Clase 2

Vista previa del material en texto

Preferencias
Demanda
Demostraciones
Teoría Microeconómica I
Teoría de la Demanda
Bernardita Vial
Instituto de Economía - PUC
2014
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Preferencias
Relación de preferencias (%):
relación binaria (relaciona elementos de X con el mismo X ):
x 0 % x , o �x 0 es (débilmente) preferido sobre x�
Si (x % x 0) ^ (x 0 % x), decimos que x � x 0 (relación de
indiferencia)
Si (x % x 0) ^ (x 0 6% x) decimos que x � x 0 (relación de
preferencia estricta)
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Proponemos como axioma que % satisface las siguientes
propiedades:
Axioma 1: % es completa
lo que implica que es re�eja
Axioma 2: % es transitiva
es decir, si x , x 0, x 00 2 X y (x % x 0) ^ (x 0 % x 00), entonces
x % x 00
Una relación binaria % de�nida sobre el conjunto X se llama
relación de preferencia si satisface los axiomas 1 y 2.
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Además:
Axioma 3: % es continua
es decir, los conjuntos % x � fx 0 2 X : x 0 % xg y
- x � fx 0 2 X : x 0 - xg son cerrados
Con los axiomas 1, 2 y 3 ya es posible decir que hay una
función de utilidad real u : X ! R continua que representa
%; esto es, que satisface
x % x 0 () u (x) � u
�
x 0
�
Tomemos X como Rn+. Podemos agregar:
Axioma 4�: no saciedad local:�
8x0 2 Rn+
�
(8ε > 0)
�
9x 2 B
�
x0, ε
�
\Rn+
�
: x � x0
Axioma 4: no saciedad estricta:
�
8x0, x1 2 Rn+
�
x0 � x1 =) x0 % x1; y x0 > x1 =) x0 � x1
Axioma 5 y 5�: convexidad
* Ejercicios 1.13 (preferencias lexicográ�cas) y 1.24 (transformaciones
de u) de Jehle & Reny
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Theorem
Si % satisface los axiomas 1,2,3 y 4, entonces % puede ser
representada por una función de utilidad real u : Rn+! R continua.
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Demostración:
Tome un vector de unos en Rn+, que llamamos e. De�na
u : Rn+ �! R de modo que
u (x) e � x
Para x �jo ese u existe y es único
(monotonicidad+completitud+continuidad y
transitividad+monotonicidad)
Esa función representa preferencia
(de�nición+transitividad+monotonicidad):
x % x0 () u (x) � u
�
x0
�
y es continua: si O abierto en R (i.e, O = (a, b)), entonces
u�1 (O) es abierta (u�1 (a, b) = fx 2Rn+ : ae � x �beg por
monotonicidad y transitividad; abierto por continuidad de
preferencia)
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Demanda
Conjunto de posibilidades:
B (p,m) =
n
x 2 RL+ : p � x � m
o
,
donde p es el vector de precios (dados) y x el vector de
cantidades (considerando n = L bienes)
La demanda x (p,m) se puede expresar entonces como:
x (p,m) = fx 2 B (p,m) : B (p,m)\ � x = ∅g .
x en x (p,w) si no hay ningún x0 que sea factible y
estrictamente preferido sobre x
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Demanda
Problema:
max
x2RL+
u (x) sujeto a p � x � m
no saciedad)restricción de igualdad
¿cómo resolvemos? Condiciones de KKT con restricción de
desigualdad, método de Lagrange con igualdad.
Lema de Farkas: sea Am�n y c 2 Rn;
(i) 9x 2 Rn tal que Ax � 0 y cT x >0
o (ii) 9y 2 Rm+ tal que AT y = c.
Aplicando en este caso: A1�n = p y c =ru (x�)2 Rn;
(i) 9dx 2 Rn tal que p � dx � 0 y ru (x�)T dx >0 (baja
gasto y aumenta utilidad; se descarta si x es óptimo)
o (ii) 9λ 2 R+ tal que λpT = ru (x�)
) condición para el óptimo: λp` = ∂u∂x`
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Lema de Farkas y Kuhn-Tucker
Problema general: max
x2Rn
f (x) s.a. g (x) � 0, m restricciones.
si x� óptimo local, f (x) no puede aumentar en conjunto
factible.
sea B (x�) el conjunto de m0 restricciones activas en x� ) @
dx 2Rn tal que rf (x�)T dx >0 (aumenta f (x)) y
rgj (x�)T dx �0 8j 2 B (x�) (factibilidad).
