Taller_03_04 (1)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemática
PIMU A
Minicurso: Funciones trigonométricas
Resumen: Los ejercicios de este documento evalúan los contenidos vis-
tos en las clase 3 y 4.
Copyright c⃝ 2017
Actualizado el: 15 de Enero de 2017
2
Escritura
1. El número π se escribe pi
2. La expresión x2 se escribe x^2
3. La expresión |x| se escribe |x|
4. La expresión
√
x se escribe sqrt(x)
5. El intervalo cerrado [0, 1] se escribe [0,1]
6. El intervalo abierto (1, 3) se escribe (1,3)
7. El intervalo
(
−∞, 1
2
]
se escribe (-inf,1/2]
8. El intervalo (−∞,∞) se escribe (-inf,inf)
9. El conjunto (−3,−1] ∪ (4,∞) se escribe (-3,-1]U(4,inf)
10. El conjunto {2} ∪ (3, 4] se escribe [2,2]U(3,4]
3
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función f(x) = 1 + cos(x)?
1
2
π
2
π 3π
2
2π
1
2
π
2
π 3π
2
2π
1
2
π
2
π 3π
2
2π
1
2
π
2
π 3π
2
2π
Pregunta 1
4
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función f(x) = sin(x)− 2?
−1
−2
−3
π
2
π 3π
2
2π −1
−2
−3
π
2
π 3π
2
2π
−1
−2
−3
π
2
π 3π
2
2π −1
−2
−3
π
2
π 3π
2
2π
Pregunta 2
5
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función f(x) = | cos(x)|?
1
−1 π2 π
3π
2
2π
1
−1 π2 π
3π
2
2π
1
−1 π2 π
3π
2
2π
1
−1 π2 π
3π
2
2π
Pregunta 3
6
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función f(x) = sin(2x)?
1
−1 π2 π
3π
2
2π
1
−1 π2 π
3π
2
2π
1
−1 π2 π
3π
2
2π
1
−1 π2 π
3π
2
2π
Pregunta 4
7
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función f(x) = −2 sin(3x)?
1
2
−1
−2
π
2
π 3π
2
2π
1
2
−1
−2
π
2
π 3π
2
2π
1
2
−1
−2
π
2
π 3π
2
2π
1
2
−1
−2
π
2
π 3π
2
2π
Pregunta 5
8
La gráfica mostrada a continuación corresponde a la función
f(x) = − sin
(
π
2
x
)
f(x) = − sin (πx)
f(x) = sin
(
π
2
x
)
f(x) = sin (πx)
1
-1
2 4 6 8-2-4-6-8
Pregunta 6
9
¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función f(x) = tan
(
3
2
x
)
?
π
3
2π
3
−π
3
−2π
3
3π
2
3π−3π
2
−3π
2π
3
4π
3
−2π
3
−4π
3
3π 6π−3π−6π
Pregunta 7
10
Determine la amplitud y peŕıodo de la función f(x) = −3 cos(2x)
Solución.
Amplitud:
Peŕıodo:
Pregunta 8
11
Determine la amplitud y peŕıodo de la función f(x) = 1 +
1
2
sin(πx)
Solución.
Amplitud:
Peŕıodo:
Pregunta 9
12
Determine la amplitud y peŕıodo de la función f(x) = −2 + cos(3πx)
Solución.
Amplitud:
Peŕıodo:
Pregunta 10
13
Determine el peŕıodo de la función f(x) = tan(3x)
Solución.
Peŕıodo:
Pregunta 11
14
Determine el peŕıodo de la función f(x) = tan
(
2x+ π2
)
Solución.
Peŕıodo:
Pregunta 12
15
Determine el peŕıodo de la función f(x) = tan
(
3
2x+
π
3
)
Solución.
Peŕıodo:
Pregunta 13
16
Determine la amplitud, peŕıodo y desplazamiento de fase de la función f(x) = −2 cos
(
x− π2
)
Solución.
Amplitud:
Peŕıodo:
Peŕıodo:
Pregunta 14
17
Determine la amplitud, peŕıodo y desplazamiento de fase de la función f(x) = 3− 5 sin
(
4x+ π3
)
Solución.
Amplitud:
Peŕıodo:
Peŕıodo:
Pregunta 15
18
Se proporciona la gráfica de un peŕıodo completo de una curva seno o coseno.
1
2
−1
−2
π
4
2π
4
3π
4
π
1. Determine amplitud y peŕıodo.
2. Escriba una ecuación que represente la curva en la forma: y = A sin(k(x−b)) o y = A cos(k(x−b))
Solución.
1. Amplitud: Peŕıodo:
2. y =
Pregunta 16
19
Se proporciona la gráfica de un peŕıodo completo de una curva seno o coseno.
1
2
3
−1
−2
−3
π
3
2π
3
−π
3
1. Determine amplitud y peŕıodo.
2. Escriba una ecuación que represente la curva en la forma: y = A sin(k(x−b)) o y = A cos(k(x−b))
Solución.
1. Amplitud: Peŕıodo:
2. y =
Pregunta 17
20
Se proporciona la gráfica de un peŕıodo completo de una curva seno o coseno.
4
-4
1-1
1. Determine amplitud y peŕıodo.
2. Escriba una ecuación que represente la curva en la forma: y = A sin(k(x−b)) o y = A cos(k(x−b))
Solución.
1. Amplitud: Peŕıodo:
2. y =
Pregunta 18
21
Cuando una ola pasa por los pilotes fuera de la
playa, la altura del agua está modelada mediante
la función
h(t) = 3 cos
( π
10
t
)
donde h(t) es la altura en metros por arriba del nivel
medio del mar en el tiempo t segundos.
1. Determine el peŕıodo de la ola.
2. Calcule la altura de la ola, es decir, la distancia vertical entre el valle y la cresta de la ola.
Solución.
