Funciones Continuas y Discontinuas

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6. Funciones continuas
En el Módulo 4 mencionamos la siguiente propiedad:
Teorema 6.1.1 Dada f una función definida en un intervalo abierto (c, d), tal que a ∈ (c, d).
Si f es derivable en x = a =⇒ lı́m
x→a
f (x) = f (a).
x
y
a
f (x)
Figura 6.1: Gráfica de la función f .
x
y
a
g(x)
Figura 6.2: Gráfica de la función g.
Actividad 6.1 Las funciones graficadas en las Figuras 6.1 y 6.2 tienen las características de:
a) f (x) no está definida en x = a. b) f (x) = g(x) siempre que x , a.
c) lı́m
x→a
g(x) = g(a).
Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas explicando su razonamiento.
a) lı́m
x→a
f (x) = f (a) b) lı́m
x→a
f (x) = g(a) c) lı́m
x→a
f (x) no existe
�
Actividad 6.2 Acorde a las gráficas de la Figura 6.3.
a) ¿Cuál es el valor correcto para f (a) en la Gráfica IV: ¿z1 o z2?
b) Las Gráficas I, II y III, ¿tienen un trazo continuo sin cortes ni agujeros?
c) Las Gráficas IV, V, VI, VII, VIII y IX son discontinuas en uno o más valores del
intervalo. Marquen cada valor de discontinuidad agregando una marca y una letra a
en el eje x como se muestra en el gráfico IV.
�
x
y
x
y
x
y
Gráfica I Gráfica II Gráfica III
x
y
z1
z2
a
x
y
x
y
Gráfica IV Gráfica V Gráfica VI
2 Capítulo 6. Funciones continuas
x
y
x
y
x
y
Gráfica VII Gráfica VIII Gráfica IX
Figura 6.3: Gráficas de la Actividad 6.2.
Recordemos que∞ no es un número
real, luego si lı́m
x→a
f (x) = ∞ enton-
ces ese límite no existe.
Actividad 6.3 Usando nuevamente las gráficas de la Figura 6.3.
a) Indiquen en cada gráfico todos los valores de a sobre el eje x en donde
lı́m
x→a+
f (x) , lı́m
x→a−
f (x).
b) Verdadero o Falso: Si lı́m
x→a+
f (x) , lı́m
x→a−
f (x) entonces f es discontinua en a.
c) ¿Qué gráfico de la Figura 6.3 tiene un valor a donde lı́m
x→a+
f (x) = lı́m
x→a−
f (x) = ∞?
d) Verdadero o Falso: Si lı́m
x→a+
f (x) = lı́m
x→a−
f (x) = [un número real] entonces f es
continua en x = a.
Si es Falso, den un ejemplo de la Figura 6.3 que muestre que esta afirmación es falsa,
y expliquen su razonamiento.
e) Hay dos gráficos en la Figura 6.3 en los que la afirmación del punto anterior es falsa.
¿Cuáles son?
f ) Para cada uno de esos dos gráficos, escriban lo que conocen del valor de f (a).
g) Cada uno de estos dos gráficos tiene un “problema” en x = a que hace que la función
sea discontinua en a. Describan en que difieren esos dos problemas.
�
Definición 6.1.1 — Continuidad en un valor de x y en un intervalo.
Una función f es continua en x = a si lı́m
x→a
f (x) = f (a).
(el límite de la función se puede calcular evaluando la función)
Una función f es continua en un intervalo (c, d), si es continua en todo punto de ese
intervalo.
Si ese intervalo es cerrado [c, d], entonces también debe cumplirse que:
• en c, el borde de la izquierda, lı́m
x→c+
f (x) = f (c), es decir, f (x) es continua a
derecha en x = c.
• en d, el borde de la derecha, lı́m
x→d−
f (x) = f (d), es decir, f (x) es continua a
izquierda en x = d.
3
Actividad 6.4 En grupo, piensen en un ejemplo de la vida cotidiana de un proceso que
pueda ser descripto mediante una función continua, y uno que puede describirse por una
función que contiene una o más discontinuidades. Propongan un gráfico para cada una de
estas funciones.
�
Cada uno de los gráficos VII y VIII tiene un punto de discontinuidad que se dice removible o
evitable. En cierta forma, cada una de esas funciones es discontinua en a porque f (a) no es el
valor que esperamos basados en los valores de la función cerca de a. En estos casos tenemos
que
lı́m
x→a
f (x) = [ existe, es un número real ]
pero f (a) no existe o es distinto al valor del límite.
Para lograr que el gráfico sea continuo en a se necesita que f (a) y lı́m
x→a
f (x) existan ambos y
sean iguales.
Cuando estamos en presencia de la gráfica de una función continua en un intervalo es
porque podemos imaginar una hormiga (muy pequeña) caminando a lo largo de la gráfica de
una función sin interrupción (por ejemplo, sin caer en ningún agujero como el del gráfico VII).
6.1.1 Identificando discontinuidades a partir de una ecuación
Consideren las siguientes funciones con sus correspondientes dominios naturales.
I) f (x) = 12 x II) f (x) =

x para x ≤ 1
−x + 2 para 1 < x ≤ 3
2x − 7 para x > 3
III) f (x) = 12 x
3 − x − 1
IV) f (x) = 1
x
V) f (x) =
{ 1
2 x
2 − 2 para x ≤ 6
−x2 + 12x − 33 para x > 6 VI) f (x) =
1
(x − 2)2
VII) f (x) = x
2 − 4
x − 2
VIII) f (x) =

−3 para x < 1
2 para 1 ≤ x < 2
3 para x ≥ 2
IX) f (x) =
{ 1
2 x
2 − 4x + 8 para x , 6
4 para x = 6
Todas estas funciones son lasmis-
mas funciones que aparecieron
graficadas en la Figura 6.3. Esta
información puede ser útil para
controlar las respuestas a las pre-
guntas en esta Sección.
