cap12

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Ecuaciones de Maxwell y Ondas 
Electromagnéticas
Tema 12
Contenido
● Leyes fundamentales
● Ley de Ampère-Maxwell
● Leyes de Maxwell
● Ecuaciones de Maxwell diferenciales
● Ecuaciones de Ondas 
● Ondas electromagnéticas (OEM)
● Velocidad de la luz
● Espectro electromagnético
● Relación entre E, B y c
● Densidad de energía de las OEM
● Vector de Poynting
● Intensidad de la OEM
● Presión de Radiación y momento lineal de fotones
● Reflexión, Refracción, y fibras ópticas
Leyes Fundamentales
Hasta aquí hemos visto cuatro leyes básicas del electromagnetismo:
1º) La Ley de Gauss (para la electroestática)
∮ E⋅d S= q
2º) La Ley de Faraday
=∮ E⋅d l =− d Bdt ; en que B=∫ B⋅d S
3º) La Ley de Gauss (para la magnetoestática)
∮ B⋅d S=0
4º) La Ley de Ampère
∮ B⋅d l = i ; en que i=∫ J⋅d S
(1)
(2)
(3)
(4)
Leyes de Ampère-Maxwell
J.C. Maxwell en 1873 observó que a la corriente de conducción i debía 
agregarse una corriente adicional. Fue una observación genial basada en la 
exigencia de preservar la ley de conservación de la corriente en un circuito 
RC en la etapa de transiente.
i
Placas del capacitor
Superficie cerrada
El circuito de la figura se encuentra en la 
etapa de transiente después de cerrar el 
interruptor. En el instante en que en él existe 
una corriente i se echa de menos una 
corriente igual y que no sea de conducción 
entre las placas del condensador. Se ha 
dibujado una superficie cerrada que pasa 
entre dichas láminas
Pues bien, en el lado izquierdo entra la corriente por el conductor pero en el 
lado derecho no puede existir corriente de conducción ya que la carga que 
llega se acumula en las placas. Dado que esta carga está aumentando el 
campo eléctrico y con él el desplazamiento eléctrico , Maxwell 
representó la variación del flujo de este vector con una corriente.
D= E
Ley de Ampère-Maxwell
Maxwell llamó a esta corriente como corriente de desplazamiento:
iD=
d D
dt
= d
dt ∫ D⋅d S (5)
Dado que entoncesD=0 n
iD=
d
dt ∫ D⋅d S=
d
dt ∫0 dS=
dq0
dt
(6)
Se ve que esta corriente adicional da cuenta del cambio de la carga libre 
en el condensador y la ley de Ampère, ahora ley de Ampère-Maxwell, es:
∮ B⋅d l =iiD (7)
O bien, ∮ B⋅d l =i ddt ∫ D⋅d S  (8)
Ecuaciones de Maxwell
Entonces se conoce a las leyes de Maxwell
1º) La Ley de Gauss (para la electroestática)
∮ E⋅d S= q
2º) La Ley de Faraday
=∮ E⋅d l =− d Bdt ; en que B=∫ B⋅d S
3º) La Ley de Gauss (para la magnetoestática)
∮ B⋅d S=0
4º) La Ley de Ampère-Maxwell
∮ B⋅d l =i ddt ∫ D⋅d S  ; en que i=∫ J⋅d S
(1)
(2)
(3)
(8)
Ecuaciones de Maxwell
Estas ecuaciones relacionan el comportamiento de estos campos 
vectoriales en materiales dieléctricos y paramagnéticos y, por supuesto, 
en el vacío. Es frecuente encontrarlas en términos de otros vectores, los 
que a su vez se relacionan por las denomindas ecuaciones constitutivas:
D= E y B= H (9)
Veamos las ecuaciones de Maxwell diferenciales, algo que ya 
habiamos anticipado.
1º) La Ley de Gauss (para la electroestática)
∮ E⋅d S= q (1)
Para cargas distribuidas podemos escribir la carga por
q=∫dv
Ecuaciones de Maxwell
Luego la primera ecuación de Maxwell se puede escribir
∮ E⋅d S=1∫dv
Por el teorema de Gauss tenemos
∇⋅E=


