Apunte TCalor Afissore

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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 1
APUNTES DEL CURSO TRANSFERENCIA DE CALOR 
 
REVISION 2006 
 
NOMENCLATURA 
 
A Superficie [m2] 
Cp Calor específico [J/kg K] 
g Energía entregada por unidad de 
volumen y tiempo [W/m3] 
g aceleración de gravedad [m/s2] 
h Coeficiente de transferencia de calor 
por convección [W/m2K] 
k Conductividad térmica [W/m K] 
L Longitud característica [m] 
P Presión [Pa] 
P Perímetro [m] 
Q Calor transferido [W] 
q Flujo de calor por unidad de superficie 
[W/m2] 
r Radio [m] 
R Resistencia térmica 
T Temperatura [K] 
t tiempo [s] 
Te Temperatura de entrada a la zona 
considerada [K] 
Tr Temperatura de referencia [K] 
Ts Temperatura de salida de la zona 
considerada [K] 
Tw Temperatura de la pared [K] 
Tf Temperatura del fluido no perturbado 
[K] 
U Coeficiente global de transferencia de 
calor 
V Velocidad [m/s] 
Vf Velocidad del fluido no perturbado 
[m/s] 
 
 
Letras griegas 
 
α Difusividad térmica [m2/s] 
β Coef. de expansión térmica [1/k] 
eraturas [K] 
Viscosidad cinemática [m2/s] 
úmeros adimensionales 
 
Biot 
Fourier 
µ Viscosidad dinámica [kg/m s] 
θ Diferencia de temp
ρ Densidad [kg/m3] 
ν 
 
N
Bi
hsL
=
 
 
Grashof 
 
Nusselt 
 
Prandt 
 
Reynolds 
 
k
Fo
t
L
=
α
2
Gr
g L
=
βθ
ν
3
2
Nu
hL
k
=
Pr =
µC
k
p
Re =
uL
ν
 
Departamento de Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción 
Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 2
1.- INTRODUCCIÓN 
 
Mecanismos de transferencia de calor: Convección, conducción, radiación 
 
T1 T2
Q
e
CONDUCCION 
x
T
∂
∂
kq −=& 
Para régimen permanente, conducción unidimensional, material homogéneo e 
isotópico: 
CDR
TT
ke
T
e
T 2112
/
-T-- 2 ==
T
kq 1=& 
e1 e2 e3 e4
k1
k2
k3
k4
T1 T2
 
Para un material con múltiples capas se tiene 
∑
=
+++ CDR
TT
kekekek
T 21
4433221
1
///
-T- 2=
e
q
1 /
& AqQ && =
wc TThq -=&
 [W/m2] ; [W] 
 
CONVECCION 
( )f 
El cálculo de hc es muy complejo y en la gran mayoría de los casos no 
tiene solución teórica. Por lo tanto, generalmente se resuelve en forma 
empírica. 
 
Existe convección natural y convección forzada. En la convección 
natural el movimiento de las partículas se produce debido a la 
diferencia de temperaturas entre la superficie en cuestión y el fluido 
cercano a esta superficie. 
V
T
Tf
Ts
 
X
L
 
EFECTO COMBINADO CONDUCCION – CONVECCION 
 
T2 T3
Q
e
T1
T421
41
2
41
/1/ CVCDCV RRR
TT
hcke
TT
++
=
++ ∑
--
1/1 hc
q =& 
 
Donde T1 y T4 son las temperaturas del fluido que rodea el sólido. y 
 son las resistencias a la transferencia de calor por convección a 
ambos lados del sólido. 
1CVR
2CVR
 
RADIACION 
 
Se produce a través de ondas electromagnéticas. No necesita ningún medio para transferirse. 
Cumple con todas las leyes de las ondas. 
 
Calor por radiación emitido por un cuerpo (ley de Stefan Boltzmann) 
 
Calor emitido por cuerpo negro: 4Tq σ=&
σ : constante de Stefan Boltzmann. ( [W/m810×675= -.σ 2K4]) 
 
Calor emitido por cuerpo gris (sólo lo que emite. No incluye lo que recibe). 4Tq σε=&
Donde ε :emisividad promedio de un cuerpo gris. En el resto del apunte, la emisividad promedio 
solo se designará como ε, sin la barra de promedio. 
 
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I"
ID
IJ
IRadiación incidente en una superficie 
 
I: radiación incidente. ρ: coeficiente de reflexión, α:coeficiente de absorción y τ
coeficiente de transmisión. 
: 
 
 
Transferencia de calor por radiación entre 2 superficies 
 
1
2
Por ahora se ven 2 casos especiales: 
Caso1. 2 placas planas paralelas infinitas. 
( )
1/1/ 21
4
2
4
1
-
-
εε
σ
+
TT
121
=−q
21q =−
 
 
Caso 2. Dos superficies. Superficie 2 rodea completamente a la superficie 1. 
Además A2>>A1
)( 42
4
11 TT -σε 
Linearización de la radiación para Dt pequeño ( DT = 80 K, da aprox 1% de 
error) 
( )2121 TThq r -=− , donde h 134 σεmr T=
 
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR ( U ) 
 
Válido para conducción unidimensional en régimen permanente para 
un sólido homogéneo e isotópico, donde la temperatura de las 
superficies que rodean el sólido considerado son iguales a la 
temperatura del fluido. Además, se debe cumplir que el DT (entre el 
sólido y Ts1 o Ts2) sea pequeño para poder linearizar la radiación. 
A1A2
Ta1
Ts1
Ta2
Ts2
q
Ta1=Ts1 Ta2=Ts2
( )21a aTTUA
Q
q -==
&
& 
∑
=
R
U
1
 
∑∑ ++=
21
11
SS hk
e
h
R 
Donde hs es el coeficiente superficial de transferencia de calor. 
rcs hhh += 
 
 
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2.- TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN 
 
2.1 Ecuación general de Fourier 
 
Restricción 1 : material isotópico 
x
T
kq
∂
∂
= -& [W/m2] 
 
Si se proyecta en coordenadas cartesianas se tiene: 
x
T
kqx ∂
∂
= -& , 
y
T
kqy ∂
∂
= -& , 
z
T
kqz ∂
∂
= -& 
 
&Qx
&Qx dx+
&Qy
&Qy dy+
&Qz
&Qz dz+∆x
∆y
∆ z
2.2. Ecuación diferencial de la conducción del calor 
 
Se considera un volumen infinitesimal 
 
Aplicando una expansión en serie de Taylor se tiene: 
 
x
x
Qx ∆
∂
∂
+
&
QQ xdxx =+
& 
 
Luego, el flujo de calor por conducción en la dirección x es: 
V
x
T
k
x
zyxxxQQQQ xxdxxx ∆⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=∆∆∆
∂
∂
=∆
∂
∂
=∆
∂
∂
=+ -x
q
-
x
Q
-
x
Q
--- xxx
&&&&&&& 
 
 
Análogamente para las direcciones y , z se tienen: 
Flujo neto en y: V
y
T
k
y
∆⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ - 
Flujo neto en z: V
z
T
k
z
∆⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ - 
 
Aplicando la ley de conservación de la energía del elemento de volumen se tiene: 
 
(Flujo de calor que 
atraviesa la frontera 
del volumen ) 
+ 
(calor generado 
internamente ) 
= 
( Variación de la energía 
almacenada en el 
volumen ) 
 
Si es la generación de calor interna por unidad de volumen, la generación de energía en el 
volumen se expresa por: 
g&
Vg∆&
 
La variación de energía interna se expresa por: Tmcu p∆=∆
La velocidad de variación de la energía interna es : 
τ
ρ
τ d
dT
Vc
d
dT
mcu pp ∆==∆ & 
 
Luego, la ecuación de conservación de la energía queda: 
 
τ
ρ
d
dT
cg
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x p
=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ & 
 
Restricción 2: k constante 
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τ
ρ
d
dT
cg
z
T
y
T
x
T
k p=+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
2
2
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 
 