Actividad 6.5 Considerando las funciones anteriores,
a) ¿Para qué valores de x la función IV tiene una discontinuidad? ¿Por qué?
b) ¿Para qué valores de x la función VII tiene una discontinuidad? ¿Por qué?
c) Para la función VIII definida por partes se tiene
4 Capítulo 6. Funciones continuas
• f (1) = • lı́m
x→1+
f (x) = • lı́m
x→1−
f (x) =
• f (2) = • lı́m
x→2+
f (x) = • lı́m
x→2−
f (x) =
¿Es f continua en su dominio? Usen los incisos previos para justificar su respuesta.
d) En la pregunta previa, analizamos la continuidad de la función VIII en x = 1 y x = 2.
A) ¿En qué dos valores de x debería chequearse la continuidad la función II?
B) ¿Es la función dada en II continua? ¿Por qué?
C) ¿En qué valor o valores de x debería chequearse la continuidad la función V?
D) ¿Es la función dada en V continua? ¿Por qué?
e) Usen lo realizado previamente para clasificar a las funciones de los gráficos I, III,
IX, y VI como continuas o discontinuas (y anoten los valores de x en los que f tiene
una discontinuidad)
�
Actividad 6.6 Clasifiquen las funciones desde la IV a la IX en las categorias de la Tabla 6.1.
Descripción de la gráfica: Deben describir la característica que presenta la gráfica de la
función según la discontinuidad. Hacer un bosquejo de ejemplo.
Descripción analítica: Deben describir analíticamente el comportamiento en el punto de
discontinuidad.
�
Tipo de Número de la función. Descripción Descripción
discontinuidad Ejemplo: IV, V, etc. de la gráfica analítica
Salto
Infinito
Agujero
Tabla 6.1: Clasificación de las discontinuidades.
6.2 Algunas propiedades de las funciones continuas 5
Las funciones VII y IX deben estar ubicadas en la fila donde se señala que el tipo de
discontinuidad es un agujero. Si rellenamos el agujero de la manera deseada o esperable
según el valor del límite de la función obtendremos una nueva función que es continua. Por
ejemplo, la función IX puede debe ser redefinida en x = 6 de tal manera que el valor de la
función coincida con el valor del límite.
f (x) =

1
2
x2 − 4x + 8 para x , 6
4 para x = 6
=⇒ f̃ (x) =

1
2
x2 − 4x + 8 para x , 6
2 para x = 6
Actividad 6.7 ¿Cómo se redefine la función VII para que resulte continua en x = 2? �
6.2 Algunas propiedades de las funciones continuas
Si dos funciones f y g son continuas en x = a, entonces las siguientes funciones también
son continuas en x = a:
f ± g c. f (c una constante) f .g
f
g
(si g(a) , 0)
O sea, la suma, resta y el producto de dos funciones continuas (con el caso particular de
las funciones constantes) en x = a es también una función continua en x = a. El cociente
también será continuo en x = a siempre y cuando el denominador no se anule en x = a. Las
demostraciones de estas afirmaciones son consecuencia de las propiedades algebraicas que
poseen los límites según lo que se detalló en la Sección 4.4.2 del Módulo 4.
Teorema 6.2.1 — Composición de funciones continuas. Si g es una función continua en a y
f es una función continua en g(a) entonces f ◦ g es una función continua en a.
C Según la Propiedad 4.4.5 del Módulo 4 toda función polinómica o racional es continua
en los valores de a que estén en su dominio. O sea, siempre sucederá que
lı́m
x→a
f (x) = f (a)para todos los valores de a que pertenezcan al Dom( f ).
También son continuas, en todos los valores del dominio, las funciones racionales
compuestas con funciones raíces de cualquier índice según lo enunciado en el Módulo 4
en la Propiedad 4.4.3.
� Ejemplo 6.1 Podemos calcular el límite
lı́m
x→4
x3 − 8 +
√
x − 2
x2 − 4
simplemente por evaluación porque x = 4 pertence al dominio de la función
x3 − 8 +
√
x − 2
x2 − 4
(la raíz y el cociente están bien definidos) y esa misma función
es continua en todo su dominio según lo enunciado en el comentario anterior.
lı́m
x→4
x3 − 8 +
√
x − 2
x2 − 4
=
43 − 8 +
√
4 − 2
42 − 4
=
56 −
√
2
12
.
6 Capítulo 6. Funciones continuas
Pero no podemos calcular de igual manera el límite
lı́m
x→2
x3 − 8 +
√
x − 2
x2 − 4
porque la función
x3 − 8 +
√
x − 2
x2 − 4
no está definida en x = 2 (se anula el denominador).
Para calcular este límite deberemos hacer otra cosa.
�
� Ejemplo 6.2 El valor x = 6 pertence al dominio de la función IX con la que trabajamos
previamente.
f (x) =

1
2
x2 − 4x + 8 para x , 6
4 para x = 6
Sin embargo, sabemos que la función IX no es continua en x = 6 por lo tanto el límite
para x → 6 no puede calcularse por evaluación. De hecho,
f (6) = 4 es diferente a lı́m
x→6
f (x) = 2
�
Actividad 6.8 ¿En qué intervalos son continuas las siguientes funciones?
a) f (x) =
x2 + 6x + 9
x + 3
b) g(x) =
√
2x + 3 c) h(x) =
√
2 − x2
�
Teorema 6.2.2 — Relación entre la derivada en x = a y la continuidad en x = a de una función.
