Probabilidad y estadistica- ejercicios resueltos bien explicados00064 - Viridiana Heredia Olivares

Vista previa del material en texto

PontificiaUniversidadCat´olicadeChile
FacultaddeEconom´ıayAdministraci´on
PrimerSemestre2021
PautaPrueba
Pregunta1
Considereel“Lanzamientodeunamonedahonestadosvecessobreunasuperficielisa”ydefinalossiguiente
eventos:
A: “Observarcaraenelprimerlanzamiento”.
B: “Observarcaraenelsegundolanzamiento”.
C: “Observarsolounacara”.
Delassiguientesafirmacionescualessoncorrectas:
(1) A, B y C sonindependientes.
(2) A, B y C sondisjuntosapares.
Nota:Comolasuperficieeslisa,considerecomocerolaprobabilidadquelamonedacaigadecanto.
Solo(1)
Solo(2)
Ambas
Ningunadeellas
Soluci´on
Tenemosqueelespaciomuestraestacompuestoporlossiguientescuatropuntosmuestrales:
S = {cc,cs,sc,ss }
yloseventos
A = {cc,cs },,B = { sc,cc },C = {cs,sc }.
Como
P (A)= P (B)= P (C)=1 /2
y
P (A ∩B ∩ C)= P (φ)=0 6= 1
8
= P (A) · P (B) · P (C),
entoncesnosecumple(1). [0.5Puntos]
Como A ∩B = {cc}, A ∩ C = {cs} y B ∩ C = {sc} tampocosecumple(2). [0.5Puntos]
Alternativacorrecta:Ningunadeellas.
EAA1510-ProbabilidadyEstad´ıstica
PrimerSemestre2021
1 Profesores:RicardoAravenaCuevas
AlonsoMolinaNu˜nez
RicardoOleaOrtega
Pregunta 2
Considere el siguiente diagrama de Venn
¿Cuál de las alternativas representa al evento compuesto por los puntos muestrales contenidos en las zonas
de color verde?
(A ∩B) ∪ C.
(A ∪B) ∩ C.
(A ∩B) ∪ Cc.
(A ∪B) ∩ Cc.
Ninguna de las anteriores.
Solución
El evento representa al compuesto por los puntos muestrales contenidos en las zonas de color verde es
(A ∩B ∩ Cc) ∪ (Ac ∩Bc ∩ C) [1.0 Punto]
aśı que “Ninguna de las anteriores” seŕıa la alternativa correcta.
EAA1510 - Probabilidad y Estad́ıstica
Primer Semestre 2021
2 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Alonso Molina Nuñez
Ricardo Olea Ortega
Pregunta 3
Considere los siguientes eventos contenidos en un mismo espacio muestral: A, B y C. ¿Cuales de las siguientes
igualdades con respecto a la probabilidad de su unión es siempre correcta?
P (A ∪B ∪ C) = 1− P (Ac ∩Bc ∩ Cc).
P (A ∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C).
P (A ∪B ∪ C) = 1− P (Ac) · P (Bc) · P (Cc).
P (A∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A) ·P (B)−P (B) ·P (C)−P (A) ·P (C)+P (A) ·P (B) ·P (C).
Solución
Por regla del complemento y De Morgan siempre es correcta la siguiente alternativa:
P (A ∪B ∪ C) = 1− P (Ac ∩Bc ∩ Cc) [1.0 Punto]
Las otras opciones son correctas bajo los supuestos de independencia o de eventos disjuntos, es decir, casos
particulares.
EAA1510 - Probabilidad y Estad́ıstica
Primer Semestre 2021
3 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Alonso Molina Nuñez
Ricardo Olea Ortega
Pregunta 4
Con respecto a la definición de probabilidad subjetiva seleccione una de las siguientes alternativas:
Es una cuantificación del grado de ocurrencia que una persona puede asignar a un evento en particular.
Es la diferencia entre la probabilidad emṕırica y teórica.
Es el resultado obtenido bajo el supuesto que el espacio muestral es finito y equiprobable.
Es el porcentaje de veces que el evento ocurre después de un número considerable de repeticiones de
un experimento o fenómeno de interés.
Solución
Es una cuantificación del grado de ocurrencia que una persona puede asignar a un evento en particular.
[1.0 Punto]
EAA1510 - Probabilidad y Estad́ıstica
Primer Semestre 2021
4 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Alonso Molina Nuñez
Ricardo Olea Ortega
Pregunta 5
Suponga que durante la prueba de hoy, [m] alumnos tendrán algún problema técnico, de salud o fuerza ma-
yor. Si en el link 1 hay 200 alumnos conectados y se presentaron a rendir la prueba los 321 que actualmente
están inscritos en el curso, ¿cuál es la probabilidad que al menos cuatro de estos [m] alumnos se encuentre
en el link 2 ? Suponga que los alumnos eligen al azar él link donde conectarse.
Solución
Definamos el evento A: “al menos cuatro alumnos de estos alumnos se encuentran conectados en el link 2”.
