RESORTES

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Laboratorio de Vibraciones Mecánicas
Departamento de Ingeniería Mecánica
 
1
 
 
 
 
Práctica 
 PARTICIPACION 5% 
 PRESENTACIÓN 10% 1a INVESTIGACIONES 10% 
 
Resortes en serie y 
en paralelo 
 CÁLCULOS Y DIAGRAMAS 15% 
NOMBRE RESULTADOS 30% 
MATRICULA CONCLUSIONES 25% 
GRUPO DE LAB COMENTARIOS Y OBSERVACIONES 5% 
PROFESOR 
INSTRUCTOR TOTAL 100% 
 
 
 
OBJETIVOS 
 
• El alumno comprenderá el significado de la constante de rigidez de un resorte y su 
relación con la fuerza elástica que éste ejerce sobre una masa en un sistema con 
movimiento armónico simple. 
• Se analizarán las diferencias entre configuraciones de resortes en serie y paralelo en 
forma analítica y experimental. 
• Se verificarán distintos métodos para determinar la constante de rigidez de un 
resorte en forma experimental. 
 
 
FUNDAMENTOS 
 
 Los resortes son elementos ampliamente utilizados para la construcción de sistemas 
dinámicos. Dichos elementos tienen la propiedad de ejercer una fuerza restauradora de 
naturaleza elástica cuando sufren una deformación relativa entre sus extremos. Esta fuerza 
puede ser representada a través de la ecuación 
 
 F kx= − (1) 
 
 donde el signo negativo indica que un resorte siempre ejercerá una fuerza en dirección 
contraria a la dirección en que es deformado. La naturaleza de la fuerza restauradora de un 
resorte es elástica dado que tiene un comportamiento lineal, como el que puede apreciarse en la 
fig. 1. 
 
 
 
 Figura 1.- Representación gráfica de la relación fuerza vs. 
deformación en una zona elástica enunciada por la Ec. (1). 
 
 
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 Cuando se analiza el efecto de las fuerzas ejercidas por los resortes sobre una o distintas 
masas en un sistema dinámico se toman en cuenta las siguientes consideraciones: 
 
a) La masa es despreciable, dado que no contribuye significativamente al peso 
del sistema. 
b) No existe amortiguamiento interno en el resorte. 
 
 
 La fuerza resultante que ejercen los resortes sobre las masas en los sistemas dinámicos 
depende de su configuración espacial en dicho sistema: serie (fig. 2a) o paralelo (fig. 2b). 
 
 
 
 
 
 Figura 2.- Configuraciones de resorte. (a) serie, (b) paralelo y 
(c) sistema equivalente. 
 
 
 
 Las configuraciones en serie y paralelo mostradas en la fig. (2) pueden ser representadas 
a través de un sistema equivalente. El valor de la constante de rigidez equivalente para dicho 
sistema (keq) es diferente para cada una de las dos configuraciones. Para encontrar el valor de 
dicha constante se analizarán ambos casos. 
 
 
A. Resortes en serie 
 
 El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (serie y equivalente) es el que aparece 
en la fig. (3). En ambos casos debe prevalecer la condición de equilibrio 
 
 
 0F =∑ (2) 
 
 por lo que 
 
 R eqF F= (3) 
 
 
 debe notarse que ambos resortes en serie están sometidos a la misma fuerza. Esto 
significa que 
 
 1 1 2 2RF k kδ δ= = (4) 
 
 
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 donde δ1 y δ2 son las deformaciones sufridas por los resortes 1 y 2 respectivamente, las 
cuales se obtienen a partir de la Ec. (4) como 
 
 1
1
RF
k
δ = (5a) 
 
 
 2
2
RF
k
δ = (5b) 
 
 La deformación equivalente δeq es igual a la suma de las dos deformaciones δ1 y δ2 de los 
resortes en serie 
 
 1 1eqδ δ δ= + (6) 
 
 de acuerdo con las Ecs. (1) y (3) la deformación δeq es también 
 
 
R
eq
eq
F
k
δ = (7) 
 
 de tal manera que sustituyendo las Ecs. (7), (5a) y (5b) en la Ec. (6) se tiene que 
 
 
1 1
R R R
eq
F F F
k k k
= + 
 
 o bien 
 
 
1 1
1 1 1
eqk k k
= + (8) 
 
 por lo que la constante equivalente de rigidez de un sistema de resortes en serie es 
 
 
1 2
1 2
eq
k kk
k k
=
+
 (9) 
 
 
 
 
 Figura 3.- Diagrama de cuerpo libre. (a) resortes en serie y 
(b) sistema equivalente. 
 
 
 
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B. Resortes en paralelo 
 
 El diagrama de cuerpo libre de ambos sistemas (paralelo y equivalente) es el que 
aparece en la fig. (4). En ambos casos debe prevalecer la condición de equilibrio de la Ec. (2) por 
lo que 
 
 1 2R R eqF F F+ = (10) 
 
 debe notarse que ambos sistemas tienen la misma posición de equilibrio, por lo que la 
deformación de todos los resortes es la misma 
 
 
 1 2 eqδ δ δ= = (11) 
 
 sustituyendo Ec. (11) en la Ec. (10) se llega a la expresión 
 
 
 1 1eq eq eq eqk k kδ δ δ+ = 
 
 o bien 
 
 1 1 eqk k k+ = (12) 
 
 
 
 
 
 Figura 4.- Diagrama de cuerpo libre. (a) resortes en paralelo y 
(b) sistema equivalente. 
 