Dada f una función definida en un intervalo abierto (c, d), tal que a ∈ (c, d).
Si f es derivable en x = a =⇒ f es continua en x = a.
Actividad 6.9 Indiquen cuales dos de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Las tres
restantes son falsas, propongan el gráfico de una función que muestre que son falsas.
a) Si lı́m
x→a
f (x) = f (a) entonces f es continua en x = a.
b) Si f no es continua en x = a entonces f (a) , lı́m
x→a
f (x).
c) Si f no es continua en x = a entonces f (a) no está definida.
d) Si f no es continua en x = a entonces lı́m
x→a
f (x) no existe.
e) Si f no es continua en x = a entonces f (a) no está definida o lı́m
x→a
f (x) no existe.
�
Actividad 6.10 Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles
son falsas. Para cada afirmación falsa, propongan el gráfico de una función que muestre
que son falsas.
a) Si f es continua en un intervalo entonces f es derivable en ese intervalo.
b) Si f es derivable en un intervalo entonces f es continua en ese intervalo.
c) Si f es discontinua en x = a entonces f ′(a) no existe.
�
6.2 Algunas propiedades de las funciones continuas 7
Cuando decimos que una función es continua en un intervalo y lo ejemplificamos con
la frase “es que se puede dibujar la gráfica de la función desde el comienzo hasta el final
sin levantar la punta del lápiz” estamos utilizando una versión verbal del Teorema del Valor
Intermedio que enunciamos a continuación:
Teorema 6.2.3 — Teorema del Valor Intermedio. Dada una función f continua en un intervalo
cerrado de la forma [c, d]. Dado A un valor cualquiera entre f (c) y f (d). Entonces existe al
menos un valor de x ∈ [c, d] tal que A = f (x).
Cuando decimos “A entre f (c) y f (d)” estamos contemplando las dos situaciones posibles
f (c) ≤ A≤ f (d) o f (c) ≥ A ≥ f (d) x
y
c d
f (c)
f (d)
A
x
x
y
c d
f (c)
f (d)
A
x1 x2 x3
Figura 6.4: Esquema para el Teorema del
Valor Intermedio.
La demostración de este teorema requiere un trabajo cuidadoso con la definición de números
reales y está íntimamente ligada con la propiedad de los números reales de completar la recta
real sin que queden huecos. No haremos la demostración y aceptaremos su validez.
En la Figura 6.4 se presentan dos representaciones posibles de una función continua en el
intervalo [c, d]. Su gráfica “debe atravesar” la recta horizontal y = A. El Teorema del Valor
Intermedio se comprueba “visualmente” de una manera muy sencilla. Pero su demostración
formal, desde el punto de vista de la disciplina matemática, es más sofisticada.
Una aplicación del Teorema del Valor Intermedio es la determinación de ceros de
funciones continuas.
Los ceros de una función son
aquellos valores de x (en el do-
minio) para los cuales f (x) = 0.
Teorema 6.2.4 Dada una función f continua en un intervalo cerrado de la forma [c, d] tal que
f (c) y f (d) tienen signo distinto. Entonces f tiene al menos un cero en el intervalo [c, d].
� Ejemplo 6.3 Podemos afirmar que la función f (x) = x4 + x − 3 tiene un cero en el intervalo
[0, 2] porque es una función continua (es una función polinómica), f (0) = −3 y
f (2) = 15 (tienen signo distinto).
Debe existir x ∈ [0, 2] tal que x4 + x − 3 = 0. No sabemos exactamente cuál es ese
valor; pero sí sabemos que existe el cero.
�
Actividad 6.11 ¿Conocen algún procedimiento o se les ocurre algún procedimiento que
permita determinar, de manera aproximada, cuál es el valor del cero de f (x) = x4 + x − 3
en el intervalo [0, 2]? Estudien la situación del Ejemplo 6.3 y discutan en el grupo cómo
correspondería hacer para calcular, de manera aproximada, el valor del cero que se está
buscando.
�
Otra consecuencia delTeorema del Valor Intermedio es la determinación de los intervalos
de positividad y negatividad de una función continua.
Teorema 6.2.5 Dada una función f continua en un intervalo I de cualquier forma (puede
ser abierto, cerrado, semi cerrado, que llegue hasta +∞, etc.) tal que f no tiene ceros en el
intervalo, entonces f (x) tendrá siempre el mismo signo en el intervalo: f (x) > 0 en todo I;
o f (x) < 0 en todo I.
Si elegimos un valor de prueba a ∈ I, evaluamos f (a) y con ese dato podemos determinar
el signo de f (x) para todo el resto de los valores de x ∈ I.
8 Capítulo 6. Funciones continuas
� Ejemplo 6.4 Si consideramos la función f (x) = (x − 3)(x − 1)2(2x + 1)3 podemos afirmar
que los únicos ceros de f son x1 = − 12 , x2 = 1 y x3 = 3. Además, f es una función
continua en todo R.
Concluímos, en primer lugar que f no tiene ceros en los intervalos (−∞,− 12 ), (−
1
2, 1),
(1, 3) y (3,+∞). O sea, los ceros de f subdividen a la recta real en intervalos donde,
por el Teorema 6.2.5, la función debe mantener su signo.
�
Actividad 6.12 Siguiendo el desarrollo del Ejemplo 6.4 completen la Tabla 6.2.
Intervalo Valor de prueba a Signo de f (a) Signo de f (x) en todo x el intervalo
Tabla 6.2: Intervalos de positividad y negatividad de la función f (x) = (x − 1)(x − 3)2(2x + 1)3.