τ
ρ
d
dT
cgTk p=+
2∇ 
 
Z rθ
 
Laplaciano en coordenadas cilíndricas 
 
2
22
22
11
z
TT
rr
T
r
T
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+++
φ
2
2
r
T
∂
∂∇ = 
 
 
ϕ
r
ψ
Laplaciano en coordenadas esféricas 
 
( )
2
2
2222 sin
1
)(sin
sin
1
φψψ
ψ
ψ ∂
∂
∂
∂
∂
∂ T
r
T
rr
rT
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
2
2 1
∂
∂∇
r
T = 
 
 
2.3.- Solución en coordenadas cartesianas, unidimensional, sin fuentes de energía 
interna y en régimen permanente (PLACA PLANA). 
0
2
2
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
x
T
∂
∂
CCT 1 T1 T2
X
Sólido
e 
Solución ecuación diferencial 
 +=
=
x2
 
Condiciones de borde: 
• X=0 , T=T1 
• X=e , T=T2 
 
011 += CT , luego: C 11 T
eCTT 212 += , luego e
TT
C 122
−
=
Finalmente, la ecuación para la temperatura dentro del sólido se expresa como: 
( )
e
x
TTTT 121 -+= 
Ecuación de una línea recta en las coordenadas T,x 
 
Aplicando la ecuación de Fourier, 
dx
dT
kq
x
T
kqx -∂
∂- === && 
De la ecuación para T se calcula 
e
TT
dx
dT 12 -= , Luego 
( ) ( )2112 TTe
k
TT
e
k
q --- ==& 
Resistencia de contacto 
 
Se produce debido al contacto “imperfecto” entre 2 materiales. 
 
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Si TA y TB son las temperaturas justo antes y después de 
la unión, la expresión para calcular la resistencia de 
contacto es: 
q
TT
R BAcont &
-
= , 
 
donde q es el calor que atraviesa la zona de contacto. 
 
Ejemplo de valores de resistencia de contacto. 
Interfase al vacío 
Tipo de material Presión [kN/m2] Rcont x 104 [m2/K/W] 
100 6 a 25 Acero Inoxidable 
10000 0.7 a 4 
100 1 a 10 Cobre 
10000 0.1 a 0.5 
100 1.5 a 5 Aluminio 
10000 0.2 a 0.4 
Fluido en interfase 
Material Fluido Rcont x 104 [m2/K/W] 
Aluminio 
 Aire 2.75 
 Helio 1.05 
 Glicerina 0.265 
 
 
2.4.- Solución en coordenadas cilíndricas, unidimensional, sin fuentes de energía 
interna y en régimen permanente (PLACA PLANA). 
 
02 =T∇ 
0
11
2
22
22
2
2 =+++=
z
TT
rr
T
rr
T
T
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∇
φ
 
r2
r1
T1 T2
A B
TA
TB
 
Para las condiciones del problema: 
0
1
2
2
=+
r
T
rr
T
∂
∂
∂
∂
 
0=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dr
dT
r
dr
d
 
La solución de la ecuación es: 
1Cdr
dT
r = 
r
C
dr
dT 1=
1 ln rCT
 
 += 2C
Condiciones de borde: 
• En r=r1 T=T1 
• En r=r2 T=T2 
Aplicando las condiciones de borde: 
• 2111 += CrCT ln
• 2212 += CrCT ln
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: 
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( ) ( )[ ]121
21
1 /ln/ln
rr
rr
TT
TT
-
+= 
Cálculo del flujo de calor 
dr
dT
kq -=& 
( )21
211
/ln rrr
TT
r
C
dr
dT -
== 
( )
( )12
21
/ln rr
TT
r
k
q
-
=& 
 
Cilindro de n capas con convección interior y convección + radiación exterior 
 
Se define un área de referencia para el calculo de . q&
Sea , donde rLrπA refref 2= ref es el radio del área de referencia y L la longitud. 
El cálculo del flujo de calor en este caso queda: 
 
∑
-
R
TT
A
Q
q fefi
ref
==
&
& 
sen
ref
n
n
n
refrefref
ci
ref
hr
r
r
r
k
r
r
r
k
r
r
r
k
r
hr
r
R
1
ln.....lnln
1
1
1
2
3
21
2
11 +
+ +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=∑ 
 
Donde n es el número de capas, Tfi es la temperatura del fluido al interior e la cañería y Tfe la 
temperatura del fluido al exterior de la cañería. 
 
Notar que por el interior sólo se usa el coeficiente convectivo (no el superficial) ya que se supone 
que no hay radiación interior, debido principalmente a que no hay diferencias de temperaturas. 
Por el exterior se debe usar hse, que es el coeficiente superficial, donde se incluye tanto la 
convección como la radiación. 
 
Solución para una esfera hueca 
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
rrk
TT
Q ss
11
4
1
1
21
-
-
π
& 
 
Superficies extendidas (ALETAS) 
 
Q1
Q2
e
l
Q3
A
X
En la figura Q 321 QQ &&& +=
Se desprecia la diferencia de temperatura en la 
dirección perpendicular a la aleta. Con esto, la ecuación 
de la conducción se escribe como: 
 
xdx
dT
kAQ -=1& 
)(
2
2
xxdxx
dx
dx
Td
dx
dT
kA
dx
dT
kAQ +−=−=
+
& 
 ( )TfTPdxhQ s -=3&
 
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Donde hs es el coeficiente de transferencia de calor superficial P el perímetro de la sección de la 
eemplazando en la ecuación del balance de calor se tiene: 
aleta y Tf la temperatura del fluido alrededor de la aleta. 
 
R
( ) 0
2
2
sPhTd =fx TTkAdx
-- 
Sea fx TT −=θ , entonces se tiene que 
θθ 2
2
2d
m
dx
= , donde 
kA
Ph
m s= 
La solución general de esta ecuación diferencial es: 
 
Donde A y B son las constantes. 
ara resolver se supone que extremo esta aislado. 
mx BeAe +=θ mx
 
P
En 0=x , 0θθ = 
En Lx = , 0=
dx
dθ
 
Resolviendo se obtiene: 
( )[ ]
mL
xLm
e
e
e
e
mL
mx
mL
mx
cosh
cosh
11 220
-
-
-
=
+
+
+
=
θ
θ
 
 
l calor disipado se obtiene como el calor que pasa a través de la base E
0=
−=
xdx
dT
kAQ& 
Derivando se obtiene: 
( )mLtghPkAh
ee
mkAQ smLmL 0220 )1
1
1
1
( θθ =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
= -- -
& 
 
l rendimiento de la aleta se define como el calor liberado por la aleta, dividido por el máximo E
calor que es posible disipar por la aleta, es decir si toda la aleta estuviera a la temperatura de la 
base. 
( ) ( )
mL
mLtgh
PLh
mLtghPkAh
s
s ==
0
0
θ
θ
η 
 
n la literatura se pueden encontrar otras soluciones para diferentes condiciones de borde. Por 
ambién, se pueden encontrar diferentes soluciones para diferentes formas de aletas. Algunas 
E
ejemplo, cuando el extremo de la aleta pierde calor por convección, la solución es mucho más 
compleja, sin embargo, si se calcula con la fórmula de la aleta aislada y se suma e/2 al largo de la 
aleta, las diferencias son despreciables (en general menores a 0.1%). 
 
T
soluciones son teóricas y otras gráficas. A continuación se muestran algunos resultados. 
 
 
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Eficiencia de una aleta anular con perfil rectangular 
 
Eficiencia de una aleta recta con perfiles rectangular, triangular y parabólico 
 
 
2.4.- REGIMEN TRANSIENTE 
 
Sin fuentes de calor interno 
τα ∂
∂
=∇
T
T
12 
Donde 
ρ
α
pc
k
= 
 
2.4.1.- Régimen transiente con resistencia interna despreciable 
 
El problema a resolver es un sólido, que se encuentra inicialmente a una temperatura homogénea, 
se sumerge repentinamente en un fluido a una temperatura diferente. Se supondrá además que el 
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volumen de fluido es suficientemente grande para que la temperatura del fluido permanezca 
constante en el tiempo. Se desea calcular la variación de temperatura del cuerpo en el tiempo. 
 