Como los alumnos escoǵıan una sala al azar, tenemos
#S =
(
321
121
)
[0.25 Puntos]
en que 121 están conectados en el link 2.
Los casos favorables del complemento de A son:
#Ac =
(
m
0
)(
321− m
121
)
+
(
m
1
)(
321− m
120
)
+
(
m
2
)(
321− m
119
)
+
(
m
3
)(
321− m
118
)
[0.75 Puntos]
Luego
P (A) = 1− #A
c
#S
Por ejemplo:
m = 20
1-sum(choose(m,0:3)*choose(321-m, n-0:3))/choose(321,121)
[1] 0.9773796
EAA1510 - Probabilidad y Estad́ıstica
Primer Semestre 2021
5 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Alonso Molina Nuñez
Ricardo Olea Ortega
Pregunta 6
Las ventas inmobiliarias han disminuido mucho en el último año, debido a la crisis sanitaria y los problemas
económicos que esto conlleva.
Durante este periodo, una empresa que tiene un gran edificio en el sector oriente de la capital ha generado
dos horarios para que los interesados visiten el piloto y una alternativa virtual. El [p1]% de las visitas al
piloto son durante la mañana, un [p2]% en la tarde, y el resto ha optado por el tour virtual.
Por otra parte, el [q1]% de los visitantes de mañana ha comprado finalmente un departamento, mientras
que el [q2]% de los visitantes de la tarde han realizado la compra. En el caso de las personas virtuales, solo
un [q3]% ha comprado.
¿Cuál es la probabilidad que un departamento recientemente adquirido, el nuevo propietario haya visitado
el piloto de manera virtual?
Solución
Definamos los siguientes eventos:
A1: visita piloto am.
A2: visita piloto pm.
A3: visita piloto virtula.
B: compra departamento.
Se pide
P (A3 |B) =
P (B |A3) · P (A3)
P (B |A1) · P (A1) + P (B |A1) · P (A1) + P (B |A1) · P (A1)
=
(1− p1− p2) · q3
p1 · q1 + p2 · q2 + (1− p1− p2) · q3
[1.0 Punto]
Por ejemplo:
p1 = 21/100
p2 = 21/100
p3 = 1-p1-p2
q1 = 2.2/100
q2 = 2.0/100
q3 = 1.7/100
p3*q3/(p1*q1+p2*q2+p3*q3)
0.5278373
EAA1510 - Probabilidad y Estad́ıstica
Primer Semestre 2021
6 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Alonso Molina Nuñez
Ricardo Olea Ortega
Pregunta 7
Usted ha comprado recientemente un producto por e-commerce. El delivery que lleva el producto tiene 3
posibles rutas con idéntico tiempo de entrega entre A y B. Si él elige una ruta al azar entre: 1-3-4, 1-2 o
1-5, y en cada uno de los 5 tramo que componen estas las rutas, hay un probabilidad [p] de retrasarse,
¿cuál es la probabilidad que no llegue a tiempo? Suponga que los retrasos en cada tramo ocurren de manera
independiente.
La siguiente Figura ilustra las tres rutas posibles:
Solución
Definamos los eventos Ri: “delivery escoge i-ésima ruta” y A: “delivery llega a tiempo”.
Del enunciado se tiene que
P (R1) = P (R2) = P (R3) =
1
3
[0.2 Puntos]
y por independencia
P (A |R1) = (1−p)3, [0.2 Puntos] P (A |R3) = (1−p)2, [0.2 Puntos] P (A |R3) = (1−p)2 [0.2 Puntos]
Aplicando teorema de probabilidades totales y regla del complemento se tiene que
P (Ac) = 1− (1− p)
2 (3− p)
3
[0.2 Puntos]
Por ejemplo:
p = 0.36
1-(1/3)*((1-p)^3+(1-p)^2+(1-p)^2)
[1] 0.639552
1-(1-p)^2*(3-p)/3
[1] 0.639552
EAA1510 - Probabilidad y Estad́ıstica
Primer Semestre 2021
7 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Alonso Molina Nuñez
Ricardo Olea Ortega
Pregunta 8
Suponga que el tiempo, en d́ıas, que un cajero automático de queda sin dinero para giros se puede modelar
como una variable aleatoria cuya función de distribución de probabilidad acumulada está dada por la siguiente
expresión:
FX(x) =
(eαx − 1)β
1 + (eαx − 1)β
con x > 0, α > 0 y β > 0. Determine el IQR y evalúe para α = [alpha] y β = [beta].
Hint: Recuerde que si xp representa al percentil p× 100 %, entonces FX (xp) = p.