Lema de Farkas) 9 λ2 Rm 0+ tal que rf (x�) = AT λ, donde
Am 0�n contiene los m
0 vectores rgj (x�)T para j 2 B (x�);
i.e., rf (x�) = ∑
j2B (x�)
λjrgj (x�)
con λj = 0 para j /2 B (x�), obtenemos:
rf (x�)�
m
∑
j=1
λjrgj (x�) = 0 (esto es, ∂L∂x` = 0)
gj (x) = 0 8j 2 B (x�) y λj = 0 8 j /2 B (x�)) λjgj (x) = 0
8 j = 1, ..,m, con λ2 Rm+ (esto es, λj ∂L∂λj = 0)
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Lema de Farkas y Kuhn-Tucker
Para que el análisis anterior sea correcto, las restricciones
activas deben regulares en x� : gradientes frgj (x�)gmj=1 para
j 2 B (x�) linealmente independientes.
Esto, porque la condición rgj (x�)T dx �0 no asegura que se
mantenga factibilidad si las restricciones son linealmente
dependientes.
Ejemplo: max
fx1,x2g
x1 sujeto a x2 � (1� x1)3 � 0 y �x2 � 0.
el óptimo es x� = (1, 0), pero rg1 (x�)T dx =dx2 y
rg2 (x�)T dx = �dx2
luego, para cualquier dx1 se cumple que rgj (x�)T dx �0 si
dx2 = 0.... ¡pero no todas esas perturbaciones son factibles!
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Demanda
Problema:
max
x2RL+
u (x) sujeto a p � x � m
(= por no saciedad)
Suponiendo no saciedad obtenemos las siguientes CPO:
∂u
∂x`
= λp` ` = 1, 2, ..., L
p � x = m
entonces, en el óptimo debe ser cierto que p`p`0
= u`u`0
; esto es,
precio relativo de bienes iguala a la TMSS (tangencia de curva
de indiferencia y RP)
resolviendo encontramos x (p,m)
CSO se obtienen de cuasiconcavidad de u
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Nota sobre Condiciones de Segundo Orden
Condiciones su�cientes (alternativas) para que x� que
satisface CPO (o KKT) sea máximo:
L (x;λ) cóncava en x
f (x) cuasicóncava y λjgj (x) cuasiconvexa para todo j , con
Of (x�) 6= 0
para todo r 2 fm+ 1, ..., ng, (�1)r Dr (x) > 0 , donde cada
Dr (x) es el menor principal líder de orden r del hesiano orlado
de L de�nido como:
H (x) =
�
0 Og (x)T
Og (x) HL (x)
�
(con HL (x) matriz de segundas derivadas de L respecto de x).
Esto es, los últimos n�m menores principales líderes de H (x)
alternan de signo, empezando con el signo de (�1)m+1 .
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Propiedades
Si la preferencia es estrictamente convexa, de hecho x (p,m)
es una función (contiene un sólo elemento para cada par
(p,m)), que satisface:
M1) Ley de Walras: p � x (p,m) = m (no saciedad estricta)
M2) Continuidad: x (p,m) continua (continuidad de
preferencia)
M3) Homogeneidad de grado cero: x (λp,λm) = x (p,m)
(de�nición de x, notando que B (λp,λm) = B (p,m))
* Ejercicios 1.26 y 1.27 de Jehle & Reny (demandas marshallianas)
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
La función de utilidad indirecta es:
v (p,m) = max
x2B (p,m)
u (x) = u (x (p,m))
A partir de v (p,m), y aplicando el teorema de la envolvente,
obtenemos la Identidad de Roy:
x` (p,m) = �
∂v (p,m)
∂p`
∂v (p,m)
∂m
* Ejercicio 1.36 Jehle & Reny (Identidad de Roy)
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
La demanda hicksiana es la solución del problema dual:
min
x2Rn+
x � p sujeto a u (x) = u
(= por no saciedad)
Esto es:
x (p, u) = arg min
x2Vu
p � x,
donde Vu �
�
x 2 RL+ : u (x) � uLa función de mínimo costo es:
e (p, u) = min
x2Vu
p � x = p � x (p, u) .
A partir de e (p, u) y aplicando el teorema de la envolvente,
obtenemos:
x` (p, u) =
∂e (p, u)
∂p`
(Lema de Shephard)
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
La demanda hicksiana debe satisfacer las siguientes
propiedades:
H1) Continuidad
H2) Efecto sustitución no-positivo (convexidad estricta de
preferencia)
H3) Homogeneidad de grado cero en p: x (λp, u) = x (p, u)
H4) Simetría: ∂x`∂p`0
=
∂x`0
∂p`
(Lema de Shephard y teorema de
Young).
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
De lo anterior se desprende que la matriz de segundas
derivadas (Hessiano) de e respecto de p` es simétrico, y los
elementos de su diagonal son no-positivos.