Numero de Biot 
extR
R
Bi int= 
Rint : resistencia interna de un sólido (por conducción) k
L
R =int 
L: longitud característica. 
Area
Volumen
L = 
Rext: resistencia externa (por convección) 
s
ext h
R
1
= 
Luego,
k
Lh
Bi = 
Si Bi es pequeño se puede despreciar la resistencia interna del sólido. Por lo tanto se tendrá una 
sola temperatura en todo el sólido. 
 Q
Tf
T
Considérese el balance térmico de un sólido donde Bi es muy pequeño. La 
temperatura del cuerpo queda definida solo con una temperatura T. Si se 
hace un balance térmico considerando un volumen de control igual a la 
superficie exterior del cuerpo se tiene: 
( ) V
d
dT
cp τ
ρ-=TThA f- 
El signo menos de la variación de la energía interna es por que se supone que se enfría. 
Reordenando la ecuación anterior se tiene: 
τ
ρ
d
Vc
hA
TT
dT
pf
=
−
 
Integrando se obtiene: 
T
Tf
TT
0
)ln( − =-
τ
τ
τ
ρ
0=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Vc
hA
p
 
Evaluando en los límites de integración se tiene: 
τ
ρ Vc
hA
f
f pe
TT
TT -
-
-
=
0
 
Se define el número de Fourier como: 
2L
Fo
ατ
= 
El producto BiFo se escribe como: τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
ατ
Vc
hA
Lc
h
Lc
k
k
hL
Lk
hL
BiFo 
ppp
====
22
f ∆=-
Además, se define: 
TTT f ∆=- y T , con esto la ecuación es puede escribir como: 00 TT
BiFoe
T
T -=
∆
∆
0
 
τ = 0
τ = ∞
T0
T∞
 
2.4.2.- Régimen transiente con resistencia interna no despreciable. 
 
El problema a resolver es similar al del caso anterior, sólo que ahora la 
resistencia interna no es despreciable, por lo que se obtiene una distribución 
de temperaturas en el interior del sólido. Consideremos el caso de una placa 
plana que se sumerge en el sólido y que se desprecian los efectos de los 
bordes. 
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Se consideran las siguientes restricciones: 
• Material isotópico,• K constante, 
• Sin fuentes de energía interna y 
• Unidimensional. 
Con esto, la ecuación 
τα ∂
∂∇ T
k
g
T
12 =+
&
, se transforma en:
τ
α
∂
∂
∂
∂ T
x
T
=
2
2
 
Haciendo un cambio de variables. Se reemplaza T por θ . Donde , con TfTTθ -= f constante se 
tiene: 
τ
θθα
∂
∂
∂
∂
=
2
2
x
 
La solución general de la ecuación es: 
( ) ( ) ( )( )mxBmxAex m sincos, 2 += αττθ 
 
Donde m es el parámetro del método de separación de variables utilizado para resolver la 
ecuación diferencial. 
 
Las condiciones de borde son: 
1. En , 0=x 0=
x∂
∂θ
 
2. En , Lx = θθ h
x
k =
∂
∂
 
Las anteriores son válidas para cualquier tiempo τ 
 
3. En 0=τ , 0θθ = 
 
La conducción de borde 2 indica que en el borde de la placa, el calor por conducción es igual al 
calor por convección (mas radiación evidentemente si es el caso ) 
 
Usando la condición de borde 1 se llega a B=0, luego: 
( ) ( )( )mxAex m cos, 2αττθ -= 
 
Usando la segunda condición de borde se tiene que la solución corresponde a la sumatoria de 
infinitas soluciones. Esto es: 
( ) ( )( )∑ −=
mi
ii
mi xmAex cos,
2τατθ 
Usando la tercera condición de borde se tiene que: 
∑= )cos(0 xmA iiθ 
De la teoría de las funciones ortogonales se tiene: 
)cos()sin(
)sin(2 0
LmLmLm
Lm
A
iii
i
i +
=
θ
 
Con esto, se tiene finalmente la distribución de temperaturas en la placa. 
∑
∞
=
−
+
=
10 )sin(
)cos()sin(
2
2
i ii
iimi
LmLm
xmLm
e τα
θ
θ
 
 
Cálculo del calor transferido 
∫ ∂
∂τ τ
0
d
x
T
kq
Lx =
−=& 
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 12
 
Trabajando las expresiones matemáticamente se obtiene: 
( )
( ) ( )∑
∞
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
=
1
2 2
1
cossin
sin1
2
i
mi
iii
i
o
e
LmLmLm
Lm
mLQ
Q ατ 
 
Donde Qo es el calor máximo que puede liberar al enfriarse completamente. Es decir: 
00 = θcρVQ p 
 
Soluciones gráficas 
 
Las ecuaciones anteriores normalmente se trabajan en base a gráficos, debido a la complejidad de 
las ecuaciones resultantes. También se realiza un procedimiento similar para las ecuaciones en 
coordenadas esféricas y cilíndricas para obtener también soluciones gráficas en cilindro y esfera. 
Estas soluciones son: 
 
 
Solución gráfica pare el enfriamiento en la placa plana 
 
La nomenclatura utilizada en el gráfico anterior y en los dos siguientes es: 
1
2
TT
TT
Y
c
c
−
−
= , donde Tc es la temperatura del fluido en que se sumerge el sólido, T1 la temperatura 
inicial del material (que se supone homogénea) y T2 la temperatura final del sólido en el centro. 
 
La variable identificada por m, se define como : 
Bihr
k
m
m
1
== 
 
 
 
 
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 13
 
 
 
 
 
Solución gráfica para el enfriamiento de un cilindro 
 
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 14
 
 
 
Solución gráfica para el enfriamiento de una esfera 
 
 
 
 
2.5.- SOLUCIONES NUMERICAS EN CONDUCCION DE CALOR 
 
Método de Relajación 
 
 
2.5.1.- Régimen permanente 
 
Se usa el método de transformación de ecuaciones en diferencias finitas. 
• Se supone que todas las propiedades están concentradas en el punto central 
• Se calcula el calor transferido en cada una de las fronteras como si fuera flujo da calor 
unidimensional 
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 15
• Se obtiene un sistema de n ecuaciones con n incógnitas (temperaturas). 
• Conociendo el campo de temperaturas se calcula el flujo de calor mediante la ecuación de 
Fourier. 
x
T
kq
∆
∆
=& 
 
Resolución del sistema de ecuaciones 
• Para problemas 2D, se escriben las n ecuaciones de la forma que se detalla a continuación. 
Para 3D tiene una forma similar, considerando los 6 elementos vecinos al nodo en cuestión 
(no 4 como en 2D). 
nmnmnmnmnmnm RTTTTT ,,1,1,,1,1 4 =−+++ +−+− 
Los elementos del borde tienen otra formulación de acuerdo a las condiciones de borde 
especificas. Estas se deben obtener del balance térmico del elemento de volumen 
• Suponer una distribución inicial de temperaturas. Arbitraria pero con criterio. 
• Se calculan los residuos nmR ,
• Se corrige cada una de las temperaturas mediante 
JRTT nmnmcorregidonm /,,,, += 
Donde J es el numero de variables de la ecuación. Por ejemplo, para la ecuación del nodo escrita 
mas arriba, j=4, que corresponde a las temperatura de cada uno de los nodos que rodea el nodo 
en cuestión. 
• Se reemplaza por y se recalculan los nuevos residuos. nmT , corregidonmT ,,
• Se continúa iterando hasta que los residuos sean inferiores a un cierto valor 
predeterminado . εR nm <,
 
Ejemplo de expresiones para distintos tipos de nodos 
 
Nodo interno 
1
2
3
4
5
∆x
∆x
∆y 1
2
3
4
5
 
TUAQ ∆=−21
&
kkeRU
 
yke ∆= /=== ///1/1
xzA ∆=
 
 
( )1221 TTxzy
k
Q −∆
∆
=−
& 
Análogamente, 
( )1331 TTyzx
k
Q −∆
∆
=−
& ; ( )1441 TTxzy
k
Q ; −∆
∆
=−
& ( )1551 TTyzx
k
Q −∆
∆
=−
&
 
Haciendo , se tiene: ∑ = 0Q&
( ) ( ) 022 153142 =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+
∆
∆
+−+
∆
∆
TTT
x
y
TTT
y
x
kz 
si se tiene: yx ∆=∆
04 15432 =−+++ TTTTT 
 
Nodo externo de convección 
1
2
3
4Tf
 
Se considera yx ∆=∆ 
( )12 TT −21 2
k
Q =−
& ; ( )13 TT −31 2
k
Q =−
& ; ( ) 14 TT −41 kQ =−&
( )1TTfy −1 hQ tf ∆=−& 
Haciendo , se tiene: ∑ = 0Q&
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 16
( ) 11432 422 TTfyhTTTT
k
−∆+−++ ( ) 
 
Estos son solo ejemplos de ecuaciones de nodos. Se puede tener una gran variedades de 
condiciones particulares y condiciones de borde que producen otras ecuaciones diferentes. 
 
