Aplicaciones de la integral definida - Carlos Tomas Santana Colin

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6.2 Aplicaciones de la integral definida 
Anteriormente se mencionó que el área es una de las muchas aplicaciones de la 
integral definida. Otra aplicación importante es su uso para encontrar el volumen de 
un sólido tridimensional. 
6.2.1 Volúmenes de revolución 
En esta sección se estudiará un tipo particular de un sólido tridimensional cuyas 
secciones transversales son similares. Por lo común se emplean sólidos de 
revolución en ingeniería y manufactura. Algunos ejemplos son ejes, embudos, 
píldoras, botellas y pistones, como se muestra en la figura 
 
 
Figura. Sólidos de revolución 
Si una región en el plano gira alrededor de una recta, el sólido resultante es un 
sólido de revolución, y la recta se llama eje de revolución. El sólido más simple es 
un cilindro circular recto o disco que se forma al girar un rectángulo en torno a uno 
de sus lados como se muestra en la figura. 
 
 
El volumen del disco es: 
 
donde R es el radio del disco y w es la anchura. 
Para observar cómo usar el volumen de un disco para encontrar el volumen de un 
sólido general de revolución, considerar un sólido de revolución formado al girar la 
región plana en la figura alrededor del eje indicado. 
 
Figura. Método de los discos 
Para determinar el volumen de este sólido, considerar un rectángulo representativo 
en la región plana. Cuando este rectángulo gira alrededor del eje de revolución, 
genera un disco representativo cuyo volumen es: 
 
Aproximando el volumen del sólido por el de los n discos de anchura Δx y radio R(xi) 
produce: 
 
Así, se puede definir el volumen del sólido como: 
 
Esquemáticamente, el método del disco es como sigue: 
 
 
Una fórmula similar puede derivarse si el eje de revolución es vertical. 
Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, 
usar una de las fórmulas siguientes, como se muestra en la figura 
 
 
Ejemplo 1. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por 
la gráfica de: y el eje x (0 < x < ) alrededor del eje x. 
 
Del rectángulo representativo en la gráfica superior en la figura, se puede ver que 
el radio de este sólido es: 
 
Así, el volumen del sólido de revolución es: 
 
Ejemplo 2. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por 
f(x) = 2 - x2 y g(x) = 1 alrededor de la recta y = 1, como se muestra en la figura. 
 
 
 
 
 
El método de los discos puede extenderse para cubrir sólidos de revolución huecos 
reemplazando el disco con una arandela (anillos). La arandela se forma al girar un 
rectángulo alrededor del eje, como se muestra en la figura. 
 
Si r y R son los radios interiores y exteriores de la arandela y w es la anchura, el 
volumen está dado por: 
 
Para ver cómo este concepto puede usarse para encontrar el volumen de un sólido 
de revolución, considerar una región acotada por un radio exterior R(x) y un radio 
interior r(x), como se muestra en la figura. 
 
Si la región se gira alrededor de su eje de revolución, el volumen del sólido 
resultante está dado por: 
 
Observar que la integral que contiene el radio interior representa el volumen del 
hueco y se resta de la integral que contiene el radio exterior. 
Ejemplo. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las 
gráficas de y = x1/2 y y = x2 alrededor del eje x, como se muestra en la figura. 
 
 
 
 
 
 
6.2.2 Aplicaciones opcionales 
Elaborar el marco teórico referente a este tema, con extensión de 1 a 3 cuartillas. 
Sugerencias: 
- Libro Larson. (Temas: 7.4 - 7.7, páginas 478 – 509) 
- Libro Stewart. (Capitulo 8, páginas 537)