(C1) pauta_certamen1_trimestre1_2014

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
SOLUCION EVALUACION 1. 520145.
INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIA.
Problema 1. (15 puntos) Sea A el conjunto de todas las rectas L de un plano, B el conjunto
de todos los puntos P del plano, p(L, P ) la función proposicional “la recta L pasa por el punto
P” y q la proposición
q : ∀L ∈ A, ∃P ∈ B : p(L, P ).
1.1) Escriba la negación de q, simbólicamente y en lenguaje usual.
1.2) Indique el valor de verdad de q.
Solución 1.1). La negación de q es:
∼ q : ∃L ∈ A, ∀P ∈ B :∼ p(L, P ).
( 6 puntos)
En lenguaje usual, la negación es:
“Existe una recta L tal que cualquiera sea en punto P en el plano, la recta L no pasa por
el punto P” ( 4 puntos)
Solución 1.2). La proposición q es verdadera. ( 5 puntos)
Problema 2. (15 puntos)
2.1) Sean A = {a} y B = {1}. Dado que P (X) es el conjunto de las partes del conjunto X,
calcule P (A), P (B) y P (A ∪ B). Además, verifique que P (A ∪ B) 6= P (A) ∪ P (B).
2.2) Pruebe que cualquiera sean los conjuntos A y B se tiene que P (A∩B) = P (A)∩P (B).
Solución 2.1). Los conjuntos pedidos son:
P (A) = {A, φ}; P (B) = {B, φ}; P (A ∪ B) = {{a}, {1}, {a, 1}, φ}.
P (A∪B) 6= P (A)∪P (B), pues {a, 1} ∈ P (A∪B) y {a, 1} /∈ P (A)∪ P (B). (7 puntos)
Solución 2.2).Cualquiera sea el conjunto X se tiene:
X ∈ P (A ∩ B) ⇐⇒ X ⊆ A ∩ B ⇐⇒ X ⊆ A ∧ X ⊆ B ⇐⇒ X ∈ P (A) ∩ P (B).
En consecuencia, P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B). ( 8 puntos)
1
Problema 3. (30 puntos)
3.1) Encuentre el conjunto solución S1 ⊂ R de la inecuación |x − |x|| ≤ 4.
3.2) Sean x, y ∈ R. Pruebe que: x2 = y2 ⇐⇒ |x| = |y|.
3.3) Encuentre el conjunto solución S2 ⊂ R de la inecuación
13
x − 3
−
3
x + 2
> −5.
Solución 3.1). En primer lugar, si x ≥ 0, entonces |x| = x. Luego,
|x − |x|| ≤ 4 ⇐⇒ |x − x| ≤ 4 ⇐⇒ 0 ≤ 4.
lo que es verdadero y la solución a este caso es Si = {x : x ≥ 0} = [0, +∞[. (5 puntos)
Ahora, si x < 0, entonces |x| = −x y
|x − |x|| ≤ 4 ⇐⇒ |x + x| ≤ 4 ⇐⇒ |x| ≤ 2 ⇐⇒ x ≥ −2.
De donde, el conjunto solución a este caso es Sii = {x : −2 ≤ x < 0} = [−2, 0[.
Finalmente, la solución S1 es S1 = Si ∪ Sii = [−2, +∞[. (5 puntos)
Solución 3.2). Se tiene
x2 = y2 ⇐⇒ x2 − y2 = 0 ⇐⇒ (x + y)(x − y) = 0 ⇐⇒ x = −y ∨ x = y.
(5 puntos)
lo que equivale a
|x| = | − y| ∨ |x| = |y| ⇐⇒ |x| = |y|.
Es decir, x2 = y2 ⇐⇒ |x| = |y|. (5 puntos)
Solución 3.3). Se tiene
13
x − 3
−
3
x + 2
> −5 ⇐⇒
13(x + 2) − 3(x − 3)
x − 3)(x + 2
) > 0 ⇐⇒
5(x2 + x + 1)
(x − 3)(x + 2)
> 0. (3 puntos)
Como la ecuación x2+x+1 = 0 no tiene solución en R y se cumple que ∀x ∈ R : x2+x+1 > 0,
(2 puntos)
haciendo la tabla correspondiente se obtiene que x > 3∨x < −2. En consecuencia, la solución
S2 es:
S2 =] −∞,−2[∪]3, +∞[. (5puntos)
NOTA: No utilizar elementos electrónicos.
02.04.2014.
Tiempo: 60 minutos.
AC/GA/MS/ LT/ MC/CG/JC/MG/FS/acq.
2