�
Si todo salió bien en la Actividad 6.12 los intervalos de positividad y negatividad de la
función f (x) = (x − 1)(x − 3)2(2x + 1)3 deberían haber quedado de la siguiente manera:
−1/2 1 3
+ + + + + + − − − − − + + + + + + + + +
Actividad 6.13 Justifiquen por qué puede afirmarse que las siguientes funciones tienen al
menos un cero en el intervalo indicado.
a) f (x) = 2x3 + x2 + 2 en el intervalo [−2,−1]
b) g(x) =
5x − 5 − 5x3 + x4
√
40 − x2
en el intervalo [−4, 2].
�
Actividad 6.14 Determinen los intervalos de positividad y negatividad de la función
f (x) = x(x + 4)3(x − 1)2(x2 − 4x)(x2 + 2)
Presenten la respuesta dibujando la recta real y los intervalos de positividad y negatividad
encontrados.
�
6.2 Algunas propiedades de las funciones continuas 9
El último resultado teórico referido a funciones continuas es el Teorema de Weierstrass.
En general, dependerá de cada función, sus características y del dominio en el que esté definida,
para poder afirmar que la función alcanza o no alcanza un valor máximo y un valor mínimo.
Sin embargo, este resultado teórico nos permite anticipar que las funciones continuas definidas
en intervalos cerrados de la forma [c, d] siempre alcanzarán un valor máximo y un valor
mínimo absoluto.
También aceptaremos la validez
de este Teorema sin demostrarlo.
Teorema 6.2.6 — Teorema de máximos y mínimos absolutos. Teorema de Weierstrass. Una
función f continua en un intervalo cerrado [c, d] alcanzará un valor máximo absoluto
en algún valor xM ∈ [c, d] y también alcanzaráun valor mínimo absoluto en algún
valor xm ∈ [c, d].
Por definición de máximos y mínimos absolutos en [c, d] se tiene que
f (xm) ≤ f (x) ≤ f (xM ) para todo x ∈ [c, d]
� Ejemplo 6.5 La función f (x) =

x para x ∈ [0, 1)
0 para x = 1
no es continua en el intervalo [0, 1].
Ver la Figura 6.5. Podemos afirmar que alcanza el valor mínimo absoluto 0 en xm1 = 0
y también en xm2 = 1; pero no alcanza un valor máximo absoluto en el intervalo. �
x
y
0 1
1
y = f (x)
Figura 6.5: Gráfica de la función f .
x
y
0 1
1 y = g(x)
Figura 6.6: Gráfica de la función g.
� Ejemplo 6.6 La función g(x) =
1
x
definida para x ≥ 1 es continua en todo el intervalo
[1,∞) pero el intervalo no tiene borde derecho.
Podemos afirmar que alcanza el valor máximo absoluto 1 en xM = 1 pero no alcanza
un valor mínimo absoluto en el intervalo. Ver Figura 6.6.
�
� Ejemplo 6.7 La función f (x) = x7 − 3x4 + x3 − 9 es una función continua porque es una
función polinómica. Por lo tanto, sobre la base del Teorema 6.2.6, podemos afirmar
que alcanzará un valor máximo y un valor mínimo en cualquier intervalo de la forma
[c, d]. Aunque no sabemos exáctamente cuáles serán esos valores
�
El Teorema 6.2.6 garantiza la existencia de valores máximos y mínimos en una función
continua definida en un intervalo cerrado de la forma [c, d]. Sin embargo, no nos dice cuáles
son esos valores máximos y mínimos, y ni siquiera dónde se alcanzan.
Pero, en el Módulo 4, detallamos las características que deben cumplirse en x para que la
función alcance valores máximos o mínimos relativos. ¿Se acuerdan?
Los valores máximos o mínimos absolutos (que también son relativos) de funciones continuas
en intervalos cerrados de la forma [c, d] se alcanzarán en los x tales que:
• x sea uno de los bordes del intervalo: x = c o x = d.
• x sea un valor crítico de la función dentro del intervalo:
I x sea un valor estacionario dentro del intervalo: existe f ′(x) y además f ′(x) = 0.
I f ′(x) no existe (la función no es derivable en x).
La lista completa de valores x que cumplan alguna de las condiciones anteriores nos determina
la lista de candidatos para que la función tome allí sus valores máximos y mínimos absolutos.
Nuestra capacidad de encontrar los valores máximos o mínimos abolutos estará determinada
por la capacidad que tengamos de confeccionar esta lista de candidatos.
10 Capítulo 6. Funciones continuas
6.3 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
Actividad 6.15 En el viaje desde La Plata a Buenos Aires por la autopista se pasa por dos
peajes que están a una distancia de 24 km. En un viaje habitual durante la mañana, un auto
pasa por el Peaje Hudson a las 9:00 am, y 16 minutos más tarde llega al Peaje Dock Sud.
Discutan en el grupo y respondan las siguientes preguntas:
a) ¿La velocidad del auto fue de 90 km/h durante todo el trayecto?
b) El conductor del auto recuerda que en algún momento del viaje, el velocímetro marcó
la velocidad de 100 km/h. ¿Es cierto que hubo un momento del viaje en el que la
velocidad del auto fue menor a los 90 km/h?
c) En algún momento del viaje el velocímetro marcó una velocidad de 90 km/h. ¿Es
cierto?
d) ¿Cualquier auto que haga el trayecto entre los peajes tendrá una velocidad promedio
de 90 km/h?
e) Para cualquier auto que haga el trayecto, ¿siempre habrá un instante del viaje en el
que la velocidad promedio sea exactamente igual a la velocidad instantánea?
