Cálculo de una variable: continuidad y teoremas

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ESCUELA	SUPERIOR	POLITÉCNICA	DEL	LITORAL	
FACULTAD	DE	CIENCIAS	NATURALES	Y	MATEMÁTICAS	
CÁLCULO	DE	UNA	VARIABLE	
DEBER	4	–	CONTINUIDAD	
	
1.16		ANÀLISIS	DE	LA	CONTINUIDAD	DE	FUNCIONES	
	
1) Determine,	de	ser	posible,	los	valores	de	𝑎	𝜖	ℝ	y	𝑏	𝜖	ℝ	para	que	la	siguiente	función:	
	
𝑓 𝑥 =
2𝑥 − 𝑎			; 			𝑥 ≤ −2
3𝑥. + 2𝑏						; 	−2 < 𝑥 < 1
𝑒345 − 1
𝑥 − 1 		 ; 			𝑥 ≥ 1	
	
	
sea	continua	en	𝑥 = −2		y	en	𝑥 = 1.	
	
2) Determine,	de	ser	posible,	los	valores	numéricos	de	las	constantes	𝐴		𝑦		𝐵	para	que	la	
función	𝑓	sea	continua	∀𝑥𝜖ℝ.	
	
𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝐴𝑥
𝑥 			 ; 			𝑥 < 0
𝐴𝑥. + 𝐵𝑥 + 1						; 	0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝐵	𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑥
2 		 ; 			𝑥 > 2	
	
	
3) Analizar	la	continuidad	de	la	función	de	variable	real	𝒇:	
	
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 1
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) , 𝑥 ∈ (−𝜋, 𝜋)
	
	
4) Bosqueje	 en	un	plano	 cartesiano	 la	 gráfica	de	una	 función	de	 variable	 real	𝒇,	 que	
satisfaga	cada	una	de	las	siguientes	condiciones:	
	
• 𝑓	𝑒𝑠	𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎	𝑒𝑛	 −∞,−4 ∪ −4,0 ∪ 0,4 ∪ (4,+∞)	
• ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 < 𝑁 ⟹ 𝑓 𝑥 − 2 < 𝜀 	
• ∀𝑀 < 0, ∃𝛿 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 −𝛿 < 𝑥 + 4 < 0 ⟹ 𝑓 𝑥 < 𝑀 	
• ∀𝑀 < 0, ∃𝛿 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 0 < 𝑥 + 4 < 𝛿 ⟹ 𝑓(𝑥) < 𝑀 	
• ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 0 < 𝑥 < δ ⟹ 𝑓 𝑥 < 𝜀 	
• ∀𝑀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 −𝛿 < 𝑥 − 4 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝑀 	
• ∀𝑀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 0 < 𝑥 − 4 < δ ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝑀 	
• ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 > 𝑁 ⟹ 𝑓 𝑥 − 2 < 𝜀 	
• 𝑓 0 = 10	
	
	
	
	
	
5) Bosqueje	la	gráfica	de	una	función	𝒇	que	cumpla	las	siguientes	características:	
	
• 𝑓	𝑒𝑠	𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎	𝑒𝑛	 −∞,−2 ∪ −2, 1 ∪ (1,+∞)	
• ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 𝑥 < −𝑁 ⟹ 𝑓 𝑥 − 2 < 𝜀 	
• ∀𝑀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 0 < 𝑥 + 2 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 < −𝑀 	
• ∀𝑀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 0 < 𝑥 − 1 < 𝛿 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝑀 	
• ∀𝑀 > 0, ∃𝑁 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 𝑥 > 𝑁 ⟹ 𝑓 𝑥 < −𝑀 	
• ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 −𝛿 < 𝑥 + 2 < 0 ⟹ 𝑓 𝑥 + 2 < 𝜀 	
• ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0	𝑡𝑎𝑙	𝑞𝑢𝑒	∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 0 < 1 − 𝑥 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 2 < 𝜀 	
• 𝑓 −2 = 1, 𝑓 3 = 0	
	
6) Pruebe	que	𝒇	es	continua	si	y	sólo	si		lim
\→^
𝑓 𝑐 + ℎ = 𝑓 𝑐 .	
	
