CAPITULO_1_Tension

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CAPÍTULO 1
TENSIÓN
Hoy trataremos algún aspecto del diseño 
de una vasija o depósito de pared delgada 
(t/r<10) sometida a presión interna
¿Qué conceptos necesitamos manejar?
Básicamente dos: el de tensión y el de resistencia a tracción
Vasija esférica Vasija cilíndrica
r
r
t
t
F 0=∑
M 0=∑
F3
F1 ∆S
∆f
n
S
dS
fd
S
f
s
rr
r
==
→ ∆
∆
∆ 0
limσ
CONCEPTO DE VECTOR TENSIÓN
Unidades: N/m2=Pa
Como en la práctica 1 Pa es de pequeña 
magnitud, utilizaremos, en general, MPa
F3
F2
F1
π
s
 lim =normal tensión
0s ∆
∆
∆
nsobrefproy
n
rr
→
=σ
s
 lim =l tangenciatensión
0s ∆
∆
∆
πτ sobrefproy
r
→
=
σn
τ
df
COMPONENTES INTRÍNSECAS DEL VECTOR TENSIÓN
222 στσ =+n
Area= A/cosθ
θ
A
P
Area= A/cosθ
θ
A
P
Tensiones en una barra sometida a una carga de tracción
P PP P
G
Demos un corte a la barra por una sección que forma un ángulo
θ con el plano vertical
La resultante de la distribución de tensiones debe ser horizontal
y pasar por el c.d.g. de la sección transversal de la barra
Area= A/cosθ
θ
A
P
Area= A/cosθ
θ
A
P
x
y
x
y
θ
P N
V
( )
0sincos
090coscos
0
=++−
=−++−
=∑
θθ
θθ
VNP
or
VNP
Fx
( )
0cossin
090sinsin
0
=−
=−−
=∑
θθ
θθ
VN
or
VN
Fy
En realidad, las fuerzas N y V serán las resultantes de una distribución de
tensiones, las cuales las supondremos uniformes sobre la sección de corte
Planteando el equilibrio:
θ
P N
V
θ
P N
V θ
θ
sin
cos
PV
PN
=
=
Área de la sección de corte:
θcos
AArea =
Como, por definición, la
tensión es fuerza dividida
por área:
( )θθσ 2cos1
2
cos2 +==
A
P
A
P
θθθτ 2sin
2
cossin
A
P
A
P
==
θ
P
θ
P σ
τ
Por tanto:
σ es máxima cuando θ es 0° ó 180°
τ es máxima cuando θ es 45° ó 135° maxmax 2
1 στ =
A
P
=maxσ
A
P
2max
=τ
-1
-0.5
0
0.5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180
Angle
St
re
ss
/(P
/A
)
σ
τ
Te
ns
ió
n 
(/σ
0)
Ángulo θ
A
P
=maxσ 0
El signo de la tensión tangencial τ cambia cuando el ángulo
θ es mayor de 90°
Nótese que: τ (θ )= -τ (90 ° +θ )
θ
P
VASIJAS ESFÉRICAS A PRESIÓN
σπ rt2
t
pr
2
=σ
pr 2π
Fuerza ejercida por 
la presión interna:
Fuerza ejercida por 
la tensión actuante:
De la igualdad entre
ambas, resulta:
r
r
t
σ
σ
p
σ
σσ
σ
Estado tensional en un punto de la vasija
Punto
elástico
t
pr
2
=σ
¡ σ es mucho mayor que p !
