Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original
PRÁCTICO N°2 Nombre: Camila Daniela Arce Mosqueira Registro: 220103933 Carrera: Ingeniería Química Materia: Algebra 2 Grupo: YA Docente: Evadin Caballero Carrasco SISTEMA DE ECUACIONES 1. Revisando conceptos a) Defina qué es una ecuación lineal. R: Es una igualdad que involucra dos o más variables a la primera potencia y no contiene productos entres las variables, es decir una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia b) Defina qué es un sistema de ecuaciones lineales. R: Es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones de primer grado) definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo c) ¿Qué es la solución de una ecuación lineal? R: Una solución es un número que puede ser introducido en la variable para hacer un anunciado de número verdadero. Por ejemplo, sustituyendo 2 por x en 3x+5=11 nos da 6+5=11 11=11, esto es verdadero d) Defina que es un sistema homogéneo y analice sus posibilidades de solución. R: Si un sistema de m ecuaciones y n de incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneos. Solo admite solución trivial 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯…… = 𝑥𝑛 = 0 Es decir que admite distintas soluciones cuando el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el n de incógnitas o que el determinante de dicha matriz que forma sea nulo e) Defina que es un sistema no homogéneo y analice sus posibilidades de solución. R: Es no homogéneo, cuando cada una de las ecuaciones involucradas en el sistema están igualadas a u numero distinto a cero. 𝑥1 + 𝑥2 = 𝐵 Siendo B un número ≠ 0 Las posibles soluciones podríamos verlas luego de resolver la matriz que genera dicha ecuación para determinar si tiene o no solución o si tiene infinitas soluciones 2. Identifique cuales de las siguientes ecuaciones son lineales y cuáles no. En caso de afirmativo, indique el número de incógnitas de la ecuación: a) 3x = 4 Si es una ecuación lineal de primer grado b) x – y = 5 Si es una ecuación lineal de segundo grado c) 2xy – 3z = 0 No es ecuación lineal d) log x – 3y = 5 Si es ecuación lineal de segundo grado e) √3 x + 5z = 3y – 5 Si es ecuación lineal de tercer grado f) Sen3x – y = 7 Si es ecuación lineal de segundo grado g) x y + 3 = 0 No es ecuación lineal h) log x – y = 3x Si es ecuación lineal de segundo grado i) x – y = 3z Si es ecuación lineal de tercer grado 3. Diga si son verdadero o falso las siguientes proposiciones. Justifique: a) Todo sistema de ecuaciones lineales con tres ecuaciones y tres incógnitas es compatible. Verdadero, porque si es compatible ya que realizamos un plano con 3 dimensiones cada una de las ecuaciones representa un plano que se cortan en un punto b) Los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Verdadero, por el sistema homogéneo es siempre compatible ya que el rg(A)=rg(A/0). La solución nula o trivial si 𝑥1 = 𝑥2 ……… = 𝑥𝑛 = 0 es siempre solución del sistema homogéneo c) Un sistema indeterminado es aquel que no tiene solución. Falso, porque es cuando posee un número infinito de soluciones d) La solución trivial no es solución de un sistema no homogéneo. Verdadero, ya que las soluciones triviales es solo solución de un sistema homogéneo 4. Analizar para que valores de “k” el sistema no tiene solución, tiene infinitas soluciones, tiene exactamente una solución: a) { 𝒌𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏 𝒙𝟏 + 𝒌𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒌𝒙𝟑 = 𝟏 [ k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 ]≈ [ 𝑘 1 1 1 0 𝑘2−1 𝑘 𝑘−1 𝑘 𝑘−1 𝑘 0 𝑘−1 𝑘 𝑘2−1 𝑘 𝑘−1 𝑘 ] A𝟑𝟏 (− 1 𝐾 ) 𝑃23 𝐴32 (−𝐾 − 1) 𝐴21 (− 1 𝐾 ) [ 𝐾 1 1 1 0 𝐾−1 𝐾 𝐾2−1 𝐾 𝐾−1 𝐾 0 0 −(𝐾 − 1)(𝐾 + 2) − 𝐾1 ] ≈ 𝑀3 (− 1 (𝐾−1)(𝐾+2) ) 𝐴23 (− 𝐾2−1 𝐾 ) 𝐴13(−1) [ 𝐾 1 0 𝐾+1 𝐾+2 0 𝐾−1 𝐾 0 1 𝐾(𝐾+2) 0 0 1 1 𝐾+2 ] 𝑀2 ( 𝐾 𝐾−1 ) 𝐴12(−1) 𝑀1 ( 1 𝐾 ) [ 1 0 0 1 𝐾+2 0 1 0 1 𝐾+2 0 0 1 1 𝐾+2] 𝐾 + 2 = 0 𝐾 = −2 𝐾 − 1 = 0 𝐾 = 1 No tiene solución k=-2 Infinitas soluciones k=1 Única solución K≠-2 ^ k≠1 b) { 𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 = 4 3𝑥1 − 𝑘𝑥2 + 5𝑥3 = 2 4𝑥1 + 𝑥2 + ( 𝑘 2 + 14)𝑥3 = 0 [ 1 1 −3 4 3 −1 5 2 4 1 𝑘2 − 14 0 ] 𝑃13 𝐴21 (− 3 4 ) 𝐴31 (− 1 4 ) [ 4 1 𝐾2 − 14 0 0 − 7 4 −3𝐾2+62 4 0 0 3 4 −𝐾2+2 4 4 ] 𝐴32 ( 3 7 ) [ 4 1 𝐾2 − 14 0 0 − 7 4 3𝐾2+62 4 2 0 0 2(−2𝐾2+25) 7 34 7 ] −2𝐾 2 + 25 = 0 𝐾 = 5 2⁄ 𝐾 = 5√2 2 Única solución K= 5 2 infinitas soluciones k≠ 5 2 𝐴 𝑘 = 5√2 2 No tiene solución K= 5√2 2 c) { 𝑥 − 3𝑧 = −3 2𝑥 + 𝑘𝑦 − 𝑧 = −2 𝑥 + 2𝑦 + 𝑘𝑧 = 1 [ 1 0 −3 − 3 2 𝑘 −1 − 2 1 2 𝑘 1 ] ≈ [ 2 𝑘 −1 − 2 0 − 𝑘 2 − 5 2 − 2 0 4−𝑘 2 2𝑘+1 2 2 ] 𝑃12 𝐴21 (− 1 2 ) 𝑃23 𝐴32 ( 𝐾 4−𝐾 ) 𝐴31 (− 1 2 ) [ 2 𝐾 −1 − 2 0 4−𝐾 2 2𝐾+1 2 2 0 0 −𝐾2−3𝐾+10 𝐾−4 −4𝐾 4−𝐾 ] −𝐾2−3𝐾+10 𝐾−4 𝑋2 = −𝐵±√𝐵2−4𝑎𝑐 2𝑎 K=-5 k=2 -8+4k=0 K=2 infinitas soluciones k=2 no tiene solución K=-5 Única solución k≠ 2 ∧ 𝑘 ≠ −5 d) { 𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 1 [ k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 ]≈ [ 𝑘 1 1 1 0 𝑘2−1 𝑘 𝑘−1 𝑘 𝑘−1 𝑘 0 𝑘−1 𝑘 𝑘2−1 𝑘 