Examen 2021-1

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Economı́a y Administración
Primer Semestre 2021
Examen - Pauta
Pregunta 1
Durante el fin de semana los ayudantes comenzaran la revisión de las apelaciones de este examen. Como
seguramente serán más de cien, priorizaremos a los 100 que estén más cerca del umbral de aprobación (Nota
Final 3.95). Suponga que entre estos, hay [m] que aprobaran el curso post revisión. Si los ayudantes, el
martes antes de subir las notas solo alcanzaran a revisar 80 alumnos, ¿cuál es la probabilidad que al menos
siete aprobados deban esperar unos d́ıas más para que sean notificados? Consideré que los 80 alumnos fueron
escogidos al azar.
Solución
Definamos como A al evento “al menos siete aprobados deban esperar unos d́ıas más para que sean notifica-
dos”.
Tenemos que
#S =
(
100
20
)
y #A =
6∑
x=0
(
[m]
x
)
·
(
100− [m]
20− x
)
Por lo tanto
P (A) = 1− #A
#S
[1.0 ptos.]
Alternativamente podemos definir la variable aleatoria X como el número de eximidos en los no revisados.
X ∼ Hipergeometrica(n = 20, N = 100, m = [m])
P (A) = 1− P (X < 7) = P (X ≥ 7)
[1.0 ptos.]
------------- ------------
m P(A) m P(A)
------------- ------------
20 0.06366900 30 0.3849201
21 0.08275503 31 0.4277384
22 0.10507844 32 0.4708296
23 0.13065735 33 0.5137259
24 0.15942141 34 0.5559819
25 0.19121327 35 0.5971861
26 0.22579388 36 0.6369695
27 0.26285122 37 0.6750123
28 0.30201161 38 0.7110488
29 0.34285313 39 0.7448694
30 0.38492014 40 0.7763209
------------- ------------
Nota: Si entrega como respuesta P (X < 7), P (X > 7) o P (X ≤ 7) asignar [0.5 ptos.]
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Primer Semestre 2021
1 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
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Pregunta 2
Una institución financiera mensualmente evalúa a sus clientes y marca a algunos como pre-aprobados para
créditos.
Suponga que un cliente que fue pre-aprobado durante el mes, presenta con probabilidad [p] sus antecedentes
para acceder al crédito.
Si los clientes pre-aprobados mensualmente se comportan de acuerdo a una distribución Poisson([lambda]).
¿Cuál es el coeficiente de variación del número de clientes pre-aprobados en el mes que presentarán sus
antecedentes para acceder al crédito? Asuma que los clientes actúan independientemente.
Solución
Sean X los clientes pre-aprobados en el mes e Y los que presentan sus antecedentes.
X ∼ Poisson([lambda]) e Y |X = x ∼ Binomial(n = x, [p])
Por teorema de probabilidades totales se tiene que
Y ∼ Poisson([lambda] · [p]) [0.5 Ptos.]
Se pide
δY =
1√
[lambda] · [p]
[0.5 Ptos.]
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Pregunta 3
El área de recursos humanos analizó el comportamiento conjunto de las ventas X que la empresa tiene
mensualmente con un indice Y que mide el grado de satisfacción de sus empleados, el cual se actualiza todos
los meses. Si el comportamiento conjunto de estas dos variables está determinado por la siguiente función de
densidad conjunta:
fX,Y (x, y) =
βe−βx+y
e− 1
,
con β > 0, 0 ≤ y ≤ 1 y x > 0.
¿Cuál es el grado de correlación entre ellas?
Solución
Tenemos que
fX(x) =
∫ 1
0
βe−βx+y
e− 1
dy = β e−β x
y
fY (y) =
∫ ∞
0
βe−βx+y
e− 1
dx =
ey
e− 1
Como fX,Y = fX · fY , entonces X e Y son independientes, por lo cual su correlación es cero. [1.0 Ptos.]