VASIJAS CILINDRICAS A PRESIÓN
Dire
cció
n lo
ngit
udin
al
Dirección circunferencial
r
t
σh
σh
σa
σa
Punto elástico
Cálculo de la tensión longitudinal:
artσπ2
Fuerza ejercida por 
la presión interna:
pr 2π
Fuerza ejercida por 
la tensión actuante:
De la igualdad entre
ambas, resulta:
t
pr
a 2
=σ
r
t
Punto elástico
p
σa
σa
Cálculo de la tensión circunferencial:
rlp2
Fuerza ejercida por 
la presión interna:
Fuerza ejercida por 
la tensión actuante:
hltσ2
De la igualdad entre
ambas, resulta:
t
pr
h =σ
r
t
l l
p
σh
σh
Estado tensional en los puntos de la vasija cilíndrica:
¡ σh es mayor que σa, y ambas son mucho mayores que p !
t
pr
h =σ
t
pr
a 2
=σ
a
a
σh=2σa
Forma de rotura más
probable
Ejemplo: Determinar el espesor t de la vasija de la figura, realizada 
con acero inoxidable austenítico, sabiendo que su radio es r y que 
contiene un gas a una presión p. Considérese un coeficiente de seguridad γ.
Tensión máxima:
t
pr
máx =σ
¿Y la resistencia a tracción del material?
Volveremos a ello en el capítulo 3
Deformación
Te
ns
ió
n
Hormigón Acero
Deformación
Te
ns
ió
n
uσ
yσ
uσ
ε ε
σ σ
εy
Los elementos estructurales, o 
los componentes de máquinas 
deben ser diseñados de 
manera tal que las tensiones 
que se producen en su seno 
sean menores que la 
resistencia del material.
El factor de seguridad tiene en 
cuenta, principalmente:
•Las incertidumbres de los valores 
de las propiedades del material
•La incertidunbre del valor de las 
cargas actuantes
•La incertidumbre del análisis
•El comportamiento a largo plazo del 
elemento estructural
•La importancia del elemento 
considerado en la integridad de la 
estructura de la que forma parte
Lógicamente el factor de seguridad
debe ser una cantidad mayor que la
unidad
COEFICIENTE DE SEGURIDAD
admisibletensión 
resistencia 
Coeficiente de seguridad 
adm
R ==
=
σ
σγ
γ
En vasijas a presión, γ suele oscilar entre 4 y 8
γ
σσσ Radmmáx t
pr
=≤=
R
prt
σ
γ
≥
PERO, EN LA REALIDAD, NOS ENCONTRAREMOS
CON ESTRUCTURAS DE MAYOR COMPLEJIDAD,
TANTO DE FORMA COMO DE ESTADO TENSIONAL
TENSOR DE TENSIONES
x
y
z
P
x
y
z
P
x
y
z
P
σz
τzy
τzx
x
y
z
P
σz
τzy
τzx
σ
σy
x
y
z
P
τyz
τyx
x
y
z
P
σx
τxz
τxy
σy
x
y
z
P
τyz
τyx
σy
x
y
z
P
τyz
τyx
x
y
z
P
σx
τxz
τxy
x
y
z
P
σx
τxz
τxy
σ’
σ’’
P
z
y
x
0 τzx
τzy
τxz
τxy
τyx
τyzτzx
τzy
σz
σy
σx
dx
dz
dy
σz
dy
PUNTO ELÁSTICO TRIDIMENSIONAL
 xeje caras lasen opuestasy iguales tensiones0 x ⊥⇒=∑ σxF
y eje caras lasen opuestasy iguales tensiones0 y ⊥⇒=∑ σyF
z eje caras lasen opuestasy iguales tensiones0 ⊥⇒=∑ zzF σ
zyzyyzx dzdxdydydxdzM ττττ =⇒=⋅−⋅=∑ yz 0 0
xzxzzxy dxdydzdzdxdyM ττττ =⇒=⋅−⋅=∑ zx 00
yxyxxyz dydxdzdxdydzM ττττ =⇒=⋅−⋅=∑ xy 00
P
z
y
x
0 τzx
τzy
τxz
τxy
τyx
τyzτzx
τzy
σz
σy
σx
dx
dz
dy
σz
dy
La igualdad entre las tensiones tangenciales,
actuando sobre planos ortogonales entre sí, 
puede demostrarse, por ejemplo, estableciendo 
el equilibrio de un pequeño paralelepípedo de 
espesor dz. Apliquemos la fuerza Vx:
Vx=τyxdxdz
x
y
dx
dy
El equilibrio requiere que,
sobre la cara inferior, actúe
una fuerza igual y de signo
contrario, lo que producirá
un par:
Este par debe estar equilibrado por
otro (antihorario) consecuencia de 
dos fuerzas verticales Vy actuando
sobre las caras verticales:
Vx=τyxdxdz
x
y
Vy=τxydydz
Vx=τyxdxdz
x
y
Vx=τyxdxdz
Mz=Vxdy=τyxdxdydz
dy
( ) ( )
xyyx
xyyx dxdydzdydxdz
ττ
ττ
=
=
Utilizando: ∑ = 0zM
obtenemos:
Conclusión:
Si sobre un plano en las proximidades de un punto, existe 
una tensión tangencial, sobre un plano ortogonal al anterior 
debe existir una tensión tangencial del mismo valor.