RÉGIMEN TRANSIENTE 
 
En este caso: 
( )∑ ∆
−
≈
∂
∂
=
τ
ρ
τ
ρ TTcVTcVQ '& 
Por ejemplo, para un nodo interno de conducción en 2D se 
tiene: 
( )1221 TTyzx
k
Q −∆
∆
=− ; ( 1331 TTxzy
k
Q −∆
∆
=− ) ; 
( )1441 TTyzx
k
Q −∆
∆
=− ; ( )1551 TTxzy
k
Q −∆
∆
=−
Haciendo el balance se tiene: 
( )∑ ∆
−
∆∆=
τ
ρ 11' TTyzxcQ& 
1
2
3
4
5
∆ x
∆x
∆y 1
2
3
4
5
Si se tiene: yx ∆=∆
( )11
2
15432 4 TT
x
TTTTT −′
∆
∆
=−+++
τα
 
Se define 
τα∆
∆
≡
2xM . Reemplazando en la ecuación anterior y despejando se tiene: 
( ) 154321
4
1
1
T
M
TTTT
M
T ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −++++=′ 
Para que el método converja se tiene que cumplir que: 
 
0
4
1 ≥⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
M
, o en otras palabras que . 4≥M
 
Si esto no ocurre, se tendría un problema físico, debido a que si el termino que multiplica T1 es 
negativo, se tendría que mientras mayor sea T1, menor seria T1’, lo cual físicamente no es posible 
y matemáticamente el método diverge. 
 
En general, la condición de estabilidad es que el término que multiplica T1 sea positivo. Luego, 
dependiendo de las ecuaciones de los nodos específicas, se tendrán diferentes expresiones para la 
convergencia. En general se elige ajustar el paso de tiempo, de modo que el factor sea positivo y 
por lo tanto la solución converja. 
 
En general para un problema se pueden tener varias formas de ecuaciones y por lo tanto varias 
expresiones para determinar la convergencia. En este caso se debe seleccionar la mas restrictiva, 
es decir la que asegure la convergencia de todas las ecuaciones. 
 
Este método es un método explicito. Se debe partir de una condición inicial conocida para la 
temperatura de todos los nodos. Luego, se van calculando los diferentes T’ que corresponde a la 
temperatura del nodo, después de un paso de tiempo.
Departamento de Ingeniería Mecánica – Universidad de ConcepciónApuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 17
3.- TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION 
 
 
3.1.- CALCULO DEL CALOR POR CONVECCION EN REGIMEN PERMANENTE – 
CONSIDERACIONES GENERALES 
 
V=0
T - Ts
Velocidad
Ts
Too
V
En la pared el calor se transmite por conducción ya que V=0 
 
Luego: 
0=
⎥
⎦
⎤
y
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−=fluido y
T
kQ 
Para esto, se debe conocer el campo de temperaturas cerca de la 
placa. Utilizando la ecuación de la energía se obtiene: 
2
2
y
T
∂
∂
y
T
v
x
T
u =
∂
∂
+
∂
∂ α 
Esta ecuación también depende de u y v. Luego es necesario conocer también el campo de 
velocidades. 
 
Para calcular el flujo de calor por convección se debe resolver en forma simultanea: 
· Ecuación de continuidad 
· Ecuación de Navier-Stokes 
· Ecuación de la energía 
 
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA 
(sin fuerzas de cuerpo) 
 
Restricciones y simplificaciones: 
· Fluido incompresible 
· Régimen permanente 
· Propiedades del fluido independientes de la temperatura 
· Fluido Newtoniano 
· Cumple con la ley de Fourier (q=-k grad T) 
 
En dos dimensiones, el sistema queda: 
Continuidad : 0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
 
Momentum en x: ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu µρ 
Momentum en y : ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu µρ 
 
Ecuación de la energía : 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
222
2
2
2
2
22
y
u
x
v
y
v
x
uv
y
T
x
Tk
y
Tv
x
Tuc pρ 
 
donde: 
ν: viscosidad cinemática 
µ: viscosidad dinámica 
 
Sea U∞ : velocidad de referencia 
 T∞: temperatura de referencia (nivel de temperatura) 
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 ∆T: diferencia de temperatura de referencia 
 L: longitud característica. 
 
Se definen: 
 
L
xX = ; 
L
yY = ; 
∞
=
U
uU ; 
∞
=
U
vV ; 
T
TT
∆
∞−
=θ 
Si no hay ∆P característico: 
2
∞
=
U
pP
ρ
 
 
El término, representa la transformación de la energía cinética en energía de presión. 2∞Uρ
 
Se reemplazan las variables adimensionales en cada una de las ecuaciones indicadas 
anteriormente. 
Por ejemplo, la ecuación de continuidad 0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
 queda: 
( )
( )
( )
( ) 0=∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ ∞∞∞∞
Y
V
L
U
X
U
L
U
YL
VU
XL
UU
 
Luego, 0=
∂
∂
+
∂
∂
Y
V
X
U
 
La ecuación del momentum en x queda: 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂ ∞∞∞∞
∞
∞
∞ 2
2
22
2
2
2
Y
U
L
U
X
U
L
U
X
P
L
U
YL
UU
VU
XL
UU
UU µρρ 
Multiplicando ambos términos de la ecuación por 
2
∞U
L
ρ
 se tiene: 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∞
2
2
2
2
Y
U
X
U
LUX
P
Y
UV
X
UU
ρ
µ
 
Se define 
µ
ρ LU∞=Re , Luego: 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
Re
1
Y
U
X
U
X
P
Y
UV
X
UU 
Análogamente, para la ecuación del momentum en y se tiene: 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
Re
1
Y
V
X
V
Y
P
Y
VV
X
VU 
y finalmente la ecuación de la energía queda: 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ 222
2
2
2
2
22
RePrRe
1
Y
U
X
V
Y
V
X
UE
YXY
V
X
U θθθθ 
Donde: 
Tc
U
E
p∆
= ∞
2
 Número de Eckert 
 
 
k
c pµ=Pr Numero de Prandtl 
 
 
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 19
 
 
Solución teórica para flujo al interior de un cilindro en régimen laminar 
 
 
Solución de velocidades: ver curso de mecánica de fluidos 
 
La ecuación de la energía en coordenadas cilíndricas considerando las simplificaciones de la capa 
límite y despreciando los efectos viscosos: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
r
T
r
rrr
T
v
x
T
u
α
 
Reemplazando la solución de la capa límite dinámica en la ecuación de la energía y considerando q 
constante se obtiene: 
 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
0
1
21
r
r
dx
dTu
dr
dT
r
dr
d
r
mm
α
 
 
Um: velocidad media del fluido en la sección 
Tm: temperatura media del fluido en la sección 
 
El término ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
dx
dTu mm
α
2
 es una constante 
 
Separando variables e integrando 2 veces se tiene: 
 
( ) 212
42
ln
164
2
CrC
r
rr
dx
dTu
rT
o
mm ++
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
α
 
 
Para que sea finito C1=0 0=rT
De se obtiene: wrr TT == 0 ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=
16
32
2
0
2
r
dx
dTu
TC mms α
 