Solución
Tenemos que
FX(xp) =
(eαxp − 1)β
1 + (eαxp − 1)β
= p→ xp =
1
α
· ln
[(
p
1− p
)1/β
+ 1
]
[0.8 Puntos]
Se pide
IQR = x0.75 − x0.25 [0.2 Puntos]
Por ejemplo:
beta = 5
alpha = 3
p = 0.75
x75 = log((p/(1-p))^(1/beta)+1)/alpha
p = 0.25
x25 = log((p/(1-p))^(1/beta)+1)/alpha
x75-x25
[1] 0.07324082
EAA1510 - Probabilidad y Estad́ıstica
Primer Semestre 2021
8 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Alonso Molina Nuñez
Ricardo Olea Ortega
Pregunta 9
Suponga que los tiempos de atención de un ejecutivode cuenta se pueden modelar según la distribución
Exponencial(λ) que fue analizada en detalle en clases y cuya función de distribución de probabilidad acu-
mulada está dada por:
FT (t) = 1− e−λt
con t > 0 y λ > 0.
Si una persona durante un trámite, espera [a] minutos para que el ejecutivo lo atienda, ¿cuál es el coeficiente
de variación del tiempo total del trámite, es decir, la suma entre los tiempos de espera y atención?
Evalúe para λ = [lambda].
Solución
Si X es el tiempo de atención, entonces se pide
δ =
√
Var(X + a)
E(X + a)
. [0.2 Puntos]
En clases se mostro que
[0.2 Puntos] E(X) =
1
λ
y Var(X) =
1
λ2
[0.2 Puntos]
Por propiedades del operador E() y Var() ante una transformación lineal se tiene que
δ =
1
λ
1
λ + a
[0.4 Puntos]
Por ejemplo:
lambda = 0.2
a = 5
(1/lambda)/(a+1/lambda)
[1] 0.5
EAA1510 - Probabilidad y Estad́ıstica
Primer Semestre 2021
9 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Alonso Molina Nuñez
Ricardo Olea Ortega
Pregunta 10
Las rentabilidades diarias, en escala porcentual, que tiene una de las empresas que más han rentado el último
año puede ser modelada por la siguiente función de densidad:
fX(x) =
e2x
α2
· e−(e
x)/α
con x ∈ R y α > 0. iCuál seŕıa la moda de la rentabilidad diarias de esta empresa? Evalúe para α = [alpha]
Solución
Tenemos que
f ′(x) =
1
α
[
e2x · 2 · e−(e
x)/α + e2x · e−(e
x)/α ·
(
− 1
α
ex
)]
=
1
α
· e2x · e−(e
x)/α
[
2− 1
α
ex
]
[0.5 Puntos]
= 0→ x = ln(2α) [0.5 Puntos]
Por ejemplo:
alpha = 0.6
log(2*alpha)
[1] 0.1823216
EAA1510 - Probabilidad y Estad́ıstica
Primer Semestre 2021
10 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Alonso Molina Nuñez
Ricardo Olea Ortega
Pregunta 11
Un modelo comúnmente utilizado para representar los tiempos de espera para la atención en un call-center
esta determinado por la siguiente función de densidad:
fT (t) =
(
t
β
)β−1
· exp
[
−
(
t
β
)β]
con t > 0 y β > 0.
Determine la mediana teórica de este modelo y evalúe para β = [beta].
Solución
Si x es la mediana, entonces
FT (x) =
∫ x
0
(
t
β
)β−1
· exp
[
−
(
t
β
)β]
dt =
∫ (x/β)β
0
e−y dy = 1− exp
[
−
(
x
β
)β]
=
1
2
[0.5 Puntos]
Despejando
x = exp
{
ln(β) +
1
β
· ln[ln(2)]
}
[0.5 Puntos]
Por ejemplo:
beta = 10
x = exp(log(beta)+(1/beta)*log(log(2)))
x
[1] 9.640122
EAA1510 - Probabilidad y Estad́ıstica
Primer Semestre 2021
11 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Alonso Molina Nuñez
Ricardo Olea Ortega
Pregunta 12
El número de fraudes bancarios que se detectan diariamente puede ser modelado como una variable aleatoria
discreta cuya función generadora de momentos está dada por la siguiente expresión:
MX(t) =
(
1 + α− αet
)−β
, t ∈ R
Evalúe el coeficiente de variación de este modelo cuando α = [alpha] y β = [beta].
Solución
Tenemos que
M
(1)
X (t) = β ·
(
1 + α− α et
)−β−1 · (α et)
→M (1)X (0) = α · β = E(X)
M
(2)
X (t) = β · (β + 1) ·
(
1 + α− α et
)−β−2 · (α et)2 + β · (1 + α− α et)−β−1 · (α et)
→M (2)X (0) = β · (β + 1) · α
2 + α · β = E(X2)
Por lo tanto
[0.4 Puntos] µX = α · β y σ2X = α · β + α2 · β [0.4 Puntos]
Se pide
δX =
σX
µX
=
√
α · β + α2 · β
α · β
[0.2 Puntos]
Por ejemplo:
alpha = 1.77
beta = 5.09
sqrt(alpha*beta+alpha^2*beta)/(alpha*beta)
[1] 0.5544908
alpha = 1
beta = 4
sqrt(alpha*beta+alpha^2*beta)/(alpha*beta)
[1] 0.7071068
EAA1510 - Probabilidad y Estad́ıstica
Primer Semestre 2021
12 Profesores: Ricardo Aravena Cuevas
Alonso Molina Nuñez
Ricardo Olea Ortega