11 La derivada de una función inversa

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UNIVERSIDAD NACIONAL
DE CAÑETE
Código: F-M01.01-VPA-008
Revisión: 02
Fecha de aprobación: 22/03/2022
CÁLCULO I
SEMANA 11
LA DERIVADA DE UNA 
FUNCIÓN INVERSA
SEMESTRE ACADÉMICO 2022-1
Teoría y Ejercicios
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INVERSA
Introducción.
En la sesión anterior vimos que las gráficas 
de una función 𝑓 univalente y su inversa 𝑓−1
son reflexiones entre sí en la recta 𝑦 = 𝑥.
Como una consecuencia, si 𝑎, 𝑏 es un 
punto sobre la gráfica de 𝑓, entonces 𝑏, 𝑎
es un punto sobre la gráfica de 𝑓−1.
En esta sesión también veremos que las 
pendientes de las rectas tangentes a la 
gráfica de una función derivable 𝑓 están 
relacionadas con las pendientes de 
tangentes a la gráfica de 𝑓−1. 
Figura. La gráfica de 𝑓−1 es una reflexión 
de la gráfica de 𝑓 en la recta 𝑦 = 𝑥.
TEOREMA. Continuidad y derivabilidad de funciones inversas
Sea 𝑓 una función cuyo dominio es un intervalo 𝐼. Si 𝑓 tiene una función inversa, 
entonces las siguientes afirmaciones son ciertas.
1. Si 𝑓 es continua en su dominio, entonces 𝑓−1 es continua en su dominio.
2. Si 𝑓 es creciente en su dominio, entonces 𝑓−1 es creciente en su dominio.
3. Si 𝑓 es decreciente en su dominio, entonces 𝑓−1 es decreciente en su dominio.
4. Si 𝑓 es derivable en un intervalo que contiene 𝑐 y 𝑓´ 𝑐 ≠ 0, entonces 𝑓−1 es 
derivable en 𝑓 𝑐 .
TEOREMA. La derivada de una función inversa
Sea 𝑓 una función derivable en un intervalo 𝐼 y que 𝑓´ 𝑥 nunca es cero sobre 𝐼. Si 𝑓
tiene una función inversa 𝑓−1 sobre 𝐼, entonces 𝑓−1 es derivable en cualquier 𝑥 y 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓−1 𝑥 =
1
𝑓´ 𝑓−1 𝑥
Demostración
Para toda 𝑥 en el dominio de 𝑓−1, se cumple que 
𝑓 𝑓−1 𝑥 = 𝑥
Por derivación implícita y la regla de la cadena se tiene,
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑓−1 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥
𝑓´ 𝑓−1 𝑥 ∙
𝑑
𝑑𝑥
𝑓−1 𝑥 = 1
𝑑
𝑑𝑥
𝑓−1 𝑥 =
1
𝑓´ 𝑓−1 𝑥
EJEMPLO 1.
Evaluar la derivada de una función inversa
Sea 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑥3 + 𝑥 − 1
a) ¿Cuál es el valor de 𝑓−1 𝑥 cuando 𝑥 = 3?
b) ¿Cuál es el valor de 𝑓−1 ´ 𝑥 cuando 𝑥 = 3?
Solución. Note que 𝑓 es univalente y por lo tanto tiene una 
función inversa.
a) Ya que 𝑓 𝑥 = 3 cuando 𝑥 = 2, se sabe que 𝑓−1 3 = 2.
b) Dado que la función 𝑓 es derivable y tiene una función 
inversa, se puede aplicar el teorema de la derivada de 
función inversa
Figura. Las gráficas de 𝑓 y 𝑓−1
tienen pendientes recíprocas en el 
punto 𝑎, 𝑏 y 𝑏, 𝑎 .
En el ejemplo 1, observe que el punto 2, 3
la pendiente de la gráfica de 𝑓 es 4, y en el 
punto 3, 2 la pendiente de la gráfica de 𝑓−1
es 𝑚 =
1
4
como se muestra en la figura.
Resulta evidente que la ecuación del teorema de la derivada de una función inversa 
muestra que para encontrar la función derivada para 𝑓−1 es necesario conocer de 
manera explícita 𝑓−1 𝑥 .
Para una función univalente 𝑦 = 𝑓 𝑥 , resolver la ecuación 𝑥 = 𝑓 𝑦 para 𝑦 algunas 
veces es difícil y a menudo imposible. En este caso resulta conveniente volver a escribir 
la ecuación del teorema de la derivada de una función inversa usando otra notación. De 
nuevo, por derivación implícita,
Si 𝑎, 𝑏 es un punto conocido sobre la gráfica de 𝑓, el resultado en la ecuación obtenida 
permite evaluar la derivada de 𝑓−1 en 𝑏, 𝑎 sin contar con una ecuación que defina 
𝑓−1 𝑥 .
Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Derivada de funciones exponenciales
Derivada de funciones logarítmicas
G
R
A
C
I
A
S