Ayudantía 4 Solución 3

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IE–UC Teoŕıa Econométrica I
Pendientes Ayudant́ıa 4
Teoŕıa Econometrica I
Profesor: Tomás Rau
Ayudantes: Bernardo De Moura, Sebastián Poblete
1 Ejercicio 3
a) Primero desarrollemos los términos de S̃2:
S̃2 = (Y −Xβ)′(Y −Xβ) + λβ′β
= (Y ′ − β′X ′)(Y −Xβ) + λβ′β usando (A+B)′ = A′ +B′ y (AB)′ = B′A′
= Y ′Y − Y ′Xβ − β′X ′Y + β′X ′Xβ + λβ′β
= Y ′Y − 2Y ′Xβ + β′X ′Xβ + λβ′β usando β′X ′Y = (β′X ′Y )′ = Y ′Xβ,
es igual a su transpuesto porque β′X ′Y es un escalar
= Y ′Y − 2Y ′Xβ + β′X ′Xβ + β′λβ usando que λ es escalar
= Y ′Y − 2Y ′Xβ + β′(X ′X + λI)β factorizando
Ahora utitilzaremos las siguientes reglas de derivación:
∂x′Ax
∂x
= (A′ +A)x = 2Ax si es que A es cuadrada;
∂Ax
∂x
= A′
Aśı, tenemos que la Condición de Primer Orden para despejar β̃ (el estimador) es:
∂S̃2
∂β
= −2X ′Y + 2(X ′X + λI)β̃ = 0
Despejando β̃:
⇒ β̃ = (X ′X + λI)−1X ′Y
b) Encontremos la esperanza de β̃ para ver que es sesgado:
E(β̃) = E[(X ′X + λI)−1X ′Y ]
= E[(X ′X + λI)−1(X ′X)β] + E[(X ′X + λ)−1(X ′�)] reemplazando Y = Xβ
= (X ′X + λI)−1(X ′X)β + (X ′X + λI)−1X ′E(�) usando que las X son no estocásticas
(estamos en los supuestos usuales)
= (X ′X + λI)−1(X ′X)β usando que E(�) = 0
6= β, luego, β̃ es sesgado
Ahora encontremos una expresión para la varianza de β̃ notando lo siguiente:
β̃ − E(β̃) = (X ′X + λI)−1X ′Y − (X ′X + λI)−1(X ′X)β
= (X ′X + λI)−1X ′�, reemplazando Y = Xβ + �
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Utilizando esto encontremos la varianza por definición:
V(β̃) = E[(β̃ − E[β̃])(β̃ − E[β̃])′]
= E[(X ′X + λI)−1X ′�[(X ′X + λI)−1X ′�]′]
= E[(X ′X + λI)−1X ′��′X(X ′X + λI)−1] usando (ABC)′ = C ′B′A′ y (X ′X + λI)−1 simétrica
= (X ′X + λI)−1X ′E[��′]X(X ′X + λI)−1 usando X’s no estocásticas y λ constante
= σ2(X ′X + λI)−1X ′X(X ′X + λI)−1 usando E[��′] = σ2I
c) Usemos la ayuda y sabiendo que V(β̂MCO) = σ2(X ′X)−1 notemos que:
V(β̂MCO)−1 − V(β̃)−1 = σ−2(X ′X)− σ−2(X ′X + λI)(X ′X)−1(X ′X + λI)
= σ−2(X ′X)− σ−2(X ′X + λI)(I + λ(X ′X)−1)
= σ−2(X ′X)− σ−2(X ′X + 2λI + λ2(X ′X)−1)
= σ−2(X ′X −X ′X − 2λI − λ2(X ′X)−1)
= −σ−2(2λI + λ2(X ′X)−1)
Como X ′X es semidefinida positiva pues es una forma cuadrática de X y λ, σ2 son positivos, pero
toda la matriz está multiplicada por un -1 entonces V(β̂MCO)−1−V(β̃)−1 es semidefinida negativa.
Utilizando la ayuda, entonces V(β̂MCO) − V(β̃) es semidefinida negativa y por lo tanto tenemos
que la varianza de β̃ es menor que la del estimador MCO.
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