Vx=τyxdxdz
x
y
Vy=τxydydzdy
dx
Teniendo en cuenta que, sobre cada una de las caras 
del paralelepípedo infinitesimal considerado (punto elástico), 
actúan tres componentes del vector tensión correspondiente, 
se obtendrían, en total, 18 valores de los que sólo hay 
6 valores diferentes entre sí, a saber:
x y z yz zx xy, , , , , σ σ σ τ τ τ
En un sólido, estas componentes, serán funciones continuas
de las coordenadas cartesianas del punto x,y,z.
( ) ( ) .......,,,,, zyxzyx xyxyxx ττσσ ==
ΩΩΩ=Ω∗ d + d + : zxxy nmdldxEje xx ττσσ
ΩΩΩ=Ω∗ d + d + : yzy nmdldyEje xyy τστσ
ΩΩΩ=Ω∗ d + d + : zyz nmdldzEje zxz σττσ
TENSIONES ACTUANDO EN UN PLANO CUALQUIERA
z
y
x
τzx
τzy
τxz
τxyτyx
τyz
σ∗z
σy
σx
σz
σ∗y
σ∗x
C
B
A
P
π
u = l i + m j + n k
kji *z
*
y
*
x
*
rrrr σσσσ ++=
TENSOR DE TENSIONES
(o Tensor de Cauchy)
Augustin-Louis CAUCHY
(1789-1857)
 
σx
∗
σy
∗
σz
∗
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ ⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
⎟ ⎟ 
′ σ [ ]
{
=
σx τxy τzx
τxy σy τyz
τxz τyz σz
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
⎟ 
⎟ 
T[ ]
1 2 4 4 3 4 4 
l
m
n
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ ⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
⎟ ⎟ 
r 
n [ ]
{
[ ] [ ] [ ] nT rr =∗σ
u
u
*
( ) k)z,y,x(Zj)z,y,x(Yi)z,y,x(Xz,y,xfv
rrrr
++=
FUERZAS INTERNAS POR UNIDAD DE VOLUMEN
y
x
z
dVfFd V ⋅=
rr
int
dV
Fuerza interna, por 
unidad de volumen
Ejemplo 2: sólido en movimiento (fuerzas de inercia)
( )kzjyixadVadmfv
r
&&
r
&&
r
&&
rrr
++−=×−=×−= ρρ/
zzyxZyzyxYxzyxX &&&&&& ρρρ −=−=−= ),,(,),,(,),,(
Ejemplo 1: sólido sometido a la acción de la gravedad según
el eje y
X(x,y,z) y Z(x,y,z) serían nulas y la función Y(x,y,z)= - ρg
( ) jgzyxfv
rr
ρ−=,,
y
x
z
ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO
x
x x dxx
∂σ′σ = σ +
∂
xy
xy xy
zx
zx zx
 dx
x
 dx
x
∂τ
′τ = τ +
∂
∂τ′τ = τ +
∂
dx
τyx
σy
τyz
σy
τyx
τyz
´
´
´
σz
τzxτzy
σz
τzx τzy
´´´
X +
∂σx
∂x
+
∂τxy
∂y
+
∂τzx
∂z
= 0
Y +
∂τxy
∂x
+
∂σy
∂y
+
∂τyz
∂z
= 0
Z +
∂τzx
∂x
+
∂τyz
∂y
+
∂σz
∂z
= 0
ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO
Sobre la superficie exterior del sólido (contorno) pueden, o no,
actuar tensiones que, directamente, se apliquen al sólido
ΩΩ dfFd contorno ⋅=
rrz
y
x
dΩ
Fuerza, por unidad
de superficie, en el
contorno
FUERZA, POR UNIDAD DE SUPERFICIE, QUE
ACTÚA SOBRE EL CONTORNO
( ) ( ) ( ) kz,y,xZjz,y,xYiz,y,xXf
rrrr
++=Ω
σ
σ
P
Q
x
y
P
σ
jf
rr
σΩ =
Q 0f
rr
=Ω
EJEMPLO:
Y, sin embargo, en los puntos muy próximos a la superficie del sólido
pueden existir tensiones internas.