�
Actividad 6.16 Respecto a la gráfica de la función f (x) que se presenta en la Figura 6.7.
x
y
y = f (x)
a
f (a)
b
f (b)
B
A
Figura 6.7: Gráfica de una función f en el intervalo [a, b].
a) Dibujen la recta secante que pasa por los puntos A y B.
b) Marquen un punto C con coordenadas (c, f (c)) y la recta tangente a la gráfica de la
función f en el punto C que tenga la misma pendiente que la recta secante que pasa
por los puntos A y B.
c) ¿Cuáles de las siguientes fórmulas describen la pendiente de las rectas dibujadas?
Hay más de una respuesta.
f (c) f ′(a) f ′(b) f ′(c) f (b) − f (a)
f (b) − f (a)
b − a
f (b) − f (a)
f (c)
d) Para cada gráfica de la Figura 6.9, marquen uno o más puntos C, con coordenadas
6.3 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio 11
(c, f (c)) en el intervalo (a, b) donde
f ′(c) =
f (b) − f (a)
b − a
e) En el sistema de ejes coordenados de la Figura 6.8, dibujen la gráfica de una función
que comience en el punto A, termine en el punto B y no exista ningún valor c ∈ (a, b)
tal
f ′(c) =
f (b) − f (a)
b − a
x
y
y = f (x)
a b
B
A
Figura 6.8: Gráfica de una función f en el intervalo [a, b].
�
x
y
y = f (x)
a
f (a)
b
f (b)
B
A
x
y
y = f (x)
a
f (a)
b
f (b)
B
A
x
y
y = f (x)
a
f (a)
b
f (b)
B
A
Figura 6.9: Gráficas de 3 funciones
en el intervalo [a, b].
Las Actividades 6.15 y 6.16 se refieren a la interpretación dinámica y geométrica del
Teorema del Valor Medio que enunciamos a continuación y que tendrá varias consecuencias
para nuestro interés de estudio de funciones numéricas.
Teorema 6.3.1 — Teorema del Valor Medio. Dada f una función continua en un intervalo de
la forma [a, b] y derivable al menos en el intervalo (a, b) entonces...
a) ... existe un número c ∈ (a, b) tal que f ′(c) =
f (b) − f (a)
b − a
, o en forma equivalente,
b) ... existe un punto C de la forma (c, f (c)), con c ∈ (a, b) tal que la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de f en C es igual a la pendiente de la recta secante que
pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)).
Actividad 6.17 Considerando las gráficas de la Figura 6.10.
a) Traten de encontrar un punto C con coordenadas (c, f (c)), con c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) =
f (b) − f (a)
b − a
12 Capítulo 6. Funciones continuas
x
y
B
A
x
y
BA
Figura 6.10: Gráficas de dos funciones f y g en el intervalo [a, b] para la Actividad 6.17.
b) Expliquen por qué no es aplicable el Teorema del Valor Medio en los casos de la
Actividad 6.17.
�
Actividad 6.18 En los siguientes casos, realicen el gráfico de cada función en el intervalo
[a, b] indicado, la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)) y todas las
rectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta secante mencionada.
a) f (x) = x2 − 2x + 4 en el intervalo [0, 4].
b) f (x) =
1
x
en el intervalo [ 12, 2].
�
x
y
BA
Figura 6.11: Ejes coordenados para
la Actividad 6.20.
Actividad 6.19 Decidan si existe o no un valor de c ∈ (a, b) tal que f ′(c) =
f (b) − f (a)
b − a
para cada uno de los siguientes casos:
a) f (x) = x5 − 3x3 + 3x + 8 en el intervalo [1, 2]
b) f (x) = x2/3 en el intervalo [−1, 1].
�
Actividad 6.20 Para una función f continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo
(a, b). Si f (b) = f (a), ¿es posible asegurar que existe un valor estacionario c de f en el
intervalo (a, b)?
Usando el sistema de ejes cartesianos de la Figura 6.11,
• Si la respuesta anterior fue no, dibujen una función que no tenga ningún valor
estacionario c en el intervalo (a, b).
• Si la respuesta anterior fue si, dibujen una función con algún valor estacionario c en
el intervalor (a, b).
�
6.4 Intervalos de crecimiento y decremiento 13
La Actividad anterior se refiere al Teorema de Rolle que se enuncia de una manera similar
al Teorema del Valor Medio.
Teorema 6.3.2 — Teorema de Rolle. Dada f una función continua en un intervalo de la forma
[a, b] y derivable al menos en el intervalo (a, b) tal que f (b) = f (a). Entonces f tiene al
menos un valor estacionario c ∈ (a, b).
O sea, existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Decimos que el Teorema de Rolle (TR) y el Teorema del Valor Medio (TVM) son
equivalentes entre sí porque pueden deducirse uno respecto del otro. Se dice que el TR es un
caso particular del TVM porque sólo contempla los casos en los que f (b) = f (a). Y se dice
que el TVM es una extensión del TR porque contempla casos más generales.
Demostración Demostraremos elTeoremadeRolle. Consideremos una función f continua
en un intervalo [a, b] y derivable al menos en el intervalo (a, b) tal que f (b) = f (a). Por la
hipótesis deque f continua en el intervalo cerrado [a, b] podemos afirmar, Teorema de
Weierstrass (Teorema 6.2.6) mediante, que la función alcanza un valor máximo y un valor
mínimo absoluto en el intervalo [a, b]. Si alguno de estos valores (el valor máximo absoluto
o el valor mínimo absoluto) se alcanzaran en algún valor c ∈ (a, b) entonces c deberá ser
un valor estacionario de f . O sea, podemos afirmar que existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
Por el contrario, si ambos valores (el máximo absoluto y el mínimo absoluto) se
alcanzaran en los bordes del intervalo entonces se cumplirá que
f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) o f (a) ≥ f (x) ≥ f (b) para todo x ∈ [a, b].