Combinando esta solución con la solución de la capa límite para las velocidades y considerando la 
definición de h se obtiene: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
D
k
h
11
48
 o 
36.4=≡
k
hD
NuD 
 
 
En forma similar, se obtiene la solución para Tw constante: 
66.3=DNu
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 20
3.3.- FORMULAS PARA EL CALCULO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION 
 
3.1.- CONVECCION FORZADA 
 V
T
Tf
Tw
 
X
L
 PLACA PLANA Tr = 0.5 (Tw + Tf) 
 L = largo de la placa 
 
 
 
REGIMEN LAMINAR 
Re < 5 x 105
REGIMEN TURBULENTO 
Re > 5 x 105
Nux = 0.332 Rex1/2 Pr1/3 Nux = 0.0288 Rex0.8 Pr1/3
NuL = 0.664 ReL1/2 Pr1/3 NuL = 0.036 Pr1/3 (ReL0.8-23200) * 
* Se ha considerado la parte laminar 
 
INTERIOR DE DUCTOS 
 
Longitud característica = Diámetro 
 
Te Ts
D
Tw
X L 
L=D 
Si el ducto no es de sección circular: 
( )
Perimetro
Area
L
4
= 
V: velocidad media del fluido 
Area
Q
V
&
= 
 
Te y Ts son las temperaturas promedio del fluido a la entrada y salida respectivamente, L la 
longitud del ducto y Q el flujo volumétrico. &
 
El subíndice r se refiere a las propiedades calculadas a la temperatura de referencia y el subíndice 
w a las calculadas a la temperatura de la pared. 
2
+
= ser
TT
T 
Régimen laminar ( ReD < 2300 ) 
PrRe10PrRe10 4 DD D
L
〈〈− 
 
14.0
3/2
PrRe0455.01
PrRe0668.0
65.3 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+=
W
r
D
L
D
L
D
Nu
µ
µ
 
 
Régimen turbulento 
2300<ReD<106 0.6<Pr<500 1<L/D<4 
( )
14.03/2
3/13/2 1Pr125Re116.0 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
W
r
D L
D
Nu
µ
µ
 
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 21
EXTERIOR DE DUCTOS 
 
Escurrimiento perpendicular al eje del tubo 
V
Te
Tw
Ts
 
 
0.1< Re < 106 0.5< Pr < 1000 
Longitud característica : diámetro (D) 
2
2
se
W
r
TT
T
T
+
+
= 
31.0PrRe11.1343.0 mDD CNu += 
 
SEC. ReD C m 
1 0.4 a 4 
4 a 40 
40 a 4000 
4000 a 40000 
40000 a 400000 
0.891 
0.821 
0.615 
0.174 
0.024 
0.330 
0.395 
0.466 
0.618 
0.805 
2 500 a 100000 0.092 0.675 
3 500 a 100000 0.222 0.588 
1
2
3
 
Escurrimiento no perpendicular 
V
 
 
( ) ( )90== φφ Fhh 
 
 
M 90 80 70 60 50 
 F 1.00 1.00 0.99 0.95 0.86 
 M 40 30 20 10 0 
 F 0.75 0.63 0.50 ** ** 
 
 ** Utilizar las fórmulas de la placa plana (1.1) con largo del ducto como longitud 
característica. 
 
 
EXTERIOR DE CUERPOS ESFERICOS 
 
2
fs
r
TT
T
+
= 
Si 20 < ReD < 150 y 0.5 < Pr < 500 
3/16.0 PrRe37.0 DDNu = 
Si 20 > ReD y 0.5 < Pr < 500 
3/16.0 PrRe37.02 DDNu += 
 
EXTERIOR DE UN BANCO DE TUBOS 
2000 < Re < 40000 0.5 < Pr < 500 
2
2/)(( sew
r
TTT
T
++
= 
D
S
a 1= 
D
S
b 2= 
Longitud característica : diámetrodel tubo 
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 22
 
31.0PrRemDD KNu = 
 
Esta ecuación es válida para n≥10 y a,b > 3; donde n es el número de capas. 
 
Tubos en línea 
b a = 1.25 A = 1.50 a = 2.00 a = 3.00 
 K m K m K m K m 
1.25 
1.50 
2.00 
3.00 
0.348 
0.367 
0.418 
0.290 
0.592 
0.586 
0.570 
0.601 
0.275 
0.250 
0.299 
0.357 
0.608 
0.620 
0.602 
0.584 
0.100 
0.101 
0.229 
0.374 
0.704 
0.702 
0.632 
0.581 
0.063 
0.068 
0.198 
0.286 
0.752 
0.744 
0.648 
0.608 
 
Tubos en alternados 
b a = 1.25 A = 1.50 a = 2.00 a = 3.00 
 K m K m K m K m 
0.60 
0.90 
1.00 
1.25 
1.50 
2.00 
3.00 
 
 
 
0.518 
0.451 
0.404 
0.310 
 
 
 
0.556 
0.568 
0.572 
0.592 
 
 
0.497 
0.505 
0.460 
0.416 
0.356 
 
 
0.558 
0.554 
0.562 
0.568 
0.580 
 
0.446 
 
0.519 
0.452 
0.482 
0.440 
 
0.571 
 
0.556 
0.568 
0.556 
0.562 
0.213 
0.401 
 
0.522 
0.488 
0.449 
0.421 
0.636 
0.581 
 
0.562 
0.568 
0.570 
0.574 
 
 
Tubos en línea Tubos alternados 
 
D
S2 S1
Ts
V Te
n=1
n=2
n=3
Tw
 
S2
S1
D
Ts
n=1
n=2
n=3
V Te
Tw
 
 
Si n=1 usar formulas para 1 tubo 
Si n=4 usar h(n=4) = 0.88 h(n=10) 
Si M<90 usar formulas de escurrimiento no perpendicular 
Si a y b > 3 usar NuD = 0.267 ReD 0.622 Pr 0.31
 
 
3.2.- CONVECCION NATURAL 
 
Hc
H
b
ESPESOR
CAPA LIMITE
 
PLACA PLANA 
2
fw TTTr
+
= 
rT para β= fT
 
Longitud característica : altura de la placa (H) 
 
 
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Placa vertical 
Gr Pr < 109
H<Hc 
 
2/14/1 PrCGrNuH = 
si Pr>0.5 
( ) 4/1Pr1.1
652.0
+
=C 
si Pr<0.5 
2/1Pr3.2
8.1
+
=C 
Donde: 
H : altura de la placa 
Hc : altura para la cual el escurrimiento se hace turbulento, es decir para GrPr=109. 
 
Régimen laminar. Placa inclinada pequeña 
)0()( == φφ Fhh 
O
Ts
 
φ de 0 a 40 50 60 70 80 90 
F 1.0 .99 .96 .92 .88 .83 
 
Placa plana vertical. Régimen turbulento 
Gr Pr > 109 o H > Hc 
( )[ ]*1 hHHHh
H
h ccc −+= 
Donde : 
hC: h calculado con la fórmula del régimen laminar para H=HC. 
HC: Altura critica de la placa; es decir altura para Gr Pr = 109. 
h*: h calculado con la formula :NuH* = 0.129 (Gr Pr)1/3 ; donde la longitud característica es la 
altura total de la placa (H). 
 
