 con dominio B y recorrido A mediante la relación
f−1(b) = a ⇔ f(a) = b
Función Inversa
a = f−1(b) b = f(a)
f
f−1
A B
� f−1(f(a)
︸︷︷︸
b
) = a
� f(f−1(b)
︸ ︷︷ ︸
)
Función Inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces se puede definir su
función inversa f−1 con dominio B y recorrido A mediante la relación
f−1(b) = a ⇔ f(a) = b
Función Inversa
a = f−1(b) b = f(a)
f
f−1
A B
� f−1(f(a)
︸︷︷︸
b
) = a
� f(f−1(b)
︸ ︷︷ ︸
a
)
Función Inversa
Sea f una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces se puede definir su
función inversa f−1 con dominio B y recorrido A mediante la relación
f−1(b) = a ⇔ f(a) = b
Función Inversa
a = f−1(b) b = f(a)
f
f−1
A B
� f−1(f(a)
︸︷︷︸
b
) = a
� f(f−1(b)
︸ ︷︷ ︸
a
) = b
Sea f es una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces la función inversa
f−1 satisface las siguientes propiedades de cancelación:
f−1(f(a)) = a para todo a ∈ A
f(f−1(b)) = b para todo b ∈ B
y toda función que satisface estas propiedades es inversa de f .
Propiedad de la función inversa
Sea f es una función uno a uno con dominio A y recorrido B. Entonces la función inversa
f−1 satisface las siguientes propiedades de cancelación:
f−1(f(a)) = a para todo a ∈ A
f(f−1(b)) = b para todo b ∈ B
y toda función que satisfaceestas propiedades es inversa de f .
Propiedad de la función inversa
Ejemplo. Demuestre que g(x) = x1/3 es inversa de f(x) = x3. �
Escribir y = f(x).
Despejar x de la ecuación en términos de y.
Intercambie x por y.
Cómo hallar la función inversa
Escribir y = f(x).
Despejar x de la ecuación en términos de y.
Intercambie x por y.
Cómo hallar la función inversa
Ejemplo. Determine la función inversa de f(x) = 3x− 2. �
Escribir y = f(x).
Despejar x de la ecuación en términos de y.
Intercambie x por y.
Cómo hallar la función inversa
Ejemplo. Determine la función inversa de f(x) = 3x− 2. �
Ejercicio. Determine la función inversa de f(x) =
3x+ 1
2x− 5 .
La gráfica de f−1 se obtiene al reflejar la gráfica de f en torno a la recta y = x.
Gráfica de la función inversa
� y = f(x)
La gráfica de f−1 se obtiene al reflejar la gráfica de f en torno a la recta y = x.
Gráfica de la función inversa
b
(a, b)
� y = f(x)
La gráfica de f−1 se obtiene al reflejar la gráfica de f en torno a la recta y = x.
Gráfica de la función inversa
b
(a, b)
f(a) = b
� y = f(x)
La gráfica de f−1 se obtiene al reflejar la gráfica de f en torno a la recta y = x.
Gráfica de la función inversa
b
(a, b)
f(a) = b ⇒ f−1(b) = a
� y = f(x)
La gráfica de f−1 se obtiene al reflejar la gráfica de f en torno a la recta y = x.
Gráfica de la función inversa
b
(a, b)
f(a) = b ⇒ f−1(b) = a
b
(b, a)
� y = f(x)
La gráfica de f−1 se obtiene al reflejar la gráfica de f en torno a la recta y = x.
Gráfica de la función inversa
b
(a, b)
f(a) = b ⇒ f−1(b) = a
b
(b, a)
y = x
� y = f(x)
La gráfica de f−1 se obtiene al reflejar la gráfica de f en torno a la recta y = x.
Gráfica de la función inversa
b
(a, b)
f(a) = b ⇒ f−1(b) = a
b
(b, a)
y = x
� y = f(x)
� y = f−1(x)
Ejemplo. Sea la función f(x) =
√
x− 2.
1. Trace la gráfica de f .
2. Utilice la gráfica de f para trazar la gráfica de f−1.
3. Calcular f−1.
�
Ejemplo. Sea la función f(x) =
√
x− 2.
1. Trace la gráfica de f .
2. Utilice la gráfica de f para trazar la gráfica de f−1.
3. Calcular f−1.
�
Ejercicio. Sea la función f(x) = 1− (x+ 1)3.
1. Trace la gráfica de f .
2. Utilice la gráfica de f para trazar la gráfica de f−1.
3. Calcular f−1.