Más aún, dicha matriz debe ser negativa semide�nida
esto es, (�1)r 4r � 0 para r = 1, ..., n, donde 4r (menor
principal de orden r) es el determinante de la matriz que
resulta de borrar todas menos r columnas y r �las del mismo
número.
o lo que es lo mismo, e cóncava en p
* Demuestre que la función de mínimo costo es cóncava en p
(Teorema 1.7 en Jehle & Reny)
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
A partir de estas propiedades y dualidad, se obtienen
propiedades sobre la función de mínimo costo,
e (p, u) = min fp � x : x 2 Vug = p � x (p, u):
por continuidad de la demanda, e (p, u) es continua
por teorema de la envolvente, rpe (p, u) = x (p, u) � 0 y
∂e(p,u)
∂u � 0
por homogeneidad de grado cero en p de x (p, u), e (p, u) es
homogénea de grado uno en p
e (λp, u) = λp � x (p, u) = λe (p, u)
por Hessiano de e negativa semide�nido, e (p, u) es cóncava
en p.
* Ejercicios 3.I.3, 3.I.5 y 3.I.7 de Mas-Colell, Whinston y Green
(función de costo y medidas de cambio en bienestar)
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Denotando la demanda marshalliana x (p,m) por xM y la
hicksiana x (p, u) por xH , obtenemos las siguientes relaciones:
D1) relación entre demandas:
xH (p, u) = xM (p, e (p, u))
xM (p,m) = xH (p, v (p,m))
D2) relación entre costos y utilidad indirecta:
e (p, v (p,m)) = m
v (p, e (p, u)) = u
A partir de lo anterior se deriva la Ecuación de Slutsky:
∂xH` (p, u)
∂p`0
(D1)
=
∂xM` (p, e (p, u))
∂p`0
+
∂e (p, u)
∂p`0
∂xM` (p,m)
∂m
Shephard
=
∂xM` (p, e (p, u))
∂p`0
+ x`0
∂xM` (p,m)
∂m
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
El que la matriz de segundas derivadas (Hessiano) de e sea
simétrica y negativa semide�nida, junto con la ecuación de
Slutsky, implica la siguiente propiedad de la demanda
marshalliana:
M4) matriz de sustitución
S (p,m) =
0BB@
∂x1
∂p1
+ x1
∂x1
∂m . . .
∂x1
∂pn
+ xn
∂x1
∂m
...
. . .
...
∂xn
∂p1
+ x1
∂xn
∂m . . .
∂xn
∂pn
+ xn ∂xn∂m
1CCA simétrica y
negativa semide�nida.
De hecho, la simetría de S con ley de Walras implican
homogeneidad de grado cero. Dem.
* Ejercicio 3.G.14 de Mas-Colell, Whinston y Green (Matriz de
sustitución)
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Integrabilidad
A partir de la función de utilidad obtenemos demandas con
ciertas características.
Surge la pregunta inversa: ¿es posible interpretar cualquier
función de la forma x (p,m) que satisface estas propiedades
como una demanda que proviene de la maximización de
utilidad de un individuo?
Respuesta a�rmativa, con x que satisface ley de Walras
(p � x (p,m) = m), con S simétrica y negativa semide�nida.
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Integrabilidad
Theorem
Una función x (p,m) continuamente diferenciable es la demanda
generada a partir de una función de utilidad creciente y
cuasicóncava si (y sólo si, para utilidad continua, estrictamente
creciente y estrictamente cuasicóncava) satisface ley de Walras,
con S simétrica y negativa semide�nida.
Dos pasos:
de función de demanda a función de mínimo costo
de función de mínimo costo a preferencias
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
De función de demanda a función de mínimo costo:
por dualidad tenemos que: xM` (p, e (p, u)) = x
H
` (p, u) ,y por
Lema de Shepard:
xH` (p, u) =
∂e (p, u)
∂p`
para obtener e (p, u) necesitamos �integrar� xH
i.e., resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de�nido por:
xM1 (p, e (p, u)) =
∂e (p, u)
∂p1
xM2 (p, e (p, u)) =
∂e (p, u)
∂p2
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Resolver sistema de ecuaciones diferenciales será posible si las
derivadas cruzadas de e (p, u) son simétricas
pero eso es justamente lo que indica la simetría de S .
es decir, existe una solución al sistema, que va a ser una
función continua y diferenciable.