(10)
2º) La Ley de Faraday
=∮ E⋅d l =− d Bdt ; en que B=∫ B⋅d
S (2)
Según el teorema de Stokes entonces∮ E⋅d l =∫ ∇×E⋅d S
∮ E⋅d S=∫ ∇⋅E dv
∇×E=−∂
B
∂ t
(11)
Ecuaciones de Maxwell
3º) La Ley de Gauss (para la magnetoestática)
∮ B⋅d S=0 (3)
Similarmente al caso electrostático, usando el teorema de Gauss
∇⋅B=0 (12)
4º) La Ley de Ampère-Maxwell
∮ B⋅d l =i ddt ∫ D⋅d S  ; en que i=∫ J⋅d S (8)
reescribiendo ∮ B⋅d l =∫ J⋅d S ddt ∫ D⋅d S =∫J 
∂ D
∂ t
⋅d S
Usando teorema de Stokes
∇×B=J ∂
D
∂ t
 (13)
Ecuaciones de Maxwell
Entonces las ecuaciones de Maxwell diferenciales son:
∇⋅E=


(10)
∇×E=−∂
B
∂ t
(11)
∇⋅B=0 (12)
∇×B=J ∂
D
∂ t
 (13)
Un caso particular, es cuando un sistema desprovisto de fuentes de 
campo, esto es con ρ=0 , y J=0 queda regido por las ecuaciones
∇⋅E=0 (10)
∇×E=−∂
B
∂ t
(11)
∇⋅B=0 (12)
∇×B= ∂
E
∂ t
(13)
Estas ecuaciones nos indican que si bien un campo magnético variable en 
el tiempo induce un campo eléctrico, también un campo eléctrico variable 
en el tiempo induce un campo magnético. Esto ha sido un paso gigantesco 
en el pensamiento humano pues nos dice que la “luz” es una onda 
electromagnética.
Ondas Mecánicas
Antes de estudiar las ondas electromagnéticas, hagamos un repaso de las 
ondas mecánicas que se propagan en la dirección-x.
Llamaremos pulso a una perturbación que se propaga en el espacio y 
onda a una perturbación periódica que se propaga en el espacio.
Consideremos en dos instantes 
a un pulso en una cuerda 
propagándose hacia la derecha 
con velocidad v. En el instante 
inicial, t=0, su forma está 
descrita por la ecuación y=y(x)
En un instante posterior, t=t', esta descrita por la ecuación y'=y'(x'), 
donde x'=x-vt (fase) luego si el pulso no se amortigua, tenemos como 
ecuación de movimiento del pulso:
y ' x ' = y  x−vt  (14)
Ondas Mecánicas
Consideremos, ahora, una onda plana armónica
y  x , t =Y cos
2

x−vt  (14)
Dónde Y es su amplitud y λ es su longitud de onda. Podemos hacer una 
representación gráfica de y(x,t) en función de x para t fijo y viceversa.
Y Y
t
Esta gráfica nos da la forma de 
la onda para t fijo.
Esta gráfica nos da la historia 
de las elongaciones e una 
coordenada x dada.
Ondas Mecánicas
Es muy conveniente transformar la fase (en la ec. 14) de la siguiente 
forma:
y  x , t =Y cos
2

x−
2v

t 
El avance de la onda en un período T es, λ= v T , entonces podemos 
escribir
y  x , t =Y cos
2