𝑘−1 𝑘 ] A31 (− 1 𝐾 ) 𝑃23 𝐴32 (−𝐾 − 1) 𝐴21 (− 1 𝐾 ) [ 𝐾 1 1 1 0 𝐾−1 𝐾 𝐾2−1 𝐾 𝐾−1 𝐾 0 0 −(𝐾 − 1)(𝐾 + 2) − 𝐾1 ] ≈ 𝑀3 (− 1 (𝐾−1)(𝐾+2) ) 𝐴23 (− 𝐾2−1 𝐾 ) 𝐴13(−1) [ 𝐾 1 0 𝐾+1 𝐾+2 0 𝐾−1 𝐾 0 1 𝐾(𝐾+2) 0 0 1 1 𝐾+2 ] 𝑀2 ( 𝐾 𝐾−1 ) 𝐴12(−1) 𝑀1 ( 1 𝐾 ) [ 1 0 0 1 𝐾+2 0 1 0 1 𝐾+2 0 0 1 1 𝐾+2] 𝐾 + 2 = 0 𝐾 = −2 𝐾 − 1 = 0 𝐾 = 1 No tiene solución k=-2 infinitas soluciones k=1 Única solución K≠-2 ^ k≠1 e) { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑘𝑧 = 1 2𝑦 + 𝑘𝑦 + 8𝑧 = 3 x + 2y +k z = 1 (2+k) y+8z=3 Infinitas soluciones ∄ 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 única solución K=-2 ∧ k=4 Sin solución ∄ 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑒 F ) { 𝑥 − 𝑦 = 3 2𝑥 − 2𝑦 = 3𝑘 [ 1 −1 3 2 −2 3𝑘 ] ≈ [ 2 −2 3𝑘 0 0 6−3𝑘 2 ] 𝐹1 = 𝐹2 𝐹2 = 𝐹2 − 1 2 . 𝐹1 6-3K=0 K=2 K=0 única solución ∄ infinita solución K=2 no tiene solución K=R ∧ K≠ 2 g) { 𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 2 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1 [ 1 1 𝐾 2 3 4 2 𝐾 2 3 −1 1 ] ≈ [ 3 4 2 𝐾 0 − 1 3 3𝐾−2 3 6−𝐾 3 0 1 3 −7 3 3−2𝐾 3 ] 𝐹1 = 𝐹2 𝐹3 = 𝐹3 + 1. 𝐹2 𝐹2 = 𝐹2 − 1 3 . 𝐹1 𝐹3 = 𝐹3 − 2 3 . 𝐹1 [ 3 4 2 𝐾 0 −1 3 3𝐾−2 3 6−𝐾 3 0 0 𝐾 − 3 − 𝐾 + 3 ] K-3=0 K=3 K=6 K=0 Única solución k≠ 3 ∧ 𝑅 Infinitas soluciones K=2 3⁄ k=3 no tiene solución ∄ 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 h) { 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 4 3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 2 4𝑥 + 𝑦 + (𝑘2 − 14)𝑧 = 𝑘 + 2 ( 1 2 −3 3 −1 5 4 1 k2 − 14 | 4 2 k + 2 ) 𝐹1 = 𝐹3 f2 = 𝐹2 − 3 4 . 𝐹1 f3 = 𝐹3 − 1 4 . 𝐹1 Única solución k≠ 4 ∧ 𝑘 ≠ −4 infinitas soluciones k=4 no tiene solución k=-4 [ 4 1 𝑘2 − 14 𝑘 + 2 0 − 7 4 −3𝑘2+2 4 −3𝑘+2 4 0 7 4 −𝑘2+2 4 −𝑘+14 4 ] 𝐹3 = 𝐹3 + 1. 𝐹2 [ 4 1 𝐾2 − 14 𝐾 + 2 0 −7 4 −3𝐾2+62 4 −3𝐾+2 4 0 0 −𝐾2 + 16 − 𝐾 + 4 ] K=4 5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de: a) Gauss b) Gauss-Jordán a.1) método de Gauss ( 1 1 −1 4 −1 5 2 2 −3 | 4 7 0 ) 4F1 − F2 2F1 − F3 ( 1 1 −1 0 5 −9 0 0 1 | 4 9 8 ) x1 + x2 − x3 = 4 5x2 − 9x3 = 9 x3 = 8 5x2 − 9x3 = 9 5x2 − 9(8) = 9 5x2 = 9 + 72 x2 = 81 5 x1 + x2 − x3 = 4 x1 + 81 5 − 8 = 4 x1 = 4 − 81 5 + 8 x1 = − 21 5 Prueba: x1 + x2 − x3 = 4 4x1 − x2 + 5x3 = 7 2x1 + 2x2 − 3x3 = 0 − 21 5 + 81 5 − 8 = 4 4 (− 21 5 ) − 81 5 + 5(8) = 7 2 (− 21 5 ) + 2 ( 81 5 ) − 3(8) = 0 4 = 4 7 = 7 0 = 0 a.2) método de Gauss Jordán ( 1 1 −1 4 −1 5 2 2 −3 | 4 7 0 ) 4F1 − F2 2F1 − F3 ( 1 1 −1 0 5 −9 0 0 1 | 4 9 8 ) F1 + F3 F2 + 9F3 ( 1 1 −1 0 5 −9 0 0 1 | 4 9 8 ) 5F1 − F2 ( 5 0 0 0 5 0 0 0 1 | −21 81 8 ) 5 x1 = −21 5x2 = 81 x3 = 8 x1 = − 21 5 x2 = 81 5 x3 = 8 𝑏) { 3x1 + 2x2 − x3 = −15 5x1 + 3x2 + 2x3 = 0 3x1 + x2 + 3x3 = 11 11x1 + 7x2 = −30 [ 3 2 −1 5 3 2 3 1 3 11 −5 0 | −15 0 11 −30 ] b.1) método de Gauss [ 3 2 −1 5 3 2 3 1 3 11 −5 0 | −15 0 11 −30 ] 𝑓1 ↔ 𝑓3 𝑓2 − 5 11 𝑓1 𝑓3 − 3 11 𝑓1 𝑓4 − 3 11 𝑓1 [ 11 7 0 0 − 2 11 2 0 − 10 11 3 0 1 11 −1 | | −30 150 11 211 11 − 75 11 ] 𝑓2 ↔ 𝑓3 𝑓3 − 1 5 𝑓2 𝑓4 − 1 10 𝑓2 [ 11 7 0 0 − 10 11 3 0 0 7 5 0 0 − 7 10 | | −30 211 11 49 5 − 49 10 ] 𝑓4 + 1 2 𝑓3 [ 11 7 0 0 − 10 11 3 0 0 7 5 0 0 0 | | −30 211 11 49 5 0 ] 7 5 𝑋3 = 49 5 → X3 = 7 − 10 11 𝑋2 + 3𝑋3 = 211 11 → − 10 11 𝑋2 + 3(7) = 211 11 → − 10 11 𝑋2 = 211 11 − 21 → − 10 11 𝑋2 = − 20 11 𝑋2 = − 20 11 (− 11 10 ) → X2 = 2 11 𝑋1 + 7𝑋2 = −30 → 11 𝑋1 + 7(2) = −30 → 11 𝑋1 = −30 − 14 → 𝑋1 = − 44 11 X1 = −4 b.2) método de Gauss Jordán [ 11 7 0 0 − 10 11 3 0 0 7 5 0 0 0 | | −30 211 11 49 5 0 ] F2 − 3F3 5 7 𝑓3 [ 11 7 0 0 − 10 11 0 0 0 1 0 0 0 || −30 − 20 11 7 0 ] F1 − 7F2 − 11 10 F2 [ 11 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 | −44 2 7 0 ] 1 11 F1 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 | −4 2 7 0 ] x1 = −4 x2 = 2 x3 = 7 6. Para que valores de los términos independientes a, b y c los sistemas dados son compatibles o incompatibles: 𝑎) { 2 x1 + 3x2 − x3 = a x1 − x2 + 5x3 = b 3x1 + 7x2 + 2x3 = c [ 2 3 −1 1 −1 5 3 7 2 | a b c ] 𝑓1 ↔ 𝑓3 𝑓2 − 1 3 𝑓1 𝑓3 − 2 3 𝑓1 [ 3 7 2 0 − 10 3 −2 0 − 5 3 −15 | c 3𝑏−𝑐 3 3𝑎−2𝑐 3 ] 𝑓3 − 1 2 𝑓2 [ 3 7 2 0 − 10 3 −2 0 0 −14 | c 3𝑏−𝑐 3 −𝑐+2𝑎−2𝑐 2 ] F1 − 21F3 F2 − 2F3 𝑓3 − 1 14 𝑓2 [ 3 7 0 0 − 10 3 0 0 0 1 | | 𝑐+6𝑎−3𝑐 𝑐 3𝑏−𝑐 3 − −𝑐+2𝑎−2𝑐 2 ] F1 − 21F3 F2 − 2F3 𝑓3 − 1 14 𝑓2 [ 3 7 0 0 − 10 3 0 0 0 1 | | 𝑐+6𝑎−3𝑐 4 45𝑏−6𝑎−11𝑐 42 − −𝑐+2𝑎−𝑏 28 ] 3 10 F2 F1 − 7F2 1 3 F1 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | | 4𝑎+5𝑏−𝑐 10 − 45𝑏−6𝑎−11𝑐 140 − −𝑐+2𝑎−𝑏 28 ] a = +5b − c 4 b = 5 21 c c = 0 a = 0 b = 0 c = 0 𝑏) { 2x1 − x2 + 3x3 = a 3x1 + x2 − 5x3 = b −5x1 − 5x2 + 21x3 = c [ 2 −1 3 3 1 −5 −5 −5 21 | a b c ] 𝑓1 ↔ 𝑓3 𝑓2 + 3 5 𝑓1 𝑓3 + 3 5 𝑓1 [ −5 −5 21 0 −2 38 5 0 −5 57 5 | c 5𝑏+3𝑐 5 5𝑎+2𝑐 5 ] 𝑓2 ↔ 𝑓3 𝑓3− 2 3 𝑓2 [ −5 −5 21 0 −2 38 5 0 0 0 | c 5𝑏+3𝑐 5 5𝑎+2𝑐 5 ] El sistema no tiene solución 7. Para el sistema homogéneo dado, ¿para qué valores de “k” tiene soluciones no triviales? { 2x1 − 3x2 + 5x3 = 0 −1x1 + 7x2 − x3 = 0 4x1 − 11x2 + kx3 = 0 [ 2 −3 5 −1 7 −1 4 −11 k | 0 0 0 ] [ 2 −3 5 −1 7 −1 4 −11 k | 0 0 0 ] [ 4 −11 95 11 0 17 4 51 44 0 0 0 | 0 0 0 ] 0 = 2 det [ 7 −1 11 k ] + 3 det [ −1 −1 4 k ] + 5 det [ −1 7 4 −11 ] 0 = 2(7𝑘 + 11) + 3(−𝑘 + 4) + 5(11 − 28) 0 = 14𝑘 + 22 − 3𝑘 − 12 + 85 0 = 11𝑘 + 95 𝑘 = 95 11 para el sistema el valor de k tiene soluciones no triviales 8. Resolver los sistemas homogéneos dados, indicando si tienen soluciones no triviales: a) { 3x1 + 2x2+ 4x3 = 0 4x1 − 3x2+ 2x3 = 0 [ 3 2 4 4 −3 2 | 0 0 ] [ 3 2 4 4 −3 2 | 0 0 ] 𝐹2 − 3 4 𝐹1 [ 3 2 4 0 17 4 5 2 | 0 0 ] 𝐹1 − 3𝐹2 4 17 𝐹2 [ 4 0 64 17 0 1 10 17 | 0 0 ] 1 4 𝐹1 [ 1 0 16 17 0 1 10 17 | 0 0 ] 𝑋1 = − 16 17 𝑡 𝑋2 = − 10 17 𝑡 𝑋3 = t 𝑋1 = 0 𝑋2 = 0 𝑋3 = 0 Solución trivial b) { x1 + x2 − x3 = 0 4x1 − x2 + 5x3 = 0 2x1 + 2x2 − 3x3 = 0 [ 1 1 −1 4 −1 5 2 2 −3 | 0 0 0 ] [ 1 1 −1 4 −1 5 2 2 −3 | 0 0 0 ] f1 ↔ f2 f2 − 1 4 f1 f3 − 1 2 f1 [ 4 −1 5 0 5 4 − 9 4 0 5 2 − 11 2 | 0 0 0 ] 1 2 f3 − f2 [ 4 −1 5 0 5 4 − 9 4 0 0 1 2 ] 𝑋1 = 0 𝑋2 = 0 𝑋3 = 0 Solución trivial c) { x + y + z = 0 2x + 3y + 4z = 0 3x + 4y + kz = 0 [ 1 1 1 2 3 4 3 4 k ] 0 = 2 det [ 3 4 4 k ] – 1 det [ 2 4 3 k ] + 1 det [ 2 3 3 4 ] 0 = 2 (3k − 16) − 1(2k − 12) + 1(8 − 9) 0 = 6k − 32 − 2k − 12 + 8 − 9 4k − 21 = 0 k = 21 4 para resolver el valor de k el Sistema tiene soluciones no triviales 9. Resolver los siguientes sistemas dados, mediante la ecuación matricial X = A-1 B a) { 2x1 + 5x2 − x3 = 4 4x1 + x2 + x3 = 3 −2x1 + 2x2 = 5 a) { 2𝑥1 + 5𝑥2 − 𝑥3 = 4 4𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3 −2𝑥1 + 2𝑥2 = 5 A = [ 2 5 −1 4 1 1 −2 2 0 ] ; B = [ 4 3 5 ] A = [ 2 5 −1 4 1 1 −2 2 0 ] A−1 = [ 3 26 3 26 3 26 3 26 3 26 3 26 3 26 3 26 3 26] X = A −1 B X = [ 3 26 3 26 3 26 3 26 3 26 3 26 3 26 3 26 3 26] [ 4 3 5 ] = [ − 25 26 20 13 23 13 ] 𝑋1 = − 25 26 𝑋2 = 20 13 𝑋3 = 23 13 b) { 2x1 + 8x2 +6x3 = 5 4x1 + 2x2 −2x3 = 7 3x1 − x2 + x3 = −4 A = [ 2 8 6 4 2 −2 3 −1 1 ] ; B = [ 5 7 −4 ] A = [ 2 8 6 4 2 −2 3 −1 1 ] A−1 = [ 13 19 37 38 15 19 − 7 19 − 17 38 − 11 19 1 14 − 13 70 − 9 7 ] X = A −1 B X = [ 13 19 37 38 15 19 − 7 19 − 17 38 − 11 19 1 14 − 13 70 − 9 7 ] [ 5 7 −4 ] = [ 269 38 − 101 38 21 5 ] 𝑋1 = 269 38 𝑋1 = − 101 38 𝑋1 = 21 5 10. Un departamento de pesca del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 unidades del alimento B y 5 unidades del alimento C. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento A, 1 unidad del alimento B y 5 unidades del alimento C. Cada semana se proporciona al lago 25000 unidades del alimento A, 20000 unidades del alimento B y 55000 unidades del alimento C. Si se supone que los peces se comen todo el alimento. ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago? A = Cantidad de peces de la especie 1 B = Cantidad de peces de la especie 2 C = Cantidad de peces de la especie 3 A + 3B + 2C = 25000 A + 4B + C = 20000 2A + 5B + 5C = 55000 [ 1 3 2 1 4 1 2 5 5 | 25000 20000 55000 ] 𝐹2 − 𝐹1 𝐹3 − 2𝐹1 [ 1 3 2 0 1 −1 0 −1 1 | 25000 −5000 5000 ] 𝐹3 + 𝐹2 [ 1 3 2 0 1 −1 0 0 0 | 25000 −5000 0 ] Tiene infinitas soluciones C = t B = t A = t 11. El modelo económico abierto de Leontief (de producción, en el que la producción de k industrias está destinada para satisfacer las demandas propias y una cierta demanda externa), nos indica que para hallar el nivel de producción de cada industria se utiliza la siguiente ecuación matricial (I – C) X = d, en la cual I es la matriz identidad, C es la matriz de consumo, d es la matriz de demanda externa y X es la matriz de producción. Suponga que: C =[ 1 5⁄ 1 2⁄ 3 20⁄ 2 5⁄ 1 10⁄ 3 10⁄ 1 4⁄ 1 2⁄ 3 20⁄ ], d)[ 10 25 20 ], Encuentre la producción Xi de cada una de las tres industrias. (I – C) X = d [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] − [ 1 5 1 2 3 20 2 5 1 10 3 10 1 4 1 2 3 20] X = [ 10 25 20 ] (𝐶 − 𝐼) = [ 4 5 − 1 2 − 3 20 − 2 5 9 10 − 3 10 − 1 4 − 1 2 17 20 ] (𝐶 − 𝐼)−1 = [ 2460 883 2000 883 1140 883 1660 883 97400 883 1200 883 1700 883 2100 883 2080 883 ] X = (I – C) −1d X = [ 2460 883 2000 883 1140 883 1660 883 97400 883 1200 883 1700 883 2100 883 2080 883 ] [ 10 25 20 ] X = [ 97400 883 104850 883 111100 883 ] Xi = 97400 883 Xj = 104850 883 Xk = 111100 883 La producción de Xi en las tres industrias es de Xi = 97400 883 12. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó 30∊ diarios en Inglaterra, 20∊ diarios en Francia y 20∊ diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó 20∊ en Inglaterra, 30∊ diarios en Francia y 20∊ diarios en España. Sus gastos adicionales fueron de 10∊ diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gastó un total de 340∊ en hospedaje, 320∊ en comida y 140∊ en gastos adicionales durante su viaje por estos tres países. Calcule el número de días que pasó el viajero en cada país o muestre que los registros deben estar incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles ina con la otra (según sea el caso). 30x+20y+20z=340 20x+30y+202=320 10x+10y+10z=140 X= días en Inglaterra Y= dias en Francia Z=dias en español [ 30 20 20 340 20 30 20 320 10 10 10 140 ] 𝐹2 = 𝐹2 − 2 3 . 𝐹1 𝐹3 = 𝐹2 − 2 3 . 𝐹1 [ 30 20 20 340 0 50 3 20 3 280 3 0 10 3 10 3 80 3 ] 𝐹3 = 𝐹3 − 1 5 . 