En un punto P próximo al contorno del sólido, deberá existir equilibrio entre 
las tensiones y las fuerzas, por unidad de superficie, aplicadas.
x
y
z
knjmilu
rrrr
++=
Ωf
r
τyxσy
τyz
σz
τzx
τzy
σxτxy
τzx
nmlX zxxyx ττσ ++=
nmlY yzyxy τστ ++=
nmlZ zyzzx σττ ++=
Ecuaciones de equilibrio
en el contorno:
Contorno del
sólido
P
CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
T tensor de tensiones en P referido al sistema x, y,z
T tensor de tensiones en P referido al sistema x , y ,z
R matriz del cambio de ejes
u = componentes de un vector unitario respecto al sistema x, y,z
u c
=
′ ′ ′ ′=
=
′ =
r
r
omponentes de un vertor unitario respecto al sistema x ,y ,z′ ′ ′
[ ] [ ][ ][ ]
[ ] [ ] [ ][ ]RTRT
RTRT
T
T
=′
′=
x
y
x
y
x’
y’
θ
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
θθ
θθ
R
cossen
sencos
CASO BIDIMENSIONAL:
σx’
σy’ τx’y’
σx
σy
τxy
x
y
x’y’
θ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
′′
′
′
xy
y
x
22
22
22
yx
y
x
sencoscossencossen
cossen2cossen
cossen2sencos
τ
σ
σ
θθθθθθ
θθθθ
θθθθ
τ
σ
σ
TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES
Sea un sólido sometido a un sistema de cargas, P un 
punto cualquiera del sólido (punto genérico) y [T] el 
correspondiente tensor de tensiones afecto a dicho punto.
¿existirá algún plano, que pase por las proximidades 
(a distancia infinitesimal) del punto P, tal que el vector 
tensión correspondiente, sea ortogonal a dicho plano 
(es decir, que el vector tensión no tenga componente según 
el plano o, lo que es lo mismo, que sobre dicho plano no 
actúa ninguna tensión tangencial)?
n
df
σ
u
dfσ
τ=0
, ,
[ ] [ ] [ ]T u′σ = rr
[ ] [ ]u′σ = σ rr
[ ] [ ] [ ]0 I- =uT rσ
Vector tensión en una dirección cualquiera:
Vector tensión en la dirección que buscamos:
knjmilu
rrrr
++=
( )
( )
( ) ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−
−
=++−
0=n +m +l 
0=n +m +l 
0 
zyz
yzy
σσττ
τσστ
ττσσ
zx
xy
zxxyx nml
 0= 
σσττ
τσστ
ττσσ
−
−
−
zyzzx
yzyxy
zxxyx
( )
( )
( ) ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−
−
=++−
0=n +m +l 
0=n +m +l 
0 
zyz
yzy
σσττ
τσστ
ττσσ
zx
xy
zxxyx nml
Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial:
σ3 − I1 σ
2 + I2 σ − I3 = 0
1 x y z
2 2 2
2 x y y z z x yz zx xy
3
I
I
I T
= σ + σ + σ
= σ σ + σ σ + σ σ − τ − τ − τ
=
Ecuación característica: Invariantes:
Tensiones principales
max int minσ σ σ≥ ≥
321 σσσ ≥≥
σmax
σmax
σmin
σmin
σint σint
Direcciones y tensiones principales:
σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 σ3
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ ⎟ 
Tensor de tensiones:
I1 = σ1 + σ2 + σ3
I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1
I3 = σ1σ2σ3
Invariantes:
1
2 2 2
2
2 2 2
3 2
x y z
x y x z y z xy xz yz
x y z xy xz yz x yz y xz z xy
I
I
I
σ σ σ
σ σ σ σ σ σ τ τ τ
σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ
= + +
= + + − − −
= + − − −
Las tensiones tangenciales
sobre los planos principales
son nulas
σ1
z
y
x
σ2
σ3
TENSIÓN HIDROSTATICA Y TENSIONES DESVIADORAS
333
1321
cahidrostati
I
p zyx =
++
=
++
==
σσσσσσ
σ
444 3444 214342144 344 21
desviadora comp.