CILINDROS VERTICALES 
 
Régimen laminar 
H
D
 HPHC NuFNu *=
HCNu : Nusselt para el cilindro 
HPNu : Nusselt para la placa plana (2.1.1.1) 
 
Valores de F 
 NuHP 
H/D 4 10 30 50 100 
<2 
10 
50 
100 
250 
1.0 
2.8 
7.2 
12.0 
24.0 
1.0 
1.8 
4.0 
6.0 
12.5 
1.0 
1.3 
2.2 
3.2 
5.7 
1.0 
1.2 
1.8 
2.4 
4.0 
1.0 
1.1 
1.4 
1.8 
2.6 
 
Régimen turbulento 
 
Usar ecuaciones de la placa plana 
 
 
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 24
CILINDROS HORIZONTALES 
D
Tw
Tf
 
2
fw
r
TT
T
+
= , para rT fT=β 
 
Régimen laminar 
Si 94 10Pr10 << Gr
( ) 4/1Pr4.0 GrNuD = 
 
Si Gr Pr < 104 
NuD Gr Pr 
4.0 
2.0 
1.5 
1.0 
0.8 
0.6 
0.5 
10000 
100 
10 
1 
0.1 
0.01 
0.001 
 
Régimen turbulento 
Gr Pr > 109
( ) 3/1Pr129.0 GrNuD = 
 
ESPACIOS CERRADOS 
 
DEFINICIONES INICIALES 
102 < Gr Pr < 108
 
( ) 2321 −−= νβ STTgGr SS 
2
21 SS
r
TT
T
−
= 
( )
nGr
Grm
X
r
+
+=
Pr
Pr
1 
 
si , X=1 210Pr〈Gr
 
fluidoeq KXK *= 
 
Cálculo del flujo de calor. Placas paralelas 
 
Dimensión característica: S 
S
TT SS
eq
21 −Kq =& 
 
m=0.119
n=1.45x10
r=1.27
4
TS1
TS2
m=0.07
n=0.34x10
r=1.33
m=0.0236
n=1x10
r=1.39
m=0.043
n=0.41x10
r=1.36
m=0.025
n=1.3x10
r=1.36
4
4
4
4
Q
Q
Q
Q
45
45
S
TS1
TS2
 
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 25
Cálculo del flujo de calor. tubos concéntricos 
Dimensión característica: (DE-DI)/2 ( ) 2/IE DD − 
 
Di De
TS1
TS2
 
( )
I
E
SS
D
D
TT
ln
21 −eqlKq
2
=
π
& 
l : longitud de los tubos 
 
SUPERFICIES HORIZONTALES AISLADAS EN UNA DE SUS CARAS 
 
L = longitud característica 
 
l
l
D
L = l L = 0.9 D
 
 
 
 
 
 
Superficie que calienta el medio orientada hacia arriba o superficie que enfría el medio 
orientada hacia abajo. 
Laminar 
104 < Gr Pr < 108
( ) 4/1Pr56.0 GrNuL = 
 
Turbulento 
108 < Gr Pr < 1012
( ) 3/1Pr13.0 GrNuL = 
 
Superficie que calienta el medio orientada hacia abajo o superficie que enfría el medio 
orientada hacia arriba. 
 
105 < Gr Pr < 109
( ) 4/1Pr27.0 GrNuL = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 
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26
Propiedades de los Materiales 
Materiales Sólidos
Solidos Metalicos
Material T Punto de fusión
T maxima 
de servicio Densidad Cp k Alfa
[K] [K] [K] [kg/m3] [J/kgK] [W/mK] [m2/s]
Acero Puro 300 1810 7870 447 80.2 2.310E-05
Acero al carbon ordinario 300 7854 434 60.5 1.770E-05
Acero al Carbon-silicio 300 7817 446 51.9 1.490E-05
Acero - carbon - manganeso 300 8131 434 41 1.160E-05
Acero Inoxidable AISI 302 300 8055 480 15.1 3.910E-06
Acero Inoxidable AISI 304 300 1670 7900 477 14.9 3.950E-06
Acero Inoxidable AISI 316 300 8238 468 13.4 3.480E-06
Acero Inoxidable AISI 347 300 7978 480 14.2 3.710E-06
Aluminio puro 300 933 2702 903 237 9.710E-05
Aluminio 2024-T6 300 775 2770 875 177 7.300E-05
Aluminio 195 300 7870 883 168 6.820E-05
Berilio 300 1150 1850 1825 200 5.920E-05
Bismuto 300 545 9780 122 7.86 6.590E-06
Boro 300 2573 2500 1107 27 9.760E-06
Cinc 300 693 7140 389 116 4.180E-05
Circonio 300 2125 6570 278 22.7 1.240E-05
Cromo 300 2118 7160 449 93.7 2.910E-05
Cobalto 300 1769 8862 421 99.2 2.660E-05
Cobre puro 300 1358 8933 385 401 1.170E-04
Cobre comercial 293 8300 419 372 1.070E-04
Bronce comercial 300 1293 8800 420 52 1.400E-05
Bronce forforoso 300 1104 8780 355 54 1.700E-05
Constantan 300 1493 8920 384 23 6.710E-06
Estaño 300 505 7310 227 66.6 4.010E-05
Germanio 300 1211 5360 322 59.9 3.470E-05
Iridio 300 2720 22500 130 147 5.030E-05
Magnesio 300 923 1740 1024 156 8.760E-05
Molibdeno 300 2894 10240 251 138 5.370E-05
Niquel puro 300 1728 8900 444 90.7 2.300E-05
Oro 300 1336 19300 129 317 1.270E-04
Paladio 300 1827 12020 244 71.8 2.450E-05
Plata 300 1235 10500 235 429 1.740E-04
Platino puro 300 2045 21450 133 71.6 2.510E-05
Platino aleación 300 1800 16630 162 47 1.740E-05
Plomo 300 601 11340 129 35.3 2.410E-05
Silicio 300 1685 2330 712 148 8.920E-05
Tantalio 300 3269 16600 140 57.5 2.470E-05
Titanio 300 1953 4500 522 21.9 9.320E-06
Torio 300 2023 11700 118 54 3.910E-05
Tungsteno 300 3660 19300 132 174 6.830E-05
Uranio 300 1406 19070 116 27.6 1.250E-05
Vanadio 300 2192 6100 489 30.7 1.030E-05
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 
Departamento de Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción 
27Materiales Sólidos
Solidos No Metalicos
Material T Puno de fusión
T maxima 
de servicio Densidad Cp k Alfa*10
6
[K] [K] [K] [kg/m3] [J/kgK] [W/mK] [m2/s]
Azufre 300 392 2070 708 0.206 0.141
Bioxido de torio 300 3573 9110 235 13 6.1
Bioxido de titanio policristalin 300 2133 4157 710 8.4 2.8
Boro 300 2573 2500 1105 27.6 9.99
Carbon amorfo 300 1500 1950 1.6
Diamante tipo IIa aislante 300 3500 509 2300
Carburo de silicio 300 3100 3160 675 490 230
Oxido de aluminio zafiro 300 2323 3970 765 46 15.1
Oxido de aluminio policristal 300 2323 3970 765 36 11.9
Oxido de berilio 300 2725 3000 1030 272 88
Pirocerámica granulada 960 300 1623 2600 808 3.98 1.89
Nitruro de silicio 300 2173 2400 691 16 9.65
 