x−
2
T
t 
Definimos los siguientes parámetros
vector de onda k=
2

(15)
pulsación =
2
T
=2 f (16)
Entonces, la ecuación de onda queda
y  x , t =Y cosk x− t  (17)
Ondas Mecánicas (3-D)
Otro ejemplo de onda plana es
y x , t =Y sin k x− t 
Al combinar linealmente estas ondas tenemos como solución general
y x , t =Y e j k x− t  con j=−1 (18)
En 3 dimensiones, una onda en cualquier dirección queda expresada en 
términos del vector de onda tridimensional
k=k x ik y jk z k (19)
Entonces, la ecuación de onda tridimensional es
y r , t =Y e j k⋅r− t  (20)
Ondas Electromagnéticas (OEM)
Las ondas electromagnéticas son ondas de campos eléctricos y 
magnéticos que no necesitan un soporte material para desplazarse. Los 
que vamos a hacer es obtener una ecuación diferencial de ondas a partir 
de las ecuaciones de Maxwell, en su forma diferencial, para el caso en 
que no existan fuentes, es decir, ecs. 10, 11, 12 y 13.
Si deseamos obtener la ED para el campo eléctrico hacemos el rotor en 
la ec. (11), así
∇× ∇×E =− ∇×∂
B
∂ t
En el lado izquierdo de la ecuación usamos la sgte. identidad vectorial
∇× ∇×E = ∇  ∇⋅E −∇ 2 E
En el lado derecho de la ecuación usamos la propiedad vectorial
− ∇×∂
B
∂ t
=−∂
∇×B
∂ t
(21)
Ondas Electromagnéticas (OEM)
Reemplazando en la ec. 21
∇  ∇⋅E −∇2 E=−∂
∇×B
∂ t
Pero sabemos por ec. 10 y 13 que
∇⋅E=0 (10) ∇×B= ∂
E
∂ t
(13)
Entonces 
∇ 2 E= ∂
2 E
∂ t 2
(22)
Que es la ED para el campo eléctrico. Similarmente para el campo 
magnético se obtiene
∇ 2 B= ∂
2 B
∂ t 2
(23)
Ondas Electromagnéticas (OEM)
La solución de la ED para el campo eléctrico es del tipo
E r , t =Em e
j k⋅r− t 
Verifiquemos esta ecuación en la ec. de onda, para el lado izquierdo
∇2 E= ∂2∂ x2  ∂
2
∂ y2
 ∂
2
∂ z2  Em e j k⋅r− t 
∇ 2 E=−k x
2−k y
2−k z
2 Em e
j k⋅r− t =−k 2 E
Para la parte derecha de la ecuación de onda
 ∂
2 E
∂ t 2
= ∂
2
∂ t 2
 Em e
j k⋅r− t =−2 E
Igualando,tenemos
k 2=2 (24)
Ondas Electromagnéticas (OEM)
Analizemos la ec.(24), la podemos escribir

k
= 1

(25)
Pero, reemplazando los valores de la frecuencia y vector de onda 
(ec. 15 y 16)

k
=
2
T
2

=

T
≡v
Esta es la velocidad de la onda, que en este contexto se designa por c
Así hemos obtenido un logro fundamental, que la velocidad de las 
ondas electromagnéticas y con ellas la luz es
c= 1
 (26)
Ondas Electromagnéticas (OEM)
Al sustituir los valores de la permitividad ε y la permeabilidad μ
=e 0 y =m 0
tenemos
c= 1