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Pregunta 4
Un estudiante durante este semestre al 1er módulo de clases se conectaba tarde 10 min en promedio con un
coeficiente de variación del 50 %. Si los tiempo de retraso de este estudiante se comporta como una variable
aleatoria Gamma, ¿cuál es la probabilidad aproximada que el próximo semestre en el 1er módulo sume más
de [m] horas de atraso? Asuma independencia entre los tiempos de retrasos y que tiene clases en ese módulo
los cinco d́ıas de la semana. Como dato, la Facultad programo el próximo semestre lo siguiente:
Solución
Sea X el tiempo de atraso el cual distribuye Gamma(k, λ). Del enunciado tenemos que
δX =
1√
k
=
1
2
y µX =
k
λ
= 10
Por lo tanto
X ∼ Gamma(k = 4, λ = 0.4) [0.5 Ptos.]→ σX =
√
k
λ
= 5
Por teorema del limite central se tiene que
n∑
i=1
Xi
aprox∼ Normal(n · µX , n · σ2X)
Se pide
P
(
64∑
i=1
Xi > 60 · [m]
)
≈ Φ
(
60[m]-640
40
)
[0.5 Ptos.]
m Respuesta
10 0.84134475
11 0.30853754
12 0.02275013
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Pregunta 5
Datos de la Encuesta Nacional de Salud, muestran que en Hombres, la edad X (en años) y el nivel de
colesterol Y (en mg/dL) se comportan según una
Normal2
(
µX = 42, µY = 191, σ
2
X = 18
2, σ2Y = 45
2, ρ = 0.36
)
¿Cuál es la probabilidad que un Hombre de [x] años tenga un nivel de colesterol mayor a los [y] mg/dL?
Solución
Se pide P (Y > [y] |X = [x]).
Como
Y |X = [x] ∼ Normal
(
µY + ([x]− µX) ·
σY · ρ
σX
, σ2Y · (1− ρ2)
)
entonces
P (Y > [y] |X = [x]) = 1− Φ
(
[y]− µY + ([x]− µX) · σY ·ρσX
σY ·
√
1− ρ2
)
[0.5 Ptos.]
Por ejemplo, [y] = 190 y [x] = 40, la respuesta es 0.5019005. [0.5 Ptos.]
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Pregunta 6
¿Cuales de las siguientes relaciones entre modelos siempre son correctas?
i. X ∼ Log-Normal(λ, ζ)→ eX ∼ Normal(λ, ζ)
ii. X ∼ Gamma(k, ν)→ c ·X ∼ Gamma(c · k, ν), c > 0
iii. X ∼ Normal(µ, σ)→
(
X − µ
σ
)2
∼ Gamma
(
1,
1
2
)
Solución
Ninguna de las anteriores [1.0 Ptos.], ya que
i. Si X ∼ Log-Normal(λ, ζ)→ ln(X) ∼ Normal(λ, ζ). [1/3 Ptos.] si hay respaldo
i. Si X ∼ Gamma(k, ν)→ c ·X ∼ Gamma(k, ν/c), c > 0. [1/3 Ptos.] si hay respaldo
iii. X ∼ Normal(µ, σ)→
(
X − µ
σ
)2
∼ Gamma
(
1
2
,
1
2
)
. [1/3 Ptos.] si hay respaldo
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Pregunta 7
Suponga que X e Y distribuyen conjuntamente de manera Multinomial(n, pX , pY ). La correlación entre
([a] ·X) y ([b] · Y ) es:
Solución
Tenemos que marginalmente
X ∼ Binomial(n pX) e Y ∼ Binomial(n pY )
con las siguientes restricciones:
X + Y = n y pX + pY = 1.
Por lo tanto, como
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 ·Cov(X,Y ) = 0→ Cov(X,Y ) = −n · pX · (1− pX) = −n · pY · (1− pY ).
[0.5 Ptos.]
Se pide
Corr([a] ·X, [b] · Y ) = a · b
|a| · |b|
· Cov(X, Y )√
Var(X) ·Var(Y )
=
a · b
|a| · |b|
· (−1)
Como [a] > 0 y [b] < 0, entonces la respuesta es 1. [0.5 Ptos.]
Nota: Si responde -1 asignar [0.5 Ptos.].