 
Materiales estructurales de construcción
MaterialT Punto de fusión
T maxima 
de servicio Densidad Cp k Alfa
[K] [K] [K] [kg/m3] [J/kgK] [W/mK] [m2/s]
Tablero de asbesto cemento 300 1920 0.58
Tablero de yeso carton 300 800 0.17
Madera contraplacada 300 545 1215 0.12 1.812E-07
Revestimiento densidad regular 300 290 1300 0.055 1.459E-07
Teja acustica 300 290 1340 0.058 1.493E-07
Madera prensada 300 64 1170 0.094 1.255E-06
Madera prensada alta densidad 300 1010 1380 0.15 1.076E-07
Tablero de particulas baja densidad 300 590 1300 0.078 1.017E-07
Tablero de particulas alta densidad 300 1000 1300 0.17 1.308E-07
Maderas duras 300 720 1255 0.16 1.771E-07
Maderas blandas 300 510 1380 0.12 1.705E-07
Mortero de cemento 300 1860 780 0.72 4.963E-07
Ladrillo común 300 1920 835 0.72 4.491E-07
Bloque de concreto nucleo oval, pesad 300 2083 1
Bloque de concreto nucleo oval, liviano 300 0.67
Bloque de concreto nucleo rectangular 300 1.1
Emplasto de cemento y arena agregad 300 1860 0.72
Revoque de yeso y arena agregada 300 1680 1085 0.22 1.207E-07
Revoque de yeso y vermiculita agregad 300 720 0.25
Concreto normal 293 2200 879 1.28 6.619E-07
Concreto poroso 293 1000 0.5
Ladrillo macizo 1000 293 1000 0.46
Ladrillo macizo 1200 293 1200 0.52
Ladrillo macizo 1400 293 1400 0.6
Ladrillo macizo 1800 293 1800 0.79
Ladrillo macizo 2000 293 2000 1
Muro de ladrillo 1200 293 1200 0.49
Muro de ladrillo 1600 293 1600 0.76
Muro de ladrillo 1800 293 1800 0.87
Muro de ladrillo 2000 293 2000 1.05
Enlucido de yeso 800 293 800 0.35
Enlucido de yeso 800 293 1000 0.44
Enlucido de yeso 800 293 1200 0.56
Enlucido de cemento 1600 293 1600 0.65
Enlucido de cemento 1600 293 1800 0.84
Enlucido de cemento 1600 293 2000 1.05
Enlucido de cemento 1600 293 2200 1.4
Fibro cemento 920 293 920 0.22
Fibro cemento 1135 293 1135 0.23
Planchas de yeso carton 650 293 650 0.24
Planchas de yeso carton 870 293 870 0.31
Ladrillo artesanal 293 1000 0.5
Moetero de cemento 293 2000 1.4
Hormigon armado 293 2400 1.63
Azulejos 1.05
Baldosas cerámicas 1.75
Alfombras 1000 0.05
Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 28
Materiales y sistemas de aislamineto
Material T Punto de fusión
T maxima 
de servicio Densidad Cp k Alfa
[K] [K] [K] [kg/m3] [J/kgK] [W/mK] [m2/s]
Cemento asilante de fibra mineral 310 1255 430 0.071
Aserrin de madera granulado 293 190 0.06
Cemento asilante de fibra mineral 310 922 560 0.108
Espuma rígida de poliuretano 300 70 1045 0.026 3.554E-07
Fibra de vidrio revestida de papel 300 16 0.046
Fibra de vidrio revestida de papel 300 28 0.038
Fibra de vidrio revestida de papel 300 40 0.035
Fibre de vidrio recubierta; forro de tubo 300 32 835 0.038 1.422E-06
Fieltro de union organica laminado 300 730 50 0.033
Fieltro sumergido 300 480 80 0.038
Goma espumada rígida 300 340 70 0.032
Lana de fibra mineral tablero rigido 300 265 0.049
Lana mineral colchoneta 32 293 32 0.05
Lana mineral colchoneta 39 293 39.4 0.048
Lana mineral colchoneta 48 293 48.4 0.042
Lana mineral colchoneta 72 293 71.6 0.039
Lana mineral colchoneta 88 293 88.1 0.038
Lana mineral colchoneta 114 293 114 0.04
Lana mineral colchoneta 123 293 123 0.041
Lana mineral granulada 20 293 20 0.069
Lana mineral granulada 30 293 30 0.06
Lana mineral granulada 60 293 60 0.048
Lana mineral granulada 100 293 100 0.041
Lana mineral granulada 120 293 120 0.042
Lana mineral granulada 140 293 140 0.042
Madera triturada encementada 300 350 1590 0.087 1.563E-07
Mantas de fibra de oxido de silicio 300 1530 48 0.017
Mantas de fibra de oxido de silicio 530 64 0.059
Mantas de fibra de oxido de silicio 530 96 0.052
Mantas de fibra de oxido de silicio 530 128 0.049
Mantas de fibra de vidrio 300 12 0.046
Mantas de fibra de vidrio 300 16 0.042
Mantas de fibra de vidrio 300 24 0.039
Mantas de fibra de vidrio 300 32 0.036
Mantas de fibra de vidrio 300 48 0.033
Oxido de mangnesio tablero rigido 310 590 185 0.051
Papel asbestino laminado 4 pliegues 300 420 190 0.078
Papel asbestino laminado 4 pliegues 300 420 255 0.071
Papel asbestino laminado 4 pliegues 300 420 300 0.068
Poliestireno expandido estirado 300 350 35 1210 0.029 6.848E-07
Poliestireno expandido estirado 300 350 55 1210 0.027 4.057E-07
Poliestireno expandido moldeado 12 293 350 12 1210 0.043 2.961E-06
Poliestireno expandido moldeado 15 293 350 15.3 1210 0.0413 2.231E-06
Poliestireno expandido moldeado 20 293 350 20.1 1210 0.0384 1.579E-06
Poliestireno expandido moldeado 22 293 350 21.8 1210 0.0372 1.410E-06
Poliestireno expandido moldeado 30 293 350 30.8 1210 0.0361 9.687E-07
Poliestireno expandido moldeado 37 293 350 37.1 1210 0.0361 8.042E-07
Poliestireno expandido moldeado 139 293 350 39 1210 0.0367 7.777E-07
Poliuretano expandido 24 293 24.2 0.0272
Poliuretano expandido 32 293 31.8 0.0265
Poliuretano expandido 40 293 40 0.025
Poliuretano expandido 60 293 58.8 0.0254
Poliuretano expandido 66 293 65.7 0.0274
Relleno suelto de celulosa, madera, pulpa o pa 300 45 0.039
Relleno suelto de corcho granulado 300 160 0.045
Relleno suelto de perlita expandida 300 105 0.053
Relleno suelto de vermiculita expandida AD 300 122 0.068
Relleno suelto de vermiculita expandida BD 300 80 0.063
Silicato de calcio tablero rígido 300 920 190 0.055
Tablero de corcho 300 120 1800 0.039 1.806E-07
Tablero de fibra de vidrio union orgánica 300 105 795 0.036 4.313E-07
Vidrio celular en tablero 300 700 145 1000 0.058 4.000E-07
Hormigon celular 293 305 0.0901
Lana de vidrio colchonetas 10 293 10 0.042
Lana de vidrio granulado 293 12.2 0.063
 
 
 
Departamento de Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción 
Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 29
Materiales Varios
Material T Punto de fusión
T maxima 
de servicio Densidad Cp k Alfa
[K] [K] [K] [kg/m3] [J/kgK] [W/mK] [m2/s]
Algodón 300 80 1300 0.06 5.769E-07
Arcilla 300 1460 880 1.3 1.012E-06
Arena 300 1515 800 0.27 2.228E-07
Asfalto 300 2115 920 0.062 3.186E-08
Asfalto 293 2120 920 0.7 3.589E-07
Aserrin en polvo 293 215 0.058
Baquelita 300 1300 1465 1.4 7.351E-07
Carbon (antracita) 300 1350 1260 0.26 1.529E-07
Carbon de piedra 293 1350 1260 0.26 1.529E-07
Carbon en polvo 303 730 1300 0.12 1.264E-07
Carne de pollo blanca 198 1.6
Carne de pollo blanca 253 1.35
Carne de pollo blanca 263 1.2
Carne de pollo blanca 273 0.476
Caucho vulcanizado blando 300 1100 2010 0.13 5.880E-08
Caucho vulcanizado duro 300 1190 0.16
Concreto (piedra mezclada) 300 2300 880 1.4 6.917E-07
Corcho 293 250 2030 0.051 1.005E-07
Cuero (suela) 300 998 0.159
Escoria de alto horno 293 1000 840 0.37 4.405E-07
Goma 293 1100 0.13
Hielo 253 253 1945 2.03
Hielo 273 273 920 2040 1.88 1.002E-06
Ladrillo de arcilla refractárea 478 2645 960 1 3.938E-07
Ladrillo de arcilla refractárea 922 2645 960 1.5 5.907E-07
Ladrillo de arcilla refractárea 1478 2645 960 1.8 7.089E-07
Ladrillo refractareo de magnesita 478 1130 3.8
Ladrillo refractareo de magnesita 922 1130 2.8
Ladrillo refractareo de magnesita 1478 1130 1.9
Ladrillo refractareo diatomaceo 1145 0.03
Ladrillo refractario carborundo 872 18.5
Ladrillo refractario carborundo 1672 11
Ladrillo refractario de arcilla 1600 773 2050 960 1 5.081E-07
Ladrillo refractario de arcilla 1600 1073 2050 960 1.1 5.589E-07
Ladrillo refractario de arcilla 1600 1373 2050 960 1.1 5.589E-07
Ladrillo refractario de arcilla 1725 773 2325 960 1.3 5.824E-07
Ladrillo refractario de arcilla 1725 1073 2325 960 1.4 6.272E-07
Ladrillo refractario de arcilla 1725 1373 2325 960 1.4 6.272E-07
Ladrillo refractario de cromita 473 3010 835 2.3 9.151E-07
Ladrillo refractario de cromita 823 2.5
Ladrillo refractario de cromita 1173 2
Ladrillo refractario de oxido de silicio 478 0.025
Lana 293 100 0.036
Madera abeto (NF) 300 415 2720 0.11 9.745E-08
Madera cipres (NF) 300 465 0.097
Madera cipres (PF) 300 420 2720 0.14 1.225E-07
Madera de balsa (NF) 300 140 0.055
Madera pino amarillo (NF) 300 640 2805 0.15 8.356E-08
Madera pino blanco (NF) 300 435 0.11
Madera roble (NF) 300 545 2385 0.17 1.308E-07
Madera roble (PF) 300 545 2385 0.19 1.462E-07
Manzana roja 300 840 36000.513 1.696E-07
Nieve (d110) 273 110 0.049
Nieve (d500) 300 500 0.19
Pan batido 300 720 0.223
Pan completamente horneado 300 280 0.121
Papel 300 930 1340 0.18 1.444E-07
Parafina 300 900 2890 0.24 9.227E-08
Platano 300 980 3350 0.481 1.465E-07
Polietileno alta presión 293 920 2150 0.35 1.769E-07
Polietileno baja presión 293 950 1800 0.45 2.632E-07
Roca arenisca 300 2150 745 2.9 1.811E-06
Roca caliza 300 2320 810 2.15 1.144E-06
Roca cuarcita 300 2640 1105 5.38 1.844E-06
Roca granito 300 2630 775 2.79 1.369E-06
Roca marmol 300 2680 830 2.8 1.259E-06
Teflon 300 2200 0.35
Teflon 400 2200 0.45
Tejido humano (capa de grasa) 300 0.2
Tejido humano (musculo) 300 0.41
 