7) Califique	 como	 VERDADERA	 o	 FALSA	 la	 siguiente	 proposición.	 	 Si	 es	 VERDADERA	
demuéstrela	y	en	caso	de	ser	FALSA	proporcione	un	contraejemplo.	
	
"𝑆𝑖	𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑦 			𝑦			𝑓	𝑒𝑠	𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎	𝑒𝑛	𝑥 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠	𝑓	𝑒𝑠	𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎	𝑒𝑛	ℝ"	
	
8) Establezca	si	cada	proposición	es	VERDADERA	o	FALSA.	En	caso	de	ser	VERDADERA,	
demúestrela,	y	en	caso	de	ser	FALSA,	proporcione	un	contraejemplo:	
	
a) Si	 ( ) ( )lim lim
x a x a
f x f x f
− +→ →
= ⇒
	
es	continua	en	 x a= .	
b) 
 
f x( ) = x2
!
"
###
$
%
&&&
	es	continua	en	 3.2x = .	
c) Si	 f 	es	continua	en	el	intervalo	 a,b⎡⎣ ⎤⎦ ,	entonces	 f 	es	acotada	en	[ ],a b .	
d) Sea	 f 	 una	 función	 definida	 en	 el	 intervalo	 0,4⎡⎣ ⎤⎦ ,	 en	 donde	 f 0( ) = −2 	 y	
f 4( ) = 6 ,	 entonces	 existe	 al	 menos	 un	 valor	 c,	 tal	 que	 c∈ 0,4⎡⎣ ⎤⎦ 	 en	 donde	
f c( ) = 0 .	
e) Si	 f 	está	definida	en	[ ],a b 	y	 f a( ) ⋅ f b( ) < 0 ⇒ ∃c∈ a,b( ) ,	tal	que	 ( ) 0f c =
.	
f) Si	 f 	es	una	función	definida	en	el	intervalo	 a,b⎡⎣ ⎤⎦ 	y	 W 	es	un	número	entre	 f a( ) 	
y	 f b( ) ,	entonces	existe	al	menos	un	número	 c ∈ a,b⎡⎣ ⎤⎦ ,	tal	que	W = f c( ) .	
	
	 	
1.17		LÍMITE	DE	COMPOSICIÓN	DE	FUNCIONES	
	
Analizar	la	continuidad	de	la	función	 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ,	indicando	los	intervalos	de	continuidad,	
conociendo	que	 f 	y	 g 	son	funciones	de	ℝ	en	ℝ	tales	que:	
	
9) 𝑓 𝑥 = 𝜇 𝑥 					𝑦						𝑔 𝑥 = 𝑥 1 − 𝑥. 	
	
Analice	 la	 continuidad	 de	 las	 siguientes	 funciones	 compuestas,	 especificando	 los	
intervalos	de	continuidad.	 	Para	cada	caso	defina	previamente	 las	 funciones	originales	
que	son	parte	de	la	composición.	
	
10) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥. + 𝑐𝑜𝑠. 𝑥 ,	𝑥 ∈ ℝ	
	
11) 𝑓 𝑥 = 𝑒5	4	fgh 3 ,	𝑥 ∈ ℝ	
	
12) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛 𝑥. − 𝑥 ,	𝑥 ∈ ℝ	
	
13) 𝑓 𝑥 = 3	4	.
3i	4	.
,		𝑥 ∈ ℝ	
	
14) 𝑓 𝑥 = 3	jkf(3)
3i	l	5
,		𝑥 ∈ ℝ	
	
15) 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛 m3
.
,		𝑥 ∈ −4, 4 	
	
	
16) Califique	 como	 VERDADERA	 o	 FALSA	 la	 siguiente	 proposición.	 Si	 es	 VERDADERA	
demuéstrela	y	en	caso	de	ser	FALSA	proporcione	un	contraejemplo.	
	