= 1
e m
1
0 0
≡
c0
n
(27)
Donde n es el índice de refracción dado por n=e m (28)
Y c
0
 es la velocidad de las OEM en el vacío y en particular la rapidez 
de la luz en el vacío dada por
c0=
1
0 0
(29)
El índice de refracción no es una constante para el sistema, ya 
que debido al fenómeno denominado dispersión de las OEM, 
varía con la frecuencia de ella. Esta propiedad describe la 
formación de colores en un prisma iluminado con luz solar.
Fecha Autor Método Resultado(km/s) Error
1676 Olaus Roemer Satélites de Jupiter 214,000
1726 James Bradley Aberration estalar 301,000
1849 Armand Fizeau Rueda dentada 315,000
1862 Leon Foucault Espejo rotante 298,000 +-500
1879 Albert Michelson Espejo rotante 299,910 +-50
1907 Rosa, Dorsay Constantes electromagnéticas 299,788 +-30
1926 Albert Michelson Espejo rotante 299,796 +-4
1947 Essen, Gorden-Smith Resonador de cavidad 299,792 +-3
1958 K. D. Froome Radio-interferómetro 299,792.5 +-0.1
1973 Evanson et al Lasers 299,792.4574 +-0.001
1983 Valor adoptado 299,792.458
Medidas de la velocidad de la luz
Hoy c
0
 es definido como exactamente 299.792.458 m/s, 
y es usado para definir el metro
Ondas Electromagnéticas (OEM)
La frecuencia de las ondas está determinada por el proceso de 
generación de ellas estando relacionada con su longitud de onda por la 
simple ecuación
 f =c (30)
La distribución de OEM según la 
frecuencia o la longitud de onda se 
llama espectro electromagnético y 
se extiende desde aproximadamente 
algunos hertz hasta 1024 Hz. La luz 
visible ocupa una estrecha banda 
entre 1014 Hz y 1015 Hz, el resto 
superior por los rayos-X, rayos-γ. El 
resto inferior por ondas de radar, 
televisión, radio, etc.
Relaciones entre E, B y c
En el caso de las ondas planas, podemos usar como solución
E r , t =Em e
j k⋅r− t  y B r , t =Bm e
j k⋅r− t 
En la ec. (10), diferencial, es decir, en
∇⋅E=0
∇⋅Em e
j k⋅r− t = ∂
∂ x
i ∂
∂ y
j ∂
∂ z
k ⋅Em e
j k⋅r− t =0
j k⋅E =0
Cuando el producto escalar es igual a cero, implica que los vectores k 
y E son perpendiculares entre sí. Y ya que el vector velocidad c es 
paralelo al vector k, se tiene que 
E ⊥ c
Análogamente usando la ec. (12), , encontramos que∇⋅B=0
B ⊥ c
Relaciones entre E, B y c
Además, usando la ec.(13), es decir
∇×B= ∂
E
∂ t
En el lado izquierdo ∇×B= ∇×Bm e
j k⋅r− t 
∇×B= ∂
∂ x
i ∂
∂ y
j ∂
∂ z
k ×Bm e
j k⋅r− t 
∇×B= j k×B
En el lado derecho  ∂
E
∂ t
= ∂
∂ t
Em e
j k⋅r− t =− j  E
Igualando ambas expresiones entoncesj k×B=− j  E
E= 1

B×k (31)
Relaciones entre E, B y c
Pero como el vector velocidad se puede escribir por 
k

= c
2 k

= c
2
 f
=c c=
k

(32)
Entonces, E=B×c (33)
Y dado que entonces estos tres vectores son perpendiculares 
y simplemente E=Bc. Estamos en presencia de ondas transversales, 
luego el plano de oscilación de E y B es perpendicular a la dirección de 
propagación c. Una OEM posee una infinidad de planos de oscilación o 
de polarización
B ⊥ c
campo magnético
campo eléctrico c
x
c
E
B
Densidad de energía de la OEM
La densida de energía total en un sistema donde coexisten ambos 
campos es
u=ueum
Usando las expresiones encontradas para la densidades eléctrica y 
magnética en capítulos anteriores
u= 1
2
 E 2 1
2
B2
Pero como E=Bc, entonces
u= 1
2
Bc2 1
2
B2= 1
2
c2 B2 1
2
B2
Pero como entoncesc2=
1
 u=
1
2
B2 1
2
B2= 1

B2 (34)
Análogamente u= E2 (35)
Vector de Poynting
El vector de Poynting es un vector cuya dirección es la de la propagación 
de la OEM y cuya magnitud es la densidad de potencia transportada por 
ella.
El concepto de densidad de potencia es similar al de densidad de corriente. 
Se define del siguiente modo:
S= 1
A⊥
dU
dt
(36)
Su unidad de medida, en el S.I. es 1 W/m2.
x
E
B
A⊥
dx
Según la figura, es normal a la dirección 
de propagación de la OEM. La energía que 
pasa a través de ella en un intervalo dt está 
contenida en un paralelepípedo de volúmen 
A⊥
A⊥ dx=A⊥ c dt
Y el elemento de energía que pasa es
dU =u A⊥ c dt
Vector de Poynting
Entonces, reemplazando en la ec.(36), tenemos
S= 1
A⊥
dU
dt
= 1
A⊥
u A⊥ c dt
dt
=u c
Vectorialmente el vector de Pynting es S=uc (37)
Esto es, la magnitud del vector de Poynting es igual a la densidad de 
energía por la velocidad de la OEM. Reemplazando la densidad de 
energía calculada anteriormente (ec. 35), tenemos
S=uc= E 2c
En términos de magnitud (arreglando)
S= E2 c= E E c= E Bcc= E B c2= E B 1