Pero la hipótesis f (a) = f (b) implica entonces que f (x) se trata de una función
constante en el intervalo [a, b] por lo tanto cualquier valor c ∈ (a, b) cumple que f ′(c) = 0.
Usando como referencia la función definida en el intervalo [a, b] por
g(x) = f (x) −
f (b) − f (a)
b − a
(x − a) − f (a) (6.1)
es posible deducir ahora el Teorema del Valor Medio.
Actividad 6.21 Dada una función f continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo
(a, b). Muestren que la función g(x) definida en [a, b] por la ecuación 6.1 cumple todas
las hipótesis del Teorema de Rolle. Muestren que si g′(c) = 0 para algún valor c ∈ (a, b)
entonces f ′(c) =
f (b) − f (a)
b − a
.
�
6.4 Intervalos de crecimiento y decremiento
Consideremos una función f derivable en algún intervalo abierto (de cualquier forma).
Sean x1 y x2 dos valores cualesquiera en el intervalo tales que x1 < x2. De acuerdo al Teorema
del Valor Medio, considerando el intervalo [x1, x2] podemos afirmar que existe un valor
c ∈ (x1, x2) tal que
f (x2) − f (x1) = f ′(c)(x2 − x1).
Nos referimos a intervalos
abiertos como aquellos en los
que no se incluyen sus bordes.
Pueden ser de la forma (a, b),
(−∞, b), (a,+∞) o (−∞,+∞).
Sabiendo que x2 − x1 es un número positivo, usando la regla de los signos para la
multiplicación podemos considerar varias opciones. Dos de ellas son
f (x2) − f (x1)︸ ︷︷ ︸
>0
= f ′(c)︸︷︷︸
>0
. (x2 − x1)︸ ︷︷ ︸
>0
o f (x2) − f (x1)︸ ︷︷ ︸
<0
= f ′(c)︸︷︷︸
<0
. (x2 − x1)︸ ︷︷ ︸
>0
(6.2)
Las ecuaciones 6.2 junto con la definición de derivada como límite del cociente incremental
permiten demostrar el siguiente criterio para determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función conociendo el signo de su derivada.
14 Capítulo 6. Funciones continuas
Teorema 6.4.1 — Criterio para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una
función derivable en un intervalo.
Considerando una función derivable en un intervalo abierto (de cualquier forma) entonces
• f es una función creciente en el intervalo =⇒ f ′(x) ≥ 0 en el intervalo.
• f ′(x)> 0 en el intervalo =⇒ f (x) es una función creciente en el intervalo.
• f es una función decreciente en el intervalo =⇒ f ′(x) ≤ 0 en el intervalo.
• f ′(x)< 0 en el intervalo =⇒ f (x) es una función decreciente en el intervalo.
C El criterio anterior puede extenderse a cualquier tipo de intervalos, que incluyan a uno
de sus bordes o a ambos bordes, sin necesidad que la función sea derivable en los bordes.
En esos casos se necesita que la función sea continua (por derecha o por izquierda)
según de qué borde se trate.
x
y
1
6
2
5
Figura 6.12:Gráfica de f (x) = 2x3−9x2+
12x + 1.
� Ejemplo 6.8 Dado que la función f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + 1 es derivable en todo R
determinaremos sus intervalos de crecimiento y decrecimiento usando el Teorema 6.4.1.
Para ello calculamos
f ′(x) = 6x2 − 18x + 12 =︸︷︷︸
(∗)
6(x − 1)(x − 2) (6.3)
En (∗) hemos calculado las soluciones de la ecuación 6x2 − 18x + 12 = 0.
Podemos afirmar que f ′(x) < 0 para x ∈ (1, 2). Por lo tanto, f es decreciente en
ese intervalo. Y f ′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 1) y para x ∈ (2,+∞). Por lo tanto, f es
creciente en cada uno de esos intervalos.
Evaluamos f (1) = 2 − 9 + 12 + 1 = 6 y f (2) = 2 8 − 9 4 + 24 + 1 = 5 para marcar los
puntos (1, 6) y (2, 5) en la Figura 6.12 y esbozar la gráfica de la función f contemplando
la información obtenida sobre el crecimiento y decrecimiento de la función.
�
� Ejemplo 6.9 Estudiaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
g(x) = 4x2 +
1
x
.
Considerando que el dominio natural de g es el conjunto (−∞, 0) ∪ (0,+∞) y que en
ese dominio la función es derivable, calculamos su derivada
g′(x) = 8x −
1
x2
para x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,+∞).
Para estudiar los intervalos de positividad y negatividad de g′(x) procederemos de
manera similar a como lo hicimos en el Ejemplo 6.4.
Buscaremos aquellos intervalos en los que la función g′(x) = 8x −
1
x2
es continua y
no se anula; para luego determinar el signo de g′(x) usando valores de prueba.
En este caso, g′(x) es continua en los dos intervalos que conforman su dominio: el
intervalo (−∞, 0) y el intervalo (0,+∞).
6.4 Intervalos de crecimiento y decremiento 15
Los ceros de g′(x) son aquellos x que cumplen
g′(x) = 0⇐⇒ 8x −
1
x2
= 0⇐⇒ 8x =
1
x2
Considerando
que x , 0︷︸︸︷
⇐⇒ x3 =
1
8
⇐⇒ x = 12
0
No pertenece
al dominio de g′.
1
2
g′ = 0
En los intervalos (−∞, 0), (0, 12 ) y (
1
2,+∞) la función g
′(x) es continua y no se
anula por lo que podemos determinar su signo en cada intervalo tomando algún valor
de prueba.
Intervalo Valor de prueba a Signo de g′(a) Signo de g′(x) en todo x el intervalo Comportamiento de g(x)
(−∞, 0) −1 g′(−1) = −8 − 1 = −9 Negativo Decreciente
(0, 12 )
1
4 g
′( 14 ) = 2 − 16 = −14 Negativo Decreciente
( 12,+∞) 1 g
′(1) = 8 − 1 = 7 Positivo Creciente
�
� Ejemplo 6.10 La función f (x) = x2/3 tiene Dom( f ) = R. Como el exponente es menor
que 1, es derivable en el conjunto R − {0} quedando
f ′(x) = 23 x
−1/3 =
2
3
1
3√x
para x , 0.
La derivada es continua y no se anula (el numerador es distinto de 0 para cualquier
x , 0) en los intervalos (−∞, 0) y (0,+∞).
Para x < 0 se tiene 3
√
x < 0 y para x > 0 se tiene 3
√
x > 0. Por lo tanto, f (x) es
decreciente en el intervalo (−∞, 0) y creciente en el intervalo (0,+∞).
�
Actividad 6.22 Estudien los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes
funciones en sus correspondientes dominios naturales. Escriban en forma explícita los
dominios naturales de las funciones y sus intervalos de crecimiento/decrecimiento.
a) f (x) = x3 + 5x b) g(x) = −x3 + 3x2 − 24x c) h(x) = x4/5
d) G(x) =
x
5
+
3
7
e) F(x) = 9 f ) r(x) =
x2
x2 − 1
�
16 Capítulo 6. Funciones continuas
6.5 Derivada segunda
6.5.1 La aceleración de un objeto en movimiento
Actividad 6.23 En una carrera de 400m llanos, dos corredoras que llamaremos A y B
plantearon estrategias distintas para intentar ganar. La posición de cada atleta se representa
en la Figura 6.13 con las gráficas de las funciones pA(t) y pB(t) (posición en metros
respecto al tiempo de la carrera medido en segundos).
a) ¿Qué representa pA(0) = pB(0)?
b) ¿Qué representa pA(47.6) = pB(47.6)? ¿Quién ganó la carrera?
c) ¿Cómo se describe la estrategia de la cada corredora? ¿Quién tomó ventaja en el
primer tramo de la carrera? ¿Qué sucedió durante el último tramo de la carrera?
t (en segundo)
p (en metros)
pA(t)
pB(t)
47.6
400
Figura 6.13: Gráficas de las funciones pA y pB.
�
La velocidad instantánea de cada atleta fue cambiando mientras duró la carrera. La atleta
A comenzó la carrera despacio y fue incrementando su velocidad hacia el final. En cambio, la
atleta B comenzó con un buen ritmo pero en el último tramo fue frenando (quizás debido al
cansancio). Decimos que B fue acelerando (acelerando positivamente) porque la velocidad fue
en aumento. En cambio, A fue frenando (acelerando negativamente) porque la velocidad fue
disminuyendo.
La aceleración instantánea de un objeto que semueve sobre una ruta o camino (recordemos
que nos interesa estudiar objetos que se mueven en una única dirección) representa la manera
en que cambia la velocidad del objeto. La aceleración en cada instante t es la derivada de la
función velocidad
a(t) = v′(t) =
dv
dt
(t)
Pero sabemos que lavelocidad en cada instante t es la derivada de la función posición
v(t) = p′(t) =
dp
dt
(t)
Por lo tanto decimos que la aceleración en cada instante t es la derivada de la derivada
de la posición: “la segunda derivada” de la posición
a(t) = v′(t) = p′′(t)
y lo escribimos con doble comilla: ” o usando la notación de Leibniz de la forma:
a(t) =
dv
dt
(t) =
d
dt
dp
dt
(t) =
d2p
dt2
(t)
6.5 Derivada segunda 17
Dado que las unidades de la velocidad v(t) son
∆p
∆t
=
unidades de p
unidades de t
se tiene que las unidades de la aceleración a(t) son
∆v
∆t
=
unidades de v
unidades de t
=
unidades de p
(unidades de t)2
� Ejemplo 6.11 Si p(t) es la posición en metros (m) y t es el tiempo en segundos (seg)
entonces las unidades de p′′(t) (la aceleración) serán m/seg2.
�
Actividad 6.24 Para un mol de oxígeno a 26◦ C, la presión P y el volumen V se relacionan
mediante la ecuación
P =
1 × 0.082 × 26
V
donde P se mide en atmósferas y V en litros.
a) Encuentren la aceleración de P respecto a V .
b) ¿Cuánto vale P′′(1)?
�
6.5.2 Concavidad en la gráfica de una función
La derivada segunda representa la razón de cambio de la derivada primera.
x
y
Gráfica I
x
y
Gráfica II
x
y
Gráfica III
x
y
Gráfica IV
Figura 6.14: Gráficas para la Activi-
dad 6.25.
Actividad 6.25 Consideren f una función que tiene derivada segunda en un intervalo I
abierto (de cualquier forma).
a) Completen los casilleros:
• Si f ′′(x) es positiva en I entonces f ′(x) es .