"𝑆𝑖	 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 	𝑒𝑠	𝑢𝑛𝑎	𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛	𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎	𝑒𝑛	𝑥 = 𝑐,	
	𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠	𝑓(𝑥)	𝑦	𝑔(𝑥)	𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛	𝑠𝑜𝑛	𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑠	𝑒𝑛	𝑥 = 𝑐. "	
	
	
17) Se	conoce	que:	
	
lim
3	→	p
	𝑓 𝑥 = 3								 ∧ 								 lim
3	→	p
	𝑔 𝑥 = −2	
	
Dado	que	𝑔	es	continua	en	𝑥 = 3,	determine	el	valor	de:	
	
a) lim
3	→	p
	𝑔 𝑥 3
i	4	r
3	4	p
	
b) lim
3	→	p
	𝑔 𝑓 𝑥 	
c) lim
3	→	p
	 s 3 	4	s p
t 3
	
	
	 	
1.18		TEOREMAS	DE	VALOR	INTERMEDIO,	BOLZANO	Y	WEIRSTRASS.	
	
18) Utilice	el	teorema	del	valor	intermedio	para	demostrar	que	la	ecuación	 3 3 1 0x x− + = 	
tiene	una	solución	real	en	[ ]0,1 .	
	
19) La	ecuación	𝑥u + 8𝑥 = 2𝑥w + 	6𝑥.	tiene	soluciones	en	el	intervalo	 𝑛, 𝑛 + 1 		y	en	el	
intervalo	 𝑚,𝑚 + 1 .	 Justificando	su	respuesta,	defina	una	función	de	variable	real	
basada	en	esta	ecuación	y	determine	cuáles	son	estos	valores	enteros	positivos	𝑛	y	
𝑚.	
	
20) Si	el	peso	de	un	niño	al	nacer	es	de	8	libras	y	después	de	un	año	el	mismo	niño	tiene	
un	peso	de	16	 libras,	demuestre,	empleando	el	 teorema	del	valor	 intermedio	para	
funciones	continuas,	que	en	algún	instante	de	tiempo	el	niño	alcanzó	un	peso	de	11	
libras.	
	
	
21) Suponga	que	una	 función	𝒇	 es	 continua	en	el	 intervalo	 cerrado	 𝟎, 𝟏 	 ,	 y	que	𝟎 ≤
𝒇(𝒙) ≤ 𝟏	para	toda	𝒙	𝐞𝐧	 𝟎, 𝟏 .		Demuestre	que	debe	existir	un	número	c	en		 𝟎, 𝟏 	
tal	que	𝒇 𝒄 = 𝒄.	
	
22) Aplique	 el	 teorema	 del	 valor	 intermedio	 para	 demostrar	 que	 la	 ecuación	
 x2 +5x + 6 = 0 	 tiene	una	solución	real	entre	
 
− 7
2
	y	 −
5
2
.	Grafique	 la	situación	en	el	
plano	cartesiano.	
	
	
Califique	 como	 VERDADERA	 o	 FALSA	 las	 siguientes	 proposiciones.	 Si	 es	 VERDADERA	
demuéstrela	y	en	caso	de	ser	FALSA	proporcione	un	contraejemplo.		
	
23) Si		𝑓		es	una	función	definida	en	el	intervalo	 𝑎, 𝑏 		y		𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) > 0	,		entonces	se	
cumple	que		∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 	tal	que	𝑓 𝑐 = 0.	
	
24) Si	𝑓	es	una	función	definida	en	el	intervalo	 𝑎, 𝑏 	y	𝑊	es	un	número	entre		𝑓(𝑎)	 	y		
𝑓(𝑏)	,	entonces		∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 	tal	que	𝑊 = 𝑓(𝑐).	
	
	
25) Enuncie	y	demuestre	el	teorema	de	Weirstrass.