1. Peŕıodo:
2. Altura de la ola:
Pregunta 19
22
Se golpea un diapasón, lo cual produce un tono puro cuando sus puntas vibran. Las vibraciones se
modelan con la función
v(t) = 0.7 sin(880πt)
donde v(t) es el desplazamiento de las puntas en miĺımetros en el tiempo t segundos.
1. Determine el peŕıodo de la vibración.
2. Calcule la frecuencia de la vibración, es decir, la cantidad de veces que vibra por segundo el diapasón.
Solución.
1. Peŕıodo de la vibración:
2. Frecuecia de la vibración:
Pregunta 20
23
Las estrellas variables son aquellas cuya brillantez vaŕıa en forma periódica. Una de las más visibles es
Leónidas R; su brillantez está modelada por la función
b(t) = 7.9− 2.1 cos
( π
156
t
)
donde t se mide en d́ıas.
1. Calcule el peŕıodo en d́ıas.
2. Determine la brillantez máxima y la mı́nima.
Solución.
1. Peŕıodo en d́ıas:
2. Brillantes máxima:
Brillantes mı́nima:
Pregunta 21
24
La presión sanguinea de cierta persona está dada por
P (t) = 80 + 7 sin(πt/24)
donde t se mide en horas desde la media noche. ¿Cuántas veces en una semana esta persona tiene presión
máxima?
Solución.
El número de veces que la persona tiene presión máxima en una semana es:
Pregunta 22
25
La sombra que proyecta un hombre de dos metros de es-
tatura tiene una longitud
S(t) = 2
∣∣∣∣cot( π12 t
)∣∣∣∣
donde S se mide en metros y t es el número de horas desde
las 6 a.m.
1. Encuentre la longitud de la sombra a las 8:00 a.m., al
mediod́ıa y a las 2:00 p.m.
2. Determine los valores de t, con 0 < t < 12, en los
que la longitud de la sombra es igual a la estatura del
hombre. ¿A qué hora corresponden cada uno de estos
valores?
2
S
Solución.
1. • 8:00 a.m.: metros • mediod́ıa: metros • 2:00 p.m.: metros
2. Los valores de t son:
Pregunta 23
26
Determine el valor de x en la siguiente figura
25 x
30◦
Solución.
x =
Pregunta 24
27
Determine el valor de x en la siguiente figura
3
30◦60◦
x
Solución.
x =
Pregunta 25
28
Determine el valor de x en la siguiente figura
3
60◦
60◦
x
Solución.
x =
Pregunta 26
29
Una torres de agua está situada a 150 metros de un edificio. Desde una ventana del edificio, un observador
ve que el ángulo de elevación a la parte superior de la torre es 39◦ y que el ángulo de depresión de la
parte inferior de la torre es 25◦. ¿Cuál es la altura de la torre? ¿Cuál es la altura de la ventana?
Agua
25◦
39◦
150mt
Solución.
Altura de la ventana:
Altura de la torre:
Pregunta 27
30
Determine el área del siguiente triángulo.
10 cm
4 cm
120◦
A B
C
Solución.
cm2
Pregunta 28
31
Calcular las siguientes funciones trigonométricas en los ángulos dados:
1. cos(135◦) =
2. tan(210◦) =
3. sec(300◦) =
4. cos(480◦) =
5. cot(570◦) =
6. sin(−60◦) =
7. tan(−60◦) =
8. csc(−120◦) =
Pregunta 29
32
Si α está en el segundo cuadrante y sin(α) =
5
13
, determine el valor de tan(α).
Solución.
tan(α) =
Pregunta 30
33
Un joven quiere medir la altura de un árbol desde su casa. Al medir desde el pie de su casa encuentra que
el ángulo de elevación del árbol es 45◦. Se sube luego al techo, que está a seis metros del suelo y halla
que el ángulo de elevación ahora es 30◦. ¿Cuál es la altura del árbol?
45◦
30◦
Solución.
Altura del árbol:
Pregunta 31
34
Determinar la longitud AD.
ADB
C
12
12
25◦
25◦
Solución.
AD =
Pregunta 32
35
Un hombre mide un ángulo de elevación de una torre desde un punto situado a 100 metros de ella. Si el
ángulo medido es de 20◦ y la torre forma un ángulo de 68◦ con el suelo, determinar la longitud L.
20◦ 68◦100mt
L
Solución.
L =
Pregunta 33
36
Determinar la longitud AD.
ADB
C
12
12
25◦
25◦
Solución.
AD =
Pregunta 34
37
Si BD = 20mt, determine la longitud AC.
30◦
75◦
60◦
α
c
C
A
B
D
Solución.
AC =
Pregunta 35
38
Determine el valor de x en el siguiente triángulo.
120◦
4
x
3
Solución.
x =
Pregunta 36
39
Determine el valor de x en el siguiente triángulo.
30◦
8
10
x
Solución.
x =
Pregunta 37
40
Determine el valor de x en el siguiente triángulo.
88◦
4
8 x
Solución.
x =
Pregunta 38
41
Para determinar la distancia a través de un pequeño lago, un agrimensor ha tomado las mediciones
mostradas en la siguiente figura.
Determine la distancia a través del lago a partir de esta información.
Solución.
Pregunta 39
42
Sea ABC un triángulo con AB = 2 y AC = 3 cent́ımetros. Si α = 60◦, ¿cuál es la medida del lado BC?
Solución.
Pregunta 40
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	obj.P22.102: 
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	sqIDP22: 
	obj.P22.106: 
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	sqIDP22: 
	obj.P22.108: 
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	obj.P22.116: 
	corr.P22.116: 
	sqIDP22: 
	obj.P22.118: 
	corr.P22.118: