Análisis plástico de estructuras Introducción

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AULA D’ARQUITECTURA 52
Análisis plástico
de estructuras.
Introducción
AULA D’ARQUITECTURA 
EDICIONS UPC
M. R. Dalmau - J. Vilardell 
Análisis plástico
de estructuras.
Introducción
La presente obra fue galardonada en el octavo concurso
"Ajut a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.
Primera edición: setiembre de 2003
Diseño de la cubierta: Manuel Andreu
© Los autores, 2003
© Edicions UPC, 2003
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ciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro-
cedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de
ella mediante alquiler o préstamo públicos.
Prólogo
Las causas por las que una estructura pierde su utilidad son la aparición de alguna inestabilidad, las 
deformaciones excesivas y la fatiga. Por lo demás, una estructura construida con un material de unas 
características adecuadas de ductilidad puede seguir soportando cargas crecientes pese a que en algún lugar el 
material haya abandonado el rango elástico. Entonces, de seguir el proceso de carga, van apareciendo más puntos 
donde se ha iniciado la cesión plástica, hasta que finalmente ese número de puntos es tal y se combinan de tal 
modo que la estructura llega al colapso o agotamiento. Esto ocurre cuando la estructura está sometida a la 
denominada carga última, o carga de agotamiento. Aunque sus orígenes más remotos se remontan a mediados 
del siglo XIX, el mayor desarrollo y la aceptación del diseño por carga última, o diseño por agotamiento, tuvo 
lugar durante las últimas décadas, a consecuencia de las investigaciones llevadas a cabo desde comienzos del 
siglo pasado. 
Es conocido comúnmente como diseño plástico, por contraposición al diseño elástico, basado en la pretensión de 
que en ningún lugar de la estructura el material se salga del rango elástico, y en su favor se aduce que permite 
obtener diseños más racionales, una notable simplificación de los cálculos y una cierta economía de materiales. 
El método plástico se aplica especialmente a las estructuras de acero, aunque también puede utilizarse, en las 
condiciones debidas, para estructuras de aluminio, hormigón armado y hormigón pretensado. 
El presente texto trata del comportamiento de elementos de acero estructural cuando se considera que el material 
es elastoplástico y no elástico. Arquitectos, ingenieros y calculistas en general pueden simplificar su tarea 
empleando el método plástico al diseñar una estructura, pues ésta puede ser analizada a partir de un esquema más 
claro y concreto que permite llegar a una solución más racional respecto al aprovechamiento de las posibilidades 
del material. Cabe añadir, además, que en los años recientes parece confirmarse la evidencia de que el 
comportamiento de una estructura diseñada por el método elástico no es extensible a una situación en la que el 
material rebase el rango elástico en varios puntos, como ocurre ante una solicitación extrema, cuando la 
estructura se pone al borde del agotamiento (por un movimiento sísmico, por ejemplo), en cuyo caso es mejor 
solución atribuir desde el principio un comportamiento elastoplástico a los componentes de la estructura y 
disponer así de información acerca de los lugares donde las solicitaciones pueden ser excesivas. 
El propósito de esta publicación es presentar los fundamentos a partir de los cuales se desarrolla el diseño 
plástico de estructuras de acero. No aborda el cálculo de estructuras en sí, ni tampoco trata de reología. Este 
texto está destinado a estudiantes que hayan concluido o estén finalizando su primer ciclo de estudios. Desde 
este punto de vista, sus contenidos son de nivel básico, aunque se presupone que el lector conoce ya los temas de 
mecánica general y de mecánica de materiales integrados en los programas de primer ciclo. 
En cuanto a la redacción y la confección del texto, cabe señalar que se ha puesto especial esmero en la 
elaboración de las figuras, acompañadas en muchos casos de unas extensas notas al pie que compendian las ideas 
desarrolladas en el texto, con el fin de complementar y aclarar al máximo su contenido. 
A fin de no alargar y recargar innecesariamente las exposiciones, se omiten los desarrollos matemáticos en 
aquellos casos en que dichos desarrollos no aportan ni contienen nada esencial a la idea principal. 
Y, para evitar cualquier "oficialización" y ampliar el punto de vista, se ha adoptado expresamente y en general el 
valor Y = 250 MPa, valor que equivale muy aproximadamente a las 36 ksi del acero americano A36, que con 
Índice
1 Introducción 
1.1. Modelos elastoplásticos ...........................................................................................................................11 
1.2. Análisis elastoplástico..............................................................................................................................14 
1.3. Análisis plástico .......................................................................................................................................20 
1.4. Cálculo plástico........................................................................................................................................22 
1.5. Invalidez del principio de superposición..................................................................................................23 
1.6. Plasticidad transversal y criterio de von Mises ........................................................................................25 
1.7. Ejercicios..................................................................................................................................................27 
2 Flexión plástica de vigas 
2.1. Flexión plástica de vigas y factor de forma..............................................................................................29 
2.2. Relación entre el momento y la curvatura y articulaciones plásticas .......................................................38 
2.3. Análisis plástico de vigas: carga última y redistribución de momentos ...................................................42 
2.4. Aplicación del principio de los trabajos virtuales a la determinación de la carga última.........................51 
2.5. Dimensionado plástico .............................................................................................................................56 
2.6. Deformaciones .........................................................................................................................................60 
2.7. Esfuerzos residuales .................................................................................................................................67 
2.8. Influencias de la fuerza axial y la fuerza cortante ....................................................................................71 
2.9. Ejercicios..................................................................................................................................................79 
3 Análisis plástico 
3.1. Introducción .............................................................................................................................................83 
3.2. Método estático y teorema del límite inferior ..........................................................................................85 
3.3. Método de los mecanismos y teorema del límite superior .......................................................................89
3.4. Vigas continuas ........................................................................................................................................953.5. Pórticos simples: método de los mecanismos y teorema de los mecanismos compuestos .....................103 
3.6. Pórticos simples: método estático ..........................................................................................................109 
3.7. Pórticos simples con cargas distribuidas ................................................................................................115 
3.8. Diagramas de interacción.......................................................................................................................122 
3.9. Pórticos dobles .......................................................................................................................................129 
3.10. Método del ajuste de momentos.............................................................................................................136 
3.11. Pórticos a dos aguas ...............................................................................................................................141 
3.12. El diseño plástico ...................................................................................................................................146 
3.13. Ejercicios................................................................................................................................................147 
Bibliografía .....................................................................................................................................................153 
1 Introducción 
1.1 Modelos elastoplásticos 
En la figura 1.1a se representa, no a escala, el aspecto general que presenta la curva de tracción, o diagrama - ,
de un acero estructural. En ese diagrama se señalan sucesivamente sobre el eje :
OA, la zona elástica lineal, intervalo en que la probeta se alarga según la ley de Hooke y recupera su 
longitud inicial al disminuir la carga hasta anularse; 
AB, la zona de transición entre la zona elástica lineal y la zona plástica; 
BC, la zona plástica, intervalo en que la probeta se deforma plásticamente, es decir, además de 
alargarse notablemente sin que la carga varíe, al retirarse la carga conserva un alargamiento remanente; 
CD, la zona de endurecimiento por deformación, intervalo en que la probeta sigue comportándose 
plásticamente, pero es necesario que aumente la carga para que siga alargándose; y 
DE, la zona de estricción, intervalo en que la probeta, desde un valor máximo de alcanzado al final 
de la zona anterior, sigue alargándose con una fuerte contracción alrededor del punto de la probeta 
donde sobreviene finalmente la rotura. 
Se indican en la figura las posiciones del límite de proporcionalidad P, del punto de fluencia Y, y del esfuerzo
último u. Entre el límite de proporcionalidad y el punto de fluencia, hay una zona intermedia en que la probeta, 
sin dejar de comportarse elásticamente, ya no obedece a la ley de Hooke. Esa zona debería marcar el límite
elástico, pero de hecho los aceros estructurales presentan un punto de fluencia superior y un punto de fluencia 
inferior, tal como se muestra en el recuadro de la misma figura 1.1a. En las curvas obtenidas mediante las 
máquinas de tracción el límite de proporcionalidad y los dos puntos de fluencia se muestran muy claros, pero 
suelen estar poco separados. Además, la recta representativa de la zona elástica lineal presenta una pendiente tan 
acusada que casi parece paralela al eje de ordenadas ( ), tal como se aprecia en la figura 1.1b, que muestra una 
curva de tracción real de un acero estructural. La zona elástica lineal de la curva ocupa un fracción muy reducida 
del eje de abscisas ( ) y es unas quince veces menor que la zona plástica. 
A efectos prácticos se conviene en idealizar la curva de tracción representándola como en la figura 1.1c, 
mediante un tramo inclinado OA, representativo del comportamiento elástico lineal del material, y un tramo 
horizontal AB, representativo del comportamiento plástico. La pendiente del tramo OA es igual al módulo de 
elasticidad E del acero, y se da la circunstancia de que E = 210 GPa para todos los aceros estructurales. En el 
punto A, se reúnen el límite de proporcionalidad y los dos puntos de fluencia, por lo que goza de las propiedades 
de los tres; es decir, hasta A se supone que el material es elástico lineal, y a partir de A se supone que es 
perfectamente plástico, por lo cual A se conoce como punto de fluencia o punto de cesión plástica. El valor de 
correspondiente al punto A se designa como esfuerzo de fluencia, o esfuerzo de cesión (plástica) y se representa 
por Y. Su valor se establece tomando como referencia uno de los dos valores de indicados en la figura 1.1d, es 
decir, el valor del esfuerzo que dé una deformación remanente del 0,2%, el más empleado, o una deformación 
del 0,5%.1 A diferencia de E, el valor de Y no es el mismo para todos los aceros estructurales, y Y puede variar 
 
1Estrictamente, el punto de fluencia y el esfuerzo de fluencia no son la misma cosa. El primero es una verdadera característica del 
material, mientras que el segundo es un valor asumido. 
12 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
entre 200 MPa y 700 MPa. Sin embargo, el valor de Y de los aceros estructurales más empleados (por razones 
económicas) se sitúa en torno a 250 MPa y éste es el valor que aquí adoptamos en general. Además, el valor de 
Y permitido para el análisis de fuerzas por el método plástico está limitado en todas las normas y en ningún caso 
sería admisible un valor de Y tan alto como 700 MPa. 