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Pregunta 8
Durante el año 2020 hubo 250 mil nacimientos y las estad́ısticas muestran que el [p]% de los nacimientos
son hijos de extranjeros. ¿Cuál fue el tiempo (en minutos) esperado entre nacimientos de hijos de extranjeros
el año 2020? Suponga que los nacimientos ocurren según un proceso Poisson.
Nota: El año 2020 tuvo 365 d́ıas.
Solución
Sea Xt el número de nacimientos extranjeros en t minutos con
Xt ∼ Poisson(λ t),
con λ =
[p]
100
· 250000
365 · 24 · 60
. [0.5 Ptos.]
Por lo tanto, si T es el tiempo (en min) entre nacimientos extranjeros,
T ∼ Exponencial(λ) [0.3 Ptos.]
Se pide E(T ) =
1
λ
. [0.2 Ptos.]
Nota: margen de error ±1.
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Pregunta 9
Un veh́ıculo al llegar a un cruce con una avenida se detiene. El conductor decide continuar su trayecto
siempre y cuando una ventana de tiempo de 15 segundos sin tránsito se presente en la avenida. Si el trafico
en la avenida es en un solo sentido y se comportasegún un proceso de Poisson con una tasa promedio de
10 autos por minuto. Determinar el número esperado de ventanas de tiempo que dejará pasar antes de cruzar.
Solución
Sea Xt el número de veh́ıculos que pasan por la avenida en t segundos con
Xt ∼ Poisson(λ t),
con λ =
10
60
y T el tiempo (en seg) entre veh́ıculos: T ∼ Exp(λ).
Sea π la probabilidad que el tiempo entre veh́ıculos sea mayor a 15 segundos:
π = P (T > 15) = e−15·λ = 0.082085 [0.5 Ptos.]
Definamos como Y el número de ventanas de tiempo entre veh́ıculo hasta observar la 1ra mayor a 15 segundos:
Y ∼ Geométrica(π)
Se pide E(Y )− 1 = 1
π
− 1 = 11.18249. [0.5 Ptos.]
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Pregunta 10
Debido a irregularidades espaciales, la profundidad H de perforación desde la superficie hasta la roca base
puede ser modelada por medio de una distribución Log-Normal con profundidad media de 20 metros y
coeficiente de variación del 30 %. En el orden de proveer un soporte adecuado, una “pila” de acero debe ser
“anclada” 0.5 metros en la roca.
¿Cuál es la probabilidad que una pila de 25 metros de largo no se ancle satisfactoriamente en la roca?
Solución
Tenemos que
H ∼ Log-Normal(λ, ζ2)
con
ζ =
√
ln(1 + 0.32) = 0.2935604 y λ = ln(20)− 0.5 · ζ2 = 2.952643
[0.5 Ptos.]
Se pide
P (H > 24.5) = 1− Φ
(
ln(24.5)− 2.952643
0.2935604
)
= 0.2009904 [0.5 Ptos.]
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Pregunta 11
Usted ha comprado recientemente un producto por e-commerce. El delivery que lleva el producto tiene 4
posibles rutas con idéntico tiempo de entrega entre A y B. Si él elige una ruta al azar entre: 1-3-4, 1-2, 1-6-4
o 1-5, y en cada uno de los 6 tramos que componen estas rutas, hay un probabilidad [p] de retrasarse, ¿cuál
es la probabilidad que cumpla con el tiempo de entrega? Suponga que los retrasos en cada tramo ocurren de
manera independiente.
La siguiente Figura ilustra las tres rutas posibles:
Solución
Definamos como A el evento “cumpla con el tiempo de entrega”.
Por teorema de probabilidades totales y la independencia entre los tramos se tiene que
P (A) =
1
4
[
(1− [p])3 + (1− [p])3 + (1− [p])2 + (1− [p])2
]
=
(1− [p])2 [p]
2
[1.0 Ptos.]
Nota: Si entrega el complemento asignar [0.5 ptos.]
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Pregunta 12
La siguiente Figura muestra tres eventos contenidos en un espacio muestral.
¿Cuál de las alternativas representa al evento sombreado?
Solución
(A ∩Bc ∩ Cc) ∪ (Ac ∩B ∩ C)
[1.0 Ptos.]
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