• Si f ′′(x) es negativa en I entonces f ′(x) es .
b) Marquen en la Figura 6.14, las gráficas que representan una a f tal que:
f ′′ > 0 f ′′ < 0
(hay dos gráficas para cada condición)
�
Definición 6.5.1— Intervalos de concavidad. Dada una función f que tiene derivada segunda
en todo un intervalo I abierto (de cualquier forma). Diremos que
• f es cóncava hacia arriba en I si f ′′(x)>0 en el intervalo I.
• f es cóncava hacia abajo en I si f ′′(x)<0 en el intervalo I.
C La definición anterior se extiende al caso de funciones que estén definidas en cualquier
tipo de intervalos, que incluyan a uno de sus bordes o a ambos bordes, sin necesidad
que la función tenga derivada segunda en los bordes. Se necesita en esos casos que la
función sea continua (por derecha o por izquierda) según sea el caso.
Por ejemplo, la función f (x) =
√
x es cóncava hacia abajo en el intervalo [0,+∞).
18 Capítulo 6. Funciones continuas
Actividad 6.26 En la Figura 6.15 dibujen las gráficas de dos funciones definidas en el
intervalo [a, b] que pasen por los puntos A y B. Una de ellas que sea cóncava hacia arriba
en el intervalo, y otra de ellas que sea cóncava hacia abajo en el intervalo.
�
x
y
a b
B
A
Figura 6.15: Para las gráficas de la
Actividad 6.26.
� Ejemplo 6.12 La función f (x) = x2/3 es cóncava hacia abajo en el intervalo (−∞, 0) y en el
intervalo (0,+∞) porque, recordando el Ejemplo 6.10 podemos calcular
f ′′(x) = 23 .
(
− 13
)
x−4/3 = − 29
1
3√x4
para x , 0.
Por lo tanto, f ′′(x) < 0 para todo x > 0 y para todo x < 0.
�
Actividad 6.27 Estudien los intervalos de concavidad de las funciones f (x) y g(x) de los
Ejemplos 6.8 y 6.9.
�
Actividad 6.28 En la Figura 6.16 se presenta la gráfica de una función g.
a) ¿Están de acuerdo con afirmar que en el punto (1.3, 6) la gráfica de la función
presenta un cambio en su concavidad?
b) Indiquen los intervalos en los que la función graficada es cóncava hacia abajo y los
intervalos en los que es cóncava hacia arriba.
c) ¿En qué otros puntos (x, g(x)) la función presenta un cambio en su concavidad?
�
eje x
eje y
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 6.16: Gráfica de la función g.
6.6 Estudio de valores máximos y mínimos locales 19
En (1.3, 6) y (12, 2.9) la función g de la Actividad 6.28 presenta un cambio en la concavidad.
Por el contrario, en (16,−3.9) la función presenta la misma concavidad a su alrededor.
Definición 6.5.2 — Puntos de inflexión. Un punto P = (c, f (c)) en la gráfica de una función
f se dice punto de inflexión si la función f es continua en c y la función presenta allí un
cambio en la concavidad.
Diremos que los segmentos rectos de la gráfica de una función no tienen concavidad.
� Ejemplo 6.13 Habiendo estudiado los intervalos de concavidad de las funciones f (x) =
2x3 − 9x2 + 12x + 1 y g(x) = 4x2 +
1
x
en la Actividad 6.27 podemos afirmar que el
punto
(
3
2,
11
2
)
es el único punto de inflexión de la función f y que
(
−2−2/3, 0
)
es el
único punto de inflexión de g.
La función f (x) = x2/3 del Ejemplo 6.12 no tiene puntos de inflexión. �
Actividad 6.29 Determinen los puntos de inflexión de todas las funciones de la Activi-
dad 6.22.
�
6.6 Estudio de valores máximos y mínimos locales
El conocimiento que se obtenga del estudio del crecimiento y decrecimiento de una función,
o sobre su concavidad, nos permitirá en la mayoría de los casos determinar la presencia de
valores máximos o valores mínimos relativos.
Teorema 6.6.1 — Criterio de la derivada primera para valores máximos o mínimos relativos.
Dado c un valor crítico de una función f continua en c entonces:
• Si f ′ cambia de positva a negativa en c =⇒ f tiene un valor máximo relativo en c.
• Si f ′ cambia de negativa a positiva en c =⇒ f tiene un valor mínimo relativo en c.
• Si f ′ no cambia de signo en c =⇒ f no tiene un valor máximo relativo ni un mínimo
relativo en c.
x
y
c
Máximo relativo
x
y
c
Mínimo relativo
x
y
c
Ni máximo
ni mínimo
x
y
c
Ni máximo
ni mínimo
Teorema 6.6.2 — Crieterio de la derivada segunda para valores máximos o mínimos relativos.
Dado c un valor crítico de una función f con derivada segunda continua en c
• Si f ′′(c) < 0 =⇒ f tiene un valor máximo relativo en c.
• Si f ′′(c) > 0 =⇒ f tiene un valor mínimo relativo en c.
C El Teorema 6.6.2 no dice nada en el caso que f
′′(c) = 0. En estos casos, para determinar
la presencia de algún valor máximo o algún valor mínimo en c se debe recurrir al
Teorema 6.6.1.
Actividad 6.30 Determinen los valores máximos y mínimos relativos de las funciones de la
Actividad 6.22.
20 Capítulo 6. Funciones continuas
�
	6 Funciones continuas
	6.1.1 Identificando discontinuidades a partir de una ecuación
	6.2 Algunas propiedades de las funciones continuas
	6.3 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
	6.4 Intervalos de crecimiento y decremiento
	6.5 Derivada segunda
	6.5.1 La aceleración de un objeto en movimiento
	6.5.2 Concavidad en la gráfica de una función
	6.6 Estudio de valores máximos y mínimos locales