Fig. 1.1 
1 Introducción 13
Fig. 1.1 
a) Curva de tracción de una probeta de acero estructural (no a escala). 
b) Curva de tracción real de un acero estructural. 
c) Curva de tracción idealizada: modelo de comportamiento elastoplástico perfecto o modelo de 
comportamiento bilineal sin endurecimiento por deformación. 
El segmento OA corresponde al comportamiento elástico lineal del material, siendo su pendiente el módulo 
de Young, y el segmento AB corresponde al comportamiento plástico. 
En el punto A, llamado punto de fluencia o punto de cesión plástica, se hacen coincidir el límite de 
proporcionalidad y los dos puntos de fluencia. El valor correspondiente de se conoce como esfuerzo de 
fluencia, o de cesión plástica, y se representa por Y.
d) Definición del esfuerzo de fluencia. El esfuerzo de fluencia, Y, se define como el esfuerzo que provoca una 
deformación remanente del 0,2%. Otro criterio menos utilizado consiste en definir el esfuerzo de fluencia 
como aquel que corresponde a una deformación del 0,5%. 
e) Curva de tracción idealizada: modelo de comportamiento elastoplástico sin endurecimiento por 
deformación o elastoplástico perfecto. 
Cuando un material que responde al modelo de comportamiento elastoplástico perfecto se descarga desde 
un punto C, situado en el tramo elástico, sigue el mismo recorrido que en el proceso de carga, pero en 
sentido inverso y no queda deformación remanente. En cambio, cuando se descarga desde un punto D en el 
tramo plástico, el camino en la descarga es el señalado como DO1, paralelo al tramo elástico OA, y queda 
una deformación remanente OO1. Al volver a cargar a partir de O1, la nueva zona elástica corresponde a 
O1D y la zona plástica se inicia en D. Puesto que al punto A y al D les corresponde el mismo esfuerzo de 
fluencia, se deduce que el material no se ha endurecido por deformación. 
f) Curva de tracción idealizada: modelo de comportamiento elastoplástico, con endurecimiento por 
deformación.
En este modelo la deformación plástica está representada por una recta inclinada de pendiente del orden de 
la diezmilésima parte de la pendiente del tramo elástico. A diferencia de lo que ocurre en el modelo 
elastoplástico perfecto, una vez alcanzado el punto de fluencia, es preciso seguir incrementando la fuerza 
aplicada para avanzar en la deformación plástica. 
Si descargamos desde un punto D, situadoen el tramo plástico, el camino en la descarga es el señalado 
como DO1, paralelo al tramo elástico OA y queda una deformación remanente OO1. Al volver a cargar a 
partir de O1, la nueva zona elástica corresponde a O1D y la zona plástica se inicia en D. Puesto que al 
punto D le corresponde un esfuerzo de fluencia superior al del punto A, se observa un endurecimiento del 
material por deformación. 
El diagrama OAB de la figura 1.1c representa el modelo de comportamiento elastoplástico, y de todo material 
cuyo comportamiento sea asimilable a un diagrama como ése se dice que es un material elastoplástico perfecto.
El modelo elastoplástico se completa (fig. 1.1e) admitiendo: a) que si el material se descarga desde un punto 
como el C, situado en el tramo elástico, el punto representativo sigue la trayectoria CO y la probeta recupera su 
longitud original, y b) que si el material se descarga desde un punto como el D, situado en el tramo plástico, el 
punto representativo sigue la trayectoria DO1, paralela a OA, y la probeta queda con una deformación remanente 
OO1. En este segundo caso, si la probeta vuelve a cargarse desde O1 el diagrama - sigue obedeciendo al 
modelo elastoplástico, con una zona elástica lineal, representada por la recta O1D, y una zona plástica (recta 
horizontal) a partir del punto D, que será entonces el punto de cesión. 
En los aceros, las características generales de las curvas de compresión no difieren sustancialmente en lo que nos 
interesa de las de las curvas de tracción. Admitimos, por tanto, que el modelo elastoplástico adoptado es válido 
tanto para tracción como para compresión. 
El modelo de comportamiento elastoplástico descrito se conoce a veces como modelo elastoplástico bilineal, por 
estar compuesto de dos tramos lineales. Hay propuesto otro modelo bilineal cuyo aspecto se muestra en la figura 
1.1f. En éste, el diagrama - está formado primero por una zona elástica lineal, representada por una recta OA 
de pendiente E, como en el modelo elastoplástico perfecto, pero la zona plástica está representada por una recta 
AB no horizontal sino inclinada con una pendiente del orden de E/10000. Por lo demás, el comportamiento del 
14 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
material en la descarga desde la zona plástica es análogo al del modelo elastoplástico perfecto, o sea, sigue una 
recta paralela a OA y quedan con una deformación remanente representada por un punto del eje de abscisas ( ).
En el caso de otros aceros estructurales, este modelo alternativo de la figura 1.1f se ajusta más a la realidad, pero 
presenta el inconveniente de complicar los cálculos en el análisis plástico. Por ello, el modelo comúnmente 
aceptado es el elastoplástico perfecto de las figuras 1.1c y 1.1e, habida cuenta además de que admitir una 
plasticidad perfecta a partir del punto de cesión implica despreciar los efectos del endurecimiento por 
deformación, pero ello favorece a la seguridad ya que el endurecimiento por deformación aumenta la resistencia 
del material. 
1.2 Análisis elastoplástico 
La armadura de la figura 1.2a está formada por dos barras, AN y BN, de acero estructural ( Y = 250 MPa, E = 210 GPa), 
de 3 cm2 de sección y longitudes respectivas a y b, articuladas en A y B al techo y entre sí en el nudo N. Éste está cargado 
con una fuerza vertical P que aumenta gradualmente desde cero. La determinación de las fuerzas en las barras para cada 
valor de P es un problema isostático elemental. Considerando el equilibrio del nudo N, y siendo Ta y Tb las fuerzas en las 
barras, tenemos (fig. 1.2b) 
a b a bsen sen 0 y cos cosT T T T P (1.1a y 1.1b) 
Este sistema de ecuaciones (1.1) nos da 
a b
sen seny
sen sen
P P
T T (1.2a y 1.2b) 
Con los valores indicados de = 60º y = 45º, resulta 
a b0,732 y 0,897T P T P (1.2'a y 1.2'b) 
Supongamos ahora que se desea obtener la representación gráfica VP , siendo V la componente vertical 
del corrimiento del nudo N. En la figura 1.2c se representa la construcción gráfica para determinar la nueva 
posición N’ del nudo, basada en la hipótesis de las pequeñas deformaciones. En este caso, la nueva posición N’ 
del nudo se obtiene sustituyendo los arcos de circunferencia NAN’, centrado en A y de radio a a , y NBN’,
centrado en B y de radio b b , por sendas rectas perpendiculares a los radios respectivos. El corrimiento 
'NN lo referimos a los ejes V y H que se indican en la misma figura 1.2c, mediante las componentes V y 
H . Con referencia a esos ejes, las direcciones de las barras AN y BN se identifican respectivamente mediante 
los vectores unitarios 
a bcos , sen y cos , senu u
Entonces, tendremos 
a byu a u b (1.3a y 1.3b) 
o bien, 
V Hcos sen a (1.3a) 
y
V Hcos sen b (1.3b) 
1 Introducción 15
Fig. 1.2 
a) Sistema isostático. 
Dos barras de acero estructural, articuladas al techo y entre sí. 
Fuerza de fluencia en las barras: 75 kN. 
Carga: Fuerza P, vertical, creciente gradualmente desde cero. 
b) Diagrama de sólido libre del nudo N de conexión entre las dos barras 
Ta = fuerza en la barra AN, Tb = fuerza en la barra BN. 
c) Diagrama de deformación de las barras y corrimiento del nudo N. 
a = alargamiento de la barra AN, b = alargamiento de la barra BN 
 = corrimiento del nudo N; H = componente horizontal de ; V = componente vertical de 
d) Diagrama del desplazamiento vertical del nudo N en función de la fuerza aplicada. 
En el eje de abscisas se ha representado el desplazamiento vertical V dividido por la longitud c, y en el eje 
de ordenadas la fuerza aplicada expresada en kN 
V crece proporcionalmente con P, desde 0 hasta P = 84 kN. 
Fuerza de fluencia en ambas barras: 75 kN. 
Cuando P = 84 kN, Tb = 75 kN, Ta < 75 kN. La barra BN empieza a fluir y, aunque la barra AN sigue en 
régimen elástico, la estructura deja de ser útil. 
Carga última: Pu = 84 kN. 
16 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
Este sistema de ecuaciones (1.3) nos da las componentes del corrimiento del nudo N: 
V
sen sen
sen
a b (1.4a) 
y
H
cos cos
sen
a b (1.4b) 
Si en estas expresiones (1.4) sustituimos los valores (1.2') de aT y bT y admitimos que a e b cumplen la ley 
de Hooke con el valor asignado a E, obtenemos las componentes del corrimiento en función de P y c, tras operar 
convenientemente: 
6 6
V H0,035 10 y 0,007 10Pc Pc (1.5a y 1.5b) 
donde P es la carga en el nudo N expresada en newtons, y c es la distancia de N al techo expresada en metros. La 
expresión (1.5a) nos permite efectuar la representación P- V (con V en unidades de c). Es evidente que dicha 
gráfica será una recta que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente es 106/0,035, según se indica en la 
figura 1.2d, pero sólo mientras no se rebase el esfuerzo de fluencia en ningún lugar. Ahora bien, si P crece sin 
cesar, llegará un momento en que la barra más solicitada, la BN, estará sometida a la fuerza de fluencia, o de
cesión (plástica). Dicha fuerza es la misma para ambas barras, pues las dos son del mismo material y tienen la 
misma sección de 3 cm2, y vale 
6 4
Y 250 10 3 10 75000 NA (1.6) 
La carga P para la cual la barra BN soporta su fuerza de fluencia tendrá, según (1.2'b), un valor uP tal que 
u0,8966 75000P
y por tanto 
u 83649 N 84 kNP
Para ese valor de P, es ( V/c) = (0,035 x 10-6) x 83649 = 2,9 x 10-3. El punto del diagrama de coordenadas (84 kN; 2,9 x 10-3)
marca el paso de la armadura del régimen elástico lineal al de plasticidad perfecta, tal como se indica en la figura 1.2d. En 
efecto, en virtud de la ecuación de equilibrio (1.1a) el valor de la fuerza que soporta la barra AN cuando la barra BN está 
plastificada es Ta = 0,7321 x 83649 = 61239 N, y este valor no puede rebasarse mientras no se altere sustancialmente la 
geometría del sistema, ya que Tb vale constantemente 75000 N a partir de ese momento. Si entonces aumenta P, el sistema 
debe adquirir una geometría distinta (unos valores adecuados de y ) para que se cumplan las condiciones de equilibrio 
(1.1) y elloanula la hipótesis de las pequeñas deformaciones, con lo que sobrevienen unas deformaciones que, además, 
podrían invalidar la utilidad de la estructura. Por consiguiente, el comportamiento elastoplástico de la armadura lo 
consideramos representado por el diagrama bilineal de la figura 1.2d. El valor de 84 kN, a partir del cual se anula la utilidad
de una estructura, recibe el nombre de carga última, o carga de agotamiento, y se designa por Pu. En la realidad, la 
deformación no será ilimitada, sino que en determinado momento la barra BN llegará al endurecimiento por deformación y 
ofrecerá resistencia, pero entonces la deformación será ya tan grande que la armadura se considera que carece de utilidad. 
Consideremos ahora la armadura de la figura 1.3a, obtenida de la armadura de la figura 1.2a a adiendo a ésta una 
tercera barra CN, vertical, de longitud c y de las mismas características (E, Y y A) que las barras AN y BN. Ahora la 
determinación de las fuerzas en las barras es un problema hiperestático. Las ecuaciones de equilibrio que nos da la 
estática son (fig. 1.3b) 
a b a b csen sen 0 y cos cosT T T T T P (1.7a y 1.7b) 
1 Introducción 17
Fig. 1.3 
a) Sistema hiperestático. 
Tres barras de acero estructural, articuladas al techo y entre sí. 
Fuerza de fluencia en las barras: 75 kN. 
Carga: Fuerza P, vertical, creciente gradualmente desde cero. 
b) Diagrama de sólido libre del nudo N de conexión entre las dos barras. 
Ta = fuerza en la barra AN, Tb = fuerza en la barra BN, Tc = fuerza en la barra CN. 
c) Diagrama de deformación de las barras y corrimiento del nudo N. 
a = alargamiento de la barra AN, b = alargamiento de la barra BN, c = alargamiento de la barra CN 
 = corrimiento del nudo N; H = componente horizontal de ; V = componente vertical de 
d) Diagrama del desplazamiento vertical del nudo N en función de la fuerza aplicada. 
El tramo OG corresponde al intervalo de P en el que todas las barras están en régimen elástico lineal. En G 
una barra, la CN, se plastifica y, a partir de este momento, ofrece una resistencia constante de 75 kN y el 
desplazamiento del nudo N está gobernado por las barras AN y BN, cuyo régimen sigue siendo elástico. En 
el punto H otra barra, la BN, empieza a fluir y la estructura deja de ser útil. 
Carga de fluencia a la que la primera barra empieza a fluir: PY = 110 kN. 
Carga última para la que la estructura deja de ser útil: Pu = 160 kN. 
El intervalo de validez de la estructura se ha incrementado 
18 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
Es decir, tenemos un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Esta situación se solventa complementando 
el sistema de ecuaciones dado por la estática con el número de ecuaciones suficientes obtenidas con las 
consideraciones geométricas pertinentes combinadas con las llamadas ecuaciones constitutivas del material, que 
en este caso se reducen a la ley de Hooke. Las consideraciones geométricas son aquí que: a) las barras 
concurrentes antes de la deformación son también concurrentes después de la deformación y b) que es válida la 
hipótesis de las pequeñas deformaciones. Ambas se aplicaron también en el caso sencillo anterior. La 
construcción geométrica de la figura 1.3c es similar a la de la figura 1.2c. Ahora la barra CN se alargará una 
distancia c en sentido vertical, de tal modo que la recta NCN’, que en virtud de la hipótesis de las pequeñas 
deformaciones sustituye al arco de radio c c centrado en C, ocupa la posición que se indica en la figura. 
Véase que entonces es V c . Por otra parte, las expresiones (1.4) de las componentes del corrimiento son 
aplicables aquí también; o sea, 
sen sen
sen
a b
c
Esta última expresión podemos escribirla 
sen sen sen 0a b c (1.7c) 
y queda así expresada la llamada condición de compatibilidad geométrica. Tenemos entonces un sistema de tres 
ecuaciones (1.7) que nos permite obtener las fuerzas en las tres barras mientras se hallen en régimen elástico 
lineal. Sustituyendo los valores propuestos de = 60º y = 45º, y teniendo además en cuenta las ecuaciones 
constitutivas
a b c, e c =
cos 60º cos 60º
T T T cc c
a b
EA EA EA
el sistema de ecuaciones (1.7) queda 
a b a b csen60º sen45º 0 , cos 60º + cos 45ºT T T T T P (1.7a, 1.7b) 
y
a b c
sen 45º sen 60º sen105º 0
cos 60º cos 45º
T T T (1.7c) 
Las raíces de este sistema de ecuaciones son 
a b c0, 2282 , 0, 2794 y T 0,6883T P T P P (1.7'a, 1.7'b, 1.7'c) 
La tercera de estas expresiones nos permite obtener la relación entre P y la componente vertical V del 
corrimiento del nudo N. Como es V = c, e c = Tcc/EA (con EA = 63 x 106 N), al sustituir aquí Tc por el valor 
(1.7'c) resulta 
6
V 0,011 10 Pc
En la figura 1.3d el tramo de recta OG, de pendiente 106/0,011, representa esta relación (con V en unidades de c). 
Como sucedía con la armadura de la figura 1.2a, si P crece sin cesar, llegará un momento en que la barra más 
solicitada, la CN, estará sometida a su fuerza de fluencia. Ésta vale 75000 N según vimos en (1.6). La carga P para 
la cual la barra CN soporta su fuerza de fluencia tendrá, según (1.7'c), un valor PY tal que 
Y0,6883 75000P
y por tanto 
Y 108964 N 110 kNP
1 Introducción 19
Para ese valor de P, es ( V/c) = (0,011 x 10-6) x 108964 = 1,2 x 10-3. El valor PY es la carga de fluencia, o carga 
de cesión, de la armadura y en general designa al valor de la carga P para el que alguna parte de la estructura se 
plastifica. En el caso de la armadura isostática de la figura 1.2a, al constar la misma de sólo dos barras, en cuanto 
una de éstas llegaba a la cesión plástica, la estructura entraba en régimen plástico y perdía su utilidad. No ocurre lo 
mismo en el caso presente, ya que las otras dos barras pueden seguir soportando ulteriores aumentos de P, pues al 
llegar ésta al valor de fluencia PY las fuerzas que soportan esas barras están aún lejos de la fuerza de fluencia de 
75000 N. En efecto, con Y 108964 NP P , las expresiones (1.7'a y 1.7'b) nos dan, respectivamente, 
a b24866 N y 30 455 NT T
En el momento en que CN fluye, o sea, se plastifica, el problema ya no es hiperestático, pues en las ecuaciones 
(1.7a y 1.7b) es c 75000 NT y esas dos ecuaciones podemos escribirlas 
a b a bsin 60º sin 45º 0, cos 45º cos 75000T T T T P (1.8a, 1.8b) 
De aquí podemos obtener Ta y Tb en función de P:
a 0,7321 54904T P (1.8'a) 
y
b 0,8966 67 243T P (1.8'b) 
siendo Y ( 108964 N)P P . Si P sigue aumentando por encima de este valor, Ta y Tb seguirán también 
aumentando hasta que una de ellas llegue al valor de la fuerza de fluencia de 75000 N. Examinando las 
expresiones (1.8’) se ve que es siempre Ta < Tb, luego la barra BN es la siguiente en fluir. En ese momento las 
circunstancias son similares a las que se daban en la armadura de la figura 1.2a cuando se plastificaba la barra 
BN y cualitativamente el comportamiento de la armadura de la figura 1.3a será el mismo. La carga última, o de 
agotamiento, Pu, será aquella para la cual es b 75000 NT ; o sea, según (1.8'b), 
u
75000 67 243 158647 N 160kN
0,8966
P (1.9) 
En la gráfica de la figura 1.3d, el tramo GH representa el comportamiento de la armadura entre la carga de 
fluencia PY y la carga última Pu y es una recta cuya ecuación se obtiene efectuando en (1.4a) las sustituciones 
oportunas2. La expresión (1.8'a) nos da el valor de Ta cuando sobreviene el agotamiento: 
a 0,7321 (158647) 54904 61241NT (1.9') 
En el momento del agotamiento, o colapso, la componente vertical del corrimiento de N (en unidades de c) es, 
según (1.4a), 
3V
6
61241 sen 45º cos 60º 75000 sen 60º cos 45º
2,9 10
63 10 sen105ºc
En resumen, la gráfica de la figura 1.3d consta de tres tramos, OG, GH y a partir de H. El primero, OG, 
corresponde a los valores de P para los que las tres barras se encuentran en la zona elástica; el tramo GH 
representa la situación cuando la barra CN ha cedido plásticamente, pero las otras dos se mantienen aún en la 
zona elástica y pueden soportar más aumentos de P; el tramo horizontal representael agotamiento de la 
armadura, situación en que ésta pierde su utilidad al ser incapaz de soportar más carga sin deformarse más allá 
de lo admisible en la hipótesis de las pequeñas deformaciones, aunque sea capaz de soportar ese incremento de 
carga gracias a la aparición del endurecimiento por deformación. 
 
2( V/c) = (3,50589 x 10-8)P - 0,002629, con P en newtons, y 108964 P 158647. La pendiente del tramo GH es 106/0,035. 