zyzzx
yzyxy
zxxyx
cahidrostati comp. tensionesdetensor 
'
'
'
 + 
00
00
00
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
σττ
τστ
ττσ
σττ
τστ
ττσ
p
p
p
zyzzx
yzyxy
zxxyx
ppp zzyyxx −=−=−= σσσσσσ ' ; ' ; '
( )
27
2792
3
0
321
3
1
3
2
1
22
1
IIII
J
IIJ
J
+−
=
−=
=Invariantes del tensor desviador:
ELIPSOIDE DE TENSIONES
P
σ1
σ2σ2
σ1
P
σ1
σ2σ2
σ1
P
σ1
σ2σ2
σ1
A
Aθ
P
σ1
σ2σ2
σ1
P
σ1
σ2σ2
σ1
A
Aθ
A
Aθ
P
σ1
σ1
P
σ2σ2
ESTADO I ESTADO II
P
σ1
σ1
P
σ2σ2
ESTADO I ESTADO II
= +
P
σ∗
n
σ∗∗
P
σ∗σ∗
nn
σ∗∗σ∗∗ θσσ cos* 1=
r
Estado I:
θσσ sen** 2 ⋅=
r
Estado II:
P
n σ∗ σ∗∗+
P
nn σ∗ σ∗∗+σ∗σ∗ σ∗∗σ∗∗+
P
n σ∗ σ∗∗+
x
y
P
n σ∗ σ∗∗+
P
nn σ∗ σ∗∗+σ∗σ∗ σ∗∗σ∗∗+
x
y
¿Cuál es el lugar geométrico del 
extremo del vector tensión total, 
correspondiente a dicho punto, 
cuando variemos el ángulo θ ?
θσ
θσ
cos
sen
1
2
⋅=
⋅=
y
x
1
1
2
2
2
=+
σσ
yx
Coordenadas del extremo del vector tensión:
x
y
z
⎛ 
⎝ 
⎜ ⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ ⎟ =
σ1 0 0
0 σ2 0
0 0 σ3
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ ⎟ 
l
m
n
⎛ 
⎝ 
⎜ ⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ ⎟ →
x = σ1 l
y = σ2 m
z = σ3 n
⎫ 
⎬ 
⎪ 
⎭ ⎪ 
x2
σ1
2 +
y2
σ2
2 +
z2
σ3
2 = 1
CASO TRIDIMENSIONAL:
I1=Suma de las longitudes 
de los tres semiejes del elipsoide
I2 =proporcional a la suma de las 
áreas de las tres elipses que 
intercepta el elipsoide con los 
planos principales
I3 =proporcional al volumen del 
elipsoide
σ1σ2
σ3
Otto MOHR
(1835-1918)
EL CIRCULO DE MOHR: APLICACION A SITUACIONES 
BIDIMENSIONALES
-Tensiones normales: positivas si son de tracción 
-(negativas si fueran de compresión)
- Tensiones tangenciales:
+ -
σy
τxy
σxτ
θ
θ
u
y
x
σn
Signos a considerar para la construcción
del círculo de Mohr:
- La tensión normal será positiva 
si es de tracción
- La tensión tangencial es positiva si, 
desde el centro del punto elástico,
produjera un giro en sentido horario
τ > 0
τ
σn >0 TRACCION
x x xy
y xy y
cos
sen
∗
∗
⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ τ θ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ τ σ θ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
θ
u
2 2
n x xy y
yx
xy
cos sen2 sen
sen2 sen2 cos2
2 2
σ = σ θ + τ θ + σ θ
σσ
τ = θ − θ − τ θ
σy
τxy
σxτ
θ
θ
u
y
x
σn
x y x y
n xy
x y
xy
cos2 sen2
2 2
sen2 cos2
2
⎡ ⎤σ + σ σ − σ
σ − = θ + τ θ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
σ − σ
τ = θ − τ θ
que corresponden a la ecuación de una circunferencia
(en un plano cuyos ejes fueran σ y τ (Plano de Mohr) 
de centro:
(σx +σy )/2