 
Departamento de Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción 
Apuntes del curso Transferencia de Calor – Versión 2006 – Borrador preliminar Adelqui Fissore Sch. 30
Propiedades térmicas del agua en funcion de la presión y la temperatura
Presion 273 323 373 473 773 K
K Pa 0 50 100 200 500 C
101 999,8 988,1 0,5895 0,4603 0,281
505 1000 988,2 958,3 2,353 1,407
1010 1000,3 988,5 958,6 4,056 2,825
10100 1004,8 992,4 962,8 871,1 30,52
101000 1045,5 1027,5 1000,1 924,1 528,1
Presion 273 323 373 473 773 K
K Pa 0 50 100 200 500 C
101 0,562 0,6405 0,02478 0,03337 0,06689
505 0,5622 0,6407 0,6777 0,03424 0,06716
1010 0,5625 0,641 0,678 0,03606 0,0675
10100 0,5677 0,6456 0,683 0,6708 0,07535
101000 0,6163 0,6878 0,7278 0,7336 0,4047
Presion 273 323 373 473 773 K
K Pa 0 50 100 200 500 C
101 4217 4181 2032 1974 2132
505 4215 4180 4215 2143 2146
1010 4212 4179 4214 2431 2164
10100 4165 4158 4194 4450 2569
101000 3801 4010 4039 4145 5511
Presion 273 323 373 473 573 K
K Pa 0 50 100 200 300 C
101 -0,0000851 0,0004623 0,002897 0,002159 0,001761
505 -0,0000837 0,0004622 0,0007539 0,002372 0,001829
1010 -0,0000819 0,000462 0,000753 0,002728 0,001922
10100 -0,0000498 0,0004589 0,0007366 0,001312 0,003189
101000 0,0001576 0,000454 0,0006252 0,0009594 0,001376
Presion 273 323 373 473 773 K
K Pa 0 50 100 200 500 C
101 0,001792 0,0005471 0,00001228 0,00001618 0,00002857
505 0,001791 0,0005472 0,0002823 0,00001607 0,00002858
1010 0,00179 0,0005472 0,0002824 .000015.93 0,00002858
10100 0,001769 0,0005487 0,0002848 0,0001357 0,0000289
101000 0,001652 0,0005685 0,000309 0,0001558 0,00006531
Viscosidad dinámica
Temperatura
Calor especifico a presión constante
Temperatura
Coeficiente de expnasión térmica
Temperatura
Temperatura
Densidad
Conductividad térmica
Temperatura
 
 
 
Gases a presión atmosférica y liquidos saturados
Aire
Vapor de agua (saturada)
Agua liquida (saturada)
Material T Densidad Cp k Alfa Pr
[K] [kg/m3] [J/kgK] [Ns/m2] [m2/s] [W/mK] [m2/s] [1/K]
273 1,276 1007 1,699E-04 1,332E-05 0,0238 1,853E-05 3,663E-03 7,1873
273 1,276 1007 1,699E-04 1,332E-05 0,0238 1,853E-05 3,663E-03 7,1873
523 0,419 1985 1,780E-05 4,248E-05 0,0357 4,297E-05 3,957E-03 0,9884
293 1011 4154 1,007E-03 9,954E-07 0,6043 1,439E-07 2,303E-04 6,9197
Acetona 293 790 2160 3,220E-04 4,076E-07 0,1800 1,055E-07 1,400E-03 3,8640
Acido sulfurico 293 1834 1380 2,700E-02 1,472E-05 0,5440 2,149E-07 5,700E-04 68,4926
Alcohol etilico 293 789 2470 1,190E-03 1,508E-06 0,1800 9,236E-08 1,100E-03 16,3294
Aminiaco 293 610 4770 2,200E-04 3,607E-07 0,4940 1,698E-07 2,440E-03 2,1243
Benzol 293 879 1740 6,500E-04 7,395E-07 0,1530 1,000E-07 1,160E-03 7,3922
Cloroformo 293 1489 960 5,700E-04 3,828E-07 0,1210 8,465E-08 1,280E-03 4,5223
Glicerina 293 1260 2430 1,499E-02 1,190E-05 0,0270 8,818E-09 5,000E-04 1349,10
Salmuera al 20% 293 1184 2990 1,296E-02 1,095E-05 0,3920 1,107E-07 98,8454
Tetracloruro de carbono 293 1595 850 9,700E-04 6,082E-07 0,1050 7,745E-08 1,220E-03 7,8524
Bismuto (ML) 573 10030 151 1,715E-03 1,710E-07 14,6500 9,673E-06 1,220E-03 0,0177
Estaño 513 6985 255 1,907E-03 2,730E-07 30,5000 1,712E-05 1,220E-03 0,0159
Litio 473 515 4140 5,720E-04 1,111E-06 46,0500 2,160E-05 1,220E-03 0,0514
Mercurio 293 13555 139 1,545E-03 1,140E-07 8,0500 4,272E-06 1,220E-03 0,0267
Plomo 673 10592 147 2,220E-03 2,096E-07 15,1000 9,698E-06 1,220E-03 0,0216
µ υ β
Departamento de Ingeniería Mecánica – Universidad de Concepción 
	CONDUCCION
	CONVECCION
	EFECTO COMBINADO CONDUCCION – CONVECCION
	RADIACION
	Radiación incidente en una superficie
	Transferencia de calor por radiación entre 2 superficies
	2.1 Ecuación general de Fourier
	2.2. Ecuación diferencial de la conducción del calor
	Cilindro de n capas con convección interior y convección + r
	Superficies extendidas (ALETAS)
	Cálculo del calor transferido
	Soluciones gráficas
	Método de Relajación
	Resolución del sistema de ecuaciones
	Ejemplo de expresiones para distintos tipos de nodos
	Nodo interno
	Nodo externo de convección
	RÉGIMEN TRANSIENTE
	ECUACIONES DEL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA
	PLACA PLANA
	Régimen turbulento
	Cálculo del flujo de calor. Placas paralelas
	Laminar