20 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
1.3 Análisis plástico 
En §1.2 se ha expuesto para un caso concreto sencillo el método general de análisis elastoplástico. Este consiste 
en obtener los distintos valores de la carga para los cuales las diferentes partes de la estructura van cesando en su 
comportamiento elástico, hasta que el número de elementos estructurales que han entrado en régimen plástico es 
suficiente para convertirla en un sistema hipostático y la estructura pierde su utilidad. Así, para la armadura de la 
figura 1.3a el resultado del análisis se resume en la gráfica de la figura 1.3d. En ésta, el tramo OG representa la 
situación en que el acero de las tres barras se mantiene en la zona elástica y el sistema es hiperestático de grado 
uno; el tramo GH representa la situación cuando la barra CN ya ha cedido, pero la armadura no ha perdido su 
capacidad de sustentar una carga porque el material de las otras dos barras sigue conservándose en la zona 
elástica y el sistema es isostático; por último, el tramo horizontal representa la pérdida de utilidad de la 
armadura, cuando cede la barra BN y el sistema no puede mantener su configuración con Tc = Tb = 75000 N y 
una carga P mayor que la carga última Pu = 158647 N. 
Si a la armadura de la figura 1.3a le añadiéramos una cuarta barra, la gráfica equivalente a la de la figura 1.3d 
constaría de cuatro tramos, uno con origen en O representativo de la situación en que el acero de las cuatro 
barras se mantiene en la zona elástica, al que seguirían dos tramos inclinados representativos de las situaciones 
en que hubieran fluido una y dos barras sucesivamente, y finalmente un último tramo horizontal correspondiente 
a la situación cuando ya hubieran fluido tres barras, al llegar la carga a su valor último, y el sistema no podría 
mantener su configuración original para valores de la carga mayores que la carga última. 
Si admitimos que una estructura no pierde su utilidad mientras conserve componentes en régimen elástico en 
número suficiente para soportar las solicitaciones conservando su configuración, bajo la hipótesis de las 
pequeñas deformaciones, respecto a la armadura de la figura 1.3a podremos admitir que la misma será útil 
mientras 158647 NP . El análisis plástico pretende obtener directamente el valor de la carga última, 
suponiendo que éste es el valor límite de la carga para el cual se cumplen las condiciones de equilibrio bajo la 
configuración geométrica original y con la hipótesis de las pequeñas deformaciones. En nuestro caso de la 
armadura de la figura 1.3a las ecuaciones de la estática vimos en §1.2 que son 
a b a b csen 60º sen 45º 0 y cos 60º cos 45ºT T T T T P (1.7a y 1.7b) 
y sabemos que el agotamiento correspondería a la situación en que la fuerza en dos barras fuese la de fluencia de 
75000 N, y en la tercera la fuerza fuese menor que ese valor. En general, el procedimiento consistiría en sustituir 
en las ecuaciones (1.7a y 1.7b) las tres combinaciones del valor de 75000 N asignados a dos barras y resolver el 
sistema para obtener la fuerza en la tercera barra y P. La solución buscada estaría representada por una fuerza en 
la tercera barra menor que 75000 N y un valor de P que sería precisamente la carga última Pu. A veces, como en 
este caso, ese tipo de análisis puede simplificarse. Así, la ecuación (1.7a) nos dice que la combinación AN y BN 
no es posible, pues necesariamente debe ser Ta < Tb. Tampoco es correcta la combinación de AN y CN, pues ello 
implica que Ta > Tb, ya que si BN no cede es que Tb < 75000 N. Luego el agotamiento de la armadura procede de 
la cesión plástica de las barras BN y CN. Si en las ecuaciones (1.7a y 1.7 b) se sustituyen Tb y Tc por 75000 N y 
se resuelve el consiguiente sistema de dos ecuaciones con Ta y P como incógnitas, resultan los mismos valores 
(1.9) y (1.9’) deducidos en §1.2. 
Recuérdese que la determinación de la carga última Pu requiere únicamente emplear debidamente las 
condiciones de equilibrio. Por ejemplo, en este caso para cada dos barras se hace la hipótesis de que en ellas la 
fuerza es la de fluencia YA, y mediante las ecuaciones (1.7a y 1.7b) se calculan la fuerza en la tercera barra y P.
Sin embargo, la determinación de la carga de fluencia PY requiere un análisis elástico hiperestático en el que se 
combinan las condiciones de equilibrio con las condiciones de compatibilidad geométrica, tal como vimos en 
§1.2.
Por otra parte, hay que tener presente que nos referimos a una fuerza de fluencia como valor absoluto y que 
dicha fuerza puede ser en general de tracción (positiva) o de compresión (negativa), según la hipótesis formulada 
en §1.1 respecto al modelo elastoplástico perfecto. Para la armadura de la figura 1.3a parece evidente, y se 
deduce observando las ecuaciones de equilibrio (1.7a y 1.7b), que las fuerzas que sufren las tres barras son 
positivas. No sucede lo mismo cuando dicha armadura se carga en el nudo N, como en la figura 1.4a, con la 
fuerza P horizontal. Aquí las ecuaciones de equilibrio para el nudo N (fig. 1.4b) son 
a b a b csen 60º sen 45º y cos 60º cos 45º 0T T P T T T (1.10a y 1.10b) 
1 Introducción 21
Según la ecuación (1.10b), las fuerzas en las barras no tienen las tres el mismo signo. Según la ecuación (1.10a) 
pudiera ser que Ta > 0 y Tb < 0. En las ecuaciones (1.10) introducimos los valores Ta = 75000 N y Tb = -75000 N 
y resolvemos el sistema para las incógnitas Tc y P, lo que nos da 
c 15533N 15,5kN y 117985 N 118kNT P
Esta parece una solución correcta. Operando igualmente con Tb = -75000 N y Tc = 75000 N, resulta 
a 43934 N 44 kN y 14985 N 15kNT P
Aparentemente esta solución cumple también con la condición de que en la tercera barra la fuerza sea menor que 
la fuerza de fluencia y, además, ahora para un valor de P menor que el obtenido con la hipótesis anterior de 
agotamiento por cesión de AN y BN. Sin embargo, si P aumenta gradualmente desde cero, cuando alcanza el 
valor de 14985 N, las barras se encuentran todavía en régimen elástico, como se comprueba resolviendo el 
sistema formado por las ecuaciones de equilibrio del nudo N, con P = 14985 N, y la ecuación de compatibilidad 
geométrica 
a b a b csen 60º sen 45º 14985, cos 60º cos 45º 0T T T T T (1.11a, 1.11b) 
y
a b csen 45º cos 60º sen 60º cos 45º sen105º 0T T T (1.11c) 
Las raíces de este sistema de ecuaciones (1.11) son 
a b c9547 N 9,5kN, 9494 N 9,5kN y 1940 N 1,9kNT T T
valores los tres muy alejados de la fuerza de fluencia de 75000 N. O sea, la carga última del sistema de la figura 
1.4a es Pu = 117985 N y la armadura se agota por la cesión plástica de las barras AN y BN. Para determinar el 
orden en que esas barras fluyen hay que recurrir al análisis hiperestático tal como se expuso en §1.2, el cual 
revela que la primera barra en fluir es la AN para una carga de fluencia PY = 117691 N, muy próxima a la carga 
última calculada con las ecuaciones (1.10). 
Fig. 1.4 
a) El mismo sistema que el de la figura 1.3a; pero sometido a una fuerza, P, horizontal, creciente 
gradualmente desde cero. 
b) Diagrama de sólido libre del nudo N de conexión entre las tres barras. 
Ta = fuerza en la barra AN, Tb = fuerza en la barra BN, Tc = fuerza en la barra CN. 
Al intentar encontrar Pu por tanteos puede ocurrir que una hipótesis incorrecta respecto al sentido de las 
fuerzas conduzca a una solución errónea. En este caso, por ejemplo, con Ta = 75 kN, Tb = -75 kN obtenemos 
Tc = 15,5 kN y Pu = 118 kN, y con Tb = -75 Tc = 75 kN obtenemos Ta = -44kN y Pu = 15 kN . Sin embargo 
Pu = 15 kN no es la solución porque en este caso el análisis elástico nos indica que todas las barras se 
encuentran en régimen elástico, con Ta = 9,5 kN, Tb = -9,5 kN y Tc = 1,9 kN. 
22 Análisis plástico de estructuras. Introducción
1.4 Cálculo plástico
Supongamos que deseamos calcular la sección que deben tener las barras de una armadura como la de la figura
1.3a para que soporte una carga vertical P de 100 kN. Si adoptamos como método de cálculo el llamado diseño
elástico o diseño por esfuerzos permisibles dividiremos Y por el llamado coeficiente de seguridad n para
obtener el correspondiente esfuerzo permisible perm El valor de n para los aceros estructurales es 1,67, o más
exactamente 5/3, o sea, que en este caso se tiene
250 150MPa
(5 / 3)perm
Este esfuerzo permisible lo igualamos al esfuerzo máximo esperable en la estructura, siempre suponiendo que
todas las partes de ella se mantienen en régimen elástico lineal, en cuyo caso ese esfuerzo máximo esperable se
da en la barra CN y vale Tc/A = 0,6883P/A = (0,6883 x 100000)/A = 68800/A Pa. Igualando este valor al de perm,
obtenemos para A
4 2 2
6
68800 4,6 10 m 4,6cm
150 10
A
Es evidente que así nos aseguramos que toda la armadura se mantendrá sobradamente en régimen elástico lineal
con una carga vertical de 100 kN. Sin embargo, cabe plantearse si estamos haciendo un uso realmente
“económico” del material. En la figura 1.3d se representa el comportamiento elastoplástico de esa armadura para
una sección A = 3 cm2. La porción GH representa una situación en que la armadura sigue siendo útil, aunque ya
haya fluido una de las barras. Si el límite de utilidad lo fijamos en la carga de fluencia PY = 110 kN, estamos
despreciando los 50 kN de resistencia adicional que la armadura podría presentar antes de inutilizarse al llegar P
a su valor último Pu de 160 kN. Es decir, en términos relativos estamos prescindiendo de un
160 110 0,45 45%
110
de la capacidad real de resistencia de la armadura. Desde este punto de vista, si deseamos que la armadura
soporte 100 kN, multiplicamos esta carga por 1,45, lo que supone extrapolar a todas las armaduras de la misma
configuración esa capacidad de resistencia adicional. El factor que en este caso vale 1,45 recibe el nombre de
factor de carga en el análisis y cálculo plásticos. Tenemos así una carga mayorada de 145000 N, que en la
barra más solicitada, o sea en la barra CN, debe producir una fuerza que no debe sobrepasar la de fluencia de
(250 x 106)A N. O sea,
60,688 145000 (250 10 ) A
y por tanto,
4 2 23,99 10 m 4cmA
Resulta, pues, una sección más estrecha. Si la carga de trabajo es 100 kN, en realidad el esfuerzo que soporta la
barra más solicitada, la CN, será
3
6
4
0,6883 100 10 172,5 10 Pa = 172,5MPa
3,99 10
que es inferior a Y, lo que supone que toda la armadura se encontrará en régimen elástico para una carga de
trabajo de 100 kN. Con respecto al método tradicional basado en los esfuerzos permisibles, el método plástico
favorece el ahorro de material y además simplifica los cálculos, al obviar los más complicados métodos del
análisis hiperestático.
1 Introducción 23
1.5 Invalidez del principio de superposición 
En mecánica de materiales son numerosos los problemas que pueden resolverse empleando las soluciones a otros 
problemas más sencillos aplicando el principio de superposición. Según éste, el efecto de un conjunto de cargas 
sobre un sistema material puede obtenerse hallando por separado el efecto de cada carga y superponiendo los 
resultados así obtenidos, con tal que: a) cada efecto sea una función lineal de su causa y b) la deformación 
debida a cada carga sea pequeña y no afecte a las condiciones de aplicación de las demás cargas. Este 
principio resulta especialmente útil para estudiar sistemas hiperestáticos, ninguna de cuyas partes haya rebasado 
el régimen elástico lineal. En el caso del análisis plástico, sin embargo, el principio de superposición pierde su 
validez al no cumplirse la condición a) de que la relación causa-efecto sea lineal, ya que hemos admitido en §1.1 
que es bilineal, tal como se representa en la figura 1.1c. 
A título ilustrativo consideremos cómo se comporta el sistema de la figura 1.5a. El sistema consta de una barra 
rígida ABC sostenida en posición horizontal por las tres barras de acero verticales ( Y = 250 MPa, A = 3 cm2)
AA1, BB1 y CC1, de la misma longitud a = b = c = L, las cuales están articuladas a ABC y al techo. Para una 
carga P como la indicada (fig. 1.5b), la aplicación de las condiciones de equilibrio al diagrama de sólido libre de 
la barra ABC nos da 
a b c b cy 2 4T T T P T T P (1.12a y 1.12b) 
donde (1.12b) resulta de igualar a cero los momentos en A. Tenemos así un sistema de grado de hiperestaticidad 
uno, que debemos completar con una ecuación de compatibilidad geométrica combinada con la ley de Hooke, en 
el supuesto de que todavía el material de las barras se halla en zona elástica. La compatibilidad geométrica 
implica que, al ser rígida la barra ABC, los puntos A, B y C que estaban alineados antes de la deformación deben 
seguir alineados después de su corrimiento vertical a los puntos A’, B’ y C’, tal como se representa en la figura 
1.5c. La suposición de que AA’, BB’ y CC’ sean verticales se justifica con la hipótesis de las pequeñas 
deformaciones. En la figura 1.5c se cumple 
2
a c b c
d d
o sea, 
2 0a b c
Esta ecuación expresa la compatibilidad geométrica, donde al sustituir a, b e c por los valores dados por la 
ley de Hooke queda, en definitiva, 
a b c2 0T T T (1.12c) 
Las raíces del sistema de ecuaciones (1.12) son 
a b c
7 , y
12 3 12
P P P
T T T (1.13) 
Estos valores (1.13) indican que la primera barra en ceder es la AA1. Para los valores de Y y A indicados, ya 
sabemos que la fuerza de fluencia de cada barra es de 75000 N; por consiguiente, la carga de fluencia PY es 
Y
12 75000 128571N 128,6kN
7
P
Si es P = 120 kN < 128,6 kN, resultan Ta = 70 kN, Tb = 40 kN y Tc = 10 kN (fig. 1.5d). Si ahora estudiamos el 
sistema con una carga Q situada en el centro del tramo BC, tal como se muestra en el diagrama de sólido libre de 
la figura 1.5e, para el régimen elástico las fuerzas en las barras serían 
a b c
7, y
12 3 12
Q Q Q
T T T (1.15) 
El análisis posterior revelaría obviamente que la primera barra en llegar a la fuerza de fluencia de 75000 N sería la CC1, con 
Q = QY = 128571 N 128,6 kN, como antes. Si es Q = 85 kN < 128,6 kN, resultan Ta = 7,1 kN, Tb = 28,3 kN y Tc = 49,6 kN 
(fig. 1.5f). 
24 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
Fig. 1.5 
El principio de superposición no es válido en el rango plástico. 
a) Sistema formado por una barra rígida, AC, sostenida en posición horizontal por tres barras de acero 
verticales iguales de la misma longitud. 
Fuerza de fluencia en las barras verticales: 75 kN. 
Carga: Fuerza P, vertical, creciente gradualmente desde cero. 
b) Diagrama de sólido libre de la barra rígida AC. 
Ta = fuerza en la barra AA1, Tb = fuerza en la barra BB1, Tc = fuerza en la barra CC1.
c) Diagrama de la compatibilidad geométrica de las deformaciones de las tres barras verticales. 
a = alargamiento de la barra AA1, b = alargamiento de la barra BB1, c = alargamiento de la barra CC1.
d) Equilibrio de la barra AC al aplicar una fuerza P = 120 kN. 
e) Diagrama de sólido libre de la barra rígida AC con la carga Q en el punto medio del tramo BC. 
f) Equilibrio de la barra AC al aplicar una fuerza Q = 85 kN 
.
g) Diagrama de sólido libre de la barra rígida AC con la carga P en el punto medio del tramo AB y la carga Q 
en el punto medio del tramo BC. Por superposición obtendríamos para P = 120 kN y Q = 85 kN: Ta = 77,1 
kN > 75 kN , Tb = 68,3 kN , Tc = 59,6 kN 
h) Diagrama de sólido libre de la barra rígida de la figura e) para P = 120 kN y Q = 85 kN. La barra AA1
estará plastificada y será Ta = 75 kN. El equilibrio de la barra AC exige que los valores de Tb y Tc sean los 
indicados en la figura. 
1 Introducción25
En un tercer caso suponemos una fuerza P, en el centro de AB, y una fuerza Q en el centro de BC, tal como se 
muestra en el diagrama de sólido libre de la figura 1.5g. Mientras los valores de P y Q sean tales que en ninguna 
barra se sobrepase la fuerza de fluencia de 75000 N, la fuerza en cada barra podemos obtenerla superponiendo 
los valores correspondientes de las expresiones (1.13) y (1.15), ya que se cumplen las condiciones de 
aplicabilidad del principio de superposición; o sea, 
a b c
7 7, y
12 3 12
P Q P Q P Q
T T T (1.16) 
Consideremos la situación de la figura 1.5h, en la que suponemos que P = 120 kN y Q = 85 kN. De las fórmulas 
(1.13) y (1.15) resulta que ni P ni Q, por sí sola cada una, origina la cesión plástica de ninguna de las barras. 
Ahora bien, la aplicación simultánea de ambas, nos daría 
a b c70 7,1 77,1kN > 75kN, T 40 28,3 68,3kN y 10 49,6 59,6kNT T
lo que revela que la barra AA1 cedería plásticamente y ya no son válidas las fórmulas (1.16). El valor de la 
fuerza en cada barra hay que calcularlo aplicando las condiciones de equilibrio al diagrama de sólido libre de la 
barra rígida ABC con P = 120 kN, Q = 85 kN y Ta = 75 kN, tal como se indica en la figura 1.5h. El cálculo nos 
da Tb = 72,5 kN y Tc = 57,5 kN. Siempre que en algún lugar de un sistema el material rebasa el esfuerzo de 
fluencia, el principio de superposición deja de ser aplicable. 
Por otra parte, si en un proceso de carga se alcanza la cesión plástica en algún lugar del sistema, no es posible 
repetirlo alterando el orden de aplicación de las cargas. Además, si se descarga el sistema, éste no regresa a su 
estado inicial sin carga, toda vez que el material obedece al modelo elastoplástico propuesto en §1.1 y 
representado en la figura 1.1c, y por consiguiente quedará afectado por unos esfuerzos residuales y unas 
deformaciones remanentes. Es importante recordar que el orden en que se aplican las cargas afecta al estado final 
del sistema. Sobre estos extremos volveremos en el capítulo próximo. 
1.6 Plasticidad transversal y criterio de von Mises 
El comportamiento de los materiales bajo cortante se estudia a partir de los diagramas de cortante en los que se 
representa el esfuerzo cortante en función de la deformación cortante unitaria . Estos diagramas pueden 
obtenerse con ensayos directos de esfuerzo cortante y, para los mismos materiales, presentan un aspecto general 
muy similar al de los diagramas de tracción y en ellos pueden identificarse cantidades tales como límite de 
proporcionalidad, módulo de elasticidad, puntos de fluencia y esfuerzo último. Estas propiedades suelen 
determinarse mediante ensayos de torsión realizados sobre tubos circulares huecos y en líneas generales dan 
unos valores del orden de la mitad que sus correspondientes a tracción. Asimismo, muchos diagramas de 
cortante (del acero, aluminio, latones) se inician como los diagramas de tracción con una recta que pasa por el 
origen y que representa una región elástica lineal donde 
G
siendo G el llamado módulo de elasticidad transversal, también llamado módulo de rigidez, del material. 
Hemos tratado en este capítulo de la plasticidad que aparece cuando se agota un estado de esfuerzos monoaxial. 
Sin embargo, en la práctica hay estados de esfuerzos que no son monoaxiales. Por ello, interesa establecer hasta 
qué punto es posible aumentar las solicitaciones en un estado general de esfuerzos sin que en cada lugar 
considerado sobrevenga la cesión plástica. El estudio de esta cuestión es objeto de la reología y de ella se han 
ocupado investigadores con el propósito de establecer un criterio que permita definir unos valores que sirvan de 
referencia para la aparición de la plasticidad. De los criterios propuestos, el generalmente aceptado para los 
aceros estructurales y otros metales es el debido a Richard von Mises. Dicho criterio se basa en consideraciones 
energéticas y en definitiva se resume en la expresión 
2 2 2 2
I II II III III I Y2 (1.17) 
26 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
En ésta, I II III, , son los esfuerzos principales del estado general de esfuerzos considerado y según el criterio 
de von Mises no se alcanzará la fluencia mientras el primer miembro no rebase el valor dado por el segundo. En 
muchas piezas y elementos estructurales son corrientes los estados de esfuerzos biaxiales o planos, como el 
representado en la figura 1.6, en cuyo caso los esfuerzos principales son 
2
x y x y 2
I xy2 2
2
x y x y 2
II xy2 2
III 0
Si estos valores los introducimos en (1.17) resulta 
2 2 2 2
x y x y xy Y3
Cuando, como en el caso de la flexión simple, sólo hay que considerar los esfuerzos normales debidos al 
momento flector y los esfuerzos cortantes debidos a las fuerzas transversales, la expresión anterior se reduce a 
2 2 2
Y3 (1.18) 
para cada punto de la sección transversal de una viga. Además, cuando el estado de esfuerzos es de cortadura 
pura, la condición de no plastificación es 
Y
3
que concuerda con los resultados experimentales. Así, para el acero es Y 250MPa y el esfuerzo cortante de 
fluencia es Y 145MPa , y para el latón y el aluminio, ambos con Y 100MPa , el esfuerzo cortante de 
fluencia hallado experimentalmente es de 60 y 55 MPa respectivamente. 
Fig. 1.6 
Estado de esfuerzos biaxial plano para el cual el criterio de plastificación de Richard von Mises: 
I II II III III I Y
2 2 2 22
se reduce a : 
2 2 2 2
x Y X Y XY Y3
1 Introducción 27
EJERCICIOS 
1.1 La armadura de la figura 1.3a se carga con una fuerza vertical de 140 kN en el nudo N y luego se 
descarga. Hallar los esfuerzos residuales en las barras. Pueden emplearse los resultados hallados en §1.3. 
1.2 Las barras AN, BN, CN y DN, articuladas al techo y al nudo N, que soporta una carga vertical P, son de 
acero con Y = 250 MPa y las cuatro tienen la misma sección A = 3 cm2.
1) Analizar elastoplásticamente el sistema y representar los resultados en una gráfica con P en el eje de 
ordenadas y la componente vertical del corrimiento de N, en unidades de c, en el eje de abscisas. 
2) Emplear los resultados anteriores para deducir por cálculo tanto elástico como plástico la sección de 
las cuatro barras cuando el valor de servicio de P es de 300 kN. ¿Es plenamente satisfactorio el resultado 
que da el cálculo plástico? Si no es así, ¿cómo corregirlo? 
1.3 En la figura, ABCD es una barra que se supone rígida, mientras que las cuatro barras verticales (A1A, 
B1B, C1C y D1D), articuladas en sus extremos, son de acero, con Y = 250 MPa y las cuatro tienen la 
misma sección A = 4 cm2. 
1) Analizar elastoplásticamente el sistema y representar los resultados en una gráfica con la carga P en el 
eje de ordenadas y el corrimiento de D, en unidades de L, en el eje de abscisas. 
2) Emplear los resultados anteriores para deducir por cálculo tanto elástico como plástico la sección de 
las cuatro barras cuando el valor de trabajo de P es de 200 kN. ¿Es plenamente satisfactorio el resultado 
que da el cálculo plástico? Si no es así, ¿cómo corregirlo? 
2 Flexión Plástica de Vigas 
2.1 Flexión plástica de vigas y factor de forma 
La teoría de la flexión simple de vigas en régimen elástico se desarrolla a partir de las cuatro hipótesis 
siguientes: 
a) que el alargamiento de cada fibra longitudinal es proporcional a su distancia al eje neutro (consecuencia de 
la hipótesis de Navier de que las secciones planas siguen siendo planas después de la deformación); 
b) que las fibras longitudinales satisfacen la ley de Hooke, es decir, que el material es elástico lineal; 
c) que las deformaciones son lo bastante pequeñas para que pueda admitirse que la curvatura de la elástica1
cumple que tg ; y 
d) que el sistema de fuerzas internas actuante en una sección de la viga, de área A, equivale a una fuerza 
normal de valor 
A
dA
y a un par de fuerzas cuyo momento M, el llamado momento flector, es 
A
y dA
donde y es la distancia al eje neutro y es la distribución de esfuerzos en la sección expresada porM
y
I
Para desarrollar la teoría elemental de la flexión plástica de vigas, se siguen admitiendo esas cuatro hipótesis, 
pero modificando la b) en el sentido de que el material ya no es elástico lineal, sino elastoplástico perfecto, lo 
que introduce unas modificaciones en la formulación del comportamiento de la viga que son el objeto de este 
capítulo. Por otra parte, en la figura 2.1 se resumen los símbolos y el convenio de signos adoptado, siendo este 
último el mismo que suele adoptarse en el estudio de la flexión simple de vigas en régimen elástico. Siguiendo el 
criterio de signos admitido para el momento flector, el diagrama de momentos flectores de la viga de la figura 
2.1e es el indicado en la figura 2.1g, mientras que la viga se deforma como se indica en trazo grueso en la figura 
2.1f. Siguiendo una costumbre bastante generalizada, en los diagramas de momentos flectores se representan los 
valores positivos de éstos hacia abajo, tal como se muestra en la figura 2.1h, al objeto de “asemejar” la forma del 
diagrama a la forma de la elástica. 
 
1Recuérdese que la elástica es la forma que adopta el eje de la viga cuando ésta se deforma, y que el eje de la viga es el lugar 
geométrico de los centroides de las secciones. 
30 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
Fig. 2.1 
a) Rebanada de longitud ds de una viga recta. 
b) Deformación de la rebanada a causa de un momento M. Las secciones planas siguen siendo planas después 
de la deformación, según la hipótesis de Navier. 
c) La fibra cuya longitud no varía es la llamada fibra neutra. La longitud de las otras fibras varía en 
cantidades, ds, proporcionales a su distancia a la fibra neutra. 
d) ds = longitud primitiva de todas la fibras 
s = cambio de longitud de una fibra 
 = deformación unitaria de una fibra = s / ds 
 = ángulo girado por la sección. 
La fibra que más se deforma es la más alejada de la fibra neutra (a una distancia c). Entre e) y h) se indica el 
convenio para representar el diagrama de momentos flectores. (Según una costumbre generalizada, los 
valores positivos de los momentos se toman hacia abajo, al objeto de “asemejar” la forma del diagrama a la 
forma de la elástica.) 
2 Flexión plástica de vigas 31
Consideremos ahora una viga de sección rectangular (base b, altura h), como la mostrada en la figura 2.2a,
constituida por un material elastoplástico perfecto (fig. 2.2b). Supongamos asimismo que dicha viga está
sometida a flexión pura y que el momento flector M en la sección representada en la figura 2.2a aumenta
paulatinamente desde cero. Mientras el material se encuentre en la zona elástica (fig. 2.2c), el esfuerzo máximo
en esa sección podremos calcularlo mediante la fórmula max = M/W, que se deduce en la teoría simple de la
flexión elástica y donde W = I/c es el llamado módulo resistente. I es el momento de inercia de la sección
respecto al eje neutro y c es la distancia desde el eje neutro (fig. 2.1) hasta el borde de la sección más alejado; o
sea, en este caso es c = h/2. Si el momento flector M en esa sección aumenta hasta un valor MY, llamado
momento de fluencia, tal que en las fibras extremas, que son las más solicitadas, empieza a sobrevenir la cesión
plástica y en ellas es = Y y = Y, esa fórmula sigue siendo aplicable y podremos escribir
Y YM W (2.1)
que corresponde a la situación de la figura 2.2d. Si luego M sigue aumentando por encima de MY, las
deformaciones unitarias en la sección continuarán aumentando y el valor máximo de será mayor que Y.
Pero, como el material es elastoplástico perfecto, el esfuerzo máximo permanecerá constante e igual a Y,
situación que se representa en la figura 2.2e. Entonces, las zonas más externas de la sección se habrán
plastificado enteramente, mientras que un núcleo interior continúa linealmente elástico; es éste el llamado
núcleo elástico.
Conforme el momento flector va aumentando más, las zonas plastificadas se agrandan avanzando hacia el eje
neutro, como en la figura 2.2f, momento en que la deformación unitaria más grande es quizá 10 o 15 veces Y, y
además el núcleo elástico está desapareciendo. A efectos prácticos, si la viga es isostática habrá llegado a su
capacidad última de resistir esfuerzos, es decir, habrá llegado al agotamiento; entonces se puede admitir que la
distribución final de esfuerzos en la sección está idealmente compuesta por las dos porciones rectangulares que
se representan en la figura 2.2g, tras haber tenido lugar unas rotaciones ilimitadas. El valor del momento flector
en la sección para el que toda ella está plastificada se llama momento plástico y se designa por MP y la carga que
lo genera se conoce como carga última, o carga de agotamiento.
Para calcular MP basta tener en cuenta que la distribución rectangular de esfuerzos en la sección plastificada
equivale a un par de fuerzas cuyo momento debe ser precisamente MP. En la figura 2.3, la resultante P de los
esfuerzos de compresión en la mitad superior de la sección vale
Y Y2 2
bh A
P
La resultante de los esfuerzos de tracción en la mitad inferior de la sección tiene ese mismo valor. Ambas
resultantes originan un par de fuerzas de momento Ph/2, o sea Y(bh2/4), que debe ser igual a MP. Es decir,
2
P Y 4
bh
M (2.2)
Volvamos a la expresión (2.1) que nos daba el valor del momento de fluencia. Como en este caso es I = bh3/12 y
c = h/2, resulta que W =bh2/6 y, por tanto,
2
Y Y 6
bh
M (2.3)
Si ahora dividimos (2.2) y (2.3) miembro a miembro, obtenemos
P
Y
1,50
M
M
Es decir, si agotamos la viga cargándola más y más hasta llegar a la plastificación total de la sección, habremos
incrementado su capacidad de carga en un 50% por encima de su capacidad al inicio de la cesión plástica. El
cociente MP/MY recién calculado para una sección rectangular, y que resulta ser una cantidad adimensional
exclusivamente función de la geometría de la sección, recibe el nombre de factor de forma y suele designarse por f.
32 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
Fig 2.2 
En esta figura se muestra las distribuciones de esfuerzos y de deformaciones y el giro de una sección recta de la 
viga de sección rectangular a) al aplicar un momento flector M gradualmente creciente. b) El material se supone 
elastoplástico perfecto. c) Los esfuerzos, las deformaciones y el ángulo girado crecen proporcionalmente a M, 
mientras ninguna fibra alcance el esfuerzo de fluencia. En d) las fibras de los extremos empiezan a plastificarse al 
llegarse al esfuerzo de fluencia y. Al momento flector correspondiente se le llama momento de fluencia My. e) y f) 
Al seguir creciendo el momento, va creciendo la región de fluencia en los extremos de la sección (parte rayada en 
la figura), sometida a un esfuerzo constante y y donde el alargamiento de las fibras está controlado únicamente 
por la deformación de las fibras de la parte central de la viga que todavía se hallan en régimen elástico, llamada 
núcleo elástico (parte blanca en el dibujo). Para estos valores del momento flector ya no existe proporcionalidad 
entre éste y el ángulo girado, los esfuerzos y las deformaciones. En la figura g) toda la sección presenta fluencia y, 
en ausencia de endurecimiento por deformación del material, las deformaciones unitarias se harían ilimitadas, así 
como el ángulo girado. La viga está agotada. El valor del momento flector correspondiente es el llamado momento 
plástico, MP .
2 Flexión plástica de vigas 33
Fig 2.3 
La viga de sección rectangular llega al agotamiento cuando el valor del momento aplicado vale 
P yM Ph 2 Ah 4
En el caso, como el recién considerado, de secciones simétricas respecto al eje de flexión elástica, el eje neutro 
sigue coincidiendo con aquél (y pasando, por ello, por el centroide) al llegarse a la plastificación total. Pero si la 
sección es asimétrica respecto al eje de flexión elástica, el eje neutro se desplaza, desde su coincidencia con el eje 
de flexión cuando M = MY, hasta una posición tal que dividea la sección en dos áreas iguales cuando M = MP. Ello 
es consecuencia de la hipótesis de que la flexión es pura, o sea, de que el sistema de esfuerzos normales distribuidos 
sobre la sección debe equivaler sólo a un par de fuerzas. 
Consideremos ahora una sección de forma cualquiera como la de la figura 2.4a, de área total A y donde z es el 
eje neutro en plastificación total. Este eje divide a la sección en dos porciones, la de área A1 y centroide en G1, y 
la de área A2 y centroide en G2. En esa misma figura, 1 2ey y son las respectivas distancias al eje z de los 
centroides G1 y G2. En la parte de área A1 habrá una resultante de compresión YA1 aplicada en su centroide G1,
mientras que en la parte de área A2 habrá una resultante de tracción YA2 aplicada en su centroide G2. Entonces, 
como la resultante debe ser nula, 
Y 1 Y 2 0A A
y, por tanto, 
1 2 2A A A
Fig 2.4 
Si la sección recta de la viga no es simétrica respecto al eje de flexión elástica, el momento en el agotamiento vale 
P Y 1 2M A y y 2
34 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
Es posible con esto establecer una fórmula general para calcular el factor de forma. Para una sección cualquiera 
como la de la figura 2.4a el momento plástico será (fig. 2.4b) 
P Y Y1 22 2
A A
M y y
o sea, 
1 2
P Y
( )
2
A y y
M (2.4)
siendo 1 2ey y las distancias al eje neutro en plastificación de los centroides G1 y G2 de las superficies de áreas 
A1 y A2 iguales en que dicho eje divide a la sección. La expresión (2.4) puede escribirse 
P YM Z (2.5) 
donde 
1 2( )
2
A y y
Z (2.6) 
es el llamado módulo plástico de la sección. Si ahora tenemos en cuenta que f = MP/MY y recordamos la relación 
(2.1), resulta 
Z
f
W
expresión que pone de manifiesto, otra vez, la naturaleza geométrica y adimensional del factor de forma. 
Si el perfil es simétrico, será 1 2y y , y Z la suma de los momentos estáticos de las dos medias secciones. Así, 
en la norma UNE 36 521 (Productos de acero. Sección en I con alas inclinadas. Medidas) están tabulados los 
valores S de los momentos estáticos de las medias secciones y, por tanto, para cada perfil es Z = 2S. Para los 
perfiles en doble T se calcula 
21 2
4
Z bt h t s h t (2.7a) 
y
3 2 31 1 ( ) ( 2 )
3 6
s
W bt bt h t h t
h
 (2.7b) 
donde b es la anchura del ala, h es la altura total del perfil, s es el espesor del alma y t es el espesor del ala, tal 
como se indica en la ilustración de la tabla 2-1. En esta misma tabla se dan los valores de W y Z para las vigas en 
doble T de alas anchas y caras paralelas, calculados mediante las fórmulas (2.7) y con las medidas de b, h, s y t
tomadas de la norma UNE 36-524-94 (Perfiles HE de alas anchas y caras paralelas). Obsérvese que en las 
fórmulas (2.7) no se tiene en cuenta el radio de unión r entre el alma y las alas, por lo que los valores de W que 
figuran en la tabla 2-1 difieren levemente de sus homólogos en la norma citada. Las fórmulas (2.7) pueden 
aplicarse, también con poco error, a los perfiles en I tomando como espesor t del ala el espesor de ésta a una 
distancia b/4 del borde.2
 
2Téngase en cuenta que los valores reseñados en la tabla 2-1 no deben tomarse como “oficiales”. Los empleamos sólo como 
referencias verosímiles. 
2 Flexión plástica de vigas 35
En el Manual of Steel Construction del AISC (American Institute of Steel Construction) están tabulados los 
valores de Z para los perfiles americanos W, M y S. Hay una versión métrica de ese manual. 
Como ejemplo consideremos el cálculo del factor de forma del perfil en T de la figura 2.5a. Empecemos calculando 
el módulo resistente W = I/c. Para hallar tanto I como c necesitamos determinar la posición del centroide G de la 
sección completa. Si tomamos como referencia el eje BB que pasa por la base y denominamos la distancia de G 
a BB (fig. 2.5b), podemos escribir, dividiendo el perfil en las superficies correspondientes al ala y al faldón, 
150 50 150 50 150 50 75 150 50 150 25
con lo que 
125 mm
O sea, el borde superior de la sección está a una distancia de G de (150 + 50) - 125 = 75 mm, mientras que el 
borde inferior está a una distancia de G de 125 mm. Es decir, c = 125 mm y al iniciarse la fluencia la distribución 
de esfuerzos es la indicada en la figura 2.5c. Para calcular I, aplicamos el teorema de Steiner a las dos partes, ala 
y faldón. Así tenemos 
3 2 3 2150 50 12 150 50 50 50 150 12 150 50 50I
Fig 2.5 
Valores calculados para la sección en T. 
Módulo resistente: , ,6 6 3W I c 53 125 10 125 0 425 10 mm
Módulo plástico: , 6 31 2Z A 2 y y 150 50 25 75 0 75 10 mm
Factor de forma: , , ,6 3 6 3f Z W 0 75 10 mm 0 425 10 mm 1 76
36 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
h
(mm) 
b
(mm) 
s
(mm) 
t
(mm) 
WZ*
(m3x 106)
Z** 
(m3 x 106)
f A
(m2 x 104)
Masa*** 
(kg/m) 
 
100A 96 100 5 8 69 78 1,13 20 15,6
100B 100 100 6 10 86 100 1,16 24,8 19,4
100M 120 106 12 20 188 231 1,23 52 40,7 
120A 114 120 5 8 102 114 1,12 24,1 18,8
120B 120 120 6,5 11 140 159 1,14 32,8 25,6
120M 140 126 12,5 21 284 345 1,21 65,2 51 
140A 133 140 5,5 8,5 150 167 1,11 30,2 23,6
140B 140 140 7 12 210 239 1,14 41,7 32,6
140M 160 146 13 22 407 487 1,2 79,3 62 
160A 152 160 6 9 210 233 1,11 36,8 28,8
160B 160 160 8 13 302 342 1,13 52,3 40,9
160M 180 166 14 23 558 662 1,19 95,1 74,4 
180A 171 180 6 9,5 282 311 1,1 43,3 33,9
180B 180 180 8,5 14 414 467 1,13 63,3 49,5
180M 200 186 14,5 24 738 869 1,18 111,3 87 
200A 190 200 6,5 10 369 407 1,1 51,1 40
200B 200 200 9 15 551 620 1,13 75,3 58,9
200M 220 206 15 25 951 1113 1,17 128,5 100,5 
220A 210 220 7 11 494 543 1,1 61,6 48,2
220B 220 220 9,5 16 715 802 1,12 88,3 69,1
220M 240 226 15,5 26 1198 1394 1,16 146,7 114,7 
240A 230 240 7,5 12 643 707 1,1 73,1 57,2
240B 240 240 10 17 908 1016 1,12 102,2 79,9
240M 270 248 18 32 1772 2080 1,17 195,8 153,1 
260A 250 260 7,5 12,5 791 867 1,1 81,9 64
260B 260 260 10 17,5 1104 1230 1,11 113,5 88,8
260M 290 268 18 32,5 2120 2471 1,17 214,7 167,9 
280A 270 280 8 13 963 1055 1,1 92,3 72,2
280B 280 280 10,5 18 1328 1477 1,11 126,4 98,8
280M 310 288 18,5 33 2508 2908 1,16 235,2 183,9 
300A 290 300 8,5 14 1192 1305 1,09 106,3 83,1
300B 300 300 11 19 1612 1790 1,11 142,8 111,7
300M 340 310 21 39 3425 3999 1,17 296,8 232,1 
Tabla 2-1 
2 Flexión plástica de vigas 37
h
 (mm) 
b
 (mm) 
s
(mm) 
t
 (mm) 
WZ*
(m3 x 106)
Z** 
(m3 x 106)
f A
(m2 x 104)
Masa*** 
(kg/m) 
 
320A 310 300 9 15,5 1407 1545 1,1 118,1 92,4
320B 320 300 11,5 20,5 1857 2066 1,11 155,1 121,3
320M 359 309 21 40 3734 4352 1,17 305,8 239,1 
340A 330 300 9,5 16,5 1601 1761 1,1 127,2 99,5
340B 340 300 12 21,5 2081 2319 1,11 164,6 128,7
340M 377 309 21 40 3984 4628 1,16 309,6 242,1 
360A 350 300 10 17,5 1809 1994 1,1 136,5 106,7
360B 360 300 12,5 22,5 2320 2588 1,12 174,4 136,4
360M 395 308 21 40 4224 4895 1,16 312,6 244,5 
400A 390 300 11 19 2218 2455 1,11 152,7 119,4
400B 400 300 13,5 24 2794 3125 1,12 191,5 149,8
400M 432 307 21 40 4737 5464 1,15 319,5 249,8 
450A 440 300 11,5 21 2790 3095 1,11 171,8 134,3
450B 450 300 14 26 3447 3862 1,12 211,7 165,5
450M 478 307 21 40 5404 6210 1,15 329,2 257,4 
500A 490 300 12 23 3431 3814 1,11 191,3 149,6
500B 500 300 14,5 28 4170 4679 1,12 232,4 181,7
500M 524 306 21 40 6069 6959 1,15 338 264,3 
550A 540 300 12,5 24 4012 4472 1,11 205,5 160,7
550B 550 300 15 29 4839 5440 1,12 247,8 193,8
550M 572 306 21 40 6796 7783 1,15 348,1 272,2 
600A 590 300 13 25 4639 5185 1,12 220,2 172,2
600B 600 300 15,5 30 5556 6260 1,13 263,7 206,2
600M 620 305 21 40 7519 8607 1,14 357,4 279,5 
650A 640 300 13,5 26 5312 5956 1,12 235,4 184,1
650B 650 300 16 31 6321 7140 1,13 280,1 219
650M 668 305 21 40 8278 9477 1,14 367,5 287,4 
700A 690 300 14,5 27 6064 6837 1,13 254,2 198,8
700B 700 300 17 32 7166 8132 1,13 300,1 234,7
700M 716 304 21 40 9028 10344 1,15 376,8 294,7 
800A 790 300 15 28 7428 8421 1,13 278,1 217,5800B 800 300 17,5 33 8726 9950 1,14 326,5 255,3
800M 814 303 21 40 10628 12209 1,15 396,5 310,1 
900A 890 300 16 30 9195 10496 1,14 312,8 244,6
900B 900 300 18,5 35 10693 12269 1,15 363,6 284,3
900M 910 302 21 40 12254 14126 1,15 415,9 325,2 
1000A 990 300 16,5 31 10862 12471 1,15 339,1 265,2
1000B 1000 300 19 36 12572 14502 1,15 392,3 306,8
1000M 1008 302 21 40 14011 16215 1,16 436,5 341,3 
2 3 23 3
Z
1 1 1* 2 ** 2 ***Densidad del acero: 7820 kg/m
3 6 4
s
W bt bt h t h t Z bt h t s h t
h
 Tabla 2-1 
38 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
Luego
6 453,125 10 mmI
y el módulo resistente de la sección vale 
6 6 353,125 10 125 0, 425 10 mmW
En general, habría que calcular la posición del eje neutro en plastificación determinando la posición de la línea 
que divide a la sección en dos áreas iguales. Aquí no hace falta ese cálculo ya que se aprecia que el ala y el 
faldón tienen áreas iguales, por lo que la línea neutra buscada es la línea AA que separa ala y faldón, como se 
indica en la figura 2.5b. Se ve, además, que 1 225 mm e 75 mm.y y Entonces, el módulo plástico Z vale 
6 30,5 2 150 50 25 75 0,75 10 mm
Resulta así un factor de forma 
6
6
0,75 10 1,76
0, 425 10
f
2.2 Relación entre el momento y la curvatura y articulaciones plásticas 
Volviendo al proceso de plastificación descrito en la figura 2.2, analicemos la situación cuando en la sección 
considerada el momento flector M en ella sea mayor que el momento de fluencia MY, pero menor que el 
momento plástico MP (figs. 2.2e y 2.2f). Ya sabemos que entonces las zonas más externas estarán plastificadas, y 
en ellas el esfuerzo será uniforme y de valor Y, mientras que la zona interna, que llamamos núcleo elástico, 
estará sometida a una distribución lineal de esfuerzos. La situación se representa en las figuras 2.6a y 2.6b, 
donde e es la distancia del eje neutro a cada borde del núcleo elástico. En la figura 2.6b, P es la resultante de los 
esfuerzos (compresión o tracción) que actúan en cada porción plástica, mientras que Q es la resultante de los 
esfuerzos (compresión o tracción) que actúan sobre cada porción del núcleo elástico. Claramente se ve que 
Y Y2 2
h eb
P b e y Q (2.8) 
Considerando la figura 2.6b, el momento flector será 
4
2 3
h e
M P e Q
y si en esta expresión introducimos los valores (2.8), resulta 
Y Y
4
2 2 2 3
h h eb e
M b e e
Si operamos con esta última expresión, teniendo en cuenta que para una sección rectangular es MY = Y(bh2/6), 
obtendremos 
2
Y 2
3 2
2
e
M M
h
 (2.9a) 
2 Flexión plástica de vigas 39
Fig. 2.6
Si en la figura 2.2 M está comprendido entre My y MP, la distribución de esfuerzos será la mostrada en b), la
fuerza resultante equivalente a los esfuerzos uniformes será P y la fuerza resultante equivalente a los
esfuerzos triangulares será Q, aplicadas en los puntos indicados.
o, mejor aún,
Y
1 3 2
2
e M
Mh
(2.9b)
Esta expresión (2.9b) concuerda con lo que ya sabíamos, es decir que cuando M = MP es e = 0, ya que entonces
el cociente de momentos es precisamente el factor de forma f y éste vale 1,5 para las secciones rectangulares.
Volvamos a la figura 2.2. En ella se indica la curvatura de la elástica para las distintas situaciones
representadas. En la teoría de la flexión elástica la curvatura es = M/EI y al iniciarse la fluencia tendremos
Y
Y
M
EI
(2.10)
Para la situación de la figura 2.2e podemos escribir
Ytg
e
(2.11)
y en el núcleo elástico se cumple que
Y
Y E
(2.12)
Eliminando Y entre (2.11) y (2.12), resulta
Y
Ee
y dividiendo esta expresión por la (2.10) obtenemos
Y
Y Y
I
M e
(2.13)
Finalmente, si en (2.13) introducimos MY = W Y = (I/c) Y, queda
Y
c
e
(2.14)
40 Análisis plástico de estructuras. Introducción 
y
Fig. 2.7 
Relación momento-curvatura para vigas de secciones diversas. Las curvas se componen de un tramo recto, desde el 
origen hasta M / My = 1, que corresponde al comportamiento elástico del material, seguido de una porción curva 
representativa del intervalo en el que el material es parcialmente elástico y parcialmente plástico y que tiende 
asintóticamente al valor Mp / My = f, que corresponde a la plastificación total del material. 
La expresión (2.14) podemos aplicarla a una sección rectangular, teniendo en cuenta que entonces es c = h/2 y 
que para ese caso se cumple la relación (2.9a). Resulta así 
Y P
Y Y
1 ,
3 2( )
M M M
M M
 (2.15a) 
 o bien, 
Y P2
Y Y
0,51,5 ,M M M M
M
 (2.15b) 
relación que se representa en la figura 2.7. En ésta se representan asimismo las relaciones del tipo de las (2.15) 
para otras secciones, relaciones que se obtienen siguiendo el mismo procedimiento que para las secciones 
rectangulares. 
Las curvas momento-curvatura de la figura 2.7 se componen de un tramo recto, desde el origen hasta M/MY = 1, 
que corresponde al comportamiento elástico del material, seguido de una porción curva representativa del 
intervalo en que el material es parcialmente elástico y parcialmente plástico y que tiende asintóticamente al valor 
MP/MY = f, al que correspondería un valor infinito de Y , situación de plastificación total (fig. 2.2g) con 
rotaciones ilimitadas, abstracción hecha del endurecimiento por deformación. Tal situación se alcanza tanto más 
rápidamente cuanto menor es el factor de forma f y el fenómeno es muy acusado en las vigas de sección en doble 
T. Esto último justifica la aplicación del diseño plástico a estos perfiles laminados, pues las vigas en doble T 
llegan a la situación de rotación ilimitada casi repentinamente tras haber llegado a la fluencia las fibras extremas, 
lo que permite idealizar la curva momento-curvatura suponiendo que la sección se comportará elásticamente 
justo hasta el momento en que se plastifica totalmente, tal como se representa en la figura 2.8. 
Volviendo a la figura 2.7, desde el instante en que M/MY = 1, la deformación está controlada por el núcleo 
elástico de la sección, comportamiento que suele conocerse como flujo plástico controlado. Seguidamente, 
conforme la curva tiende a su asíntota horizontal y el núcleo elástico se reduce, la sección se acerca 
paulatinamente al flujo plástico incontrolado, situación que correspondería a la plastificación total de la sección 
y en que la deformación seguiría aumentando sin que aumentase el momento flector por encima del momento 
plástico MP. Llegado ese momento, decimos que en la sección se ha generado una articulación plástica.
2 Flexión plástica de vigas 41
Fig. 2.8 
Curva momento-curvatura idealizada de un perfil en doble T. 
Si bien la plastificación total se da en la sección de la viga en la que el momento flector M en régimen elástico es 
máximo, en las secciones adyacentes a uno y otro lado a la de plastificación total se habrá iniciado la plastificación 
cuando se haya generado la articulación plástica. De ésta, por tanto, podemos afirmar que ocupa una cierta longitud 
LP que será igual a la de plastificación de las fibras exteriores. Consideremos el caso de una viga simplemente 
apoyada con una carga puntual aplicada en su punto medio, en cuyas secciones suponemos despreciables los 
efectos de las fuerzas cortantes y axiales y suponemos, también, despreciable el peso de la viga frente al valor de la 
carga concentrada. La longitud LP puede calcularse sin más que considerar que en ambos extremos de LP el 
momento flector debe ser MY; o sea, 
P
Y 2 2
L LP
M (2.16) 
Por otra parte, el momento flector máximo es PL/4 (en el punto medio) y éste debe ser precisamente MP; es 
decir,
4P
PL
M (2.17) 
Combinando (2.16) y (2.17), y teniendo en cuenta que f = MP/MY, obtenemos 
P
11L L
f 
fórmula que da la longitud del tramo de plastificación para una viga simplemente apoyada con una carga 
concentrada en su punto medio. Se aprecia que el tramo de plastificación es tanto más corto cuanto menor es el 
factor de forma. La figura 2.9a corresponde a una viga de sección rectangular y la figura 2.9b a una