Falta veri�car que dicha solución satisface las propiedades de
una función de mínimo costo.
por construcción sabemos que es creciente en p y que cumple
Lema de Shepard: ∂e(p,u)∂p` = x
M
` (p, e (p, u)) � 0
es posible veri�car también homogeneidad de grado cero y
concavidad de función e en p Dem. Ejemplo
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
De función de mínimo costo a preferencia:
queremos veri�car que e (p, u) efectivamente es una función
de mínimo costo; esto es, que hay un conjunto Vu que
satisface que e (p, u) = min
x2Vu
p � x para todo p� 0
para ello construimos el conjunto
Vu =
n
x 2 RL+ : p � x � e (p, u) para todo p� 0
o
, y
veri�camos que e (p, u) = min
x2Vu
p � x para todo p� 0,
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
¿Cómo sabemos que e (p, u) = min
x2Vu
p � x para todo p� 0?
como
Vu =
n
x 2 RL+ : p � x � e (p, u) para todo p� 0
o
=)
todos los x en Vu satisfacen que e (p, u) � p � x para todo
p� 0. Luego e (p, u) � min
x2Vu
p � x
falta mostrar que e (p, u) � min
x2Vu
p � x para tener la igualdad
usamos la canasta que se forma al evaluar rpe (p, u) en algún
p (cualquiera); esa canasta está en Vu , y
) min
x2Vu
p � x � p � rpe (p, u) = e (p, u) Dem. Ejemplo
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Preferencias Reveladas
x0 se revela directamente preferida sobre x1 (x0
d
� x1) si al
momento de escoger x0 la canasta x1 también estaba
disponible
esto es, si
p0x1 � p0x0,
donde pt es el vector de precios enfrentados al comprar
x t
Axioma débil de preferencias reveladas: Si x0
d
� x1,
entonces x1 nunca se revela directamente preferida sobre x0
en otras palabras, si x0 6= x1, entonces
p0x1 � p0x0 =) p1x0 > p1x1
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Supongamos que el comportamiento de un individuo al
enfrentarse a distintos precios e ingreso se resume en x (p,m);
si su comportamiento satisface el AD y Ley de Walras,
entonces x (p,m) es homogénea de grado 1
en efecto, si p1= λp0 y p1x1 = λp0x0 (aumentan precios e
ingresos en igual proporción), entonces
p0x1 =
p1x1
λ
= p0x0
si x0 6= x1 AD implicaría que p1x0 > p1x1
al reemplazar λp0 = p1 en condición p1x1 = λp0x0,
obtenemos p1x1 = p1x0, por lo que x0 y x1 deben ser la
misma canasta.
se puede mostrar también que si x (p, y) satisface AD y Ley de
Walras, entonces la matriz de Slutsky que se generaría a partir
de ella es negativa semide�nida. Falta sólo simetría.
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Sabíamos que la simetría de S con ley de Walras implican
homogeneidad de grado cero
Si hay sólo dos bienes, sabemos también que ley de Walras
con homogeneidad de grado cero implican simetría
en ese caso a partir de AD+ley de Walras obtenemos las
condiciones para integrabilidad
pero si hay más de dos bienes, ello no es cierto: S no
necesariamente es simétrica.
Necesitamos un axioma más fuerte:
Axioma fuerte de preferencias reveladas: Si x0
d
� x1,
x1
d
� x2, y así sucesivamente hasta xn (es decir, si x0 se revela
indirectamente preferida sobre xn), entonces xn nunca se
revela directamente preferida sobre x0
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
De hecho, basta una versión del AF que admite curvas de
indiferencia que no son estrictamente convexas:
Axioma generalizado de preferencias reveladas: Si
x0
d
� x1, x1
d
� x2, y así sucesivamente hasta xn (es decir, si x0
se revela indirectamente preferida sobre xn), entonces xn
nunca se revela estrictamente directamente preferida sobre x0
�es decir, x0 no está nunca estrictamente dentro del conjunto
de lo factible cuando x1 es escogido.
* Ejercicio 2.10 de Jehle & Reny. ¿Qué puede decir entonces acerca
de la siguiente a�rmación?: �el axioma fuerte de preferencias
reveladas se satisface si y sólo si se satisface el axioma débil de
preferencias reveladas.�
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
Preferencias
Demanda
Demostraciones
Propiedades
Integrabilidad
Preferencias Reveladas
Agregación y Agente representativo
Agregación y Agente representativo
Varias preguntas:
¿demanda agregada puede escribirse en función de ingreso
agregado (independientemente de distribución del ingreso)?
Si y sólo si las preferencias de todos los consumidores admiten
funciones de utilidad indirecta de la forma de Gorman con
iguales coe�cientes del ingreso:
vi (p,mi ) = ai (p) + b (p)mi
¿demanda agregada sastiface axioma débil?
¿demanda agregada tiene contenido normativo?
* Ejercicios 3.G.10, 3.G.11 y 3.G.12 de Mas-Colell, Whinston y Green
(Forma de Gorman)
Bernardita Vial Teoría Microeconómica I
	Preferencias
	Demanda
	Propiedades
	Integrabilidad
	Preferencias Reveladas
	Agregación y Agente representativo
	Demostraciones