𝐹2 [ 30 20 20 340 0 50 3 20 3 280 3 0 0 2 8 ] Z=4 Y=4 X=6 13. El tesorero de un club invirtió 500$ de los ahorros en tres cuentas distintas, a intereses anuales de 8, 9 y 10%. El interés total ganado en un año fue de 460$. La cantidad ganada por el depósito al 10% fue de 20$ más que la que se ganó al 9% ¿Cuánto se invirtió con cada tasa de interés? x=cantidad de dinero que invirtió 8% y=cantidad de dinero que invirtio 9% z=cantidad de dinero que invirtió 10% x+y+z=500 0,08x+0,09y+0,10z=460 0,10z=0,09y+20 [ 1 1 1 500 0,08 0,09 0,10 460 0 −0,09 0,10 20 ] ≈ [ 1 1 1 500 0 1 100 1 50 420 0 −9 100 1 10 20 ] F2 = F3 F3 = F3+ 1 9 − F2 [ 1 1 1 500 0 −9 100 1 10 20 0 0 7 225 3800 9 ] X + Y + 2 = 500 −9 100 Y + 1 10 Z = 20 7 225 Z = 3800 9 X= - 19500 7 Y= 104000 7 𝑍 = 95000 7 14. Un restaurante tiene 15 meses en total, el modelo A tiene 4 asientos cada una, el modelo B tiene 6 asientos cada una y el modelo C con 10 asientos cada una. La capacidad total de asientos del restaurante es de 86. Los domingos solo utilizan 6 mesas, la mitad del modelo A, un cuarto del modelo B y una tercera parte del modelo C. ¿Cuántas mesas de cada modelo tiene el restaurante? { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 15 𝑚𝑒𝑠 4𝑥 + 6𝑦 + 10𝑧 = 86 𝑎𝑠𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 1 2 𝑥 + 1 4 𝑦 + 1 3 𝑧 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑎𝑠 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵 𝐴 = [ 1 1 1 4 6 10 1 2 1 4 1 3 ] 𝐵 = [ 15 86 6 ] 𝑋 = [ 𝑋 𝑦 𝑧 ] 𝐴−1 = [ − 3 7 − 1 14 24 7 22 7 − 1 7 − 36 7 − 12 7 3 14 12 7 ] [ 𝑋 𝑦 𝑧 ] = [ − 3 7 − 1 14 24 7 22 7 − 1 7 − 36 7 − 12 7 3 14 12 7 ] . [ 15 86 6 ] = [ 8 4 5 ] [ 8 4 5 ] Entonces para el modelo “A” hay 8 mesas, para el modelo “B” hay 4 y para “C” hay 5. 15. Un veterinario desea controlar la dieta de un animal de modo que, mensualmente, el animal consuma 60 libras de avena, 75 libras de maíz y 55 libras de soya. Además de heno, pastura y agua. Tiene tres alimentos disponibles, cada uno con avena, maíz y soya, como muestra la siguiente tabla. ¿Cuántas libras de cada alimento debe usar para obtener la mezcla deseada? Avena Maíz Soya 1 lb del alimento A 6 onzas 5 onzas 5 onzas 1 lb del alimento B 6 onzas 6 onzas 4 onzas 1 lb del alimento C 4 onzas 7 onzas 5 onzas X= cantidad de alimentos A Y= cantidad de alimentos B Z=cantidades alimentos C 6x+5y+5z=960 6x+6y+4z=1200 4x+7y+5z=880 960 onzas = 60 libras 1200 onzas = 75 libras 880 onzas = 55 libras [ 6 5 5 960 6 6 4 1200 4 7 5 880 ] ≈ [ 6 5 5 960 0 11 3 5 3 240 0 1 −1 240 ] 𝐹2 = 𝐹2 − 1.𝐹2 𝐹2 = 𝐹3 𝐹3=𝐹3 − 2 3 . 𝐹1 𝐹3 = 𝐹3 − 3 11 . 𝐹2 [ 6 5 5 960 0 11 3 5 3 240 0 0 −16 4 1920 11 ] 𝑍 = −120 𝑌 = 120 𝑋 = 160 Z = −120 Y = 120 X = 160 16. Un agente secreto sabe que 60 equipos aéreos, que consisten en aviones de combate y bombarderos, están parqueados en cierto campo aéreo secreto. El agente quiere determinar cuánto de los 60 equipos son aviones de combate y cuántos son bombarderos. Existe un tipo de cohete que llevan ambos aviones; el de combate lleva 6 de ellos y el bombardero solo 2. El agente averigua que se requieren 250 cohetes para armar a todos los aviones del campo aéreo. Aún más escucha que se tiene el doble de aviones de combate que bombarderos en la base (es decir, el número de aviones de combate menos dos veces el número de bombarderos es igual a cero). Calcule el número de aviones de combate y bombarderos en el campo aéreo. X= aviones de combate Y=aviones de bombardero 6x+2y=250 [ 1 1 60 6 2 250 1 −2 0 ] X+y=60 𝐹2 = 𝐹2−6𝐹1 x-2y=0 𝐹3 = 𝐹3 − 1. 𝐹2 [ 1 1 60 0 −4 −110 0 −3 −60 ] ≈ [ 1 1 60 0 1 55 2 0 0 45 2 ] 𝑭𝟐 = −𝟒 𝟒 . 𝑭𝟐 𝑭𝟑 = 𝑭𝟑 + 𝟑. 𝑭𝟐 el sistema no es consistente 17. Una tienda de helados vende solo helados con soda y malteada. Se pone 1 onza de jarabe y 4 onzas de helado en un helado con soda y 1 onza de jarabe y 3 onzas de helado en una malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de jarabe en un día, ¿Cuántos helados con soda y cuantas malteadas vende? Nota: 1 cuarto = 32 onzas; 1 galón = 128 onzas. X=jarabe Y=helado 3x+4y=512 X+ y= 160 (-3) 3x+4y=512 -3x-3y=-480 Y=32 Sustituir y en 3x+4(32)=512 X=128 18. Un club de casa y pesca tiene una laguna en la que conviven tres tipos de peces: truchas, sardinas y pacús. Si cada semana: una trucha 1 unidad de alimento A, 1 del alimento B y 2 del alimento C. Una sardina consume 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Un pacú consume 2, 1 y 5 unidades de los alimentos A, B y C respectivamente. Cada semana se colocan en el lago 15000 unidades del alimento A. 10000 unidades del alimento B y 35000 del C. Suponiendo que los peces se comen todo el alimento ¿Cuántos peces de dada especie pueden coexistir en el lago? x = truchas y = sardinas z = pacus x + 3y + 2z =15000 x + 4y + 2 = 10000 2x + 5y+ 5z=35000 [ 1 3 2 15000 1 4 1 10000 2 5 5 35000 ] 𝐹1 = 𝐹3 𝐹2 = 𝐹3 − 1 2 . 𝐹1 𝐹3 = 𝐹3 − 1 2 . 𝐹1 [ 2 5 5 35000 0 3 2 − 3 2 − 7500 0 1 2 − 1 2 − 2500 ] 𝐹3 = 𝐹3 − 1 3 . 𝐹2 [ 2 5 5 35000 0 3 2 − 3 2 − 7500 0 0 0 0 ] el sistem tiene infinitas soluciones
Compartir