Ayudantia1_2013_1

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economı́a
Teoŕıa Microeconómica I
Primer semestre 2013
Ayudant́ıa N01
Ayudantes: Caroline Laplace
Daniela Sugg
1. Muestre que si ρ es métrica, entonces σ(x, y) = ρ(x,y)
1+ρ(x,y)
también lo es.
2. Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que el conjunto F sea cerra-
do es que toda vez que xn sea una sucesión convergente en F, entonces ĺımn→∞ xn ∈
F
3. Demuestre que la unión de toda colección de conjuntos abiertos es abierta.
4. Sea (X,ρ) un espacio métrico. Demostrar que si ĺımn→∞ xn = x y ĺımn→∞ yn = y
entonces ĺımn→∞ ρ(xn, yn) = ρ(x, y)
5. Utilizando la definición, demostrar que la intersección de dos conjuntos convexos es
convexa.
Definición: El conjunto A es convexo si solo si se cumple que
(∀λ ∈ [0, 1] ⊂ R) (x, y ∈ A⇒ λx+ (1− λ)y ∈ A)
6. Sea X = {{an} |an ∈ R,
∑
|an| <∞} con las siguientes métricas definidas en X
d1({an}, {bn}) =
∑
|an − bn|
d2({an}, {bn}) = supn∈N |an − bn|
Sea F: X → X dado por F ({an}) = {cn}, con c1 = 0, c2 = 1 y cn = an−2 si n > 2.
Estudiar la continuidad de F si F : (x, d1)→ (x, d2)
7. Imagine un mapa de conjuntos de indiferencia donde todas las curvas son ĺıneas
paralelas con pendiente negativa y donde la utilidad aumenta hacia el noreste. De-
muestre que estas preferencias satisfacen el axioma 5’, pero no el 5.
8. Sea un mapa de conjuntos de indiferencia donde todos son ángulos rectos alineados
sobre la recta definida por x1 = x2, y donde la utilidad aumenta hacia el noreste
¿Se satisfacen los axiomas 4, 5, 5’?
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