 
 
 
MATERIAL Y EQUIPO A UTILIZAR 
 
• Marco para soporte de sistemas masa – resorte. 
• Resortes con diversas constantes de rigidez. 
• Medidor Vernier. 
• Masas de distintos valores. 
• Cronómetro. 
 
 
 
 
 
 
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PROCEDIMIENTO 
 
 Obtenga los valores de las constantes de rigidez utilizando los dos siguientes métodos: 
 
1. Haga oscilar el sistema masa – resorte colocando una masa conocida y un resorte de 
rigidez desconocida. Con la ayuda del cronómetro obtenga la frecuencia natural de 
oscilación y posteriormente calcule el valor de k a partir de la Ec. (13). Nota: 
recuerde que la frecuencia natural considerada en dicha ecuación tiene unidades de 
rad/s y la relación que existe con el periodo T (en segundos) que usted puede medir 
con el cronómetro es ω=2π/T. 
 
 n
k
m
ω = (13) 
 
2. Fije un extremo del resorte en el marco de soporte y coloque en el otro extremo una 
serie de masas conocidas. Para ello comience con una sola masa de tal manera que 
produzca una elongación pequeña en el resorte y mida la nueva longitud del mismo. 
Posteriormente coloque otra masa conocida y mida nuevamente la longitud del 
resorte. Posteriormente calcule k utilizando la Ec. (14) 
 
 
g mk
l
∆
=
∆
 (14) 
 
 Coloque los resortes y las masas de tal forma que construya distintos sistemas de 
resortes: en serie y en paralelo. 
 
 
REPORTE 
 
1. Obtenga los valores de las constantes de rigidez k de cada resorte en forma 
individual utilizando ambos métodos descritos en el procedimiento. 
2. Obtenga una constante de rigidez k equivalente para cada configuración de resortes 
(serie y paralelo). 
3. Encuentre la frecuencia natural del sistema en forma analítica (Ec. (13)) y 
experimental. 
4. Realice los diagramas y cálculos necesarios para cada sistema. 
5. Simule los procesos vistos en el laboratorio utilizando los paquetes Working Model y 
MATLAB. Para estas simulaciones se pide 
a) Obtener una gráfica desplazamiento vs. tiempo para la masa. 
b) Calcular la frecuencia natural del sistema utilizando la gráfica anterior. 
c) Calcular los porcentajes de error entre los resultados obtenidos en forma 
experimental, analítica y computacional para la frecuencia natural de los 
distintos sistemas. 
d) Modificar la constante de rigidez k y describir el comportamiento del sistema 
a diferentes valores. 
 
 
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RESULTADOS 
 
 1. Llene la tabla de resultados que se muestra a continuación. En ella evalúe la 
confiabilidad de las técnicas aplicadas en los espacios designados para tal fin. 
 
ωn 
Analítico 
ωn 
Exp. 
ωn 
Working 
Model 
ωn 
MATLAB 
Analítico 
vs. exp. 
Analítico 
vs. WM 
Analítico 
vs. 
MATLAB 
Configuración 
de resorte 
[rad/s] % Error 
SERIE 
PARALELO 
 
 
PROGRAMA DE MATLAB 
 
Grabe en un archivo llamado “smra.m” las 
siguientes líneas 
 
function yprime=smra(t,y) 
f=2; 
m=2.036; 
b=0; 
k=327; 
yprime=[y(2) 
 f/m-b*y(2)/m-k*y(1)/m]; 
 
Grabe en otro archivo con el nombre que 
desee “nombre.m” las siguientes líneas 
 
rango=[0 5]; 
val_in=[0; 0]; 
[t,y]=ode45('smra',rango,val_in); 
x=y(:,1); 
v=y(:,2); 
plot(t,x,t,v,'--') 
xlabel('Tiempo, [s]') 
ylabel ('Des., [m], Vel.,[m/s]') 
title ('Sistema Masa - Resorte') 
grid 
 
 
Figura 5.- Gráfica desplazamiento vs. tiempo 
obtenida utilizando MATLAB. 
 
Guarde ambos archivos “***.m” en el mismo 
directorio y ejecute el archivo “nombre.m” 
desde la ventana de comandos (Command 
Window) de MATLAB. 
 
 
REFERENCIAS 
 
 [1] Rao, Singiresu S. “Mechanical Vibrations”, Fourth Edition, Pearson. USA 2003. 
 
 [2] Steidel, Robert F. “An introduction to mechanical vibrations”, Third Edition, John 
Wiley, USA 1989. 
 
 [3] Thomson, William T. “Theory of vibrations: applications”. Second Edition, Prentice 
Hall, USA 1982.