= 1

EB
Vectorialmente
S= 1

E×B (38)
Intensidad de la OEM
Se define como intensidad de la OEM al valor medio del vector de 
Poynting, es decir
I =S med
Entonces (por ec.37) I =S med=umed c
Pero, habiamos visto que la densidad media es
umed=
1
T ∫0
T
u dt= 1
T ∫0
T
 E2 dt
Como entonces E r , t =Em e
j k⋅r− t  E2=Em
2 cos2 t 
Así umed=
1
T ∫0
T
 E2 dt= 1
T ∫0
T
 Em
2 cos2 t dt=
 Em
2
T
T
2
= 1
2
 Em
2
Entonces, la intensidad es
I = 1
2
 Em
2 c=
Bm
2
2
c=c
um
2
=c E ef
2 = c

Bef
2
(39)
Presión de Radiación
Es claro que las OEM ejercen una presión sobre las superficies expuestas 
a ellas tal como un chorro de agua o un chorro de gas. Vamos a designar 
a la presión con la letra P y al momento lineal con p.
Se puede tratar la onda como un chorro de fotones que golpean a una 
pared. Un fotón es una porción de onda electromagnética que posee una 
energía
=h f (40)
Donde f es la frecuencia y h es la constante de Planck. Así la energía de 
una región de la onda se puede expresar como 
U =N =N h f (41)
En que N es un número entero. Esta idea se designa como el principio 
de Cuantización de la energía. Según la Termodinámica, a cierta 
T=cte, la presión es igual a la densidad de energía es decir
P= dU
dv
y u= dU
dv
P=u (42)
Momento lineal de los fotones
Si las OEM transportan energía, también transportan momento lineal por 
lo que la presión que ellas ejercen sobre una superficie expuesta a ellas se 
pueden entender como una fuerza o cambio de momento lineal de los 
fotones.
Sabemos que la presión es P=
F
A⊥
Pero por segunda ley de Newton F= dp
dt
Luego P= 1
A⊥
dp
dt
Pero P=u y amplificando por c u= 1
A⊥
cdp
cdt
= c dp
dv
Ordenando c dp=u dv=dU dp= dUc
Integrando p=U
c
(43)
Momento lineal de los fotones
Otra manera de obtener esta relación es usar una ecuación básica de la 
relatividad especial para la energía, es decir, 
2=m0 c
22 p2 c2
En que en nuestro contexto, la energía total es ξ = U
Dado que los fotones no tienen masa en reposo, es decir, m
0
=0, 
también se obtiene
p=U
c
(43)
En el proceso de choque de fotones contra una pared, se debe tomar en 
cuenta la naturaleza de ella. Existen 2 situaciones extremas, que sea 
perfectamente absorbente o que sea perfectamente elástica, en el 
primer caso el cambio de momento lineal es y en el 
segundo es . 
 p=U /c
 p=2U /c
Ondas Electromagnéticas
Ejemplo 1: Si el valor instantáneo del campo eléctrico de una OEM en 
el vacío es E= 100 V/m, calcule B, H, u y S.
Solución: 
a) el campo magnético es B= E
c
= 100V /m
3×108 m / s
=3,33×10−7T
b) la intensidadde campo H = B
0
= 3,33×10
−7 T
4×10−7 Tm/ A
=0,265 A
m
c) la densidad de energía
u=0 E
2=8,85×10−12 C
V m
⋅100 V
m

2
=8,85×10−8 J
m3
d) el vector de Poynting es
S=u c=8,85×10−12 J
m3
⋅3×108 m
s
=26,5 W
m2
O bien
S=E H =100 V
m
⋅0,265 A
m
=26,5 W
m2
Ondas Electromagnéticas
Ejemplo 2: Calcular la densidad de energía media contenida en la luz 
solar si la intensidad de ella en la superficie terrestre bajo cielo 
despejado es 1000 W/m2.
Solución: Recordemos que el vector de Poynting está dado por:
S=u c
De donde I =S med=umed c
Entonces
umed=
I
c
Calculando
umed=
I
c
=1000W /m
2
3×108 m/ s
=3,3×10−6 J
m3
Ondas Electromagnéticas
La generación de OEM es un proceso complicado. Se basa en el hecho 
fundamental de que las cargas eléctricas aceleradas emiten radiación 
electromagnética. Los aparatos emisores y receptores, se llaman 
antenas, pero sabemos que las simples ampolletas son, también, 
emisores de luz.
Es muy difícil obtener una OEM plana, es decir, 
tal que sus vectores avancen en frentes de ondas 
planas. Pero si la fuente de radiación es puntual, 
pequeña, los frentes de ondas son superficies 
esféricas y a grandes distancias pueden 
considerarse planos. Para una fuente de radiación 
puntual que emite ondas en un medio que no 
absorbe energía se cumple que
Pmed=I A=I 4 r
2 (44)
Donde r es la distancia del frente de ondas a la 
fuente de radiación.
Ondas Electromagnéticas
Ejemplo 3: Una estación de radio AM transmite isotropicamente con una 
potencia media de 4 kW. Una antena receptora de media longitud de onda 
λ/2 = 65 cm se ubica a 4 km del transmisor. Calcule la fem inducida por 
esta señal en los extremos de la antena receptora.
Solución: Usamos la ec.(44) para la intensidad I =
Pmed
4 r2
Además, I =S med=c umed=c E ef
2 = 1
2
0 Em
2 c=c 1
8 k
Em
2
Igualando I =
Pmed
4 r2
=c 1
8 k
Em
2
Em=
1
r  2 k Pmedc
Calculando
Em=
1
r  2 k Pmedc = 14000 m  29×109 Nm2/C 24000W3×108 m/ s =0,122 Vm
Ondas Electromagnéticas
Solución: La fem esta dada por luego=∮ E⋅d l
=∫ E dx=2 Em ∫
0
/4
cos
2

x dx=
2 Em
2/
[sin 
2

x]
o
/4
=
 Em

Entonces
=
 Em

= 2⋅0,65 m⋅0,122V /m
3,1416
=0,051V =51 mV
Ejemplo 3: Una estación de radio AM transmite isotropicamente con una 
potencia media de 4 kW. Una antena receptora de media longitud de onda 
λ/2 = 65 cm se ubica a 4 km del transmisor. Calcule la fem inducida por 
esta señal en los extremos de la antena receptora.
Ley de la Reflexión y Refracción
Ley de la reflexión: Si un rayo de una onda electromagnética incide 
sobre una superficie reflectante con un ángulo respecto a la normal 
en el punto de incidencia, el rayo reflejado se aleja con un ángulo 
ingual a al otro lado de la normal pero en el mismo plano de 
incidencia 
1
1 '=1
Ley de la Refracción: Si un rayo de una OEM incide sobre una una 
interfase de dos medios transparentes con un ángulo el rayo 
refractado se transmite en el mismo plano de incidencia con un ángulo 
dado por la relación en que y son los índices 
de refracción respectivos de cada medio.
1
2
n1 sin 1=n2 sin 2 n1 n2
medio1
medio 2
n1 sin 1=n2 sin 2
Refracción total interna y fibras ópticas
Refracción total interna: Si el índice 
refracción del medio al cual pertenece 
el haz incidente es mayor que el del 
segundo medio existe un ángulo crítico 
 para el cual y el rayo a 
partir de no puede refractarse y se 
refleja totalmente.
1 c 2=90 º
1c
parcialmente totalmente
reflejado reflejado
Fibras ópticas: En el caso de las fibras 
ópticas, se utiliza el fenómeno de la 
refracción total interna para transmitir OEM 
en cables que se pueden doblar.
fibra óptica