y radio:
1
4(σ x−σy )
2 +τ xy2
Existe una correspondencia biunívoca entre cada dirección 
que consideremos en el punto elástico en estudio y un 
punto del círculo de Mohr correspondiente a ese punto 
elástico: a cada dirección que pasa por las proximidades 
del punto P le corresponde un punto del círculo de Mohr
cuya abcisa es la componente normal del vector tensión 
que actúa sobre la dirección considerada y cuya ordenada 
es la componente tangencial de dicho vector tensión
Una vez dibujado el 
círculo de Mohr, pueden 
obtenerse, por ejemplo, 
los valores de las tensiones 
principales así como las 
direcciones sobre las 
que actúan.
σ
τ
C
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
0
2
,yx
σσ
( )xyx τσ −,
( )xyy τσ ,
( )τσ −,2θ
( )maxτ
( )maxτ
σ1
σ2
PASOS PARA EL DIBUJO DEL CÍRCULO DE MOHR
A
B
A
B
C
A
B
C
A
B
OBTENCIÓN DE LAS TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES
Dirección
principal 1
Dirección
principal 2
Plano
principal 1
Plano
principal 2
x
y
σ1
σ2
σxσx
σy
σy
τxy
y
x
σ
τ
σ1σ2
σx
σy
2
yx σσ +
ε
τxy
τxy
τmax
PROPIEDADES CIRCULO DE MOHR:
Obtención del Polo del Círculo de Mohr:
x
y
(σx,-τxy)
(σy,τxy)
σ
τ
POLO
Otros aspectos del círculo de Mohr.
A (σ,τ)
B
C
σ
A
σ τ
θ
σ
τ
σ
θ
Direcciones en las que el
ángulo del vector tensión
con la normal al plano sobre
el que actúa es máximo 
σ
τ
(σx,-τxy)
(σy,τxy)
σ
τ
POLO
¿A qué dirección representa el POLO del círculo de Mohr?
SOFTWARE DISPONIBLE EN LA RED
http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/mohr/mohreng.html
http://www.eng.usf.edu/~kaw/software/
http://www.umoncton.ca/turk/CdeMohr.xls
TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS
(Problemas bidimensionales)
σΙΙΙ=0
σΙΙ
σΙ
x
y
z
σΙΙΙ=0
σΙΙ
σΙ
σΙΙΙ=0
σΙΙ
σΙ
x
y
z
σΙ
σΙΙ
σΙ
σΙΙ
σΙ
σΙΙ
σ
τ
σΙσΙΙ
τmax
σ
τ
σΙσΙΙ
τmax 2max
III σστ
−
=
σΙ
Dirección de σIII
σΙ
Dirección de σIII
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0
τmax
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0τmax
2max
Iστ =
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0
σΙΙ
τmax
σ
τ
σΙ
σΙΙΙ=0
σΙΙ
τmax
2max
IIστ =
I II I II
max Máximo de , ,2 2 2
⎛ σ − σ σ σ ⎞
τ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
σΙΙ
Dirección de σIII
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−−
=
2
,
2
,
2
deMáximo 323121max
σσσσσσ
τ
TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS
(Problemas tridimensionales)
http://www.engin.umich.edu/students/support/mepo/ELRC/me211/mohr.html
Más, en la web, sobre círculo de Mohr: