CALCULO_TAREA_7 (3)

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1. Analice la continuidad de las siguientes funciones: 
 
 𝒂) 𝒇(𝒙) = 𝐱−|𝐱|𝟒 
 
i) lim𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = 𝑥−𝑥4 = 0 
ii) lim𝑥→0− 𝑓(𝑥) = 𝑥−(−𝑥)4 = 𝑥2 = 0 
iii) 𝑓 (0) = 0−04 = 0 
lim𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→0−𝑓(𝑥) = 𝑓(0) 
 
 𝑃𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 0 
 
 𝒃) 𝑭(𝒙) = 𝒙[𝒙] 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑦 1 ≤ 𝑥 < 2 
𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 < 1 [𝑥] = 0 → 𝐹(𝑥) = 0 𝑃𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑥 < 2 [𝑥] = 1 → 𝐹(𝑥) = 𝑥 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑥0 = 1 𝑖) ∃𝐹(1) = 1 𝑖𝑖) ∃𝑙𝑖𝑚𝑥→1 𝑙𝑖𝑚𝑥→1−𝑥<1 𝐹(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1−0 = 0 𝑙𝑖𝑚𝐹(𝑥)𝑥→1+𝑥>1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1+ 𝑥 = 1 𝑙𝑖𝑚𝑥→1−𝐹(𝑥) ≠ 𝑙𝑖𝑚𝑥→1𝐹(𝑥) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐹(𝑥)𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥0 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑆𝑖 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐹(𝑥) 𝑒𝑠 𝑒𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝒄) 𝑭(𝒙) = 𝒙 + 𝟏|𝒙| |𝑥| ≠ 0 → 𝒙 ≠ 𝟎 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 0 𝐼) 𝑓(0) = 𝑥 + 1𝑥 = 0 + 10 = ∞ 𝐼𝐼. 𝑖) lim𝑥→0+ 𝑥 + 1|𝑥| = lim𝑥→0+ 𝑥 + 1𝑥 = 0 + 10+ = +∞ 𝑥 > 𝑜 → |𝑥| = 𝑥 II. ii) lim𝑥→0− 𝑥 + 1|𝑥| = lim𝑥→0− 𝑥 + 1−𝑥 = 0 + 1−0− = +∞ 𝑥 < 0 → |𝑥| = −𝑥 ∴ 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎 𝒇(𝒙)∄ 𝑹 
 → 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒏𝒐 𝒆𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒊𝒆 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒅) 𝑭(𝒙) = 𝒙 + 𝟐𝒙² 𝑁𝑜𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑥0 = 0 𝑖) ∄𝐹(0)(𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐹(0)) 𝑖𝑖) ∃𝑙𝑖𝑚𝑥→0 → 𝑙𝑖𝑚𝑥→0− 𝑥 + 2𝑥2 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0−1𝑥 + 2𝑥2 = +∞ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+ 𝑥 + 2𝑥2 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 1𝑥 + 2𝑥2 = +∞ 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑙𝑖𝑚𝑥→0−𝐹(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+𝐹(𝑥) 𝐴𝑙 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟 𝐹(0), 𝐹(𝑥)𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 0 = 𝑥, 𝑦 𝑠𝑒𝑟í𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 (0 ∉ 0F ∧ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0F(x)existe en ℜ) 
 
Al analizar la grafica el valor de x=0 es 
una asíntota vertical, por lo tanto F(x) es 
discontinua 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Analice la continuidad de cada una de las siguientes funciones en los 
puntos indicados, si es discontinua indique que tipo es 
 
a) 
2
, 2
( ) 2
1 , 2
x
x
f x x
x
 −
= −
 =
 en 
0
2x = 
|𝑥 − 2| {𝑥 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 22 − 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 2 
|𝑥| { 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0 
Analizaremos la continuidad en 𝑥 = 2 
➢ 𝑓(2) = 1 
➢ lim𝑥 → 2 𝑓(𝑥) 
▪ lim𝑥 → 2−(|𝑥−2||𝑥|−2) = lim𝑥 → 2−(2−𝑥𝑥−2) = lim𝑥 → 2−(−1) = −1 
▪ lim𝑥 → 2+(|𝑥−2||𝑥|−2) = lim𝑥 → 2+(𝑥−2𝑥−2) = lim𝑥 → 2+(1) = 1 → lim𝑥 → 2− 𝑓(𝑥) ≠ lim𝑥 → 2+ 𝑓(𝑥) 
Por lo tanto, f no es continua en 𝑥 = 2 
La discontinuidad es de tipo inevitable 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
𝒙𝟐−𝟒𝒙𝟒−𝟏𝟔 , 𝟏 < 𝒙 < 𝟐 → 𝒙𝟐−𝟒(𝒙𝟐−𝟒)(𝒙𝟐+𝟒)→ 𝟏𝒙𝟐+𝟒 𝒇(𝒙)= 
 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 , 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟓 
 
En 𝑋0 = 2 
i) 𝑓(2) = 22 + 3(2) − 2 = 8 
ii) lim𝑥→2− 1𝑥2+4 = 18 lim𝑥→2+ 𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 8 lim𝑥→2−𝑓(𝑥) ≠ lim𝑥→2+𝑓(𝑥) 
iii) ∄ lim𝑥→2𝑓(𝑥) 𝒇(𝒙) 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒏𝒆𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝒆𝒏 𝒙𝟎=𝟐 
c) 
𝑭(𝒙) = {𝟑 − 𝒙 ⋅ 𝑺𝒈𝒏(𝒙 + 𝟑) ; 𝒙 < −𝟐𝟐 − 𝒙 ; −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝑿𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 ; 𝒙 > 𝟐 
𝑺𝒈𝒏(𝒙 + 𝟑) = { 𝟏 ; 𝒙 + 𝟑 > 𝟎 𝟎 ; 𝒙 + 𝟑 = 𝟎−𝟏 ; 𝒙 + 𝟑 < 𝟎 { 𝟏 ; 𝒙 > −𝟑𝟎 ; 𝒙 = −𝟑−𝟏 ; 𝒙 < −𝟑 
𝑭(𝒙) = { 𝟑 + 𝒙 ; 𝒙 < −𝟑𝟑 − 𝒙 ; −𝟑 < 𝒙 < −𝟐𝟐 − 𝒙 ; −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝑿𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 ; 𝒙 > 𝟐 
Analizamos la continuidad en x=2 y x=-2 
1° Continuidad en x=2 𝐹(2) = 2 − 2 = 0 ∃𝑙𝑖𝑚𝑥→2𝐹(𝑥) = ? 
i) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2−𝐹(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→2−(2 − 𝑥) = 2 − 2 = 0 
ii) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2+𝐹(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→2+(𝑥2 − 4𝑥 + 4) = 0 → ∃𝑙𝑖𝑚𝑥→2𝐹(𝑥) = 0 Hay continuidad de 𝑭(𝒙) en x=2 
2° Continuidad en x=-2 
i) 𝐹(−2) = 4 
ii) ∃ 𝑙𝑖𝑚𝑥→−2𝐹(𝑥) = ? 𝑙𝑖𝑚𝑥→−2−𝐹(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→−2−(3 − 𝑥) = 3 − (−2) = 5 𝑙𝑖𝑚𝑥→−2+𝐹(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→−2+(2 − 𝑥) = 2 − (−2) = 4 → ∄ 𝑙𝑖𝑚𝑥→−2𝐹(𝑥) Hay discontinuidad esencial en x=-2 
 
d) 𝑭(𝒙) = { 𝑿𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏 ; −𝟏 < 𝒙 ≤ −𝟐𝟐𝒙 − 𝟔 ; 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟑−𝑿𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑 ; 𝟑 < 𝒙 ≤ 𝟓 
En X0 = 2 lim𝑥→2− 𝑥2 − 6𝑥 + 1 ≫ lim𝑛→2−(𝑥 − 3)2 − 8 = −7 lim𝑥→2+ 2𝑥 − 6 = 0 
 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒇(𝒙)𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 ≫ 𝒇 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒏𝒆𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒆𝒏 𝒙 = 𝟐 
En X0 = 3 lim𝑥→3− 2𝑥 − 6 = 0 lim𝑥→3+−𝑥2 + 4𝑥 − 3 ≫ lim𝑥→3+ − (𝑥 − 2)2 + 1 = 
0 
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒇(𝒙) 𝒔í 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 ≫ 𝒇 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒆𝒏 𝒙 = 𝟑 
 
 
 
 
 
 
3) Halle los valores de las constantes y para que las funciones 
sean continuas. 
 
i) 𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛|𝑥|𝑥 , 𝑥 ∈ < −𝜋, 0 >𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥 ∈ [0; 𝜋 >𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑥 ∈ [𝜋, 2𝜋 > 
 
 𝑥 = 0 𝑥 = 𝜋 
 lim𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑥 = lim𝑥→0𝑎𝑥 + 𝑏 lim𝑥→𝜋 𝑎𝑥 + 1 = lim𝑥→𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 = 𝑎(0) + 𝑏 𝑎𝜋 + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝜋 1 = 𝑏 𝑎 = −2𝜋 
 
 
 
 
 
 
 
ii ) 𝑓(𝑥) = {𝑎 ( 1−𝑥1− √𝑥3 ) + 2, 𝑥 < 1 → ( 1−𝑥1− √𝑥3 ) = 1 + √𝑥3 + √𝑥23 𝑎𝑥2 − 𝑥 , 𝑥 ≥ 1 
 
EN X0 = 1 
• lim𝑥→1− 𝑎(1 + √𝑥3 + √𝑥2)3 + 2 = a( 1 + 1 + 1) + 2 = …(1) 
 
 
• lim𝑥 →1+ 𝑎𝑥2 − 𝑥 = 𝑎(1) − 1 = … (2) 
 
3a + 2 
a - 1 
EN (1) y (2): 
3a + 2 = a – 1 ∴ 𝒂 = −𝟑𝟐 
 
 
 
𝟒) ¿ 𝑬𝒔 𝒇 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒆𝒏 < −𝝅𝟒 ; 𝟏𝟑] 𝑼 {𝝅}?𝑺𝒊 𝒏𝒐 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒂 𝒂𝒔í, ¿ 𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒓 𝒇 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒐 𝒔𝒆𝒂? 
𝑓(𝑥) =
{ 
 𝑥2𝑠𝑒𝑛3 ( 1𝑥2 + 1)𝑠𝑒𝑛4𝑥 ; 𝑥 Є < −𝜋4 ; 0 >𝑥2⟦3𝑥 − 1⟧, 𝑥 Є < 0; 13 > 0 ; 𝑥 Є {0; 13 ; 𝜋} 
 
Para x=0 (ver si es continua o no) 
• lim𝑥→0− 𝑥2𝑠𝑒𝑛3( 1𝑥2+1)(4)𝑠𝑒𝑛4𝑥(4) → lim𝑥→0− 4𝑥.𝑥𝑠𝑒𝑛3( 1𝑥2+1)𝑠𝑒𝑛4𝑥(4) → lim𝑥→0− 𝑥𝑠𝑒𝑛3( 1𝑥2+1)4 = 0 
 
• lim𝑥→0+ 𝑥2⟦3𝑥 − 1⟧ → 0 < 𝑥 < 13 → 3(0 < 𝑥 < 13) → 0 < 3𝑥 < 1) → −1 <3𝑥 − 1 < 0 → ⟦3𝑥 − 1⟧ = −1 
 lim𝑥→0+ 𝑥2⟦3𝑥 − 1⟧ = lim𝑥→0+−𝑥2 = 0 * f es continua en 0 
 
Ello demuestra que 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 < − 𝜋4 ; 13] 𝑈 {𝜋} 
5. Sean las funciones 𝒇(𝒙) = {𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 , 𝒙 ≤ 𝟏𝒙 + 𝟏 , 𝒙 > 𝟏 𝒚 𝒈(𝒙) = {−√|𝒙 − 𝟏| , 𝒙 ≤ 𝟏𝒙 − 𝟒 , 𝒙 > 𝟏 
a) Determine la función 𝒇𝟎𝒈 
 𝐷𝑓{𝑔} = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝐷𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑓} 
01. 𝑓1 °𝑔1 
𝐷𝑓(𝑔) = {𝑥 𝑥⁄ 𝜖 𝑥 ≤ 1 ∧ −√|𝑥 − 1| ≤ 1} 0 ≤ |𝑥 − 1| ≤ 10 ≤ |𝑥 − 1| ∧ 𝑥 − 1 ≤ 1 ∧ 𝑥 − 1 ≥ −11 ≤ 𝑥 𝑥 ≥ 2 𝑥 ≥ 0 
 
 
 
 
 0 1 2 𝑓1 °𝑔1 = [0.1] 
 
02. 𝑓1 °𝑔2 𝐷𝑓{𝑔} = { 𝑥/𝑥 ∈ 𝑥 > 1 ∧ 𝑥 − 4 ≤ 1 } 
 x≤ 5 
 
 
 
 1 5 
 𝑓1 °𝑔2 = <1,5] 
 
03. 𝑓2 °𝑔1 𝐷𝑓(𝑔) = {𝑥 𝑥⁄ 𝜖 𝑥 ≤ 1 ∧ −√|𝑥 − 1| > 1} |𝑥 − 1| > 1(𝑥 > 2 ∧ 𝑥 < 0) 𝑥 < 0 
 
 
 
 0 
 𝑓2 °𝑔1 = <∞,0> 
04. 𝑓2 °𝑔2 
 
 
𝐷𝑓{𝑔} = { 𝑥/𝑥 ∈ 𝑥 > 1 ∧ 𝑥 − 4 > 1 } 
 x>1 x>5 
 
 
 
 1 5 
 
 𝑓2 °𝑔2 = <5,∞> 
 
b) Analice la continuidad de 𝒇𝟎𝒈 𝑓2 𝑜 𝑔1 = −√|𝑥 − 1| + 1 ; −∞ < 𝑥 < 0 𝑓1 𝑜 𝑔1 = √|𝑥 − 1| + |𝑥 − 1| − 2 ; 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑓1 𝑜 𝑔2 = (𝑥 − 5)(𝑥 − 2) ; 1 < 𝑥 ≤ 5𝑓2 𝑜 𝑔2 = 𝑥 − 3 ; 5 < 𝑥 < ∞ 
Analizemos la continuidad: 
➢ X=0 lim𝑥→0−−√|𝑥 − 1| + 1 = lim𝑥→0− − √1 − 𝑥 + 1 = −√1 + 1 = 0 lim𝑥→0∓√|𝑥 − 1| + |𝑥 − 1| − 2 = lim𝑥→0− = √1 − 𝑥 + 1 − 𝑥 − 2 = √1 + 1 − 2 = 0 lim𝑥→0−𝑓2 𝑜 𝑔1 = lim𝑥→0∓𝑓1 𝑜 𝑔2 ∴ 𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎. 
➢ X=1 lim𝑥→1−√|𝑥 − 1| + |𝑥 − 1| − 2 = lim𝑥→0−√1 − 𝑥 + 1 − 𝑥 + 2 = √0 + 1 − 1 − 2= −2 lim𝑥→1+(𝑥 − 5)(𝑥 − 2) = lim𝑥→1+(1 − 5)(1 − 2) = +4 lim𝑥→1−𝑓1𝑜 𝑔1 ≠ lim𝑥→1∓𝑓1 𝑜 𝑔2 ∴ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎. 
➢ X=5 lim𝑥→5−(𝑥 − 5)(𝑥 − 2) = (5 − 5)(5 − 2) = 0 lim𝑥→5+ 𝑥 − 3 =5 − 3 = 2 
lim𝑥→5−𝑓1𝑜 𝑔2 ≠ lim𝑥→5∓𝑓2 𝑜 𝑔2 ∴ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎. 
 
6. Si 𝑓(𝑥) = ⟦7𝑥2 − 7⟧: 
a) ¿𝑓(𝑥) es continua en 0? b) ¿𝑓(𝑥) es continua en √2? 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏: 
 𝒂) 𝑺𝒊 𝒙 = 𝟎 
• 𝑓(0) = ⟦7(0)2 − 7⟧ = ⟦−7⟧ = −7 
• Por la izquierda: 𝑥 < 0 lim𝑥→0⟦7𝑥2 − 7⟧ = −7 
 
De 𝑥 < 0: −1 < 𝑥 < 0…()2 
 0 < 𝑥2 < 1…(𝑥7) 
 0 < 7𝑥2 < 7…(−7) 
 −7 < 7𝑥2 − 7 < 0 
 Entonces: ⟦7𝑥2 − 7⟧ = −7 
b) Si 𝑥 = √2 
 
• Por la derecha: 𝑥 > 0 lim𝑥→0⟦7𝑥2 − 7⟧ = −7 
 
 De 𝑥 > 0: 
 0 < 𝑥 < 1…()2 
 0 < 𝑥2 < 1… (𝑥7) 
 0 < 7𝑥2 < 7…(−7) 
 −7 < 7𝑥2 < 0 
 Entonces: ⟦7𝑥2 − 7⟧ = −7 𝑹𝑷𝑻𝑨:𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 =0 
 
• 𝑓(√2) = ⟦7(√2)2 − 7⟧ = ⟦7⟧ = 7 
 
• Por la izquierda: 𝑥 < √2 lim𝑥→√2⟦7𝑥2 − 7⟧ =0 
 
De 𝑥 < √2: 1 < 𝑥 < √2…()2 1 < 𝑥2 < 2…(𝑥7) 7 < 7𝑥2 < 14…(−7) 0 < 7𝑥2 − 7 < 7 
 
Entonces: ⟦7𝑥2 − 7⟧ = 0 
• Por la derecha: 𝑥 > √2 lim𝑥→√2⟦7𝑥2 − 7⟧ =7 
 
De 𝑥 > √2: √2 < 𝑥 < 2…()2 
 2 < 𝑥2 < 4… (𝑥7) 14 < 7𝑥2 < 28…(−7) 7 < 7𝑥2 − 7 < 21 
 
Entonces: ⟦7𝑥2 − 7⟧ = 7 
 𝑹𝑷𝑻𝑨:𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = √2 
 𝟕. 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝒇(𝒙), 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐,𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒇 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐. 𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒄𝒆 𝒔𝒊 𝒈 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒐 𝒏𝒐 𝒆𝒏 𝒙 = 𝟏 
 
𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ → { ⟦𝑥⟧ = 0, 0 ≤ 𝑥 < 1⟦𝑥⟧ = 1, 1 ≤ 𝑥 < 2⟦𝑥⟧ = 2, 𝑥 = 2 
 𝑔(𝑥) = { (𝑥 − 1)(0) = 0, 0 ≤ 𝑥 < 1 (𝑥 − 1)(1) = 𝑥 − 1, 1 ≤ 𝑥 < 2 (𝑥 − 1)(2) = 2𝑥 − 2, 𝑥 = 2 
 𝑎) 𝑔(1) = 0 
 b) lim g(x) → 𝑥→1 lim𝑥→1− 0 = 0 lim𝑥→1+( 𝑥 − 1) = 0 ∗ 𝑓(1) = 𝑥 − 1 1 − 1 = 0 
𝑐) lim𝑥→1𝑔(𝑥) = 𝑔(1) 𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎. 
 
8. Sea una función continua en el punto 𝒙 = −𝟒 . se define 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝟐𝒙 − 𝟏𝟎) + 𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟑 . ¿Es continua en x=3? 
• Como la función es continua en x=-4, entonces f(-4) está definido. 
• 𝑔(3) = 𝑓(6 − 10) + 9−26 = 𝑔(3) = 𝑓(−4) + 76 
• Si f(-4) existe y 7/6 existe entonces g(3) existe. 
• ∃ lim𝑥→3𝑓(−4) + 76 = lim𝑓(−4) + lim 76 → lim𝑔(3)𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
• 𝑔(𝑥)𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜 𝑒𝑛 3 
 
 
 
9. Demuestre que la ecuación x * 2 x = 1 tiene por lo menos una raíz 
positiva no mayor que 1. 
• Sea f(x) = x * 2 x -1 por ser exponencial es continua en R 
• Busquemos un intervalo [ a;1 ] en la que f(a) . f(1) < 0 
X -1 0 1 
F (x) -3/2 -1 1 
 
El intervalo que nos interesa [ 0;1 ] pues f(a) . f(1) < 0 
Por tanto existe c ℇ <0;1> tal que f(c)= 0 que equivale a decir la 
ecuación x * 2 x -1 = 0 tiene una solución real en el intervalo <0;1> 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.Demuestre que la ecuación = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏 , donde 0 < 𝑎 < 1 , 𝑏 > 0 tiene por lo 
menos una raíz positiva siendo no mayor que 𝑎 + 𝑏. 𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏 (𝑥 − 𝑏𝑎 = 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑏𝑎 ) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑏𝑎 ) 
Por dominio de la función trigonométrica inversa arcoseno: −1 ≤ 𝑥 − 𝑏𝑎 ≤ 1 −𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑏 ∴ 𝑆𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑋 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 ≤ 𝑎 + 𝑏 
 
11. Suponga que f y g son discontinuas en x=c. ¿Debe ser en consecuencia, 
f+g también es discontinua en x=c? En caso negativo proporcione un contraejemplo. 
¿Existe contradicción con el teorema (que la suma de funciones continuas es continua)? 𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 2, 𝑥 ≤ 33 − 𝑥 , 𝑥 > −3 𝑔(𝑥) = {2𝑥 − 1, 𝑥 < −1𝑥 + 1 , 𝑥 ≥ −1 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑔(𝑥) 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 lim𝑥→−3− 𝑓(𝑥) ≠ lim𝑥→−3+ 𝑓(𝑥) lim𝑥→−1− 𝑔(𝑥) ≠ lim𝑥→−1+ 𝑔(𝑥) 
 
𝑓 + 𝑔 = { 3𝑥 + 1, 𝑥 ≤ −3𝑥 − 2,−3 < 𝑥 < −14, 𝑥 ≥ −1 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑋 = −3 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑋 = −1 ∴ 𝑓 + 𝑔 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 
 
12. Sea la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝒙 , pruebe que existe 𝒌 un valor en el intervalo ⟨𝟏;𝟐⟩ tal que 𝒇(𝒌) = 𝟐. 𝑓(𝑥) es una función continua 𝑓(1) = (1)3 − (1)2 + (1) = 1 𝑓(2) = (2)3 − (2)2 + (2) = 6 
 1 < 𝑘 < 2 𝑓(1) < 𝑓(𝑘) < 𝑓(2) 1 < 2 < 6 entonces existe 𝑘 ∈ ⟨1;2⟩ / 𝑓(𝑘) = 2 𝑓(𝑘) = 𝑘3 − 𝑘2 + 𝑘 = 2 𝑘3 − 𝑘2 + 𝑘 − 2 = 0 𝑘 = 1.35 
 
13. Analice la continuidad de la función en el intervalo indicado. 
a) 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1, 𝑥 ≤ 0𝑥2, 0 < 𝑥 en el intervalo [−1; 0] 
i. lim𝑥→−1 𝑥 + 1 = −1 + 1 = 0 → 𝑓(−1) = 0 
ii. lim𝑥→0− 𝑥 + 1 = 0 + 1 = 1 → 𝑓(0) = 1 
 𝑓(𝑥) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−1; 0] es continua 
 
b) 𝑓(𝑥) = √49 − 𝑥 en el intervalo [−7; 7] 49 − 𝑥 ≥ 0 → 49 ≥ 𝑥 
i. lim𝑥→−7 √49 − 𝑥 = √49 − (−7) = √56 𝑓(−7) = √56 
ii. lim𝑥→7 √49 − 𝑥 = √49 − (7) = √42 𝑓(7) = √42 
iii. lim𝑥→0 √49 − 𝑥 = √49 − (0) = 7 𝑓(0) = 7 entonces 𝑓(𝑥) en el intervalo [−7; 7] es continua 
 
 
 
14. a) 
 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙− 𝟏𝟒 ; 𝒙 ∈ [−𝟖;−𝟐] tal que 𝒇(𝒄) = 𝟏 𝒇(−𝟖) = 𝟔𝟒 + 𝟏𝟔 − 𝟏𝟒 = 𝟑𝟒 𝒇(−𝟐) = 𝟒 + (−𝟒) − 𝟏𝟒 = −𝟏𝟒 
i. 𝑓(𝑐) = 1 −8 ≤ 𝑐 ≤ −2 𝑓(−8) > 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(−8) 
 34 > 1 ≥ −14 𝑓(𝑐) = 𝑐2 + 2𝑐 − 14 = 1 
 = (𝑐 + 5)(𝑐 − 3) = 0 → 𝑐 = −5 V 𝑐 = 3 
Entonces ∃ 𝑐 ∈ [−8;−2] / 𝑓(𝑐) = 1 
 
14. B 𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 2 Por ser un polinomio es continua en R {𝐹(0) = −2𝐹(3) = 19 → 𝐹(0) ≠ 𝐹(3) 𝑦 − 2 < 4 < 19 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑇𝑉𝑀 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐶 𝜖 < 0; 37 > 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐹(𝑐) = 4 𝑐3 − 𝑐2 + 𝑐 − 2 = 0 (𝑐 − 2)(𝑐2 + 𝑐 + 3) = 0 𝑐 − 2 = 0 , 𝑐2 + 𝑐 + 3 = 0 → Soluciones no reales 
Por lo tanto 𝑐 = 2 𝜖 < 0; 3 > 
14.C 𝐹(𝑥) = 𝑥2+𝑥𝑥−1 Es continua en el intercalo [52 ; 4] 
{𝐹(52) = 356𝐹(4) = 406 → 𝐹 (52) ≠ 𝐹(4) 𝑦 356 < 𝐹(𝑐) < 406 → 356 < 6 < 406 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑇𝑉𝑀 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐶 𝜖 < 52 ; 4 > 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐹(𝑐) = 6 𝐹(𝑐) = 𝑐2 + 𝑐𝑐 − 1 = 6 𝑐2+𝑐𝑐−1 − 6 = 0 𝑐2 + 𝑐 − 6𝑐 + 6𝑐 − 1 = 0 𝑐2 − 5𝑐 + 6𝑐 − 1 = 0 (𝐶 − 3)(𝐶 − 2)𝑐 − 1 = 0 𝑐 = 3 , 𝑐 = 2 , 𝑐 ≠ 1 
Por lo tanto 𝑐 = 3 𝜖 < 52 ; 4 > 
 
 
15) Usar el teorema del 0 para demostrar que existe un numero tal que 𝟐𝒄 − 𝟑𝒄 = 𝟎 
 
1) Por teoría tenemos que si ⨍(𝑎). ⨍(𝑏) < 0 ∃ {𝑎; 𝑏}/ c ∈ ]𝑎; 𝑏[ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑐) = 0 
 
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑐 − 3𝑐 
 𝑓(0) = 20 − 3(0) = 1 − 0 = 1 
 𝑓(1) = 21 − 3(1) = −1 
 
3) 𝑓(0). 𝑓(1) < 0 → 𝑐 ∈ ]0; 1[ 
 𝑐 = 0.45782 
 
 
16. ¿Las siguientes ecuaciones tienen solución en los reales? 
a) 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 
 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 
 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑅 
 𝐵𝑢𝑠𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎; 𝑏] 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0 
x -3,14 -1,57 0 1,57 
f(x) -4,14 -3,57 -1 1,57 
 
 𝐸𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [0;1,57] 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙, 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓(0). 𝑓(1,57) <0 
 
b) 𝑥3 = 2𝑥 
 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 = 0 
 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑅 
 𝐵𝑢𝑠𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎; 𝑏] 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0 
x -2 -1 0 1 2 
f(x) −334 −32 -1 -1 4 
 
𝐸𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [1;2] 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙, 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓(1). 𝑓(2) < 0 
 
 
 
17. Use TVM para demostrar que las gráficasde las funciones 
 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 → Función exponencial (Continua en R) 
 𝑔(𝑥) = 4 − 𝑥 → Función lineal (Continua en R) 
Afirmemos que: 𝑐 𝜖 < 0; 1 > 𝑓(0) = 𝑒3(0) = 1 𝑔(0) = 4 − 0 = 4 𝑓(1) = 𝑒3(1) = 𝑒3 = 20,08 𝑔(1) = 4 − 1 = 3 ∃𝑐 ∈< 0; 1 > | 𝑓(𝑐) ∈< 1; 20,08 > ∃𝑐 ∈< 0; 1 > | 𝑔(𝑐) ∈< 3; 4 > ∴ Se va a tener por tanto un punto de corte. 
 
 
 
18) Un lote de estacionamiento cobra S/3 por la primera hora (o parte de una hora) y 
S/2 por cada hora sucesiva (o parte), hasta un máximo diario de S/10. 
a) Trace una gráfica del costo de estacionamiento en este lote como función de tiempo 
por estar estacionado ahí. 
 
 
b) Analice las discontinuidades de esta función y su importancia para alguien que se 
estacione en el lote. 
al ser un tipo de discontinuidad, no genera confusión de pagos, porque es del tipo no 
evitable, a diferencia de las evitables, estas no pueden ser evitadas con un solo valor, así 
se evita que la gente se confunda en los pagos.